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四川雅安市名山区联考2026年九年级“二诊”数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数的绝对值是( )
A. B. C. D.
2.如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是( )
A. 长方形 B. 圆 C. 平行四边形 D. 三角形
3.据统计局数据截至年雅安市国内生产总值为亿元，请同学们帮忙用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，已知，小华把三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.名山区创建国家卫生城市．我们每一位公民的应该掌握必备知识．为此某中学进行了创卫知识竞赛，五位评委给小明的分数分别为，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是( )
A. B. C. D.
8.若关于的分式方程有增根，则的值是( )
A. B. C. D.
9.如图，的三个顶点都在上，是直径，，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.若、是一元二次方程的两个根，则的值是( )
A. B. C. D.
11.如图， 的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接下列结论：；；；，成立的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：；；；为实数其中结论正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.因式分解：
14.如图，在中，点在边上，若，，则 ．
15.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ．
16.若，则以、为边长的等腰三角形的周长是 ．
17.如图，在平行四边形中，，，，点，分别为，的中点，点在边上运动，将沿折叠，使得点落在处， 连接，点为中点，则的最小值是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共14分。
18.按要求完成下列各题
计算：
化简
四、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
某学校为了解全校学生对电视节目新闻、体育、动画、娱乐、戏曲的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
这次被调查的学生共有多少名？
请将条形统计图补充完整；
若该校有名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
20.本小题分
如图，在中，对角线和相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，，求的长度．
21.本小题分
为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积不超过亩时，每亩可获得利润元；超过亩时，每亩获得利润元与种植面积亩之间的函数关系如图所示．
请求出种植樱桃的面积超过亩时每亩获得利润与的函数关系式；
如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积不超过亩，设小王家种植亩樱桃所获得的总利润为元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求出总利润的最大值．
22.本小题分
如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点是轴负半轴上一动点，连接，．
求反比例函数及一次函数的表达式；
若的面积为，求点的坐标；
如图，在的条件下，若点为直线上一点，点为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23.本小题分
如图，上有，，三点，是直径，点是的中点，连接交于点，点在延长线上且．
求证：是的切线；
若，，求和的值．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．
求抛物线的表达式；
如图，点是第一象限的抛物线上的一个动点．当面积最大时，请求出点的坐标；
如图，在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】 度
15.【答案】且 且
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】【小题】
解：原式

【小题】
原式



19.【答案】【小题】
解：这次被调查的学生人数为名；
【小题】
喜爱“体育”的人数为名，
补全图形如下：
【小题】
估计全校学生中喜欢体育节目的约有名；
【小题】
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 乙，甲 丙，甲 丁，甲
乙 甲，乙 丙，乙 丁，乙
丙 甲，丙 乙，丙 丁，丙
丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁
所有等可能的结果为种，恰好选中甲、乙两位同学的有种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．

20.【答案】解：如图，过作，交于，

，
，
，
，解得，，
，
，
，
，，，
，
，
的长为．

21.【答案】【小题】
解：设，
将、和、代入得：
解得：
．
【小题】
当时，，
当时，最大元；
当时，
，
，
当时，最大元；
综上所述，小王家承包亩荒山获得的总利润最大，且总利润的最大值为元．

22.【答案】【小题】
解：将代入中
得
反比例函数解析式为
将代入中
解得
将点、分别代入
得
一次函数解析式为．
【小题】
解：如图，由直线：得
得
或
点是轴负半轴上一动点
【小题】
解：存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
，，理由如下：
设的表达式为，把、代入得到
则，所以
设、
当为对角线时，如图所示
，得到，所以
当为边时，
如图所示：
向下平移个单位、向右平移个单位得到，那么向下平移个单位、向右平移个单位得到，，
如图所示：
向下平移个单位、向右平移个单位得到，那么向下平移个单位、向右平移个单位得到，即，
综上：，，．

23.【答案】【小题】
证明：点是的中点，
，
；
是的直径，
，
，
，
，
，
．
是的半径，
是的切线．
【小题】
解：在中，，，
设，，则，
在中，，
，
解得：或舍去，
，，，
，，
，
，即，
，
在中，，
，
，
，
连接，
，，
，
，
在中，，
，
．

24.【答案】【小题】
将点，代入得：
解得：
抛物线的表达式为．
【小题】
如图，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设点，则，
则，
，
，
当时，取得最大值．
【小题】
如图中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，取的中点，作直线交抛物线于，此时，
，，
直线的解析式为，
由，解得或
作直线，则直线的解析式为，
由，解得或不合题意舍弃，
综上所述，满足条件的点的坐标为

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