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8．1　直线的倾斜角与斜率、直线方程
一、 单选题
1 倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是　(　　)
A. x－y＋1＝0
B. x－y－＝0
C. x＋y－＝0
D. x＋y＋＝0
2 已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　)
A. 1
B. －1
C. －2或－1
D. －2或1
3 [2025扬州一中调研]已知两点A(－3，2)，B(2，1)，过点P(0，－1)的直线l与线段AB(含端点)有交点，则直线l的斜率的取值范围为(　　)
A. (－∞，－1]∪[1，＋∞) B. [－1，1)
C. ∪[1，＋∞) D.
4 [2026靖江斜桥中学月考]若某直线被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为(　　)
A. 15° B. 15°或75°
C. 30° D. 30°或150°
二、 多选题
5 [2025南京励志高级中学期末]下列说法中，错误的是(　　)
A. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a(a∈R)表示
B. 方程mx＋y－2＝0(m∈R)表示的直线斜率一定存在
C. 经过点P(1，2)，倾斜角为α的直线方程为y－2＝tan α(x－1)
D. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线方程为y－y1＝(x－x1)
6 若直线l过点(1，2)，且横、纵截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为(　　)
A. 2x－y＝0 B. x＋y－3＝0
C. 2x＋y－4＝0 D. x－y＋1＝0
7 [2025前黄高级中学期中]已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 不存在k，使得直线l2的倾斜角为90°
B. 对任意的k，直线l2恒过定点
C. 对任意的k，直线l1与l2都不重合
D. 对任意的k，直线l1与l2都有公共点
三、 填空题
8 [2025常州金坛一中二模]已知点P(2，－1)，则过点P且与原点的距离为2的直线l的方程为________．
9 [2025广州真光中学期中]若直线l沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为________．
10 [2025天津南开中学质检]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，则直线l过定点________；若直线l不经过第四象限，则实数k的取值范围为________．
四、 解答题
11 [2026常州西夏墅高级中学学情调研]在平面直角坐标系中，已知三点A(2，3)，B(3，2)，C(1，0).
(1) 若直线l1过点C且与直线AB垂直，求直线l1的方程；
(2) 若直线l2经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l2的方程．
12 如图，在平行四边形OABC中，O是坐标原点，点A和点C的坐标分别是(3，0)，(1，3)，D是线段AB上的动点．
(1) 求AB所在直线的一般式方程；
(2) 求线段CD的中点M的轨迹方程．
8．1　直线的倾斜角与斜率、直线方程
1. D　解析：因为倾斜角为120°，所以斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.
2. D　解析：由题意，得a≠0.当x＝0时，y＝a＋2；当y＝0时，x＝，故＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.
3. A　解析：由题意，得kPA＝＝－1，kPB＝＝1，结合图象，得直线l的斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞).
4. B　解析：因为直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0平行，所以l1与l2之间的距离d＝＝.设直线l与l1，l2的夹角为α(0°≤α≤90°).因为直线l被直线l1与l2截得的线段长为2，所以sin α＝＝，解得α＝30°.因为直线l1，l2的斜率为1，所以其倾斜角均为45°，所以直线l的倾斜角为15°或75°.
5. AC　解析：对于A，直线x－y＝0在两坐标轴上的截距相等，但不能用x＋y＝a(a∈R)表示，故A错误；对于B，方程mx＋y－2＝0(m∈R)表示的直线的斜率为－m，故B正确；对于C，若α＝90°，则直线的斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错误；对于D，结合直线方程的两点式可知D正确．故选AC.
6. ABD　解析：当直线过原点时，横纵截距为0，符合题意，此时直线方程为2x－y＝0；当直线不过原点时，可设横纵截距分别为a，b(a＝b或a＝－b，a，b均不为0)，则直线方程为＋＝1，可解得a＝b＝3或a＝－1，b＝1，则直线方程为x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.故选ABD.
7. BD　解析：对于A，当k＝0时，直线l2：x＝0，符合倾斜角为90°，故A错误；对于B，直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝k(x＋y＋1)＋x＝0，令得故直线l2过定点(0，－1)，故B正确；对于C，当k＝－时，直线l2：x－y－＝(x－y－1)＝0，显然与直线l1：x－y－1＝0重合，故C错误；对于D，由B知直线l2过定点(0，－1)，而点(0，－1)也在直线l1：x－y－1＝0上，故对任意的k，直线l1与l2都有公共点，故D正确．故选BD.
8. x＝2或3x－4y－10＝0　解析：当直线l的斜率k不存在时，显然符合，此时直线l的方程为x＝2；当直线l的斜率k存在时，设直线l：y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，由点到直线的距离公式，得＝2，解得k＝，此时直线l的方程为3x－4y－10＝0.综上，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
9. 　解析：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b，直线l沿x轴向右平移2个单位长度，沿y轴向上平移1个单位长度后，直线方程为y＝k(x－2)＋b＋1，整理，得y＝kx－2k＋b＋1.因为平移后与原直线重合，所以kx＋b＝kx－2k＋b＋1，解得k＝，即直线的斜率为.
10. (－2，1)　[0，＋∞)　解析：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1).直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，即实数k的取值范围是[0，＋∞).
11. (1) 由A(2，3)，B(3，2)，得直线AB的斜率为kAB＝＝－1.
由l1⊥AB，得直线l1的斜率为1，
所以直线l1的方程为y－0＝1·(x－1)，即x－y－1＝0.
(2) 设直线l2在x轴上的截距为a.
当a＝0时，直线l2过原点及点A(2，3)，则方程为y＝x，即3x－2y＝0；
当a≠0时，直线l2的方程为＋＝1，
又直线l2过点A(2，3)，所以＋＝1，解得a＝5，
所以直线l2的方程为x＋y－5＝0.
综上，直线l2的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
12. (1) 因为AB∥OC，
所以AB所在直线的斜率为kAB＝kOC＝＝3，
所以AB所在直线方程是y－0＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
(2) 设点M的坐标是(x，y)，点D的坐标是(x0，y0).
由平行四边形的性质，得点B的坐标是(4，3).
因为M是线段CD的中点，所以x＝，y＝，
则x0＝2x－1，y0＝2y－3.
因为点D在线段AB上运动，
所以3x0－y0－9＝0(3≤x0≤4)，
所以3(2x－1)－(2y－3)－9＝0，即6x－2y－9＝0.
由3≤x0≤4，得2≤x≤，
所以线段CD的中点M的轨迹方程为6x－2y－9＝0.8．1　直线的倾斜角与斜率、直线方程
复习目标　1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2. 掌握直线方程的几种形式．
直线的倾斜角与斜率
直线方程
活动一 基础引入
1 若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则实数m的值为(　　)
A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4
2 [2026海安实验中学月考]已知直线l的方程为x＋y sin α＋1＝0(α∈R)，则直线l的倾斜角的取值范围为(　　)
A. B. ∪
C. D. ∪
3 [苏教版选必一P20习题T8改编]已知直线l经过点(3，－1)，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为________________．
4 [苏教版选必一P9习题T8改编]若经过点P(0，－1)作直线l，且直线l与连接点A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围为________，斜率k的取值范围为________．
5 [苏教版选必一P20习题T11改编]已知直线l过点P(2，3).
(1) 若直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0，则直线l的方程为________；
(2) 若直线l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为16，则直线l的方程为___________________．
活动二 典例悟法
题组一　直线的倾斜角与斜率
1 直线2x cos α－y－3＝0(α∈)的倾斜角的取值范围是________．
直线2x cos 2α－y－3＝0(α∈[，])的倾斜角的取值范围是________．
2 已知直线l过点P(－1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
1 若将本例中P(－1，0)改为P(1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
2 若将变式1中点B的坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围．
1. 倾斜角α与斜率k的关系：
当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞；
当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到趋近于π(α≠π)时，k的值由－∞增大到趋近于0(k≠0).
2. 斜率的两种求法：
(1) 定义法：若已知直线的倾斜角α或 α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．
(2) 公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
题组二　求直线的方程
3 求下列直线的方程．
(1) 过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的；
(2) 过点(5，10)，且原点到该直线的距离为5；
(3) 经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等．
1 求经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
2 求经过点P(4，1)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程．
4 [2025句容期中]已知直线4x＋3y－12＝0与x轴，y轴分别交于A，B两点，则∠BAO(O为坐标原点)的平分线所在直线的方程为(　　)
A. 2x－y－6＝0
B. x＋2y－3＝0
C. x＋2y＋3＝0
D. 2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0
求直线方程的两个注意点
1. 在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
2. 点斜式、截距式方程在使用时要注意分类讨论思想的运用．若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零．
题组三　直线方程的综合应用
5 过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1) 当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2) 当OA＋OB取最小值时，求直线l的方程．
1 在本例的条件下，当|·|取得最小值时，求直线l的方程．
2 在本例的条件下，当PA2＋PB2取得最小值时，求直线l的方程．
处理直线方程综合应用的思路
求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再求解最值．
8．1　直线的倾斜角与斜率、直线方程
1. A　解析：由题意，得＝1，解得 m＝1.
2. C　解析：设直线l的倾斜角为θ.当sin α≠0时，直线l的斜率为k＝－∈(－∞，－]∪[，＋∞)，则有k＝tan θ∈(－∞，－]∪[，＋∞)，结合正切函数的图象可知，倾斜角θ的取值范围为∪；当sin α＝0时，倾斜角为θ＝.综上，直线l的倾斜角的取值范围为.
3. x－y－4＝0或x＋y－2＝0　解析：由直线l与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，得直线的倾斜角为45°或135°，则直线的斜率为1或－1.又直线l经过点(3，－1)，所以直线方程为y＋1＝x－3或y＋1＝－(x－3)，即直线l的方程为x－y－4＝0或x＋y－2＝0.
4. ∪　[－1，1]　解析：如图，kPA＝＝－1，kPB＝＝1，结合图形观察，知直线l的倾斜角α的取值范围是∪；直线l的斜率k的取值范围是[－1，1].
5. (1) 3x－2y＝0或x－y＋1＝0　解析：当直线l经过原点时，在x轴，y轴上的截距之和等于0，此时直线l的方程为 y＝x，即3x－2y＝0；当直线l不经过原点时，设直线l的方程为＋＝1(a≠0)，因为点P(2，3)在直线l上，所以＋＝1，解得a＝－1，即x－y＋1＝0.综上所述，直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
(2) x＋2y－8＝0或9x＋2y－24＝0　解析：设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b(a>0，b>0)，则直线l的方程为＋＝1.因为点P(2，3)在直线l上，所以＋＝1①.因为直线l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为16，所以ab＝32②.由①②，解得a＝8，b＝4或a＝，b＝12，所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－8＝0或9x＋2y－24＝0.
例1　　解析：由题意，得直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.因为α∈，所以≤cos α≤，所以k＝2cos α∈[1，].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].又θ∈[0，π)，所以θ∈，即该直线的倾斜角的取值范围是.
变式训练　∪　解析：由题意，得直线2x cos 2α－y－3＝0的斜率k＝2cos 2α.因为α∈，所以－≤cos 2α≤，所以k＝2cos 2α∈[－1，1].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[－1，1].又θ∈[0，π)，所以θ∈[0，]∪[，π)，即该直线的倾斜角的取值范围是∪.
例2　　解析：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以kAP＝＝，kBP＝＝，所以直线l斜率的取值范围是.
变式训练1　因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，
所以kl∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，
即直线l斜率的取值范围为(－∞，－]∪[1，＋∞).
变式训练2　如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象，得直线l的倾斜角的取值范围为[0°，45°]∪[135°，180°).
例3　(1) 设所求直线的斜率为k.
由题意，得k＝－4×＝－.
又直线经过点A(1，3)，
所以直线的方程为y－3＝－(x－1)，
即4x＋3y－13＝0.
(2) 当斜率不存在时，所求直线的方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设直线的斜率为k，
则直线的方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝，
故所求直线的方程为3x－4y＋25＝0.
综上所述，所求直线的方程为x－5＝0或 3x－4y＋25＝0.
(3) 设所求直线在x轴，y轴上的截距均为a.
若a＝0，即直线过(0，0)，(4，1)两点，
所以直线的方程为y＝x，即x－4y＝0；
若a≠0，则设直线的方程为＋＝1，
因为直线过点(4，1)，所以＋＝1，解得a＝5，
所以直线的方程为x＋y－5＝0.
综上所述，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
变式训练1　设所求直线在x轴上的截距为a.
若a＝0，即直线过(0，0)，(4，1)两点，
所以直线的方程为y＝x，即x－4y＝0；
若a≠0，则直线的方程为＋＝1，
因为直线过点(4，1)，
所以－＝1，解得a＝3，
所以直线的方程为x－y－3＝0.
综上所述，所求直线的方程为x－4y＝0或x－y－3＝0.
变式训练2　由题意，得所求直线的斜率为±1.
又直线过点(4，1)，
所以由点斜式，得y－1＝±(x－4)，
故所求直线的方程为x－y－3＝0或x＋y－5＝0.
例4　B　解析：因为直线4x＋3y－12＝0与x轴，y轴分别交于A，B两点，所以令x＝0，得y＝4，则点B的坐标为(0，4)；令y＝0，得x＝3，则点A的坐标为(3，0).如图，设∠BAO＝2α(α为锐角)，则－tan 2α＝＝－，即tan 2α＝，则＝，即2tan 2α＋3tan α－2＝0，解得tan α＝或tan α＝－2(舍去)，故∠BAO的平分线所在直线的斜率k＝－，其方程为y＝－(x－3)，即x＋2y－3＝0.
例5　设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0).
因为直线l经过点P(4，1)，所以＋＝1.
(1) 因为＋＝1≥2＝，
所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时，等号成立，
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2) 因为＋＝1(a＞0，b＞0)，
所以OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时，等号成立，
所以当OA＋OB取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.
变式训练1　设A(a，0)，B(0，b)，则a>0，b>0.
设直线l：＋＝1，所以＋＝1，
所以|·|＝－·
＝－(a－4，－1)·(－4，b－1)
＝4(a－4)＋(b－1)＝4a＋b－17
＝(4a＋b)·－17
＝－17＝＋≥8，
当且仅当a＝b＝5时，等号成立，
此时直线l的方程为x＋y－5＝0.
变式训练2　设直线l的斜率为k，k<0，
则直线l：y－1＝k(x－4)，
则A，B(0，1－4k)，
所以PA2＋PB2＝＋16k2＋17≥8＋17＝25，
当且仅当k＝－时，等号成立，
此时直线l的方程为 x＋2y－6＝0.(共40张PPT)
第八章
8.1　直线的倾斜角与斜率、直线方程
平面解析几何
复习目标　1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2．掌握直线方程的几种形式．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则实数m的值为 (　　)
A．1　　　　B．4　　　　C．1或3　　　　D．1或4
A
C
3 [苏教版选必一P20习题T8改编]已知直线l经过点(3，－1)，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为_______________________．
【解析】由直线l与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，得直线的倾斜角为45°或135°，则直线的斜率为1或－1.又直线l经过点(3，－1)，所以直线方程为y＋1＝x－3或y＋1＝－(x－3)，即直线l的方程为x－y－4＝0或x＋y－2＝0.
x－y－4＝0或x＋y－2＝0
4 [苏教版选必一P9习题T8改编]若经过点P(0，－1)作直线l，且直线l与连接点A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α
的取值范围为_____________，斜率k的取值范围为___________.
[－1，1]
5 [苏教版选必一P20习题T11改编]已知直线l过点P(2，3).
(1) 若直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0，则直线l的方程为________________________；
3x－2y＝0或x－y＋1＝0
(2) 若直线l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为16，则直线l的方程为_____________________________．
x＋2y－8＝0或9x＋2y－24＝0
活动二　典例悟法
1
2
　　　　　1 若将本例中P(－1，0)改为P(1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
　　　　　　2 若将变式1中点B的坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围．
【解析】如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象，得直线l的倾斜角的取值范围为[0°，45°]∪[135°，180°).
　　　　1 如何求直线的倾斜角与斜率？倾斜角与斜率的取值范围如何确定？
3
(2) 当斜率不存在时，所求直线的方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设直线的斜率为k，
则直线的方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
　　　　　　1 求经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．
　　　　　　2 求经过点P(4，1)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程．
【解析】由题意，得所求直线的斜率为±1.
又直线过点(4，1)，
所以由点斜式，得y－1＝±(x－4)，
故所求直线的方程为x－y－3＝0或x＋y－5＝0.
　　　　[2025句容期中]已知直线4x＋3y－12＝0与x轴，y轴分别交于A，B两点，则∠BAO(O为坐标原点)的平分线所在直线的方程为
(　　)
A．2x－y－6＝0 B．x＋2y－3＝0
C．x＋2y＋3＝0 D．2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0
4
B
　　　　　2 如何求直线的方程？
求直线方程的两个注意点
1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
2．点斜式、截距式方程在使用时要注意分类讨论思想的运用．若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零．
题组三　直线方程的综合应用
　　 过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1) 当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2) 当OA＋OB取最小值时，求直线l的方程．
5
　　　　　　2 在本例的条件下，当PA2＋PB2取得最小值时，求直线l的方程．
【解析】设直线l的斜率为k，k<0，
则直线l：y－1＝k(x－4)，
　　　　　3 如何处理最值状态下的直线方程问题？
处理直线方程综合应用的思路
求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再求解最值．
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