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8.3　圆 的 方 程
一、 单选题
1 [2026厦门大同中学期中]已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2，2)的圆的方程是(　　)
A. (x－1)2＋(y＋2)2＝5
B. (x－1)2＋(y＋2)2＝25
C. (x＋1)2＋(y－2)2＝5
D. (x＋1)2＋(y－2)2＝25
2 [2025南京东山高级中学月考]若点(2，1)在圆x2＋y2－x－y＋a＝0的外部，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－2，＋∞)
B.
C. (－∞，－2)
D. (－∞，－2)∪
3 [2025常州西夏墅高级中学期初]已知动直线与圆x2＋y2＝16相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若线段AB上一点P满足＝3，且x1x2＋y1y2＝－8，则动点P的轨迹方程为(　　)
A. x2＋y2＝7
B. x2＋y2＝
C. x2＋y2＝
D. x2＋y2＝13
4 [2025阜阳三中调研]已知圆C：(x－4)2＋y2＝4，A(x1，y1)，B(x2，y2)是圆上的两个动点，且AB＝2，则|x1－y1＋1|＋|x2－y2＋1|的最大值为(　　)
A. 10－2
B. ＋1
C. 5＋
D. 10＋2
二、 多选题
5 [2025前黄高级中学月考]已知点A(－2，0)，B(6，0)，D(2，2)，点P满足＝，设点P的轨迹为曲线C，O为坐标原点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 过点B作曲线C的切线，切线长为6
B. 当A，B，P三点不共线时，∠APO＝∠BPO
C. 在曲线C上存在点M，使得MO＝2MA
D. PB＋3PD的最小值为2
6 [2025江门一模]已知曲线Γ：x2＋y2－5＝|2y－2|，则下列说法中正确的是(　　)
A. 曲线Γ关于y轴对称
B. 曲线Γ围成图形的面积为
C. 曲线Γ上的点到点(3，0)的距离最大值为2＋
D. 若点(x0，y0)在曲线Γ上，则的最大值为1
7 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 的最大值为
B. 的最小值为0
C. x2＋y2的最大值为＋1
D. x＋y的最大值为3＋
三、 填空题
8 已知M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
9 [2025泉州五校期中]已知方程x2＋y2＋2mx＋4y＋2m2－3m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是________，半径R的最大值为________．
10 [2025白银一中二模]已知圆C：(x＋1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)，若直线l与x轴交于点A，过直线l上一点P作圆C的切线，切点为T，且PA＝PT，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
11 已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且CD＝4.求：
(1) 直线CD的方程；
(2) 圆P的方程．
12 [2026南京中华中学月考]在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在x轴上，且过A(－2，4)，B(5，3)两点．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 设点M(－24，0)，P为圆C上的动点，求证：为定值．
8．3　圆 的 方 程
1. B　解析：因为圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，所以圆心为C(1，－2).设所求的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝r2，将点(－2，2)代入，得r2＝25，即(x－1)2＋(y＋2)2＝25.
2. B　解析：由点(2，1)在圆x2＋y2－x－y＋a＝0的外部，得解得－23. A　解析：方法一：设点P的坐标为(x，y).令O为坐标原点，由x1x2＋y1y2＝－8，得·＝－8.因为点A，B在圆上，所以OA＝OB＝4.连接OP.由＝3，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以||2＝||2＋||2＋·＝7，故动点P的轨迹方程为x2＋y2＝7.
方法二：设点P的坐标为(x，y).由＝3，得所以①②同时平方并相加，得16x2＋16y2＝x＋y＋9x＋9y＋6x1x2＋6y1y2.又点A，B在圆上，x1x2＋y1y2＝－8，所以16x2＋16y2＝16＋9×16＋6×(－8)，可得x2＋y2＝7，故动点P的轨迹方程为x2＋y2＝7.
4. D　解析：由题意，得圆C的圆心为C(4，0)，半径为2.如图，设线段AB的中点为M，则CM⊥AB，CM＝＝1，所以点M的轨迹是以点C为圆心，1为半径的圆，轨迹方程为(x－4)2＋y2＝1，可看作点A到直线x－y＋1＝0的距离，同理，可看作点B到直线x－y＋1＝0的距离，所以可看作点M到直线x－y＋1＝0的距离．因为点M到直线x－y＋1＝0距离的最大值为＋1＝＋1，则≤＋1，所以|x1－y1＋1|＋|x2－y2＋1|≤10＋2，故D正确．
5. AB　解析：设点P的坐标为(x，y).由＝，得＝，化简，得x2＋y2＋6x＝0，所以动点轨迹是以C(－3，0)为圆心，r＝3为半径的圆．对于A，过点B作曲线C的切线，切线长为＝6，故A正确；对于B，当A，B，P三点不共线时，因为＝＝，所以由三角形的内角平分线定理可知，PO是△APB的内角∠APB的平分线，所以∠APO＝∠BPO，故B正确；对于C，设点M的坐标为(x，y)，由MO＝2MA，得＝2，化简，得＋y2＝，所以动点M的轨迹是圆心为C2，半径为r2＝的圆，所以圆心距CC2＝<|r－r2|，所以两圆位置关系为内含，所以在圆C上不存在点M，使得MO＝2MA，故C错误；对于D，因为＝，所以PB＋3PD＝3PA＋3PD＝3(PA＋PD)≥3AD＝3＝6，故D错误．故选AB.
6. AD　解析：对于A，设(x，y)是曲线γ上的任意一点，则x2＋y2－5＝|2y－2|，所以(－x)2＋y2－5＝|2y－2|成立，即点(－x，y)在曲线γ上，所以曲线γ关于y轴对称，故A正确；对于B，当y≥1时，x2＋y2－5＝2y－2，即x2＋(y－1)2＝4，曲线是以O1(0，1)为圆心，2为半径的圆在直线y＝1及上方的半圆；当y≤1时，x2＋y2－5＝－2y＋2，即x2＋(y＋1)2＝8，曲线是以O2(0，－1)为圆心，2为半径的圆在直线y＝1及下方的部分，所以曲线γ在直线y＝1及上方的半圆面积为2π>，故B错误；对于C，曲线γ在直线y＝1及下方部分上的点与点A(3，0)的距离最大值为AO2＋2＝＋2＝＋2>2＋，故C错误；对于D，＝·表示曲线γ上的点P(x0，y0)与点A(3，0)所在的直线PA斜率的，如图，易知当过点A的直线与曲线γ在x轴下方部分相切时，直线PA的斜率最大，设此切线的方程为y＝k(x－3)，k>0，则＝2，解得k＝7，所以的最大值为1，故D正确．故选AD.
7. ABD　解析：由题意，得点(x，y)在圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，其图象如图所示．因为表示点(x，y)与坐标原点连线的斜率，所以设过坐标原点的圆的切线方程为y＝kx，则＝1，解得k＝0或k＝，即∈，所以＝，＝0，故A，B正确；x2＋y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为OC＋1，所以x2＋y2的最大值为(OC＋1)2.又OC＝＝，所以x2＋y2的最大值为6＋2，故C错误；因为x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，所以设x＝2＋cos θ，y＝1＋sin θ，所以x＋y＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin ，所以当θ＝，即x＝2＋，y＝1＋时，x＋y取得最大值，最大值为3＋，故D正确．故选ABD.
8. x＋y－1＝0　解析：由题意，得过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1).因为kCM＝＝1，所以最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
9. (－1，4)　　解析：由题意，得(x＋m)2＋(y＋2)2＝－m2＋3m＋4，所以－m2＋3m＋4>0，解得－110. [－1，1]　解析：设点P的坐标为(x0，y0)，则PA＝，PT＝＝.因为PA＝PT，所以＝·，整理，得2x＋8x0＋2y－1＝0，即(x0＋2)2＋y＝，所以点P在圆(x＋2)2＋y2＝上．又点P在直线l：y＝k(x－1)上，所以直线y＝k(x－1)与圆(x＋2)2＋y2＝有交点，所以≤，则≤，解得－1≤k≤1.
11. (1) 由题意，得直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)，
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2) 设圆心为P(a，b)，
则由点P在CD上，得a＋b－3＝0.①
又直径CD＝4，
所以PA＝2，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心为P(－3，6)或P(5，－2)，
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
12. (1) 设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2.
因为圆C过点A(－2，4)，B(5，3)，
所以(－2－a)2＋16＝r2，(5－a)2＋9＝r2，
解得a＝1，r2＝25，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝25.
(2) 设点P的坐标为(x，y)，
则PM＝，PO＝，
所以＝.
因为(x－1)2＋y2＝25，所以y2＝24－x2＋2x，
所以＝＝＝＝＝5，
所以为定值，得证．8.3　圆 的 方 程
复习目标　1. 掌握确定圆的几何要素.2. 掌握圆的标准方程与一般方程．
活动一 基础引入
1 [2025连云港杨集高级中学二模]已知线段AB的端点B的坐标是(5，3)，端点A在圆x2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为(　　)
A. ＋＝1
B. ＋＝1
C. ＋＝1
D. ＋＝1
2 [2026浙东北ZDB联盟期中联考]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则实数a的值为(　　)
A. B. － C. 1 D. －1
3 [2026南京金陵中学月考]如果实数x，y满足x2＋y2－6x＋4＝0，那么的最大值是(　　)
A. B. C. D.
4 [苏教版选必一P67习题T6改编]若一个圆的圆心在直线l1：3x－y＝0上，此圆与x轴相切，且被直线l2：x－y＝0截得的弦长为2，则此圆的方程为______________．
5 [苏教版选必一P62习题T16改编]已知点A(4，0)，若P是圆x2＋y2＝4上的一个动点，Q(x，y)是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为________．
活动二 典例悟法
题组一　求圆的方程
1 (1) 已知△ABC的顶点是A(5，1)，B(7，－3)，C(1，－1)，则△ABC的外接圆的方程是____________；
(2) [2025徐州联考]已知圆C与x轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且经过点(1，0)，则圆C的方程为____________；
(3) 已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线 l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，求该圆的方程．
求圆的方程的方法
1. 待定系数法：
(1) 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值．
(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2. 几何性质法：通过研究圆的几何性质求出圆的基本量，进而确定圆的方程．
常用的圆的几何性质：
(1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2) 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
(3) 两圆相切时，切点与两圆的圆心共线；
(4) 圆心到切线的距离等于半径；
(5) 圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形．
题组二　与圆有关的最值问题
2 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
1 在本例的条件下，求的最大值和最小值．
2 在本例的条件下，求的最大值和最小值．
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
1. 几何法：充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解，常见的有以下几种类型：
(1) 形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2) 形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3) 形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2. 代数法： 所求最值的目标式子转化为函数关系式，然后利用圆的方程中x，y的取值范围来确定有关函数的最值．
题组三　“隐形圆”问题
3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1) 求线段AP中点的轨迹方程；
(2) 若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
1 [2026赣榆高级中学月考]已知直线l1：mx＋y－m－3＝0与l2：x－my＋m－3＝0相交于点M，线段AB是圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的一条动弦，且AB＝2，则·的最大值为(　　)
A. 16＋4 B. 30＋8
C. 5＋6 D. 20－1
2 (多选)已知A，B为定点，且AB＝4，则下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的有(　　)
A. PA·PB＝10 B. ＝3
C. PA2＋PB2＝10 D. PA2－PB2＝10
“隐形圆”的常见类型
1. 若动点P与定点M满足MP＝r(r为大于零的常数)，则点P的轨迹是圆；
2. 若动点P与两定点A，B满足PA＝λPB(λ>0且λ≠1)，则点P的轨迹是圆；
3. 若动点P与两定点A，B满足PA2＋PB2＝a(a为常数)，则点P的轨迹是圆；
4. 若动点P满足kPA·kPB＝－1(或·＝0或∠APB＝90°)，则点P的轨迹是以AB为直径的圆；
5. 若动点P与两定点A，B满足·＝λ(其中λ＋AB2>0)，则点P的轨迹是以AB的中点为圆心，为半径的圆．
8．3　圆 的 方 程
1. D　解析：设A(a，b)，M(x，y).由M为线段AB的中点，得即由点A在圆x2＋y2＝4上，得a2＋b2＝4，即(2x－5)2＋(2y－3)2＝4，化简，得＋＝1.
2. A　解析：由题意，得圆心为(a，0).因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.
3. D　解析：将x，y满足的方程转化为(x－3)2＋y2＝5，则其是一个圆心为(3，0)，半径为的圆．因为＝可看作是圆上一点(x，y)与点(－2，0)所在直线的斜率，易知当直线与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，设切线所在直线的倾斜角为α，则sin α＝＝，由同角的三角函数关系，得tan α＝，即斜率最大为，所以的最大值为.
4. (x＋1)2＋(y＋3)2＝9 或(x－1)2＋(y－3)2＝9　解析：由圆心在直线l1：3x－y＝0上，设圆心(t，3t)，由圆与x轴相切，得半径r＝3|t|，则圆心(t，3t)到直线l2：x－y＝0的距离d＝＝|t|.因为此圆被直线l2截得的弦长为2，所以r2＝d2＋()2，解得t＝±1，所以圆心为(－1，－3)或(1，3)，半径等于3，故此圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝9 或(x－1)2＋(y－3)2＝9.
5. (x－2)2＋y2＝1　解析：设点P的坐标为(x0，y0).因为Q(x，y)是线段AP的中点，点A(4，0)，所以解得x0＝2x－4，y0＝2y.又点P在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y)2＝4，整理，得(x－2)2＋y2＝1，故点Q的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.
例1　(1) x2＋y2－8x＋4y＋10＝0　解析：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为点A(5，1)，B(7，－3)，C(1，－1)在圆上，所以解得故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋4y＋10＝0.
(2) (x－1)2＋(y－2)2＝4　解析：由题意，设圆心的坐标为(a，2a).因为圆C与x轴相切，所以圆的方程为(x－a)2＋(y－2a)2＝4a2.又点(1，0)在圆上，所以(1－a)2＋(0－2a)2＝4a2，解得a＝1，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(3) 过切点P(3，－2)且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－5＝0，
与y＝－4x联立可得圆心为(1，－4)，
所以半径r＝＝2，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
例2　设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
所以x＋y的最大值和最小值就是直线y＝－x＋t与圆有公共点时纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1，
所以x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
变式训练1　可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，
故的最大值为－2＋，最小值为－2－.
变式训练2　＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差．
因为圆心到定点(－1，2)的距离为，
所以的最大值为＋1，最小值为－1.
例3　(1) 设AP的中点为M(x，y).
由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y).
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2) 设PQ的中点为N(a，b).
在Rt△PBQ中，PN＝BN.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
所以a2＋b2＋(a－1)2＋(b－1)2＝4，
化简，得a2＋b2－a－b－1＝0，
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
变式训练1　B　解析：由题意，得C(－1，－1)，半径r＝2.设点M的坐标为(x，y)，易知直线l1：mx＋y－m－3＝0恒过点E(1，3)，直线l2：x－my＋m－3＝0恒过点F(3，1)，且l1⊥l2，则ME⊥MF，即·＝0，所以点M的轨迹为圆G：(x－2)2＋(y－2)2＝2，去掉点(1，1)，圆心为G(2，2)，半径为.若D为弦AB的中点，位置关系如图，则 ＋＝2.连接CD.由AB＝2，得CD＝＝1，则点D在以C为圆心，1为半径的圆上．又CG＝＝3，所以MD≤MC＋CD≤CG＋＋1＝4＋1，当点M在点(3，3)处时取等号，所以·＝＝＝||2－3≤(4＋1)2－3＝30＋8，即·的最大值为30＋8.
变式训练2　BC　解析：如图，以线段AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设点P的坐标为(x，y)，则A(－2，0)，B(2，0).对于A，由PA·PB＝10，得·＝10，整理，得(x2＋y2＋4)2－(4x)2＝100，则该轨迹不是圆，故A错误；对于B，由＝3，得＝3，整理，得＋y2＝，则点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，故B正确；对于C，由PA2＋PB2＝10，得(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝10，整理，得x2＋y2＝1，则点P的轨迹为圆，故C正确；对于D，由PA2－PB2＝10，得(x＋2)2＋y2－(x－2)2－y2＝10，整理，得x＝，则点P的轨迹为直线，故D错误．故选BC.(共36张PPT)
第八章
8.3　圆的方程
平面解析几何
复习目标　1．掌握确定圆的几何要素.2．掌握圆的标准方程与一般方程．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2025连云港杨集高级中学二模]已知线段AB的端点B的坐标是(5，3)，端点A在圆x2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为
(　　)
D
2 [2026浙东北ZDB联盟期中联考]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则实数a的值为 (　　)
A
D
(x＋1)2＋(y＋3)2＝9或(x－1)2＋(y－3)2＝9
5 [苏教版选必一P62习题T16改编]已知点A(4，0)，若P是圆x2＋y2＝4上的一个动点，Q(x，y)是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为_________________．
(x－2)2＋y2＝1
活动二　典例悟法
题组一　求圆的方程
　　　(1) 已知△ABC的顶点是A(5，1)，B(7，－3)，C(1，－1)，则△ABC的外接圆的方程是________________________；
1
x2＋y2－8x＋4y＋10＝0
(2) [2025徐州联考]已知圆C与x轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且经过点(1，0)，则圆C的方程为____________________；
(x－1)2＋(y－2)2＝4
【解析】由题意，设圆心的坐标为(a，2a).因为圆C与x轴相切，所以圆的方程为(x－a)2＋(y－2a)2＝4a2.又点(1，0)在圆上，所以(1－a)2＋(0－2a)2＝4a2，解得a＝1，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(3) 已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线 l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，求该圆的方程．
　　　　　1 如何求圆的方程？
求圆的方程的方法
1．待定系数法：
(1) 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值．
(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．几何性质法：通过研究圆的几何性质求出圆的基本量，进而确定圆的方程．
常用的圆的几何性质：
(1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2) 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
(3) 两圆相切时，切点与两圆的圆心共线；
(4) 圆心到切线的距离等于半径；
(5) 圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形．
题组二　与圆有关的最值问题
　　　已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
2
【解析】设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
所以x＋y的最大值和最小值就是直线y＝－x＋t与圆有公共点时纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，
　　　　　2 如何解决与圆有关的最值问题？
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
1．几何法：充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解，常见的有以下几种类型：
(3) 形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2．代数法： 所求最值的目标式子转化为函数关系式，然后利用圆的方程中x，y的取值范围来确定有关函数的最值．
题组三　“隐形圆”问题
　　　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1) 求线段AP中点的轨迹方程；
(2) 若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
3
【解析】(1) 设AP的中点为M(x，y).
由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y).
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2) 设PQ的中点为N(a，b).
在Rt△PBQ中，PN＝BN.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
所以a2＋b2＋(a－1)2＋(b－1)2＝4，
化简，得a2＋b2－a－b－1＝0，
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
B
BC
“隐形圆”的常见类型
1．若动点P与定点M满足MP＝r(r为大于零的常数)，则点P的轨迹是圆；
2．若动点P与两定点A，B满足PA＝λPB(λ>0且λ≠1)，则点P的轨迹是圆；
3．若动点P与两定点A，B满足PA2＋PB2＝a(a为常数)，则点P的轨迹是圆；
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