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8.2　两直线的位置关系
复习目标　1. 掌握判定两条直线位置关系的方法，会求两条相交直线的交点坐标.2. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
两直线的位置关系
几种距离
　　　　　　　　　　　　 间的距离d＝
活动一 基础引入
1 [2026南通一中月考]已知直线l1：(2a＋1)x＋ay＋1＝0，l2：(a＋2)x＋ay＋2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的(　　)
A. 充分且不必要条件 　B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 　　　　　D. 既不充分又不必要条件
2 [2026南京中华中学月考]已知直线l1：2x－y＋1＝0与l2：x＋ky－3＝0垂直，则实数k的值为(　　)
A. 2 B. －2 C. D. －
3 [苏教版选必一P31练习T3]设k为实数，若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＋k＋＝0相交于一点，则k的值为(　　)
A. －2 B. － C. 2 D.
4 已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则实数a的值为________．
5 [2026天津耀华中学月考]在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长为(　　)
A. 2 B. 1 C. D.
活动二 典例悟法
题组一　两直线的位置关系
1 已知直线l1：ax＋2y＋3＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1) 当l1∥l2时，求实数a的值；
(2) 当l1⊥l2时，求实数a的值．
若将本例中直线l1变为ax＋2y＋6＝0，当l1∥l2时，求实数a的值．
判断两直线平行或垂直的方法
1. l1∥l2 k1＝k2(k1，k2均存在)；
l1⊥l2 k1k2＝－1(k1，k2均存在).
2. 若l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，则
l1∥l2
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
题组二　两直线的交点与距离问题
2 已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是__________．
3 已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与直线l2：x－2y＝0的交点P.
(1) 若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2) 求点A(5，0)到直线l距离的最大值．
在本例的条件下，是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．
题组三　对称问题
4 已知直线l：x＋2y－2＝0.
(1) 求直线l关于点A(1，1)对称的直线方程；
(2) 求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程．
在本例的条件下，求点A(1，1)关于直线l对称的点.
1. 中心对称问题：
(1) 点关于点对称
若点M(x1，y1)，N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式，得进而求解．
(2) 直线关于点的对称
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
2. 轴对称问题：
(1) 点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由得点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2).
(2) 直线关于直线的对称
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：①已知直线与对称轴相交；②已知直线与对称轴平行．
5 [2026盐城五校联盟联考]在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－4，2)，边AB上的中线CF所在的直线方程为x＋2y－5＝0.
(1) 若AC边上的高BE所在的直线方程为x－3y＋10＝0，求边BC所在的直线方程；
(2) 若∠ABC的平分线BD所在的直线方程为y＝2x，求边BC所在的直线方程．
8．2　两直线的位置关系
1. C　解析：直线l1，l2平行或重合的充要条件是(2a＋1)a＝(a＋2)a，解得a＝0或a＝1.将a＝1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x＋y＋1＝0，l2：3x＋y＋2＝0，易知l1∥l2；将a＝0代入直线l1，l2的方程，得l1：x＋1＝0，l2：2x＋2＝0，则直线l1，l2重合．综上所述，“a＝1”是“l1∥l2”的充要条件．
2. A　解析：当k＝0时，得l2：x＝3，此时l1与l2不垂直；当k≠0时，若l1⊥l2，则2×＝－1，解得k＝2.
3. B　解析：由解得即交点为(－1，－2)，代入x＋ky＋k＋＝0，解得k＝－.
4. －1　解析：由题意，得＝1，所以|a＋1|＝.又a>0，所以a＝－1.
5. D　解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(4，0)，C(0，4)，所以直线BC的方程为x＋y＝4，则△ABC的重心为.设点P的坐标为(a，0)，其中0例1　(1) 由题意，得解得a＝－1或 a＝2，
所以当l1∥l2时，实数a的值为－1或2.
(2) 由题意，得a＋2(a－1)＝0，解得a＝.
变式训练　由题意，得解得a＝－1，
所以当l1∥l2时，实数a的值为－1.
例2　　解析：如图，直线y＝－x＋2与x轴，y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2).直线y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线．因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，所以动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.因为kPA＝－，kPB＝，所以－＜k＜.
例3　(1) 由解得所以P(2，1).
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0.
由点A(5，0)到直线l的距离为3，得＝3，
解得k＝，此时直线l的方程为4x－3y－5＝0.
综上，直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2) 由(1)，得交点P(2，1)，如图，过点P任意作一条直线l，
设d为点A到直线l的距离，
则d≤PA(当l⊥PA时，等号成立)，
所以dmax＝PA＝＝.　
变式训练　由本例可知过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，
由题意，得该直线的方程为2x＋y－5＝0，与原点的距离为＝，
所以过点P不存在与原点的距离超过的直线．
故不存在过点P且与原点的距离为6的直线．
例4　(1) 设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.
在直线l上取点B(0，1)，
则点B(0，1)关于点A(1，1)的对称点C(2，1)必在所求的直线上，
所以m＝－4，即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.
(2) 由解得即交点为P(2，0).
在直线l1上取点M(0，－2)，点M关于直线l的对称点设为N(a，b)，
则得N，
所以直线l2的方程为7x－y－14＝0.
变式训练　因为过点A(1，1)垂直于直线l的直线l′的方程为y＝2x－1，所以直线l与直线l′的交点为，
所以点A(1，1)关于直线l对称的点为.
例5　(1) 设B(xB，yB)，C(xC，yC)，
则＋2×－5＝0，
所以xB＋2yB－10＝0①，xC＋2yC－5＝0②.
又直线AC与直线x－3y＋10＝0垂直，
所以×＝－1，即3xC＋yC＋10＝0③，
联立②③解得xC＝－5，yC＝5.
又xB－3yB＋10＝0④，联立①④解得xB＝2，yB＝4，
所以直线BC的方程为＝，即x＋7y－30＝0.
(2) 因为∠ABC的平分线所在的直线方程为y＝2x，所以yB＝2xB⑤，
联立①⑤解得xB＝2，yB＝4，
则直线AB的方程为＝，即x－3y＋10＝0.
设直线BC的方程为ax＋by＋c＝0，则2a＋4b＋c＝0.
在直线y＝2x上取点O(0，0)，由角平分线定理可知，点O到直线AB，BC的距离相等，
则＝，即10a2＋10b2－c2＝0，
又c＝－2a－4b，所以10a2＋10b2－(－2a－4b)2＝0，
整理，得3－8－3＝0，
解得＝－或＝3，所以直线BC的斜率k＝或k＝－3，
当k＝时，直线BC的方程为y－4＝(x－2)，即x－3y＋10＝0，与直线AB重合，舍去；
当k＝－3时，直线BC的方程为y－4＝－3(x－2)，即3x＋y－10＝0，满足题意．
综上，直线BC的方程为3x＋y－10＝0.(共36张PPT)
第八章
8.2　两直线的位置关系
平面解析几何
复习目标　1．掌握判定两条直线位置关系的方法，会求两条相交直线的交点坐标.2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2026南通一中月考]已知直线l1：(2a＋1)x＋ay＋1＝0，l2：(a＋2)x＋ay＋2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的 (　　)
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件　　　　　　 D．既不充分又不必要条件
C
【解析】直线l1，l2平行或重合的充要条件是(2a＋1)a＝(a＋2)a，解得a＝0或a＝1.将a＝1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x＋y＋1＝0，l2：3x＋y＋2＝0，易知l1∥l2；将a＝0代入直线l1，l2的方程，得l1：x＋1＝0，l2：2x＋2＝0，则直线l1，l2重合．综上所述，“a＝1”是“l1∥l2”的充要条件．
2 [2026南京中华中学月考]已知直线l1：2x－y＋1＝0与l2：x＋ky－3＝0垂直，则实数k的值为 (　　)
A
B
4 已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则实数a的值为______．
－1
5 [2026天津耀华中学月考]在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长为 (　　)
D
活动二　典例悟法
题组一　两直线的位置关系
　　　已知直线l1：ax＋2y＋3＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1) 当l1∥l2时，求实数a的值；
(2) 当l1⊥l2时，求实数a的值．
1
　　　　　　若将本例中直线l1变为ax＋2y＋6＝0，当l1∥l2时，求实数a的值．
　　　　　1 如何判断两直线平行或垂直？
2
　　　已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与直线l2：x－2y＝0的交点P.
(1) 若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2) 求点A(5，0)到直线l距离的最大值．
3
(2) 由(1)，得交点P(2，1)，如图，过点P任意作一条直线l，
设d为点A到直线l的距离，
则d≤PA(当l⊥PA时，等号成立)，
　　　　　　在本例的条件下，是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．
题组三　对称问题
　　　已知直线l：x＋2y－2＝0.
(1) 求直线l关于点A(1，1)对称的直线方程；
(2) 求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程．
4
【解析】(1) 设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.
在直线l上取点B(0，1)，
则点B(0，1)关于点A(1，1)的对称点C(2，1)必在所求的直线上，
所以m＝－4，即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.
　　　　　　在本例的条件下，求点A(1，1)关于直线l对称的点．
　　　　2 如何解决点关于点、点关于线、线关于线对称的问题？
(2) 直线关于点的对称
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(2) 直线关于直线的对称
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：①已知直线与对称轴相交；②已知直线与对称轴平行．
　　　[2026盐城五校联盟联考]在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－4，2)，边AB上的中线CF所在的直线方程为x＋2y－5＝0.
(1) 若AC边上的高BE所在的直线方程为x－3y＋10＝0，求边BC所在的直线方程；
(2) 若∠ABC的平分线BD所在的直线方程为y＝2x，求边BC所在的直线方程．
5
谢谢观看
Thank you for watching8.2　两直线的位置关系
一、 单选题
1 直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 不能确定
2 [2026南通如皋调研]若直线l1：x＋λy＋8＝0与直线l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，则实数λ的值为(　　)
A. －1
B. －1或3
C.
D. 3
3 [2026溧阳戴埠高级中学月考]若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：5x－12y＋2＝0与l2：5x－12y＋8＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
4 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(3，4)，若将军从点A(－2，0)处出发，河岸线所在直线的方程为y＝x，则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
A. 5 B. 3
C. 45 D. 5
二、 多选题
5 [2025哈师大青冈实验中学]已知直线l1：4x－3y＋3＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋m＝0(m∈R)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l2过定点(1，2)
B. 当m＝2时，l1∥l2
C. 当m＝－1时，l1⊥l2
D. 当l1∥l2时，l1，l2之间的距离为
6 [2025博爱一中月考]已知直线l：x＋y＋c＝0(c≠0)，O为坐标原点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l的倾斜角为120°
B. 过点O且与直线l平行的直线方程为x＋y＝0
C. 过点(2，)且与直线l垂直的直线方程为x－y－＝0
D. 若点O到直线l的距离为1，则c＝2
7 [2026南京中华中学月考]设k为实数，若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＋k＋＝0不能构成三角形，则实数k的取值可能为(　　)
A. B. －
C. 1 D. －
三、 填空题
8 已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为________．
9 [2025日照实验高级中学月考]已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点 N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为____________．
10 [2026娄底一中月考]设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则PA·PB的最大值是________．
四、 解答题
11 已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1) 点P(4，5)关于直线l的对称点；
(2) 直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3) 直线l关于点(1，2)的对称直线．
12 [2026常州西夏墅高级中学学情调研]已知平行四边形ABCD的边AB和BC所在直线的方程分别是x＋y－1＝0，2x－y＋4＝0，对角线的交点是M(1，1).求：
(1) 边CD所在直线的方程；
(2) 平行四边形ABCD的面积．
8．2　两直线的位置关系
1. C　解析：直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1，所以两直线相交但不垂直．
2. B　解析：因为两直线平行，所以解得λ＝－1或λ＝3.
3. A　解析：设AB的中点M的坐标为(x，y)，则又点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：5x－12y＋2＝0与l2：5x－12y＋8＝0上，所以两式相加，得5(x1＋x2)－12(y1＋y2)＋10＝0，所以10x－24y＋10＝0，即5x－12y＋5＝0，即AB的中点M在直线5x－12y＋5＝0上移动，所以点M到原点距离的最小值即原点到直线5x－12y＋5＝0的距离d＝＝.
4. B　解析：因为点A(－2，0)关于直线y＝x的对称点为A′(0，－2)，所以A′B即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为A′B＝＝3.
5. ABD　解析：由l2：mx＋2x－my－y＋m＝m(x－y＋1)＋2x－y＝0，令解得所以直线l2过定点(1，2)，故A正确；当m＝2时，l2：4x－3y＋2＝0，又l1：4x－3y＋3＝0，所以l1∥l2，故B正确；当m＝－1时，l2：x－1＝0，又l1：4x－3y＋3＝0，显然不垂直，故C错误；由l1∥l2，得－3(m＋2)＝－4(m＋1)，解得m＝2，由上知，l1，l2之间的距离为＝，故D正确．故选ABD.
6. BC　解析：对于A，因为直线l可化为y＝－x－c，所以斜率k＝－，倾斜角为150°，故A错误；对于B，设与直线l平行的直线方程为x＋y＋n＝0，由直线经过原点，得n＝0，即所求的直线方程为x＋y＝0，故B正确；对于C，设与直线l垂直的直线方程为x－y＋m＝0，由直线经过点(2，)，得m＝－，即所求的直线方程为x－y－＝0，故C正确；对于D，由点O到直线l的距离d＝＝1，得|c|＝2，所以c＝±2，故D错误．故选BC.
7. AD　解析：当三条直线交于一点时不能围成三角形，由解得即交点坐标为(－1，－2)，由直线x＋ky＋k＋＝0过点(－1，－2)，得－k－＝0，解得k＝－；当直线2x＋3y＋8＝0与直线x＋ky＋k＋＝0平行时，不能围成三角形，则2k＝3且3≠8k，解得k＝；当直线x－y－1＝0与直线x＋ky＋k＋＝0平行时，不能围成三角形，则k＝－1且－k≠－，解得k＝－1.故选AD.
8. (3，3)　解析：因为l1⊥l2，所以a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1，联立解得所以点P的坐标为(3，3).
9. 6x－y－6＝0　解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
10. 5　解析：易求得定点A(0，0)，B(1，3).当点P与点A和点B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，所以PA⊥PB，所以PA2＋PB2＝AB2＝10，所以PA·PB≤＝5，当且仅当PA＝PB＝时，等号成立；当点P与点A或点B重合时，PA·PB＝0.综上，PA·PB的最大值是5.
11. (1) 设点P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，
所以kP′P·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
所以3×－＋3＝0.②
由①②，得
将x＝4，y＝5代入③④，得x′＝－2，y′＝7，
所以点P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，7).
(2) 用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程为－－2＝0，
化简，得7x＋y＋22＝0.
(3) 在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0，3)，
设点M关于点(1，2)的对称点为M′(x′，y′)，
所以＝1，＝2，解得x′＝2，y′＝1，
所以点M′的坐标为(2，1).
又l关于点(1，2)的对称直线平行于l，所以对称直线的斜率k＝3，
所以对称直线的方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
12. (1) 由解得
所以点B的坐标为(－1，2).
因为对角线的交点是M(1，1)，
所以点D的坐标为(3，0).
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以CD∥AB，所以设CD：x＋y＋m＝0，
将点D(3，0)代入，得3＋0＋m＝0，解得m＝－3，
所以边CD所在直线的方程为x＋y－3＝0.
(2) 由(1)，得直线AB和直线CD之间的距离为＝.
由解得
所以点C的坐标为.
又D(3，0)，所以CD＝＝，
所以平行四边形ABCD的面积为×＝.

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