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(共54张PPT)
第八章
8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
平面解析几何
复习目标　1．掌握判断直线与圆的位置关系及两圆的位置关系的方法.2．掌握利用位置关系求参数的方法．3．了解代数方法处理几何问题的思想．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是
(　　)
A．相离　　　　 B．相切
C．相交且过圆心　　　　 D．相交但不过圆心
D
2 [苏教版选必一P77本章测试T8]过圆x2＋y2＝5上一点M(1，－2)作圆的切线l，则l的方程为 (　　)
A．x＋2y－3＝0　　　　 B．x－2y－5＝0
C．2x－y－5＝0　　　　 D．2x＋y－5＝0
B
3 [2025徐州期末]已知点A(0，2)，若圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1上存在点P，使得PO2＋PA2＝34(O为坐标原点)，则实数a的取值范围为
(　　)
A．(－∞，0]∪[5，＋∞)
B．[0，5]
B
4 [苏教版选必一P77本章测试T6]圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是_________．
5 设b为实数，已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b，当b＝_______时，圆x2＋y2＝4上恰有3个点到直线l的距离都等于1.
活动二　典例悟法
题组一　直线与圆的位置关系
　　　已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
1
　　　　　　若将本题变为：过点P(0，1)且斜率存在的直线l与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4相交，求直线l的斜率k的取值范围．
B
　　　　1 如何判断直线与圆的位置关系？
1．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．
(1) d>r 直线与圆相离 无公共点．
(2) d＝r 直线与圆相切 只有1个公共点．
(3) d2．已知直线与圆的方程或圆心到直线的距离易表达，则用几何法判断直线与圆的位置关系．
3．若方程中含有参数或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法研究直线与圆的位置关系．能用几何法，尽量不用代数法．
2
C
　　　　　过点M(3，1)的圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的切线长为____．
1
　　　　　2 如何求切线方程？
1．圆的切线方程的两种求法：
(1) 代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k.
(2) 几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
2．求过某点的圆的切线问题时，应先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．
(1) 若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条．
(2) 若点在圆外，则过该点的切线有两条．
注意：过圆内一点，不能作圆的切线．
3．求过圆外定点的切线长，多利用定点、切点、圆心所在的直角三角形．
3
　　　　　　1 在本例的条件下，过点M的两条直线与圆C分别相切于A，B两点，求：
(1) 四边形MACB的面积；
(2) 两切线MA，MB所成角∠AMB的余弦值；
(3) 直线AB的方程．
ACD
如图1，设点P(x0，y0)，则2x0＋y0＋10＝0，即y0＝－2x0－10(*).由切线的性质，得OA⊥AP，OB⊥BP，所以A，B，O，P四点共圆，OP为直径．以OP为直径的圆的方程为x(x－x0)＋y(y－y0)＝0，即
x2＋y2＝x0x＋y0y.与圆O：x2＋y2＝16相减，得x0x＋y0y－16
＝0，即两圆的公共弦AB所在直线的方程为x0x＋y0y－16＝0.
将(*)代入可得x0x＋(－2x0－10)y－16＝0，即x0(x－2y)－(10y
＋16)＝0.
[2023新课标Ⅰ卷·6]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α等于 (　　)
B
4
　　　　　　2 [2026赣榆高级中学月考]已知直线l：(m－2)x＋y－4m＋5＝0，圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长MN的最小值为 (　　)
D
　　　　　　3 若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且 ∠ACB＝90°，则实数a的值为_______．
1或7
x＝1或3x－4y＋5＝0
　　　　3 如何求弦长？
弦长的两种求法
1．代数法：将直线和圆的方程联立组成方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式 Δ>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
题组三　圆与圆的位置关系
　　　已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1
外切，则ab的最大值为_____．
5
　　　　　　1 若将本题条件中“外切”变为“内切”， 则 a2＋b2
的最小值为_____．
　　　　　　2 若将本题条件中“外切”变为“相交”，则公共弦所在直线的方程为__________________________．
【解析】将圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0①，圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0②，由②－①，得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即所求公共弦所在直线的方程为(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0.
(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0
6
A
　　　　4 如何处理两圆位置关系？
1．处理两圆位置关系多用圆心距与半径的和或差的关系判断，一般不采用代数法．
2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
谢谢观看
Thank you for watching8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
一、 单选题
1 过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)
A. 2x＋y－5＝0 B. 2x＋y－7＝0
C. x－2y－5＝0 D. x－2y－7＝0
2 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m的值为(　　)
A. 21 B. 19 C. 9 D. －11
3 [2025三明二中期中]已知A，B为圆(x－6)2＋y2＝16上两点，AB＝4，P为线段AB的中点，Q为直线x－y＋4＝0上的动点，则PQ的最小值为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 3
4 过原点O的直线l：y＝kx与圆M：x2－6x＋y2－6y＋16＝0交于A，B两点，且OA＝AB，则k等于(　　)
A. 1 B. 2
C. D.
二、 多选题
5 [2026扬州中学月考]过定点A的动直线l1：x＋my－4m－1＝0和过定点B的动直线l2：mx－y－m＋3＝0，P为两直线的交点，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝4，则下列说法中正确的是(　　)
A. 对任意实数m，圆C上恒有4个点到直线l1的距离为1
B. 直线l2与圆C相交且最短弦长为2
C. PA2＋PB2为定值
D. 当m＝1时，圆C上存在无数对点关于直线l2对称
6 [2025镇江期初]已知点M在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，点P(0，1)，Q(1，2)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 存在点M，使得MP＝1
B. ∠MQP的最大值为
C. 存在点M，使得MP＝MQ
D. MQ＝MP
7 [2026赣榆高级中学月考]已知A，B是圆C：(x－2)2＋y2＝1上的两个动点，圆C1：x2＋y2＝1，P是直线l：x＋y＝0上的动点，且·＝0，·＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线x＝1是圆C与圆C1的公切线
B. PA的最小值为－1
C. 四边形ACBP面积的最小值为2
D. 直线AB恒过定点
三、 填空题
8 已知圆M：x2＋y2－2ay＋a2－4＝0与圆N：x2＋y2－4x＋3＝0有3条公切线，则a的值为________．
9 [2025曲阳第一高级中学月考]已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，当∠PBA最小时，PB＝________．
10 已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－a)2＋(y－2a)2＝1上存在点P满足·＝3，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
11 [2026常州西夏墅高级中学学情调研]已知圆C经过点(1，0)，圆心C在射线y＝3x(x≥0)上，且直线x－y＝0被圆C截得的弦长为2.
(1) 求圆C的方程；
(2) 过点N(－2，－1)作圆C的切线，求切线的方程．
12 [2026扬州红桥高级中学月考]已知圆C：(x－1)2＋y2＝1.
(1) 若直线l：y＝kx＋2与圆C交于A，B两点．
①求实数k的取值范围；
②求证：直线OA与直线OB(O为坐标原点)的斜率之和为定值；
(2) 若直线y＝x＋a和直线y＝x＋b将圆C的周长四等分，求|a－b|的值．
8．4　直线与圆、圆与圆的位置关系
1. B　解析：由题意，得点(3，1)在圆上，代入圆的方程可得r2＝5，即圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3，1)的切线方程为2x＋y－7＝0.
2. C　解析：由题意，得圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1.因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2＝(m<25)，所以C1C2＝＝5.由两圆外切，得C1C2＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.
3. A　解析：由题意，得圆(x－6)2＋y2＝16的圆心为C(6，0)，半径R＝4.因为P为线段AB的中点，AB＝4，所以CP＝＝＝2，所以点P的轨迹是以C(6，0)为圆心，r＝2为半径的圆．由点Q在直线x－y＋4＝0上，得圆心C(6，0)到直线x－y＋4＝0的距离d＝＝5，所以PQ的最小值为d－r＝5－2＝3.
4. A　解析：由题意，得圆M：x2－6x＋y2－6y＋16＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝2，则圆心为M(3，3).设圆心M到直线l：y＝kx的距离为d，且AB的中点为C.因为OA＝AB，所以OC＝3AC.又因为OM＝＝3，所以OC＝＝.因为AC＝，所以＝3，解得d＝0，所以直线l经过圆心M(3，3)，所以k＝＝1.
5. BCD　解析：由圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝4，得其圆心为C(2，4)，半径r＝2.对于A，直线l1的方程可化为m(y－4)＋x－1＝0，由得x＝1，y＝4，所以直线l1过定点A(1，4)，当m＝0时，直线l1的方程为x＝1，此时圆C上到直线x＝1的距离等于1的点只有三个，故A错误；对于B，直线l2的方程可化为y－3＝m(x－1)，所以直线l2过定点B(1，3)，易知圆心C到直线l2的距离d≤BC，当且仅当直线l2垂直于BC时，等号成立．因为BC＝＝，所以直线l2截圆C的弦长的最小值为2＝2＝2，故B正确；对于C，因为1×m＋m×(－1)＝0，所以直线l1与直线l2垂直，所以PA2＋PB2＝AB2＝＝1，故C正确；对于D，当m＝1时，直线l2的方程为x－y＋2＝0.因为2－4＋2＝0，所以直线l2过圆心C，所以圆C上存在无数对点关于直线l2对称，故D正确．故选BCD.
6. AD　解析：由x2＋y2＋2x－3＝0，得(x＋1)2＋y2＝4，则该圆的圆心为C(－1，0)，半径r＝2.又P(0，1)，所以CP＝.因为点M在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，所以MP∈[2－，2＋]，所以存在点M，使得MP＝1，故A正确；因为(1＋1)2＋22＝8>4，所以点Q在圆外．又CP＝7. AD　解析：对于A，连接C1C.因为C1C＝2，圆C1，圆C的半径均为1，所以圆C1，圆C外切，结合草图可知，圆C1，圆C的公切线方程为y＝1，y＝－1，x＝1，故A正确；对于B，因为·＝0，·＝0，所以PA⊥CA，PB⊥CB.如图，连接CP，则PA＝＝，所以当CP最小时，PA最小．当CP⊥l，即CP为圆心C(2，0)到直线l的距离时，CP最小，CPmin＝，所以PAmin＝＝1，故B错误；对于C，由题意，得PA＝PB，所以四边形ACBP的面积S＝S△ACP＋S△BCP＝2××AP×AC＝AP，由B可知，Smin＝1，故C错误；对于D，设点P的坐标为(t，－t).因为PA，PB是圆C的切线，所以点A，B在以PC为直径的圆上．因为C(2，0)，所以以PC为直径的圆的方程为(x－t)(x－2)＋(y＋t)(y－0)＝0，整理，得x2＋y2－(t＋2)x＋ty＋2t＝0，与圆C的方程(x－2)2＋y2＝1相减，得直线AB的方程为(x－2)(t－2)＋y(－t)＝1，化简，得2x－3－t(x－y－2)＝0.由得即直线AB恒过定点，故D正确．故选AD.
8. ±　解析：由题意，得圆M：x2＋(y－a)2＝4，圆心为(0，a)，半径为2；圆N：(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2，0)，半径为1.因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，故圆心距MN＝＝3，解得a＝±.
9. 3　解析：设圆心为M(5，5)，半径为4，如图，当∠PBA最小时，PB与圆M相切，连接MP，BM，则PM⊥PB，BM＝＝.又MP＝4，由勾股定理，得PB＝＝3，所以当∠PBA最小时，PB＝3.
10. ∪　解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y).由·＝3，得(－1－x)·(1－x)＋y2＝3，整理，得x2＋y2＝4，即点P的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆．由点P在圆(x－a)2＋(y－2a)2＝1上，得圆(x－a)2＋(y－2a)2＝1与圆x2＋y2＝4有公共点．又圆(x－a)2＋(y－2a)2＝1的圆心为(a，2a)，半径为1，所以1≤≤3，解得－≤a≤－或≤a≤，所以实数a的取值范围是[－，－]∪[，].
11. (1) 设C(x0，3x0)，x0≥0，圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－3x0)2＝r2，r>0.
因为圆C经过点(1，0)，
所以(1－x0)2＋(－3x0)2＝r2，化简，得10x－2x0＋1＝r2.
又圆心C到直线x－y＝0的距离d＝＝x0，且该直线被圆C截得的弦长为2，
所以由垂径定理及勾股定理，得()2＋(x0)2＝r2，
化简，得7＋2x＝r2.
由解得
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.
(2) 因为点N距离圆心C的距离为d1＝＝5>r，
所以点N在圆C外．
过点N作一平行于y轴的直线x＋2＝0，
则圆心C到该直线的距离为3，
所以此直线是圆C的一条切线．
过点N作圆C的另一条切线，设其方程为y＝k(x＋2)－1，即kx－y＋2k－1＝0.
因为圆心C到该直线的距离为3，
所以＝3，解得k＝，
所以该切线方程为x－y－＝0，即7x－24y－10＝0.
综上，过点N作圆C的切线方程为7x－24y－10＝0或x＋2＝0.
12. (1) 将直线l的方程代入圆的方程，得(k2＋1)x2＋(4k－2)x＋4＝0.
①因为直线与圆有两个交点，
所以Δ＝(4k－2)2－16(k2＋1)>0，解得k<－，
即实数k的取值范围是.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由根与系数的关系，得
所以kOA＋kOB＝＋＝＋＝＋2k＝＋2k＝1，
即直线OA，OB的斜率之和为定值．
(2) 设直线y＝x＋a和圆C交于点E，F，直线y＝x＋b与圆C交于点M，N.
因为直线y＝x＋a和直线y＝x＋b将圆(x－1)2＋y2＝1的周长四等分，
所以圆心位于两直线之间．
连接CE，CF，CM，CN，则∠ECF＝∠MCN＝，
所以△ECF为等腰直角三角形，
所以圆心C到直线y＝x＋a的距离为，
同理可得圆心C到直线y＝x＋b的距离为，
故直线y＝x＋a和直线y＝x＋b间的距离为，
所以＝，即|a－b|＝2.8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
复习目标　1. 掌握判断直线与圆的位置关系及两圆的位置关系的方法.2. 掌握利用位置关系求参数的方法．3. 了解代数方法处理几何问题的思想．
直线和圆
圆和圆(记两圆半径分别为r1，r2，圆心距为d)
活动一 基础引入
1 直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是(　　)
A. 相离
B. 相切
C. 相交且过圆心
D. 相交但不过圆心
2 [苏教版选必一P77本章测试T8]过圆x2＋y2＝5上一点M(1，－2)作圆的切线l，则l的方程为(　　)
A. x＋2y－3＝0 B. x－2y－5＝0
C. 2x－y－5＝0 D. 2x＋y－5＝0
3 [2025徐州期末]已知点A(0，2)，若圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1上存在点P，使得PO2＋PA2＝34(O为坐标原点)，则实数a的取值范围为(　　)
A. (－∞，0]∪[5，＋∞)
B. [0，5]
C. ∪
D. ∪
4 [苏教版选必一P77本章测试T6]圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
5 设b为实数，已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b，当b＝________时，圆x2＋y2＝4上恰有3个点到直线l的距离都等于1.
活动二 典例悟法
题组一　直线与圆的位置关系
1 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
若将本题变为：过点P(0，1)且斜率存在的直线l与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4相交，求直线l的斜率k的取值范围．
1 [2025全国一卷·7]若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是(　　)
A. (0，1) B. (1，3)
C. (3，＋∞) D. (0，＋∞)
2 [2023新课标Ⅱ卷·15]已知直线l：x－my＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的实数m的一个值为________．
1. 直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．
(1) d>r 直线与圆相离 无公共点．
(2) d＝r 直线与圆相切 只有1个公共点．
(3) d2. 已知直线与圆的方程或圆心到直线的距离易表达，则用几何法判断直线与圆的位置关系．
3. 若方程中含有参数或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法研究直线与圆的位置关系．能用几何法，尽量不用代数法．
2 [2026新海高级中学月考]已知直线y＝x＋m和曲线y＝有两个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－，) B. [－1，]
C. [1，) D. [1，]
过点M(3，1)的圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的切线长为________．
1. 圆的切线方程的两种求法：
(1) 代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k.
(2) 几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
2. 求过某点的圆的切线问题时，应先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．
(1) 若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条．
(2) 若点在圆外，则过该点的切线有两条．
注意：过圆内一点，不能作圆的切线．
3. 求过圆外定点的切线长，多利用定点、切点、圆心所在的直角三角形．
3 已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1) 求过点P的圆C的切线方程；
(2) 求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
1 在本例的条件下，过点M的两条直线与圆C分别相切于A，B两点，求：
(1) 四边形MACB的面积；
(2) 两切线MA，MB所成角∠AMB的余弦值；
(3) 直线AB的方程．
2 (多选)[2026如皋期初]在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝16，点M(－2，0)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若圆O上恰有3个点到直线x＋y＋b＝0的距离为2，则b＝±4
B. 直线x＋y＋b＝0与圆交于点A，B，若AB＝4，则b＝4
C. 点P在直线2x＋y＋10＝0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则点M到直线AB的距离的最大值为2
D. 过点M的直线与圆交于A，B，若MA＝2MB，则AB的长为3
[2023新课标Ⅰ卷·6]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α等于(　　)
A. 1 B. C. D.
题组二　与圆有关的弦长问题
4 已知直线ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为3，求实数a的值．
1 在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1－＝0被圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0截得的弦长为________．
2 [2026赣榆高级中学月考]已知直线l：(m－2)x＋y－4m＋5＝0，圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长MN的最小值为(　　)
A. 2 B. C. D. 2
3 若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且 ∠ACB＝90°，则实数a的值为________．
4 过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为2，则直线l的方程为______________________．
弦长的两种求法
1. 代数法：将直线和圆的方程联立组成方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式 Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
2. 几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
题组三　圆与圆的位置关系
5 已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为________．
1 若将本题条件中“外切”变为“内切”， 则 a2＋b2的最小值为________．
2 若将本题条件中“外切”变为“相交”，则公共弦所在直线的方程为_____________________．
6 [2025丰城九中月考]已知P是圆C：x2＋y2－6y＝0上一动点，若直线l：3x－4y－12＝0上存在两点A，B，使得∠APB＝能成立，则线段AB长度的最小值是(　　)
A. B. C. D.
1. 处理两圆位置关系多用圆心距与半径的和或差的关系判断，一般不采用代数法．
2. 若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
第八章　平面解析几何
8．4　直线与圆、圆与圆的位置关系
1. D　解析：将圆C的方程化为标准方程，得(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，则圆心到直线l的距离为＝＜2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．
2. B　解析：由题意，得切线l的斜率存在且不为0，设斜率为k，易知kOM＝－2.因为k·kOM＝－1，所以k＝，由点斜式，得l的方程为y＋2＝(x－1)，即x－2y－5＝0.
3. B　解析：设点P的坐标为(x，y).根据两点间距离公式，得PO2＋PA2＝x2＋y2＋x2＋(y－2)2＝34，整理，得x2＋(y－1)2＝16，故点P的轨迹是以Q(0，1)为圆心，r＝4为半径的圆．圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1的圆心为M(a，a－4)，半径R＝1.若圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1上存在点P满足条件，则两圆有公共点．因为两圆的圆心距d＝＝，且两圆有公共点，所以 |r－R|≤d≤r＋R，即|4－1|≤≤4＋1.对于3≤，两边平方，得9≤a2＋(a－5)2，展开整理，得a2－5a＋8≥0，Δ＝(－5)2－4×8＝－7<0，函数图象开口向上，所以a2－5a＋8≥0恒成立；对于≤5，两边平方，得a2＋(a－5)2≤25，展开整理，得a2－5a≤0，解得0≤a≤5.综上，实数a的取值范围是[0，5].
4. ＋1　解析：将圆化为标准方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，半径为1，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为＝，所以圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是＋1.
5. ±　解析：由圆x2＋y2＝4，得圆心(0，0)，半径为2，由题意知圆心(0，0)到直线l：y＝x＋b的距离等于1，恰好等于半径的一半，即＝1，解得|b|＝，解得b＝±.
例1　由题意，得不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，圆C的圆心为C(1，－1)，半径R＝2.
又PC＝<2＝R，所以点P(0，1)在圆C的内部，
即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
变式训练　由题意，得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－1＝kx，即kx－y＋1＝0，
则圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝<2，
解得k<0或k>，
故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，0)∪(，＋∞).
链接高考
1. B　解析：方法一：由题意，得圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝＝2，要使圆上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则|d－r|<1，即|2－r|<1，解得1方法二：设与直线y＝x＋2距离为1的平行直线的方程为y＝x＋c(c≠2).由＝1，得c＝0或c＝4，记l1：y＝x，l2：y＝x＋4，则圆与直线l1，l2共有两个交点．因为圆心(0，－2)位于直线l1下方，所以圆只能与直线l1相交且与直线l2相离，所以2. 2，－2，，－(其中任意一个皆可以)　解析：设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝.由d＝＝，得＝或＝，解得m＝±或m＝±2.
例2　C　解析：由y＝，得x2＋y2＝1(y≥0)，所以曲线y＝表示以原点为圆心，1为半径的半圆，图象如图所示，当直线y＝x＋m过点A(－1，0)时，m＝1，此时y＝x＋m与曲线y＝有两个不同的交点；当直线y＝x＋m与曲线y＝相切时，由＝1，解得m＝或m＝－(舍去)，由图可知，实数m的取值范围是[1，).
变式训练　1　解析：因为点M(3，1)到圆心(1，2)的距离为＝，所以过点M(3，1)的圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的切线长d＝＝1.
例3　(1) 由题意，得圆心C(1，2)，半径r＝2.
因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
所以点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，所以切线的斜率为－＝1，
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.
(2) 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
所以点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0，满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝2，
解得k＝，
所以切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上所述，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
因为MC＝＝ ，
所以过点M的圆C的切线长为＝＝1.
变式训练1　(1) S四边形MACB＝2S△MAC＝r·＝2.
(2) 因为sin ∠CMA＝，
所以cos ∠AMB＝1－2sin2∠CMA＝1－2×＝－.
(3)以MC为直径的圆的方程为(x－3)(x－1)＋(y－1)(y－2)＝0，即x2＋y2－4x－3y＋5＝0.
直线AB是两圆的公共弦，
则
由①－②，得直线AB的方程为2x－y－4＝0.
变式训练2　ACD　解析：因为圆O上恰有3个点到直线x＋y＋b＝0的距离为2，所以圆心O(0，0)到直线x＋y＋b＝0的距离为2，所以＝2，解得b＝4或b＝－4，故A正确；因为直线x＋y＋b＝0与圆交于点A，B，且AB＝4，所以圆心O(0，0)到直线x＋y＋b＝0的距离为＝2，所以＝2，解得b＝±4，故B错误；如图1，设点P(x0，y0)，则2x0＋y0＋10＝0，即y0＝－2x0－10(*).由切线的性质，得OA⊥AP，OB⊥BP，所以A，B，O，P四点共圆，OP为直径．以OP为直径的圆的方程为x(x－x0)＋y(y－y0)＝0，即x2＋y2＝x0x＋y0y.与圆O：x2＋y2＝16相减，得x0x＋y0y－16＝0，即两圆的公共弦AB所在直线的方程为x0x＋y0y－16＝0.将(*)代入可得x0x＋(－2x0－10)y－16＝0，即x0(x－2y)－(10y＋16)＝0.令解得即直线AB过定点N(－，－)，所以点M到直线AB的距离d的最大值为线段MN的长度，此时MN⊥AB，即dmax＝MN＝＝2，故C正确；如图2，设直线AB的参数方程为(t为参数)，将其代入圆O的方程，得(－2＋t cos θ)2＋(t sin θ)2＝16，化简，得t2－4t cos θ－12＝0.设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－12.因为MA＝2MB，所以t1＝－2t2，所以－2t2·t2＝－12，即t＝6，所以|t2|＝，所以AB＝|t1－t2|＝3|t2|＝3，故D正确．故选ACD.
图1 图2
链接高考
B　解析：方法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，所以圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B.因为PC＝＝2，所以PA＝＝，所以sin ∠APC＝＝，cos ∠APC＝＝，则sin ∠APB＝sin 2∠APC＝2sin ∠APC·cos ∠APC＝2××＝，cos ∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝－＝－<0，即∠APB为钝角，所以sinα＝sin (π－∠APB)＝sin ∠APB＝.
方法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得PC＝＝2，则PA＝PB＝＝.因为PA2＋PB2－2PA·PB cos ∠APB＝CA2＋CB2－2CA·CB cos ∠ACB且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos ∠APB＝5＋5－10cos (π－∠APB)，即3－3cos ∠APB＝5＋5cos ∠APB，解得cos ∠APB＝－<0，即∠APB为钝角，则cos α＝cos (π－∠APB)＝－cos ∠APB＝，且α为锐角，所以sin α＝＝.
方法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝0，则圆心到切线的距离d＝20.设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，所以|k1－k2|＝＝2，所以tanα＝＝，即＝，可得 cos α＝，所以sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1.又sinα>0，所以sin α＝.
例4　因为圆心到直线ax－y＋2－a＝0的距离为，
所以＋＝9，
解得a＝1或 a＝7.
变式训练1　2　解析：圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0的圆心为C(3，1)，半径r＝3，点C到直线x－y＋1－＝0的距离 d＝，所求弦长为l＝2＝2.
变式训练2　D　解析：由题意，得l：(x－4)m＋y－2x＋5＝0，令解得所以直线l过定点(4，3).又圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，即圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝9，所以(4－3)2＋(3－2)2＝2<9，即定点(4，3)在圆C内，且圆心为(3，2)，半径为3，所以定点(4，3)与圆心(3，2)的距离d＝，要使MN最小，即定点与圆心所在直线与l垂直，此时MN＝2×＝2.
变式训练3　1或7　解析：由题意，得圆心C(3，1)，半径r＝3且∠ACB＝90°，则圆心C到直线l：ax－y＋2－a＝0的距离为r，即＝，解得a＝1或a＝7.
变式训练4　x＝1或3x－4y＋5＝0　解析：当直线l的斜率不存在时，x＝1，符合条件；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，所以圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为，由＋＝9，解得 k＝，即直线l的方程为3x－4y＋5＝0.综上，所求直线l的方程为 x＝1或3x－4y＋5＝0.
例5　　解析：因为圆C1与圆C2外切，所以＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9.根据基本不等式，得ab≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故ab的最大值为.
变式训练1　　解析：因为圆C1与圆C2内切，所以＝1，即(a＋b)2＝1.又由基本不等式≥，可知a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故a2＋b2的最小值为.
变式训练2　(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0　解析：将圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0①，圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0②，由②－①，得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即所求公共弦所在直线的方程为(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0.
例6　A　解析：由圆C：x2＋y2－6y＝0，得圆心C(0，3)，半径r＝3.因为直线3x－4y－12＝0上存在两点A，B，使得∠APB＝能成立，则以AB为直径的圆与圆C有交点，当AB的长度最小时，两圆外切，且两圆圆心所在直线与l垂直，如图．因为圆心C(0，3)到直线3x－4y－12＝0的距离d＝＝，所以ABmin＝2×＝.

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