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8.5　椭　　圆
复习目标　掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质．
椭圆
活动一 基础引入
1 [2025广东一模]已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝120°，PF1＝3PF2，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
2 [苏教版选必一P86习题T8改编]设m为实数，若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．
3 [2025郑州三模]若直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>0，b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．
4 已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则PA＋PF的最大值为________，最小值为________．
5 [苏教版选必一P87习题T10改编]已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝1，圆F2：(x－1)2＋y2＝9.若动圆C与圆F1外切，且与圆F2内切，则动圆的圆心C的轨迹方程为________．
活动二 典例悟法
题组一　椭圆的定义及标准方程
1 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 经过P(－2，0)，Q(0，2)两点；
(2) 与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点(2，－).
1 将例1(1)中的两点坐标改为P(－2，1)，Q(，2)，求椭圆的标准方程．
2 将例1(2)条件中的“焦点”改成“焦距”，求椭圆的标准方程．
[2024新课标Ⅱ卷·5]已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从曲线C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，垂足为P′，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A. ＋＝1(y>0) B. ＋＝1(y>0)
C. ＋＝1(y>0) D. ＋＝1(y>0)
用待定系数法求椭圆方程的一般步骤
1. 作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上、在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能．
2. 设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
3. 找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组．
4. 得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
2 设P是椭圆＋＝1上的一点，它到椭圆左准线的距离为2.5，则它到椭圆左焦点的距离是________．
在例2的条件下，它到右焦点的距离为多少？
3 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
1 在例3中，若增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的标准方程．
2 在例3中，若将条件“⊥，△PF1F2的面积为9”改为“∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3”，结果如何？
1. 由椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形，称作焦点三角形．在焦点三角形中，常将以下三式联系起来：①S△PF1F2＝PF1·PF2·sin ∠F1PF2；②F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos ∠F1PF2；③PF1＋PF2＝2a.本例中将PF1·PF2作为一个整体来求减少了运算量，这种整体求解、整体代入的方法，值得领悟．
2. 一般结论：设P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，∠F1PF2＝θ，则S△PF1F2＝b2·tan .
题组二　椭圆的离心率问题
4 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上．若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．
1 在例4中，若将条件变为“点P到两焦点的距离之比为2∶1”，试求椭圆的离心率的取值范围．
2 若例4的条件变为“∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cos α＝，cos (α＋β)＝－”，则椭圆的离心率为________．
[2023新课标Ⅰ卷·5]设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，椭圆C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a的值为(　　)
A. B. C. D.
1. 求离心率的大小关键是要建立关于a，b，c之间的方程．
2. 椭圆的离心率范围问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1，焦半径r∈[a－c，a＋c]，…，在求椭圆离心率的范围时，要注意应用这些不等关系．
题组三　椭圆中的最值、范围问题
5 已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上的一个动点，求|＋|的最小值．
1 在本例条件下，求·的取值范围．
2 在本例条件下，求||·||的取值范围．
3 本例中给一定点A(0，2)，求PA的最大值．
4已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F1，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点，当△F1AB的周长最大时，△F1AB的面积为________.
6 椭圆＋＝1内有一点P(1，－1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，当MP＋2MF的值最小时，求点M的坐标．
1 本例中求MP－MF的最值．
2 本例中求MP＋MF的最值．
[2025全国一卷·18]设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，AB＝.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AR·AP＝3.
①设点P(m，n)，求点R的坐标(用m，n表示)；
②设O为坐标原点，Q是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求PQ的最大值．
8．5　椭　　圆
1. A　解析：因为PF1＝3PF2，所以由椭圆的定义可得PF1＋PF2＝4PF2＝2a，所以PF2＝，PF1＝.因为∠F1PF2＝120°，所以由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ∠F1PF2，所以4c2＝a2＋a2＋2×××，整理，得4c2＝，所以e2＝＝，即e＝.
2. 　解析：由题意，得2－m>m－1>0，解得13. 或　解析：直线x＋2y－2＝0与坐标轴的交点为(2，0)和(0，1).若(2，0)是椭圆的焦点，(0，1)是椭圆的顶点，则椭圆的焦点在x轴上，且c＝2，b＝1，则a＝，故离心率e＝＝＝；若(0，1)是椭圆的焦点，(2，0)是椭圆的顶点，则椭圆的焦点在y轴上，且c＝1，a＝2，则b＝，故离心率e＝＝＝.综上，椭圆的离心率为或.
4. 6＋　6－　解析：椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，所以AF1＝，所以PA＋PF＝PA－PF1＋6.又－AF1≤PA－PF1≤AF1(当点P，A，F1共线时，等号成立)，所以PA＋PF的最大值为6＋，最小值为6－.
5. ＋＝1(x≠－2)　解析：设动圆C的半径为R.因为圆F1在圆F2内，所以动圆C只能在圆F2内与圆F2内切，不能是圆F2在动圆C内，即R<3.由动圆C与圆F1外切，得CF1＝1＋R；由动圆C与圆F2内切，得CF2＝3－R，所以CF1＋CF2＝4＞F1F2，即圆心C到圆心F1和圆心C到圆心F2的距离之和为定值．故圆心C的轨迹是以点F1，F2为焦点的椭圆(去掉左顶点).因为线段F1F2的中点为原点，所以椭圆的中心在原点，则2a＝4，a＝2，2c＝F1F2＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以动圆的圆心C的轨迹方程为＋＝1(x≠－2).
例1　(1) 由题意，得P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以a＝2，b＝2，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
则F1(－1，0)，F2(1，0)，
所以所求椭圆的焦点在x轴上．
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得
解得或(舍去)，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
变式训练1　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
因为点P(－2，1)，Q(，2)在椭圆上，
所以解得
故椭圆的标准方程为＋＝1.
变式训练2　若焦点在x轴上，由例题知，椭圆的标准方程为＋＝1；
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(m>n>0)，则
解得或(舍去)，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
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A　解析：设点M(x0，y0)(y0>0)，则点P′(x0，0)，P(x0，2y0).又点P在圆x2＋y2＝16(y>0)上，所以x＋4y＝16(y0>0)，整理，得点M的轨迹方程为＋＝1(y>0).
例2　2　解析：设点P到左焦点的距离为d.由题意，得a＝5，b＝3，c＝4，所以e＝＝＝，则d＝2.
变式训练　由例2知，点P到左焦点的距离为2，则点P到右焦点的距离为2a－2＝10－2＝8.
例3　3　解析：设PF1＝r1，PF2＝r2，则所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2.因为⊥，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
变式训练1　由例3，得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，所以a＝5，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
变式训练2　由题意，得PF1＋PF2＝2a.
因为∠F1PF2＝60°，
所以PF＋PF－2PF1·PF2cos 60°＝F1F，
即(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝4c2，
所以3PF1·PF2＝4a2－4c2＝4b2，
所以PF1·PF2＝b2.
因为S△PF1F2＝PF1·PF2·sin 60°＝×b2×＝b2＝3，
所以b＝3.
例4　　解析：如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以PF1＝2PF2.由勾股定理，得F1F2＝＝PF2.由椭圆的定义，得2a＝PF1＋PF2＝3PF2，则a＝.又2c＝F1F2＝PF2，则c＝，所以e＝＝·＝.
变式训练1　设点P到两个焦点的距离分别是2k，k.
根据椭圆的定义，得3k＝2a.
又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，
所以2a≤6c，即e≥.
又因为0＜e＜1，所以≤e＜1，
故椭圆的离心率的取值范围为.
变式训练2　　解析：因为α，β是△PF1F2的内角，所以0<α<π，0<α＋β<π.由cos α＝，得sin α＝.由cos (α＋β)＝－，得sin (α＋β)＝，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝.设PF1＝r1，PF2＝r2.由正弦定理，得＝＝，所以＝，所以e＝＝.
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A　解析：由题意，得e1＝，e2＝.因为e2＝e1，所以＝·，解得a＝.
例5　设点P(x0，y0)，由题意，得F1(－，0)，F2(，0)，
则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，
所以＋＝(－2x0，－2y0)，
所以|＋|＝＝2＝2.
因为点P在椭圆上，所以0≤y≤1，
所以当y＝1时，|＋|取得最小值2.
变式训练1　设点P(x0，y0)，
则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，
所以·＝(－－x0)(－x0)＋y＝x＋y－3＝x＋－3＝x－2.
因为点P在椭圆上，所以0≤x≤4，
所以－2≤·≤1，
故·的取值范围是[－2，1].
变式训练2　因为点P在椭圆上，
所以||＋||＝2a＝4，即||＝4－||，
所以||·||＝||·(4－||)＝－(||－2)2＋4.
由椭圆的几何性质知，a－c≤||≤a＋c，
即2－≤||≤2＋，
所以1≤||·||≤4，
故||·||的取值范围是[1，4].
变式训练3　设点P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，
所以PA2＝x＋(y0－2)2.
又＋y＝1，
所以PA2＝4(1－y)＋(y0－2)2＝－3y－4y0＋8＝－3＋.
因为－1≤y0≤1，
所以当y0＝－时，(PA2)max＝，
即PAmax＝.
变式训练4　　解析：设F2为椭圆的右焦点，连接AF2，BF2，则AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a，所以四边形F1A F2B的周长为AF1 ＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝8.又因为AF2＋BF2≥AB，所以8＝4a ＝AF2＋AF1 ＋BF2＋BF1＝AF1 ＋BF1＋(AF2＋BF2) ≥AF1 ＋BF1＋AB，即△F1A B的周长L＝ AF1 ＋BF1＋AB≤8，当且仅当直线x＝m过右焦点F2(，0)时，△F1AB的周长最大，此时△F1AB的面积S＝×2c×＝×2×1＝.
例6　由题意，得a2＝4，b2＝3，
所以c＝＝1，
所以椭圆的离心率e＝＝，右准线方程为x＝＝4.
如图，作出椭圆的右准线l，过点M作MN⊥l于点N，
则＝e＝，
所以2MF＝MN，
所以MP＋2MF＝MP＋MN.
要求MP＋2MF的最小值，即求MP＋MN的最小值．
过点P(1，－1)作PN0⊥l于点N0，交椭圆于点M0，则当动点M 与点M0重合时，MP＋2MF取得最小值．
设M0(x0，－1)，代入椭圆方程，得x0＝(负值舍去)，
所以当MP＋2MF的值最小时，点M的坐标为.
变式训练1　因为PF＝1，－PF≤MP－MF≤PF，
所以(MP－MF)max＝1，(MP－MF)min＝－1.
变式训练2　设左焦点为F′，连接MF′，
则MF＋MP＝2a－MF′＋MP，F′(－1，0).
因为－PF′≤MP－MF′≤PF′，PF′＝，
所以(MF＋MP)max＝2a＋PF′＝4＋，
(MF＋MP)min＝2a－PF′＝4－.
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(1) 由题意，得A(0，－b)，B(a，0)，
所以解得a2＝9，b2＝1，c2＝8，
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2) ①设点R(x0，y0)，易知m≠0.
方法一：因为kAP＝，所以＝，且mx0>0.
因为点A(0，－1)，AR·AP＝3，
所以·＝3，
即x0m＝3，解得x0＝，
所以y0＝，
所以点R的坐标为.
方法二：设＝λ，λ>0，
则AR·AP＝3，即λ[m2＋(n＋1)2]＝3，所以λ＝，
＝λ＝λ(m，n＋1)＝，
故点R的坐标为.
②因为kOR＝＝，kOP＝，kOR＝3kOP，
所以＝，化简，得m2＋n2＋8n－2＝0，
即m2＋(n＋4)2＝18(m≠0)，
所以点P在以N(0，－4)为圆心，3为半径的圆上(除去两个点)，
PQmax为点Q到圆心N的距离加上半径．
方法一：设点Q(3cos θ，sin θ)，
所以QN2＝(3cos θ)2＋(sin θ＋4)2
＝9cos 2θ＋sin 2θ＋8sin θ＋16
＝8cos 2θ＋1＋8sin θ＋16
＝8(1－sin 2θ)＋8sin θ＋17
＝－8sin 2θ＋8sin θ＋25
＝－8＋27≤27，当且仅当sin θ＝时，等号成立，
所以PQmax＝＋3＝3(＋).
方法二：设点Q(xQ，yQ)，则＋y＝1，
所以QN2＝x＋(yQ＋4)2
＝9－9y＋y＋8yQ＋16
＝－8y＋8yQ＋25
＝－8＋27≤27，当且仅当yQ＝时，等号成立，
故PQmax＝＋3＝3(＋).8.5　椭　　圆
一、 单选题
1 [2025郴州三模]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上．若PF1＋PF2＝4，椭圆C的离心率为，则椭圆C的焦距为(　　)
A. 1 B. 2
C. D. 2
2 [2025如皋中学月考]已知椭圆C：＋y2＝1(a>0)，则“a＝”是“椭圆C的离心率为”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 [2025湘潭三模]已知椭圆C：＋y2＝1(m>0)的离心率为m，则椭圆C的短轴长为(　　)
A. B. 1 C. 2 D. 3
4 已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，P为椭圆C上的一点，Q为圆M：x2＋(y－3)2＝1上的一点，则PQ＋PF的最大值为(　　)
A. 3 B. 6
C. 4＋2 D. 5＋2
二、 多选题
5 已知椭圆C：＋＝1的焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆C的焦距为2
B. 椭圆C的离心率为
C. △F1PF2的周长为3＋
D. △F1PF2面积的最大值为2
6 [2025湖北八市3月联考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为B，A，O为坐标原点，M为线段AO上一点，直线F1M垂直平分线段AF2且交椭圆C于P，Q两点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆C的离心率为
B. △APQ的周长为4a
C. 以M为圆心，MB为半径的圆与椭圆C恰有三个公共点
D. 若直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，则k1＝2k2
7 [2025徐州一中月考]加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(如图).已知长方形R的四条边均与椭圆C：＋＝1相切，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆C的离心率为e＝
B. 椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝6
C. 椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝9
D. 长方形R的面积的最大值为18
三、 填空题
8 中心在坐标原点，焦点在x轴上，且焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为________．
9 [2025衢州二模]已知斜率大于零的直线l交椭圆Γ：＋y2＝1于A，B两点，交x轴，y轴于C，D两点，且C，D是线段AB的三等分点，则直线l的斜率为________．
10 [2025天津耀华中学期中]历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图1，从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l′表示与椭圆的切线l垂直，且过相应切点的直线．如图2，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，由点F1发出的光经椭圆两次反射后回到点F1经过的路程为8c.利用椭圆的光学性质解决下列问题：
图1 图2
(1) 椭圆C的离心率为________；
(2) 已知P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l，点F2在直线l上的射影H在圆x2＋y2＝8上，则椭圆C的标准方程为________．
四、 解答题
11 [2025池州二模]已知椭圆C的长轴长是短轴长的倍，且左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0).
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 已知O为坐标原点，点P在椭圆C上，点Q满足＝2，求OQ的最小值，并指出此时点Q的坐标．
12 [2025莆田二模]已知椭圆E1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(0，1)在椭圆E1上．
(1) 求椭圆E1的标准方程；
(2) 设椭圆E2：＋y2＝m(m>1).若过点P的直线l交椭圆E1于另一点Q，直线l交椭圆E2于A，B两点，且点A在x轴上方．
①求证：AP＝BQ；
②已知O为坐标原点，C为椭圆E2的右顶点．设点A在第一象限内，＝2，是否存在实数m使得△OBP的面积与△CPA的面积相等？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
8．5　椭　　圆
1. B　解析：由题意，得解得a＝2，c＝1，故椭圆C的焦距2c＝2.
2. A　解析：当a>1时，c＝，离心率e＝＝，解得a＝；当03. B　解析：由题意，得04. D　解析：圆M：x2＋(y－3)2＝1的圆心为M(0，3)，半径为r＝1，设椭圆的左焦点为F1，如图，由椭圆的定义知，PF＋PF1＝2a＝4，所以PF＝4－PF1，所以PQ＋PF≤PM＋1＋PF＝5＋PM－PF1≤5＋MF1，当且仅当P，F1，M，Q四点依次在一条直线上时，等号成立．又M(0，3)，F1(－，0)，所以MF1＝2，所以(PQ＋PF)max＝5＋2.
5. ABD　解析：设椭圆C：＋＝1的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则a2＝9，b2＝4，c2＝9－4＝5，故a＝3，b＝2，c＝，所以椭圆C的焦距为2，故A正确；由A知椭圆C的离心率为＝，故B正确；△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝6＋2，故C错误；对于D，当点P位于椭圆的上、下顶点时，△F1PF2的面积最大，最大值为×2×2＝2，故D正确．故选ABD.
6. ABD　解析：对于A，如图，由题意，得AF1＝F1F2，即a＝2c，则e＝，故A正确；对于B，由题意，得AP＝F2P，AQ＝F2Q，即△APQ与△F2PQ的周长相等．又QF1＋QF2＝2a，PF1＋PF2＝2a，所以△F2PQ的周长为4a，即△APQ的周长为4a，故B正确；对于C，因为a＝2c，所以b＝c.由MF2＝MA，得OM2＋OF＝(OA－OM)2，即OM2＋c2＝(b－OM)2，解得OM＝，则点M.设V(x，y)为椭圆上的任意一点，则MV2＝＋y2＝＋a2(1－)＝－(x＋b)2＋(x∈[－b，b])，当且仅当x＝－b时，MV2＝，则MVmax＝，所以MV≤MB＝，所以以M为圆心，MB为半径的圆与椭圆C恰有一个公共点，故C错误；对于D，设直线AQ的斜率为k3.易知k2k3＝·＝＝＝－.因为直线AP的方程为y＝k1(x－b)，直线AQ的方程为y＝k3(x－b)，所以点P，Q的坐标满足方程[y－k1(x－b)][y－k3(x－b)]＝0，即y2＋k1k3(x－b)2－(k1＋k3)(x－b)y＝0①.又点P，Q在椭圆上，所以点P，Q的坐标满足＋＝1，即y2＝－(x2－b2)②，将②代入①，得－(x2－b2)＋k1k3(x－b)2－(k1＋k3)(x－b)y＝0.因为x≠b，所以－(x＋b)＋k1k3(x－b)－(k1＋k3)y＝0，即为直线PQ的方程，将点M代入，得k1k3＝－＝2k2k3.又k3≠0，所以k1＝2k2，故D正确．故选ABD.
7. ACD　解析：因为椭圆的方程为＋＝1，所以e＝＝＝，故A正确；因为长方形R的四条边均与椭圆C相切，所以点(，)在蒙日圆上，所以r2＝()2＋()2＝9，所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝9，故B错误，C正确；设长方形R的长、宽分别为m，n，则m2＋n2＝(2r)2＝62＝36，所以长方形R的面积S＝mn≤(m2＋n2)＝18，当且仅当m＝n＝3时，等号成立，故D正确．故选ACD.
8. ＋＝1　解析：由焦点在x轴上，且焦距是8，得c＝4.因为离心率为，所以＝，解得a＝5，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
9. 　解析：设直线AB的方程为y＝kx＋b，k>0.若b＝0，则点C，D均与原点重合，所以CD＝0，AB≠0，不符合要求，所以b≠0.联立消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－4＝0.由Δ＝64k2b2－4(1＋4k2)(4b2－4)>0，得4k2－b2＋1>0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，故＝－.在y＝kx＋b中，令x＝0，得y＝b，故D(0，b).令y＝0，得x＝－，故C，所以CD的中点坐标为.因为C，D是线段AB的三等分点，所以线段CD的中点为线段AB的中点，故－＝－，解得k＝(负值舍去).
10. (1) 　解析：设椭圆C的长轴长为2a(a>0)，则由点F1发出的光经椭圆两次反射后回到点F1，经过的路程为2a＋2a＝4a＝8c，所以e＝.
(2) ＋＝1　解析：如图，延长F2H，F1P交于点F0.在△PF2F0中，PH⊥F0F2，由反射角等于入射角，得∠F2PH＝∠F0PH，则PF2＝PF0，所以H为F2F0的中点，所以在△F1F2F0中，OH＝F1F0＝(PF1＋PF0)＝(PF1＋PF2).因为OH＝2，所以PF1＋PF2＝4＝2a，所以a＝2，c＝，b2＝a2－c2＝8－2＝6，故椭圆C的标准方程为＋＝1.
11. (1) 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，则2a＝2b，c＝3，
所以解得a2＝18，b2＝9，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 方法一：设Q(x，y)，P(x0，y0)，
则＝(3－x，－y)，＝(x－x0，y－y0).
由＝2，得解得
又＋＝1，所以＋＝1，
整理，得(x－1)2＋2y2＝8，
所以y2＝4－(x－1)2.
由y2≥0，得(x－1)2≤4，解得1－2≤x≤1＋2，
则OQ＝＝＝≥，当且仅当x＝－1时，等号成立，
此时y2＝2，即y＝±，
所以OQ的最小值为，此时点Q的坐标为(－1，)或(－1，－).
方法二：设Q(x，y)，P(x0，y0)，
则＝(3－x，－y)，＝(x－x0，y－y0).
由＝2，得解得
由＋＝1，得＝1－≥0，解得－3≤x0≤3，
则OQ＝＝＝≥， 当且仅当x0＝－3时，等号成立，
此时x＝－1，y＝±，
所以OQ的最小值为，此时点Q的坐标为(－1，)或(－1，－).
12. (1) 由题意，得b＝1.
因为a2＝b2＋c2＝1＋c2，e＝＝，
所以a＝2，
所以椭圆E1的标准方程为＋y2＝1.
(2) ①要证AP＝BQ，只需证明弦AB的中点与弦PQ的中点重合．
当直线l垂直于x轴时，弦AB，PQ的中点都是坐标原点O，即它们的中点重合，此时AP＝BQ；
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，A(xA，yA)，B(xB，yB).
联立消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋8kx＋4－4m＝0，
则xA＋xB＝，
所以弦AB中点的横坐标为＝，
同理可得xP＋xQ＝，
所以弦PQ中点的横坐标为＝，
所以弦PQ的中点与弦AB的中点重合，此时AP＝BQ.
综上所述，AP＝BQ.
②因为＝2，所以－xB＝2xA.
又点A在第一象限内，所以k>0.
由①知，xA＋xB＝，所以
又xAxB＝，所以·＝，
化简，得m＝.①
设点O到直线l的距离为dO，点C到直线l的距离为dC.
假设△OBP的面积与△CPA的面积相等，
则BP·dO＝PA·dC.
因为＝2，所以||＝2||，所以2dO＝dC.
因为C(2，0)，所以dC＝＝.
又dO＝＝，所以k＝.②
由①②，解得经检验符合题意，
所以m的值为3.(共52张PPT)
第八章
8.5　椭圆
平面解析几何
复习目标　掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2025广东一模]已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝120°，PF1＝3PF2，则椭圆C的离心率为 (　　)
A
4 已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则PA＋PF的最大值为________，最小值为________．
5 [苏教版选必一P87习题T10改编]已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝1，圆F2：(x－1)2＋y2＝9.若动圆C与圆F1外切，且与圆F2内切，则动圆的圆心
C的轨迹方程为______________________．
【解析】设动圆C的半径为R.因为圆F1在圆F2内，所以动圆C只能在圆F2内与圆F2内切，不能是圆F2在动圆C内，即R<3.由动圆C与圆F1外切，得CF1＝1＋R；由动圆C与圆F2内切，得CF2＝3－R，所以CF1＋CF2＝4>F1F2，即圆心C到圆心F1和圆心C到圆心F2的距离之和为定值．故圆心C的轨迹是以点F1，F2为焦点的椭圆(去掉左顶点).
活动二　典例悟法
1
　　　　　　2 将例1(2)条件中的“焦点”改成“焦距”，求椭圆的标准方程．
[2024新课标Ⅱ卷·5]已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从曲线C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，垂足为P′，则线段PP′的中点M的轨迹方程为
(　　)
A
　　　　1 如何求椭圆的方程？
2
2
在例2的条件下，它到右焦点的距离为多少？
【解析】由例2知，点P到左焦点的距离为2，则点P到右焦点的距离为2a－2＝10－2＝8.
3
3
　　　　　　1 在例3中，若增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的标准方程．
　　　　　2 如何解决焦点三角形的面积问题？
4
　　　　　　1 在例4中，若将条件变为“点P到两焦点的距离之比为2∶1”，试求椭圆的离心率的取值范围．
A
　　　　3 如何求解椭圆的离心率？
1．求离心率的大小关键是要建立关于a，b，c之间的方程．
2．椭圆的离心率范围问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，05
　　　　　　3 本例中给一定点A(0，2)，求PA的最大值．
6
　　　　　　1 本例中求MP－MF的最值．
【解析】因为PF＝1，－PF≤MP－MF≤PF，
所以(MP－MF)max＝1，(MP－MF)min＝－1.
　　　　　　2 本例中求MP＋MF的最值．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AR·AP＝3.
①设点P(m，n)，求点R的坐标(用m，n表示)；
②设O为坐标原点，Q是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求PQ的最大值．
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