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8.6　双　曲　线
一、 单选题
1 [2025潍坊一模]若双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的焦距是其实轴长的2倍，则双曲线E的渐近线方程为(　　)
A. y＝±x B. y＝±x
C. y＝±x D. y＝±x
2 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其渐近线方程为y＝±2x，P是双曲线C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为4，则双曲线C的焦距为(　　)
A. B. 2
C. 2 D. 4
3 [2025长春二模]已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过双曲线的左焦点F1作一条渐近线的垂线，垂足为H，线段HF2的中点在另外一条渐近线上，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. 2 D. 2
4 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，且PF1＝4PF2，双曲线C的一条渐近线方程为y＝kx，则k的最小值为(　　)
A. B. －
C. D. －
二、 多选题
5 已知双曲线x2－＝1的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA＝2，则PF的长度可能为(　　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
6 [2025安阳二模]已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，斜率为且过点F2 的直线交双曲线C的右支于A，B两点，点A在第一象限，且AF1＝AB，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点F1到双曲线C的渐近线的距离为
B. AB＝10
C. 双曲线C的离心率为2
D. 分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦长为
7 [2025莆田二模]已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线交双曲线C于A，B两点，则下列结论中正确的是(　　)
A. F1(－4，0)
B. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C. AB的最小值为4
D. △AF1F2内切圆的圆心在直线x＝±2上
三、 填空题
8 [2025通州高级中学、泗洪中学期中联考]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，直线y＝3与双曲线C交于A，B两点且AB＝2，则双曲线C的标准方程为________．
9 [2025安阳三模]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离为a，则双曲线C的离心率为________．
10 [2025石家庄一模]已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为－2的直线与双曲线交于A，B两点，其中点A在x轴上方，设△AF1F2与△BF1F2的面积分别为S1，S2，则＝________．
四、 解答题
11 [2025南京一调]已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，F1F2＝2，点T(2，)在双曲线C上．
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 设直线l过点D(1，0)，且与双曲线C交于A，B两点．若＝3，求△F1F2A的面积．
12 [2025苏锡常镇一模]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点A到其渐近线的距离为，点B(2，1)在双曲线C的渐近线上，过点B的直线l与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 若△APQ的面积为，求直线l的方程．
8．6　双　曲　线
1. B　解析：由题意，得2c＝2×2a，所以＝＝2，则＝，所以双曲线E的渐近线方程为y＝±x.
2. C　解析：由题意，得＝2.又PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为4，所以解得a2＝1，b2＝4，则c2＝a2＋b2＝5，即双曲线C的焦距为2c＝2.
3. A　解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝.如图，记HF2的中点为P.由F1O＝F2O，得OP∥F1H，所以两条渐近线相互垂直，则－·＝－1，可得b2＝a2，所以c＝＝a，所以e＝.
4. B　解析：因为PF1＝4PF2，且PF1－PF2＝2a，所以PF1＝a，PF2＝a.因为PF1＋PF2≥F1F2，所以a＋a≥2c，即15. AB　解析：设P(x，y)，则y2＝3(x2－1).由题意，得A(1，0)，F(2，0)，所以PA＝＝2，解得x＝－1或x＝.当x＝－1时，P(－1，0)，此时PF＝3；当x＝时，y2＝，此时PF＝＝2.故选AB.
6. ACD　解析：由题意，得双曲线C的实半轴长a＝1.因为kAB＝，所以sin ∠BF2F1＝，cos ∠BF2F1＝.又AF1＝AB，所以BF2＝AB－AF2＝AF1－AF2＝2a＝2，BF1＝2a＋BF2＝4a＝4.在△BF1F2中，由余弦定理，得BF＝F1F＋BF－2F1F2·BF2·cos ∠BF2F1，即16＝F1F＋4－2×2F1F2×，解得F1F2＝4或F1F2＝－3(舍去)，则2c＝F1F2＝4，解得c＝2，所以b＝＝，即点F1到双曲线C的渐近线的距离等于，故A正确；易得双曲线C的离心率为e＝＝2，故C正确；在△AF1F2中，由余弦定理，得AF＝F1F＋AF－2F1F2·AF2cos ∠AF2F1，则(AF2＋2)2＝42＋AF－2×4×AF2×，解得AF2＝6，所以AB＝AF2＋2＝8≠10，故B错误；如图，过点F1作F1E⊥AB于点E.因为∠BEF1＝∠F1EF2＝，所以点E在以BF1，F1F2为直径的圆上，所以以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦为F1E.又BF1＝4＝F1F2，所以F1E＝＝，故D正确．故选ACD.
7. ACD　解析：在双曲线C：－＝1中，a2＝4，b2＝12，所以c2＝a2＋b2＝16，所以c＝4，所以双曲线C的左焦点为 F1(－4，0)，渐近线方程为y＝±x＝±x，故A正确，B错误；双曲线C：－＝1，F2(4，0)，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝4，此时A(4，6)，B(4，－6)，所以AB＝12；当直线AB的斜率为k，且k<－或k>时，设直线AB的方程为y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立消去y并整理，得(3－k2)x2＋8k2x－16k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以AB＝·＝·＝12＝12＝12.又k<－或k>，所以|1＋|>1，则AB>12；当直线AB的斜率为k，且－≤k≤时，过点F2的直线交双曲线C于A，B两点，左、右支各有一个交点，所以AB≥2a＝4，且当直线AB的斜率为0时，AB取得最小值4，故C正确；设圆M分别与AF1，AF2，F1F2相切于点C，D，G，则AC＝AD，CF1＝GF1，GF2＝DF2.若点A在双曲线的右支上，则AF1－AF2＝2a＝4，所以AF1－AF2＝CF1－DF2＝4.令点G的横坐标为x1，则(x1＋c)－(c－x1)＝2x1＝4，解得x1＝2，所以G为双曲线E的右顶点，即△AF1F2的内切圆圆心M在定直线x＝2上，同理，若点A在双曲线的左支上，则△AF1F2的内切圆圆心M在定直线x＝－2上，故D正确．故选ACD.
8. x2－＝1　解析：由双曲线的对称性知A(±，3)，则解得故双曲线C的标准方程为x2－＝1.
9. 2　解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离为b，则b＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝2.
10. 　解析：由题意，得F1(－3，0)，F2(3，0)，则直线AB：y＝－2(x－3)，即x＝3－，将其代入双曲线的方程中，得y2＋6y－96＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝2，y2＝－8，所以＝－＝.
11. (1) 方法一：由题意，得c＝，F1(－，0)，F2(，0).
因为点T在双曲线C上，所以TF1－TF2＝2a，
即2a＝－＝4，解得a＝2，
所以b2＝c2－a2＝2，
所以双曲线C的标准方程为－＝1.
方法二：因为F1F2＝2，所以c＝，
所以a2＋b2＝6.①
由点T在双曲线C上，得－＝1.②
联立①②，解得a2＝4，b2＝2，
所以双曲线C的标准方程为－＝1.
(2) 方法一：设B(x0，y0)，则＝(x0－1，y0).
因为＝3，
所以＝(3x0－3，3y0)，
所以点A的坐标为(3x0－2，3y0).
因为点A，B在双曲线C上，所以
解得x0＝3，y0＝±，所以点A的坐标为，
所以S△F1F2A＝|yA|·F1F2＝××2＝3.
方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由题意，得直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为x＝ty＋1.
联立消去x并整理，得(t2－2)y2＋2ty－3＝0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－.
因为＝3，所以y1＝3y2，
则有4y2＝－，3y＝－，
整理，得＝×，解得t2＝，
所以|y1|＝|3y2|＝＝＝，
所以S△F1F2A＝|y1|·F1F2＝××2＝3.
12. (1) 因为双曲线C的一条渐近线方程为bx－ay＝0，且A(a，0)，
所以点A到渐近线的距离为d＝＝.
又点B(2，1)在双曲线C的渐近线上，所以2b－a＝0，
所以a＝2，b＝1，
所以双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2) 方法一：如图，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1.
联立消去y并整理，得(1－4k2)x2－(8k－16k2)x－16k2＋16k－8＝0，
则有1－4k2≠0，Δ＝(8k－16k2)2－4(1－4k2)(－16k2＋16k－8)＝32－64k>0，解得k<且k≠－.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|x2－x1|＝＝，
所以S△APQ＝AB·|x2－x1|＝×1×＝.
又k<，且k≠－，所以1－2k>0，
所以×＝＝，
则(k＋1)(4k2－2k＋1)＝0，解得k＝－1.
故直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线AP的方程为y＝(x－2)，
即y1x－(x1－2)y－2y1＝0，
所以点Q到直线AP的距离为d＝＝.
又AP＝，
则S△APQ＝AP·d＝|(x2－2)y1－(x1－2)y2|.
由P，B，Q三点共线，得kPB＝kBQ，即＝，
即(x2－2)y1－(x1－2)y2＝x2－x1，
所以S△APQ＝|x2－x1|＝，则|x2－x1|＝.
同方法一，得|x2－x1|＝＝，
则＝，即(k＋1)(4k2－2k＋1)＝0，
解得k＝－1.
故直线l的方程为x＋y－3＝0.8.6　双　曲　线
复习目标　1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2. 掌握双曲线简单的几何性质．
双曲线
活动一 基础引入
1 [2025深圳一模]已知双曲线E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，两条渐近线的夹角为60°，且点(1，1)在双曲线E上，则双曲线E的离心率为(　　)
A. B.
C. 2 D. 或2
2 [2025湖北月考]已知O为坐标原点，F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，M为双曲线C上一点，MF⊥x轴，过点A1的直线分别交y轴和线段MF于H，N两点，直线A2N交y轴于点G，且2＋＝0，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A. y＝±x B. y＝±2x
C. y＝±x D. y＝±x
3 (多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且其右顶点为A(2，0)，左、右焦点分别为F1，F2，点P 在双曲线C上，则下列结论中正确的是(　　)
A. 双曲线C的方程为－＝1
B. 点A到双曲线C的渐近线的距离为
C. 若PF1＝6，则PF2＝2
D. 若·＝0，则△PF1A的外接圆半径为
4 [苏教版选必一P100习题T6改编]已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点，则双曲线的方程为________．
5 [苏教版选必一P101习题T8改编]设k为实数，若方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围为________．
活动二 典例悟法
题组一　双曲线的定义及标准方程
1 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1) 虚轴长为12，离心率为；
(2) 焦距为26，且经过点M(0，12)；
(3) 经过点P(－3，2)和点Q(－6，－7)；
(4) 焦点在x轴上，焦距为10，与双曲线－x2＝1有相同的渐近线．
求双曲线标准方程的两种方法
1. 待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设双曲线的方程为－＝λ(λ≠0).
2. 定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由焦点位置确定c的值．
注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)来求解，如例1(3).
2 [2025蚌埠二模]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且BF2＝3AF2，求的值．
3 已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在双曲线C上，且PF1＝2PF2，则cos ∠F1PF2＝________．
本例中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
[2024天津卷·8]双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.若△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
1. 在焦点三角形中常利用余弦定理，结合双曲线的定义式|PF1－PF2|＝2a，建立PF1·PF2的联系．
2. 一般性结论：若∠F1PF2＝θ，则△PF1F2的面积S＝PF1·PF2·sin θ＝b2·＝.
题组二　双曲线的离心率问题
4 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且双曲线C上的点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为________．
1 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则双曲线的离心率e的最大值为________．
2 已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．
1 [2024新课标Ⅰ卷·12]设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作平行于y轴的直线交双曲线C于A，B两点，若F1A＝13，AB＝10，则双曲线C的离心率为________．
2 [2025全国二卷·11]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2.以F1F2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. ∠A1MA2＝
B. MA1＝2MA2
C. 双曲线C的离心率为
D. 当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)，注意数形结合思想在求离心率过程中的应用．
题组三　双曲线中的最值、范围问题
5 [2025苏州期初]在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线C：x2－y2＝1右支上的两点，若线段AB＝6，则线段AB中点横坐标的最小值为(　　)
A. 2 B. C. D.
8．6　双　曲　线
1. C　解析：因为双曲线E的两条渐近线的夹角为60°，焦点在x轴上，且点(1，1)在双曲线E上，所以双曲线E的渐近线方程为y＝±x，则＝，故双曲线E的离心率e＝＝＝2.
2. B　解析：方法一：如图，设OH＝m.由＋2＝0，得OG＝2m.由△OGA2∽△FNA2，得＝，即＝，则＝.又△A1OH∽△A1FN，所以＝，即＝，所以＝，即2(c－a)＝a＋c，得c＝3a，所以b2＝8a2，即＝2，故双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
方法二：易得点M.设直线A1N的方程为y＝k(x＋a)，令x＝0，得点H(0，ka)；令x＝c，得点N(c，k(a＋c))，则直线A2N的方程为y＝(x－a)，令x＝0，得点G.由 2＋＝0，得2ka＋＝0，化简，得c＝3a，所以b2＝8a2，即＝2，故双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
3. ABD　解析：由离心率为，右顶点为A(2，0)，得a＝2，c＝3，所以b＝，故双曲线C的方程为－＝1，故A正确；双曲线的渐近线为y＝±x，故点A到双曲线C的渐近线的距离为＝，故B正确；由双曲线的定义知，|PF1－PF2|＝2a，若PF1＝6，则PF2＝2或PF2＝10，故C错误；若·＝0，则PF1⊥PA，则△PF1A的外接圆半径为＝＝，故D正确．故选ABD.
4. －＝1　解析：因为椭圆4x2＋9y2＝36，即＋＝1，所以椭圆的焦点为F1(－，0)，F2(，0).由双曲线过点(3，－2)，且与椭圆有相同的焦点，得c＝.根据双曲线的定义，得2a＝|－|＝2，则a＝，故b＝＝，所以双曲线方程为－＝1.
5. (－∞，1)∪(2，＋∞)　解析：若方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则2－k>0，且k－1<0，解得k<1；若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则2－k<0，且k－1>0，解得k>2.综上所述，k的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞).
例1　(1) 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0).
由题意，得2b＝12，e＝＝，
所以b＝6，c＝10，a＝8，
所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2) 因为双曲线经过点M(0，12)，
所以双曲线的焦点在y轴上．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则a＝12.
又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3) 设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，
则解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(4) 由题意，得2c＝10，则c＝5.
设双曲线的方程为－x2＝－λ(λ>0)，
即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
例2　如图，因为直线AB的斜率为，
所以tan ∠AF2F1＝，
所以cos ∠AF2F1＝，cos ∠BF2F1＝－.
设AF2＝m，则BF2＝3m.
又BF1－BF2＝2a，AF1－AF2＝2a，
所以BF1＝2a＋3m，AF1＝2a＋m.
在△BF1F2中，由余弦定理，得BF＝BF＋F1F－2BF2·F1F2cos ∠BF2F1，
即(2a＋3m)2＝(3m)2＋(2c)2－2×3m×2c×，
整理，得－4b2＋12am＝3mc.
在△AF1F2中，由余弦定理，得AF＝AF＋F1F－2AF2·F1F2cos ∠AF2F1，
即(2a＋m)2＝m2＋(2c)2－2×m×2c×，
整理，得－4b2＋4am＝－mc，
所以8am＝4mc，即c＝a，
所以b＝a，m＝a，
所以＝＝.
例3　　解析：由题意，结合双曲线的定义有PF1－PF2＝PF2＝2a＝2，所以PF1＝2PF2＝4，则cos ∠F1PF2＝＝＝.
变式训练　不妨设点P在双曲线的右支上，
则PF1－PF2＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos ∠F1PF2＝＝，
所以PF1·PF2＝8，
所以S△F1PF2＝PF1·PF2·sin 60°＝2.
链接高考
C　解析：如图，由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设PF2＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由kPF2＝tan θ1＝2，得sin θ1＝.因为∠F1PF2＝90°，所以kPF1·kPF2＝－1，所以kPF1＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝.由正弦定理，得PF1∶PF2∶F1F2＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，则由PF2＝m，得PF1＝2m，F1F2＝2c＝m.由S△PF1F2＝PF1·PF2＝m·2m＝8，解得m＝2，则PF2＝2，PF1＝4，F1F2＝2c＝2，c＝，由双曲线的第一定义，得PF1－PF2＝2a＝2，则a＝，b＝＝2，故双曲线的方程为－＝1.
例4　5　解析：由双曲线的定义，得2a＝||－||＝1，所以a＝.因为·＝0，所以⊥，所以(2c)2＝||2＋||2＝25，解得c＝，所以双曲线C的离心率为e＝＝5.
变式训练1　　解析：设∠F1PF2＝θ.由得由余弦定理，得cos θ＝＝－e2.因为θ∈(0，π]，所以cos θ∈[－1，1)，即－1≤－e2<1.又e>1，所以1变式训练2　＋1　解析：因为MF1的中点P在双曲线上，所以PF2－PF1＝2a.因为△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以 c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1.
链接高考
1. 　解析：方法一(利用双曲线的对称性)：由双曲线的对称性知F2A＝5，由勾股定理，得F1F2＝＝12，由双曲线的定义知2a＝13－5＝8，2c＝12，故e＝＝＝.
方法二(解双曲线方程)：由题意设点A，B，则AB＝＝10，AF2＝＝5.又AF1－AF2＝2a，所以AF1＝AF2＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5，得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝.
方法三(利用准线)：由题意知点A的横坐标为c，由双曲线的对称性知F2A＝5，由双曲线的定义知，点A到左准线的距离与到左焦点的距离之比等于点A到右准线的距离与到右焦点的距离之比，即＝，整理，得8c2＝18a2，故e＝＝＝.
2. ACD　解析：不妨设渐近线为y＝x，点M在第一象限，点N在第三象限．对于A，由双曲线的对称性，得四边形A1MA2N为平行四边形，则∠A1MA2＝π－＝，故A正确；对于B，方法一：因为点M在以F1F2为直径的圆上，所以F1M⊥F2M且MO＝c，设点M(x0，y0)，则解得所以MA2⊥A1A2.由A得∠A1MA2＝，则MA2＝MA1×，即MA1＝MA2；方法二：在△OMA2中，由余弦定理，得MA＝OM2＋OA－2OM·OA2cos ∠MOA2，即MA＝c2＋a2－2ac·＝b2，则MA2＝b，所以△A1A2M为直角三角形，且∠A1MA2＝，则2MA2＝MA1，故B错误；对于C，方法一：因为＝(＋)，所以4||2＝||2＋2·＋||2.由B得MA2＝b，MA1＝b，则4c2＝b2＋b2＋2×b×b×＝b2＝(c2－a2)，即c2＝13a2，故离心率e＝；方法二：因为＝＝，所以＝2，则e＝＝＝＝，故C正确；对于D，当a＝时，由C得e＝，则c＝，b＝2，所以四边形NA1MA2的面积为2S△MA1A2＝2××2×2＝8，故D正确，故选ACD.
例5　A　解析：方法一：当AB所在直线的斜率不存在时，lAB：x＝，此时线段AB中点的横坐标为；当AB所在直线的斜率存在时，设lAB：kx－y＋m＝0，点A(x1，y1)，B(x2，y2).联立消去y并整理，得(1－k2)x2－2kmx－m2－1＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.由题意，得x1x2>0，则k2>1，所以AB＝·＝·＝＝＝6，整理，得m2＝＋k2－1.又＝，所以＝＋.令f(x)＝＋(x>1)，则f′(x)＝－，由f′(x)＝0，得x＝2或x＝(舍去)，当x∈(1，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝8，则线段AB中点横坐标的最小值为2.
方法二(利用双曲线的第二定义)：如图，设双曲线C的右焦点为F，连接AF，BF，取AB的中点M，过点A，B，M分别作右准线x＝的垂线，垂足分别为A′，B′，M′.由双曲线的第二定义，得＝＝e＝，则MM′＝(AA′＋BB′)＝(＋)＝(AF＋BF)≥AB＝×6＝，当且仅当A，B，F三点共线时，MM′取得最小值，此时中点M的横坐标最小为＋＝2.
方法三(利用焦半径公式)：设双曲线C的右焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则FA＝x1－1，FB＝x2－1.因为FA＋FB≥AB，当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立，所以(x1－1)＋(x2－1)≥6，即x1＋x2≥4，所以≥2，即AB中点横坐标的最小值为2.(共49张PPT)
第八章
8.6　双曲线
平面解析几何
复习目标　1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2．掌握双曲线简单的几何性质．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2025深圳一模]已知双曲线E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，两条渐近线的夹角为60°，且点(1，1)在双曲线E上，则双曲线E的离心率为 (　　)
C
B
ABD
4 [苏教版选必一P100习题T6改编]已知双曲线过点(3，－2)，且与
椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点，则双曲线的方程为______________．
(－∞，1)∪(2，＋∞)
活动二　典例悟法
1
　　　　1 如何求双曲线的标准方程？
2．定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由焦点位置确定c的值．
注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)来求解，如例1(3).
2
　　　已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在
双曲线C上，且PF1＝2PF2，则cos ∠F1PF2＝_____．
3
　　　　　本例中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
C
　　　　2 如何解决焦点三角形的面积？
4
5
ACD
3 如何求双曲线的离心率？
题组三　双曲线中的最值、范围问题
　　　[2025苏州期初]在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线C：x2－y2＝1右支上的两点，若线段AB＝6，则线段AB中点横坐标的最小值为 (　　)
5
A
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