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8.7　抛　物　线
一、 单选题
1 [2025淮阴七校联考]已知A是抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，若点A到抛物线焦点的距离为5，且点A 到x轴的距离为4，则p等于(　　)
A. 1或2 B. 2或4
C. 2或8 D. 4或8
2 [2025湖北七市州调研]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，斜率为k的直线l与抛物线C交于两个不同的点A，B，且F为线段AB的一个三等分点，则k2的值为(　　)
A. 4 B. 8
C. 12 D. 16
3 已知圆C经过点P(1，0)，且与直线x＝－1相切，则其圆心到直线x－y＋3＝0距离的最小值为(　　)
A. 3 B. 2
C. D.
4 [2025福州月考]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，过点P作准线l的垂线，垂足为A.若＝2，且点(－3，0)在直线PB上，则直线PB的斜率为(　　)
A. 或－ B. 或－
C. 1或－1 D. 或－
二、 多选题
5 [2025八省联考]已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是(　　)
A. p＝4
B. MF≥OF
C. 以M为圆心且过点F的圆与抛物线C的准线相切
D. 当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2
6 已知抛物线C：y2＝4x，直线l：y＝kx－k与抛物线C交于P，Q两点，分别过P，Q两点作抛物线准线的垂线PM，QN，垂足分别是M，N，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l过抛物线C的焦点
B. 当k＝1时，P，Q两点横坐标的和为5
C. 当k＝1时，直线l截抛物线所得的弦长为8
D. 以PQ为直径的圆与准线相切
7 [2025河北模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A，B是抛物线上异于顶点的两点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若点A(2，2)，则抛物线C的准线方程为x＝－1
B. 若△OAB是正三角形，则AF＝
C. 若点F是△OAB的垂心，则直线AB的方程为x＝
D. 点F可以是△OAB的外心
三、 填空题
8 在平面直角坐标系中，抛物线y2＝－8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，过点P作PA⊥l，交准线l于点A.若PF＝AF，则OP的长为________．
9 已知P(x0，y0)是抛物线y2＝4x上的动点，则x0＋|x0－y0＋1|的最小值为________．
10 [2025苏锡常镇一模]已知抛物线C1：x2＝4y，抛物线C2：x2＝－8y的焦点分别为F1，F2，一条平行于y轴的直线分别与抛物线C1，抛物线C2交于A，B两点．若AF1＝BF2，则四边形AF1F2B的周长为________．
四、 解答题
11 [2025杭州二模]已知抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，点D(p，0)，过焦点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足为A1，B1，直线A1D，B1D分别与直线AB交于点M，N.
(1) 求抛物线Γ的标准方程；
(2) 记点M，N的纵坐标分别为yM，yN，当＋＝1时，求直线AB的斜率．
12 [2025广州一模]已知动点P到点F的距离等于它到直线x＝－的距离，记动点P的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 若O为坐标原点，过点M(2，0)且斜率存在的直线l与曲线C交于A，B两点，直线AO与直线x＝－2相交于点D，过点B且与曲线C相切的直线交x轴于点E.求证：直线DE∥l.
8．7　抛　物　线
1. C　解析：由题意，得|yA|＝4，xA＋＝5，且y＝2pxA，故2p·＝16，解得p＝2或p＝8.
2. B　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1，0)，不妨设＝，所以(1－x1，－y1)＝(x2－x1，y2－y1)，则令y1＝t，y2＝－2t，则x1＝，x2＝t2，所以＝1，解得t2＝2.因为k＝＝＝－，所以k2＝＝8.
3. D　解析：设圆C的圆心为C(x，y)，则动点C到点P的距离等于到直线x＝－1的距离，根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为y2＝4x.设圆心C到直线x－y＋3＝0距离为d，则d＝＝＝，故当y＝2时，dmin＝.
4. B　解析：如图，设直线PB与x轴交于点Q，则点Q的坐标为(－3，0).由题意，得抛物线C的焦点为F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.
方法一：由＝2，得B为FA的中点，易知△PAB≌△QFB，所以PA＝QF＝4，所以xP＝3，代入y2＝4x，解得yP＝±2，所以kPB＝kPQ＝＝±.
方法二：设P(xP，yP)，则A(－1，yP)，由＝2，得B，因为P，B，Q三点共线，所以kPQ＝kBQ，即＝.又yP≠0，所以 xP＝3，代入y2＝4x，得yP＝±2，所以kPB＝kPQ＝＝±.
5. ABC　解析：因为F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，所以＝2，解得p＝4，故A正确；设M(x0，y0)，则x0≥0，所以MF＝x0＋≥＝OF，故B正确；因为MF等于点M到抛物线C的准线的距离，所以以M为圆心且过点F的圆与抛物线C的准线相切，故C正确；如图，当∠OFM＝120°时，x0>2，＝tan 60°＝，且y＝8x0，所以y－8|y0|－16＝0，解得|y0|＝4，所以△OFM的面积为S△OFM＝OF·|y0|＝4，故D错误．故选ABC.
6. ACD　解析：由题意，得抛物线C的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，直线l：y＝kx－k过定点(1，0)，所以直线l过抛物线C的焦点，故A正确；当k＝1时，直线l的方程为y＝x－1，联立消去y并整理，得x2－6x＋1＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝6，所以P，Q两点横坐标的和为6，故B错误；由抛物线的定义可知，PQ＝PM＋QN＝x1＋x2＋2＝8，故C正确；设线段MN，PQ的中点分别为D，E，则DE＝(PM＋QN)＝PQ，且DE⊥MN，所以以PQ为直径的圆与准线相切，故D正确．故选ACD.
7. BC　解析：对于A，将点(2，2)代入抛物线C的方程，得p＝1，所以抛物线C的准线方程为x＝－，故A错误；对于B，若△OAB是正三角形，不妨设点A在第一象限，则直线OA的方程为y＝x，与抛物线C的方程联立，解得xA＝6p，所以AF＝xA＋＝，故B正确；对于C，由题意可知AB⊥x轴，设A，则B.又F，且AF⊥OB，所以kAF·kOB＝－1，解得y2＝5p2，所以直线AB的方程为x＝＝，故C正确；对于D，当点F是△OAB的外心时，以F为圆心，以r＝为半径的圆交抛物线C于O，A，B三点，联立＋y2＝与y2＝2px，解得x＝0，显然不成立，故D错误．故选BC.
8. 2　解析：如图，不妨设点P在第二象限，由抛物线的定义可得PF＝PA.又PF＝AF，所以△PAF是等边三角形，所以∠AFO＝60°，则PA＝AF＝＝8，所以xP＝－8＋2＝－6，则yP＝＝4，所以OP＝＝2.
9. 2－　解析：如图，过抛物线y2＝4x上的动点P(x0，y0)作直线l：x－y＋1＝0的垂线交于点M，过点P(x0，y0)作y轴的垂线交y轴于点Q，交准线于点G，则PM＝，PQ＝|x0|＝x0(x0≥0)，所以x0＋＝PQ＋PM＝PG＋PM－1＝PF＋PM－1，当且仅当F，P，M三点共线时，PQ＋PM有最小值，即PQ＋PM＝PF＋PM－1≥MF－1.由y2＝4x，得p＝2，所以焦点为F(1，0)，则点F到直线l：x－y＋1＝0的距离为MF＝＝，所以x0＋≥MF－1＝－1，则x0＋|x0－y0＋1|＝≥2－.故x0＋|x0－y0＋1|的最小值为2－.
10. 12　解析：如图，设A(x1，y1)，B(x1，y2)，则即y1＝－2y2.由焦半径公式可得AF1＝y1＋1，BF2＝2－y2.由AF1＝BF2，得y1＋1＝2－y2，即y1＋y2＝1，所以则AF1＝BF2＝3.又F1(0，1)，F2(0，－2)，所以F1F2＝3，AB＝|y1－y2|＝3，所以四边形AF1F2B的周长为AF1＋BF2＋F1F2＋AB＝3×4＝12.
11. (1) 由题意，得p＝2，
所以抛物线γ的标准方程为y2＝4x.
(2) 由题意可设直线AB的方程为x＝my＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A1(－1，y1)，B1(－1，y2).
联立消去x并整理，得y2－4my－4＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
易得直线A1D的方程为y＝－(x－2)，
与直线AB的方程x＝my＋1联立，
解得yM＝，
同理可得yN＝，
所以＋＝＋＝2m＋＝－m＝1，
即m＝－1，
所以直线AB的斜率为＝－1.
12. (1) 方法一：由抛物线的定义，得动点P的轨迹为以F为焦点，直线x＝－为准线的抛物线．
设抛物线方程为y2＝2px，则p＝1，
故曲线C的方程为y2＝2x.
方法二：设P(x，y)，由题意，得＝，
化简，得y2＝2x，
即曲线C的方程为y2＝2x.
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>0，y2<0.
方法一：由题意，得直线l的斜率存在且不为0，
故设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)，
则直线l的斜率为kAB＝.
联立消去x并整理，得y2－2my－4＝0，
则y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
由y＝－，得y′＝－x－，
则点B处的切线BE的斜率为kBE＝－x－＝－×＝，
故直线BE的方程为y＝(x－x2)＋y2＝＋y2＝x＋，
令y＝0，得x＝－y，即E.
又直线OA的方程为y＝x，
令x＝－2，得y＝－2×＝－，即D，
所以直线DE的斜率kDE＝＝－＝－＝＝，
所以kDE＝kAB，即直线DE∥l.
方法二：由题意，得直线l的斜率存在且不为0，
故设直线l的方程为y＝k(x－2)，
联立消去y并整理，得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝4.
由y＝－，得y′＝－，
故点B处的切线BE的方程为y＋＝－(x－x2)，
令y＝0，得x＝－x2，即E(－x2，0).
又直线OA的方程为y＝x，令x＝－2，得y＝－，
即D，
所以直线DE的斜率kDE＝＝＝k，
所以kDE＝kAB，即直线DE∥l.
方法三：由题意，得A，B，y≠4，y≠4，
由A，M，B三点共线，得＝，则y1y2＝－4.
又kOA·kOB＝·＝＝－1，所以OA⊥OB.
不妨设直线OA：y＝k′x(k′>0，且k′≠0)，
则直线OB：y＝－x.
由得A，
同理可得B(2k′2，－2k′).
由y＝－，得y′＝－，
则点B处的切线BE的方程为y＋2k′＝－(x－2k′2).
令y＝0，得x＝－2k′2，即E(－2k′2，0).
由y＝k′x，令x＝－2，得y＝－2k′，则D(－2，－2k′).
故直线DE的斜率kDE＝＝，
直线AB的斜率kAB＝＝，
所以kDE＝kAB，即直线DE∥l.(共63张PPT)
第八章
8.7　抛物线
平面解析几何
复习目标　掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2025邯郸一模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2，0)，过点F的直线l与抛物线C的一个交点为A(m，8)，则直线l的方程为(　　)
A．4x＋3y－8＝0　　　　
B．4x－3y－8＝0
C．3x＋4y－6＝0　　　　
D．3x－4y－6＝0
B
2 已知抛物线C：y2＝－2px(p>0)的焦点为F，M(－1，y0)是抛物线上的一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若△MDF为等边三角形，则p的值为 (　　)
A
3 [苏教版选必一P113练习T6改编]已知动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程为__________．
y2＝16x
【解析】由题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，则点M的轨迹方程为y2＝16x．
4 [苏教版选必一P113练习T4改编]已知直线l过点(1，2)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为________________．
y＝2或y＝x＋1
【解析】当斜率k＝0时，直线l：y＝2，与抛物线y2＝4x仅有一个公共点；当斜率k≠0时，设直线l的方程为y＝k(x－1)＋2，可知点(1，2)在抛物线上，将y＝k(x－1)＋2代入抛物线方程，得k2x2＋[(4－2k)k－4]x＋(2－k)2＝0，由题意可得，此方程有唯一解，故判别式Δ＝[(4－2k)k－4]2－4k2(2－k)2＝0，解得k＝1.综上，直线l的方程为 y＝2或y＝x＋1．
5 在平面直角坐标系xOy中，点P到直线x＝－2与到点F(2，0)的距离相等，点Q在圆(x－10)2＋y2＝25上，则PQ的最小值为____．
3
活动二　典例悟法
题组一　抛物线的定义及其应用
　　　已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点，若点B(3，2)，则PB＋PF的最小值为____．
1
【解析】如图，过点B作BQ垂直于准线，垂足为Q，
交抛物线于点P1，连接P1F，则 P1Q＝P1F，则PB＋PF≥
P1B＋P1Q＝BQ＝4，即PB＋PF的最小值为4.
4
　　　　　　1 若将本例中点B的坐标改为(3，4)，求PB＋PF的最小值．
　　　　　　2 已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
[2025全国二卷·6]设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在抛物线C上，过点A作抛物线C准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则AF的长为 (　　)
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
C
1．抛物线定义的两个关键点：
(1) 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．
(2) 抛物线的焦点到准线的距离为p.
2．与抛物线有关的最值问题的求解方法：
(1) 定义转化法：将点到焦点的距离与点到准线的距离等价转化，即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2) 平移直线法：先平移直线与抛物线相切，再求两直线的距离．
(3) 函数法：通过巧设点的坐标，建立目标函数，再求函数的最值．
题组二　抛物线的标准方程及其几何性质
　　　顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是____________________．
2
【解析】若焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝mx，将点P(－4，－2)代入，解得 m＝－1，则抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝ny，将点P(－4，－2)代入，解得 n＝－8，则抛物线的标准方程为x2＝－8y.综上，抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－8y.
y2＝－x或x2＝－8y
　　　已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过点F的直线与抛物线的两个交点，求证：
3
　　　　　　如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，求证：
(3) 连接A1F，B1F.
因为AA1＝AF，所以∠AA1F＝∠AFA1.
因为∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO.
同理可得∠BFB1＝∠B1FO.
又∠AFA1＋∠A1FO＋∠BFB1＋∠B1FO＝180°，
所以∠A1FO＋∠B1FO＝90°，即∠A1FB1＝90°，
所以以A1B1为直径的圆过点F.
AC
ACD
4
　　　已知动圆C过点P(0，4)，且在x轴上截得的弦长为8.
(1) 求动圆的圆心C的轨迹所在曲线E的方程；
5
6
1．切线问题的求解方法：
(1) 利用判别式，即联立直线方程与抛物线方程，整理成一元二次方程，利用Δ＝0求解．
(2) 利用导数的几何意义．
(3) 利用抛物线中与切线有关的性质．
2．与抛物线的切线有关的常用性质：
(1) 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，则
①切线交点在准线上；
②切线交点与弦中点的连线平行于对称轴；
③切线交点与焦点弦的两端点的连线相互垂直；
④切线交点与焦点的连线与焦点弦垂直．
反之：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则
①过两切点的弦必过焦点；
②该点与焦点的连线垂直于过两切点的弦；
③过两切点的弦最短为通径．
(2) 过抛物线外任意点(该点不在准线上)作抛物线的切线，则切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
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复习目标　掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质．
抛物线
活动一 基础引入
1 [2025邯郸一模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2，0)，过点F的直线l与抛物线C的一个交点为A(m，8)，则直线l的方程为(　　)
A. 4x＋3y－8＝0 B. 4x－3y－8＝0
C. 3x＋4y－6＝0 D. 3x－4y－6＝0
2 已知抛物线C：y2＝－2px(p>0)的焦点为F，M(－1，y0)是抛物线上的一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若△MDF为等边三角形，则p的值为(　　)
A. B. C. 1 D. 2
3 [苏教版选必一P113练习T6改编]已知动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程为________．
4 [苏教版选必一P113练习T4改编]已知直线l过点(1，2)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为________．
5 在平面直角坐标系xOy中，点P到直线x＝－2与到点F(2，0)的距离相等，点Q在圆(x－10)2＋y2＝25上，则PQ的最小值为________．
活动二 典例悟法
题组一　抛物线的定义及其应用
1 已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点，若点B(3，2)，则PB＋PF的最小值为________．
1 若将本例中点B的坐标改为(3，4)，求PB＋PF的最小值．
2 已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
[2025全国二卷·6]设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在抛物线C上，过点A作抛物线C准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则AF的长为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
1. 抛物线定义的两个关键点：
(1) 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．
(2) 抛物线的焦点到准线的距离为p.
2. 与抛物线有关的最值问题的求解方法：
(1) 定义转化法：将点到焦点的距离与点到准线的距离等价转化，即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2) 平移直线法：先平移直线与抛物线相切，再求两直线的距离．
(3) 函数法：通过巧设点的坐标，建立目标函数，再求函数的最值．
题组二　抛物线的标准方程及其几何性质
2 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是_____________________．
3 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过点F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1) y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2) ＋为定值；
(3) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，求证：
(1) S△AOB＝(其中θ为直线AB的倾斜角)；
(2) 以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；
(3) 以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；
(4) A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
1 (多选)[2023新课标Ⅱ卷·10]设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则下列结论中正确的是(　　)
A. p＝2
B. MN＝
C. 以MN为直径的圆与l相切
D. △OMN为等腰三角形
2 (多选)[2025全国一卷·10]设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于点A，B，过点A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过点F且垂直于AB的直线交直线l于点E，则下列结论中正确的是(　　)
A. AD＝AF B. AE＝AB
C. AB≥6 D. AE·BE≥18
题组三　与抛物线切线有关的综合问题
4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1) 若a＝1，MN＝8，求k的值；
(2) 曲线C在点M，N处的切线相交于点P，PM，PN分别交x轴于点A，B.是否存在实数λ，使得S△OMN＝λS△PAB？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
5 已知动圆C过点P(0，4)，且在x轴上截得的弦长为8.
(1) 求动圆的圆心C的轨迹所在曲线E的方程；
(2) 当点Q在椭圆＋x2＝1上移动时，过点Q作曲线E的两条切线分别记作QA，QB，其中A，B为切点，椭圆的一个顶点为D(0，2)，求AD·BD的最大值．
6 [2025安庆二模]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F也是椭圆＋＝1的一个焦点，过点F的直线交抛物线C于A，B两点．
(1) 求抛物线C的标准方程；
(2) 求证：抛物线C在A，B两点处的切线互相垂直；
(3) 设M为线段AB的中点，以线段AM为直径的圆交抛物线C在点A处的切线于点P，试判断是否为定值，并证明你的结论．
1. 切线问题的求解方法：
(1) 利用判别式，即联立直线方程与抛物线方程，整理成一元二次方程，利用Δ＝0求解．
(2) 利用导数的几何意义．
(3) 利用抛物线中与切线有关的性质．
2. 与抛物线的切线有关的常用性质：
(1) 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，则
①切线交点在准线上；
②切线交点与弦中点的连线平行于对称轴；
③切线交点与焦点弦的两端点的连线相互垂直；
④切线交点与焦点的连线与焦点弦垂直．
反之：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则
①过两切点的弦必过焦点；
②该点与焦点的连线垂直于过两切点的弦；
③过两切点的弦最短为通径．
(2) 过抛物线外任意点(该点不在准线上)作抛物线的切线，则切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
8．7　抛　物　线
1. B　解析：由题意，得＝2，则p＝4，所以抛物线C：y2＝8x.将点A(m，8)代入抛物线C：y2＝8x，得82＝8m，则m＝8，所以点A的坐标为(8，8)，所以kl＝＝，所以直线l的方程为y＝(x－2)，即4x－3y－8＝0.
2. A　解析：由题意可知抛物线的准线方程为x＝，焦点为F.又点M(－1，y0)，所以点D.因为△MDF为等边三角形，即边长为＋1，所以FD2＝p2＋y＝.又y＝2p，整理，得3p2＋4p－4＝0，解得p＝或p＝－2(舍去).
3. y2＝16x　解析：由题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，则点M的轨迹方程为y2＝16x.
4. y＝2或y＝x＋1　解析：当斜率k＝0时，直线l：y＝2，与抛物线y2＝4x仅有一个公共点；当斜率k≠0时，设直线l的方程为y＝k(x－1)＋2，可知点(1，2)在抛物线上，将y＝k(x－1)＋2代入抛物线方程，得k2x2＋[(4－2k)k－4]x＋(2－k)2＝0，由题意可得，此方程有唯一解，故判别式Δ＝[(4－2k)k－4]2－4k2(2－k)2＝0，解得k＝1.综上，直线l的方程为 y＝2或y＝x＋1.
5. 3　解析：设点P(x，y)，因为点P到直线x＝－2与到点F(2，0)的距离相等，所以点P的轨迹是以F(2，0)为焦点的抛物线，即y2＝8x.设圆(x－10)2＋y2＝25的圆心为M，则点M(10，0)，半径r＝5，所以PM＝＝＝≥8，当且仅当x＝6 时，等号成立，所以PQ≥8－r＝3，即PQmin＝3.
例1　4　解析：如图，过点B作BQ垂直于准线，垂足为Q，交抛物线于点P1，连接P1F，则 P1Q＝P1F，则PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即PB＋PF的最小值为4.
变式训练1　由题意，得点B(3，4)在抛物线的外部，
则PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离．
又点F(1，0)，所以PB＋PF≥BF＝＝2，
即PB＋PF的最小值为2.
变式训练2　由题意可知，抛物线的焦点为F(1，0).
点P到y轴的距离d1＝PF－1，所以d1＋d2＝d2＋PF－1.
易知d2＋PF的最小值为点F到直线l的距离，
故d2＋PF的最小值为＝3，
所以d1＋d2的最小值为3－1.
链接高考
C　解析：对lBF：y＝－2x＋2，令y＝0，得x＝1，所以焦点F(1，0)，p＝2，即抛物线C：y2＝4x，则抛物线的准线方程为x＝－1，故点B(－1，4)，则yA＝4，代入抛物线C：y2＝4x，得xA＝4，所以AF＝AB＝xA＋＝4＋1＝5.
例2　y2＝－x或x2＝－8y　解析：若焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝mx，将点P(－4，－2)代入，解得 m＝－1，则抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝ny，将点P(－4，－2)代入，解得 n＝－8，则抛物线的标准方程为x2＝－8y.综上，抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－8y.
例3　(1) 由已知，得抛物线的焦点坐标为.
设直线AB的方程为x＝my＋，代入 y2＝2px，
得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0，
所以y1y2＝－p2.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，
所以x1x2＝＝＝.
(2) ＋＝＋＝.
因为x1x2＝，x1＋x2＝AB－p，
所以＋＝＝，为定值．
(3) 设AB的中点为M(x0，y0)，如图，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为C，D，过点M作准线l的垂线，垂足为N，
则MN＝(AC＋BD)＝(AF＋BF)＝AB，
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
变式训练　(1) 设直线AB的方程为x＝my＋.
联立
消去x并整理，得y2－2pmy－p2＝0，
则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，
所以|y1－y2|＝2p，
所以S△AOB＝××2p＝.
又因为tan θ＝，sin2θ＋cos2θ＝1，解得sinθ＝，
所以＝，即S△AOB＝.
(2) 因为AF＝x1＋，点A(x1，y1)，F.
所以AF的中点到y轴的距离为＋＝，
所以以AF为直径的圆与y轴相切．
同理可得以BF为直径的圆与y轴相切．
(3) 连接A1F，B1F.
因为AA1＝AF，所以∠AA1F＝∠AFA1.
因为∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO.
同理可得∠BFB1＝∠B1FO.
又∠AFA1＋∠A1FO＋∠BFB1＋∠B1FO＝180°，
所以∠A1FO＋∠B1FO＝90°，即∠A1FB1＝90°，
所以以A1B1为直径的圆过点F.
因为A1B1的中点M，
所以kMF＝＝－，
kAB＝＝＝，
所以kMF·kAB＝－1，所以MF⊥AB，
所以以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F.
(4) 直线OA：y＝x与准线l相交于点.
因为y1y2＝－p2，所以y2＝－，
所以OA与直线l交于点B1，即A，O，B1三点共线．
同理可得B，O，A1三点共线．
链接高考
1. AC　解析：对于A，因为直线y＝－(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C的焦点坐标为(1，0)，则＝1，即p＝2，故A正确；对于B，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，y1<02. ACD　解析：对于A，C，焦点为F，则直线l为抛物线C的准线．由抛物线的定义知AD＝AF，故A正确；由抛物线的性质知AB≥2p＝6，故C正确；对于B，D，方法一：设直线AB：x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理，得y2－6my－9＝0，则Δ＝36m2＋36>0，y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3，故AB＝x1＋x2＋p＝6m2＋6.当m＝0时，点E(－，0)，则AB＝6，EF＝3，所以AE＝3，故AB≠AE，故B错误；对于D，当m＝0时，AE＝BE＝3，则AE·BE＝18；当m≠0时，直线EF：x＝－y＋，点E，则EF＝，S△AEB＝AE·BE sin ∠AEB＝AB·EF＝(6m2＋6)·>9，即AE·BE>≥18.综上，AE·BE≥18，故D正确．故选ACD.
方法二：如图，过点B作直线l的垂线，垂足为H.由EF⊥AB，得∠AFE＝.又∠ADE＝，AD＝AF，所以∠DEA＝∠FEA.同理可得∠FEB＝∠HEB，故∠AEB＝(∠DEF＋∠FEH)＝.在Rt△AEB中，EF为边AB上的高，所以AE·BE＝AB·EF，当E为直线l与x轴的交点且AB为抛物线的通径时，AB·EF取得最小值，最小值为3×6＝18故AE·BE≥18，故D正确；在Rt△AEB中，∠AEB＝，则AE≠AB，故B错误．故选ACD.
例4　(1) 设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x＝4y1，x＝4y2.
联立消去y并整理，得x2－4kx－4＝0，
则Δ＝16(k2＋1)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
所以MN＝·＝·＝4(1＋k2)＝8，
解得k＝±1.
(2) 由y′＝和x＝4y1，x＝4y2，
得切线PM的方程为y－y1＝(x－x1)，整理，得x1x－2y－2y1＝0，
同理可得切线PN的方程为x2x－2y－2y2＝0.
设点P(x0，y0)，则有
即点M，N在直线x0x－2y0－2y＝0上．
又点M，N也在直线y＝kx＋a(a>0)上，
则x0x－2y0－2y＝0和y＝kx＋a(a>0)为同一直线，直线过点(0，a)，
所以y0＝－a，即点P在直线y＝－a上．
又PM交x轴于点A，则点A.
由x＝4y1，得点A，同理可得点B，
所以S△PAB＝·|－a|＝|x1－x2|.
又S△OMN＝a·|x1－x2|＝|x1－x2|，
所以S△OMN＝2S△PAB，即λ＝2.
例5　(1) 设动圆圆心C(x，y)，动圆C在x轴上截得的弦为线段MN，则MN＝8，所以 PC＝CM.
当x≠0时，＝，
化简，得x2＝8y(x≠0)；
当x＝0时，也满足方程，
所以圆心C的轨迹所在曲线E的方程为 x2＝8y.
(2) 方法一：由(1)，得曲线E：y＝，求导，得y′＝.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，
则切线AQ的方程为 y＝x－y1，
同理可得切线BQ的方程为 y＝x－y2.
因为两切线都过点Q，
所以y0＝x0－y1，y0＝x0－y2，
可得直线AB的方程为y＝x－y0.
联立消去y并整理，得x2－2x0x＋8y0＝0，
所以x1＋x2＝2x0，x1x2＝8y0，
可得y1＋y2＝＝，y1y2＝＝y，
所以AD·BD＝(y1＋2)(y2＋2)＝y1y2＋2(y1＋y2)＋4＝y＋x－4y0＋4＝y＋1－－4y0＋4＝y－4y0＋5.
又－2≤y0≤2，
所以当y0＝－2时，AD·BD有最大值16.
方法二：设点Q(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线QA，QB的斜率为k1，k2，
则直线QA：y－y0＝k1(x－x0)与抛物线x2＝8y相切．
联立
消去y并整理，得x2－8k1x＋8k1x0－8y0＝0，
则x1＋x1＝2x1＝8k1，得x1＝4k1，
且Δ＝0，可得2k－x0k1＋y0＝0.
同理可得x2＝4k2，且2k－x0k2＋y0＝0，
所以k1，k2是方程2k2－x0k＋y0＝0的两个根，
且k1＋k2＝，k1k2＝，即＋＝，·＝，
得x1＋x2＝2x0，x1·x2＝8y0，
所以AD·BD＝(y1＋2)(y2＋2)＝y1y2＋2(y1＋y2)＋4＝＋2＋4＝y＋x－4y0＋4＝y＋1－－4y0＋4＝y－4y0＋5.
又－2≤y0≤2，
所以当y0＝－2时，AD·BD有最大值16.
例6　(1) 易知抛物线C：x2＝2py(p>0)开口向上，且焦点F的坐标为，
所以椭圆＋＝1的焦点也在y轴上，
则a2＝3，b2＝p.
由＝3－p，解得p＝2(负值舍去)，
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2) 因为直线AB与抛物线有两个交点，所以其斜率必存在．
设直线AB的方程为y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立消去y并整理，得x2－4kx－4＝0，则x1x2＝－4.
对y＝x2求导，得y′＝x.
设抛物线C在A，B两点处的切线斜率分别为k1，k2，
则k1＝x1，k2＝x2，
所以k1k2＝x1×x2＝x1x2＝－1，
即抛物线C在A，B两点处的切线互相垂直．
(3) 为定值，证明如下：
方法一：由(2)可知直线AP：y－y1＝x1(x－x1)，
即y＝x1x－x，
则直线AP与x轴的交点为Q，
由(1)(2)可知F(0，1)，x1x2＝－4，
所以AB·AF＝·＝(x2－x1，y2－y1)·(－x1，1－y1)＝－x1x2＋x＋(y2－y1)(1－y1)＝－x1x2＋x＋＝.
因为＝，＝，
所以||＝||·cos ∠MAQ＝＝＝＝
＝，
所以＝·＝4，
所以为定值4.
方法二：设抛物线C在A，B两点处的切线lA，lB相交于点T.
因为lA：y＝x1x－x，lB：y＝x2x－x，
所以联立解得点T，
由(2)可知x1x2＝－4，
则点T的坐标为，且∠ATB＝90°，
所以MP∥BT，
则＝＝，即AP＝AT.
因为kAB＝＝，
所以kAB·kFT＝×＝－1，
即AB⊥FT.
易得△ABT∽△ATF，
所以＝，
所以AB·AF＝AT2＝4AP2，
所以＝4，为定值．

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