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8.8　直线和圆锥曲线的位置关系
一、 单选题
1 [2025前黄中学一模]若直线l：y＝kx(k>0)与双曲线C：－＝1有两个不同交点，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
2 [2026东海高级中学月考]若椭圆＋＝1的弦被点(1，1)平分，则这条弦所在的直线方程是(　　)
A. x－2y＋1＝0
B. x＋2y－3＝0
C. 2x－y－1＝0
D. 2x＋y－3＝0
3 [2026上海期中]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在准线l上的射影为P1，则下列说法中错误的是(　　)
A. 若x1＋x2＝6，则PQ＝8
B. 以PQ为直径的圆与准线l相切
C. 设点M(0，1)，则PM＋PP1≥
D. 过点M(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
4 椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆E交于点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于直线l的对称点为M.若AB＝，＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
二、 多选题
5 设双曲线Γ：x2＋xy＝1与直线y＝2x＋m交于A(x1，y1)与B(x2，y2)两点，则下列结论中可能正确的是(　　)
A. x1＋x2>0 B. x1x2>0
C. y1＋y2>0 D. y1y2>0
6 [2025湖北联考]过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l：y＝x－1与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　)
A. p＝2 B. OA⊥OB
C. AB＝8 D. ·＝－8
7 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：kx－y－k＝0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l恒过点(1，0)
B. 若直线l恒过椭圆C的焦点，则a2＋b2＝1
C. 若对任意实数k，直线l与椭圆C总有两个互异公共点，则a≥1
D. 若a<1，则一定存在实数k，使得直线l与椭圆C有且只有一个公共点
三、 填空题
8 已知O为坐标原点，直线x＝a与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，若·＝－1，则AB＝________．
9 若直线y＝mx＋2与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则n的取值范围是________．
10 [2025广东一模]已知F1，F2分别为双曲线x2－＝1的左、右焦点，A，C两点在双曲线上且关于原点对称(点A在第一象限)，直线CF2与双曲线的另一个交点为B.若AF1－BF2＝6，则△ABC的面积为________．
四、 解答题
11 [2026广州越秀月考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C的左焦点到右顶点的距离为3.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 过点P(0，1)的直线l与x轴交于点Q，与椭圆C交于A，B两点，且＝，求直线l的方程．
12 已知动圆M过点F(1，0)且与直线x＝－1相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 若直线l：x＝m(m<0)与x轴相交于点P，B为曲线C上异于顶点O的动点，直线PB交曲线C于另一点D，直线BO和DO分别交直线l于点S和T.若O，F，S，T四点共圆，求实数m的值．
8．8　直线和圆锥曲线的位置关系
1. B　解析：易知双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x.因为直线l：y＝kx(k>0)与双曲线C：－＝1有两个不同的交点，且直线l过原点，所以k>，即实数k的取值范围是.
2. B　解析：设这条弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减，得＝－，所以kAB＝＝－×＝－×＝－，所以这条弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
3. D　解析：对于A，因为p＝2，所以PQ＝x1＋x2＋2＝8，故A正确；对于B，设N为PQ的中点，点N在准线l上的射影为N1，点Q在准线l上的射影为Q1，则由梯形中位线的性质，得NN1＝＝＝，所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；对于C，因为焦点为F(1，0)，所以PM＋PP1＝PM＋PF≥MF＝，当且仅当M，P，F三点共线时，等号成立，故C正确；对于D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点．当过点M的直线的斜率存在且不为0时，设其方程为y＝kx＋1(k≠0).联立消去y并整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，所以有三条直线符合题意，故D错误．
4. A　解析：如图，由椭圆的光学性质可得M，A，F1三点共线．设BF2＝x，则BF1＝2a－x，MF1＝AF1＋MA＝AF1＋AF2＋BF2＝2a＋x，所以＝＝，解得x＝.又AB＝，所以AF2＝，AF1＝，所以＝＝＝＝.
5. ACD　解析：联立消去y整理，得3x2＋mx－1＝0，因为双曲线与直线有两个交点，所以Δ＝m2－4×3×(－1)＝m2＋12>0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－<0，故B错误；当m<0时，x1＋x2＝－>0，故A正确；y1＋y2＝2x1＋m＋2x2＋m＝－＋2m＝，当m>0时，y1＋y2>0，故C正确；y1y2＝(2x1＋m)×(2x2＋m)＝4x1x2＋m(2x1＋2x2)＋m2＝－－＋m2＝，当m>2或m<－2时，y1y2>0，故D正确．故选ACD.
6. ACD　解析：对于A，因为直线l：y＝x－1经过焦点F，所以焦点为F(1，0)，则＝1，即p＝2，故A正确；对于B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理，得y2－4y－4＝0，所以y1＋y2＝4，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝y1＋y2＋2＝6，x1x2＝＝1，所以·＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3≠0，所以OA与OB不垂直，故B错误；AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故C正确；对于D，·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝1－6＋1－4＝－8，故D正确．故选ACD.
7. ACD　解析：因为方程kx－y－k＝0可化为y＝k(x－1)，所以直线l恒过点(1，0)，故A正确；设椭圆的半焦距为c(c>0)，则c＝1，所以a2－b2＝1，故B错误；联立消去y并整理，得(a2k2＋b2)x2－2a2k2x＋a2k2－a2b2＝0，所以Δ＝(－2a2k2)2－4(a2k2＋b2)(a2k2－a2b2)>0，所以k2(a2－1)＋b2>0，所以a≥1，故C正确；因为Δ＝(－2a2k2)2－4(a2k2＋b2)(a2k2－a2b2)＝4a2b2[k2(a2－1)＋b2]，所以当08. 2　解析：显然a>0，由y2＝2a，得y＝±，不妨设A(a，)，B(a，－)，则·＝a2－2a＝－1，解得a＝1，所以AB＝2＝2.
9. [4，9)　解析：直线y＝mx＋2恒过定点(0，2)，若直线与椭圆总有公共点，则定点(0，2)在椭圆上或椭圆内，所以≤1，解得n≥4或n<0，又因为＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以010. 6　解析：如图，由双曲线的对称性可知AF1＝CF2，则AF1－BF2＝CF2－BF2＝BC＝6.设直线BC的方程为x＝my＋2(m>0)，C(x1，y1)，B(x2，y2).联立消去x并整理，得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，则3m2－1≠0，y1＋y2＝－，y1y2＝，所以BC＝|y1－y2|＝＝＝6，整理，得＝1.又m>0，所以m＝1，所以直线BC的方程为x＝y＋2，即x－y－2＝0，则x1－y1＝2.由题意，得A(－x1，－y1)，则点A到直线BC的距离为d＝＝＝2，所以S△ABC＝BC×d＝×6×2＝6.
11. (1) 由题意，得解得
则b＝＝，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 由题意，设直线l的方程为y＝kx＋1(k存在，且k≠0)，
联立消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝96(2k2＋1)>0，且x1＋x2＝－.
因为P(0，1)，Q，
所以＝(x1，y1－1)，＝(－－x2，－y2).
由＝，得(x1，y1－1)＝(－－x2，－y2)，则x1＋x2＝－，
所以－＝－，解得k＝±，
所以直线l的方程为y＝±x＋1.
12. (1) 设M(x，y)，则＝|x＋1|，
化简，得y2＝4x，
所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2) 如图，设直线BD的方程为x＝ty＋m(t≠0)，B(x1，y1)，D(x2，y2).
联立消去x并整理，得y2－4ty－4m＝0，
则
又直线OB的方程为y＝x，即y＝x，
则yS＝，同理可得yT＝，
则PT·PS＝|yS·yT|＝＝－4m，
PO·PF＝|m(1－m)|＝m(m－1).
因为O，F，S，T四点共圆，
所以PT·PS＝PO·PF，即－4m＝m(m－1).
又m<0，所以m＝－3.(共66张PPT)
第八章
8.8　直线和圆锥曲线的位置关系
平面解析几何
复习目标　1．掌握解决直线与圆锥曲线的位置关系的思想方法.2．理解数形结合的思想．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
【解析】直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
A
2 [苏教版选必一P113练习T4改编]过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有 (　　)
A．1条　　　　B．2条　　　　C．3条　　　　D．4条
C
【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，直线y＝1，过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).
BCD
5 [2025南通一模] 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l的倾斜角为45°，且l过点F.若直线l与抛物线C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为_______．
活动二　典例悟法
1
　　　　　　1 若直线l：y＝kx＋2与曲线C：y2＝x恰好有一个公共
点，则实数k的取值集合为________.
　　　　　　2 若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同
的两点，则实数k的取值范围是_______________．
C
2 (多选)[2022新课标Ⅰ卷·11]已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交抛物线C于P，Q两点，则下列结论中正确的是 (　　　)
A．抛物线C的准线方程为y＝－1
B．直线AB与抛物线C相切
C．OP·OQ>OA2
D．BP·BQ>BA2
BCD
　　　　1 如何处理直线与圆锥曲线的位置关系？
1．研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．具体步骤如下：
(1) 联立直线方程与圆锥曲线方程．
(2) 消元得出关于x(或y)的方程．
(3) 二次项系数不为0时，利用判别式和根与系数的关系来求解．
(3) 过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
2
3
3
　　　　2 如何解决弦长问题？
求解弦长的4种方法
1．当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
2．联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．
3．联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式．
4．当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
4
x＋2y－3＝0
C
　　　　3 如何解决中点弦问题？
5
谢谢观看
Thank you for watching8.8　直线和圆锥曲线的位置关系
复习目标　1. 掌握解决直线与圆锥曲线的位置关系的思想方法.2. 理解数形结合的思想．
直线与圆锥曲线的位置关系
活动一 基础引入
1 直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
2 [苏教版选必一P113练习T4改编]过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
3 (多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的平行线交双曲线C于点A，交另一条渐近线于点B.若＝2，则下列说法中正确的是(　　)
A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
B. 双曲线C的离心率为
C. 点A到两渐近线的距离的乘积为
D. 设O为坐标原点，则tan ∠AOB＝
4 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与方向向量为k＝(6，6)的直线交于A，B两点，线段AB的中点为(4，1)，则该双曲线的渐近线方程是________．
5 [2025南通一模] 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l的倾斜角为45°，且l过点F.若直线l与抛物线C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为________．
活动二 典例悟法
题组一　直线与圆锥曲线位置关系的判定
1 已知直线l：y＝kx＋2，椭圆C：＋y2＝1.试问当k取何值时，直线l与椭圆C：
(1) 有两个不重合的公共点；
(2) 有且只有一个公共点；
(3) 没有公共点．
1 若直线l：y＝kx＋2与曲线C：y2＝x恰好有一个公共点，则实数k的取值集合为________．
2 若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是__________．
3 已知椭圆＋y2＝1，直线l：y＝x＋3，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为________，最小值为________．
1 [2023新课标Ⅱ卷·5]已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点．若△F1AB的面积是△F2AB面积的 2倍，则实数m的值为(　　)
A. B. C. － D. －
2 (多选)[2022新课标Ⅰ卷·11]已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交抛物线C于P，Q两点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 抛物线C的准线方程为y＝－1
B. 直线AB与抛物线C相切
C. OP·OQ>OA2
D. BP·BQ>BA2
1. 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．具体步骤如下：
(1) 联立直线方程与圆锥曲线方程．
(2) 消元得出关于x(或y)的方程．
(3) 二次项系数不为0时，利用判别式和根与系数的关系来求解．
2. 常用结论：
(1) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．
(2) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
(3) 过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
题组二　弦长问题
2 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，AB＝4.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若AB＋CD＝，求直线AB的方程．
3 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与抛物线C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1) 若AF＋BF＝4，求直线l的方程；
(2) 若＝3，求AB的长．
求解弦长的4种方法
1. 当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
2. 联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．
3. 联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式．
4. 当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
4 (1) 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内的一点，经过点P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被点P 平分，则此弦所在直线的方程为________；
(2) [2026贵阳清华中学月考]过坐标原点O的直线e与圆(x＋2)2＋y2＝3相切，且直线e与抛物线C：y2＝2px交于点O，M.若OM＝4，则p的值是(　　)
A. 2 B. 4 C. 3 D. 3
已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在椭圆E上，且△ABC面积的最大值为2.
(1) 求椭圆E的标准方程；
(2) 设F为椭圆E的左焦点，点D在直线 x＝－4上，过点F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．求证：直线OD平分线段MN.
[2025全国二卷·16]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 过点(0，－2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为，求AB的长．
1. 解决中点弦问题常用 “点差法”．
2. “点差法”的常见结论：
已知AB为圆锥曲线的弦，P为弦AB的中点，O为坐标原点．
(1) 椭圆＋＝1(a＞b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝－.
(2) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝.
(3) 抛物线y2＝2px(p＞0)中的中点弦问题：kAB＝(y0为中点P的纵坐标).
题组三　直线与圆锥曲线的综合问题
5 如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在 x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(2，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在 x轴的下方).
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若＝2，求直线l的斜率k.
1 如图，已知椭圆C：＋＝1，过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在x轴的下方).若 ＝2，求直线l的斜率k.
2 如图，已知椭圆C：＋＝1，过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在x轴的下方).
(1) 过点O且平行于直线l的直线交椭圆C于点M，N，求 的值；
(2) 记直线l与y轴的交点为P.若＝，求直线l的斜率k.
8．8　直线和圆锥曲线的位置关系
1. A　解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
2. C　解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，直线y＝1，过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).
3. BCD　解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设过点F的直线与直线y＝x平行，交双曲线C于点A.对于A，设双曲线的半焦距为c，则过点F与直线y＝x平行的直线的方程为y＝(x＋c)，与y＝－x联立，可得点B.由＝2，设点A(x，y)，可得(x＋c，y)＝2(－－x，－y)，则点A.代入双曲线的方程中，得－＝1，即＝3，则＝2，故渐近线方程为y＝±x，故A错误；对于B，由＝3，得e＝，故B正确；对于C，点A到两渐近线距离的乘积d1d2＝＝＝，故C正确；对于D，由kOA＝－＝－，kAB＝＝，得kOA·kAB＝－1，所以OA⊥AB.又OA＝＝c，AB＝＝，故tan ∠AOB＝＝，故D正确．故选BCD.
4. y＝±x　解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1，－＝1.因为线段AB的中点为(4，1)，所以＝＝.由题意，得直线AB的斜率为1，所以＝1，即＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
5. 2　解析：由题意，得点F(1，0)，l：y＝x－1.联立消去y并整理，得x2－6x＋1＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x1＋x2＝6，x0＝＝3，y0＝x0－1＝2，可得点M的坐标为(3，2).由抛物线的定义，得AB＝x1＋1＋x2＋1＝8，则圆M的半径为4，其被y轴截得的弦长为2＝2.
例1　联立消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
显然1＋4k2≠0，
则Δ＝(16k)2－4×(1＋4k2)×12＝16(4k2－3).
(1) 当Δ>0，即k<－或k>时，方程有两个不同的实数根，
即原方程组有两组不同的实数解，
此时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2) 当Δ＝0，即k＝±时，方程有两个相同的实数根，
即原方程组有两组相同的实数解，
此时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3) 当Δ<0，即－即原方程组没有实数解，
此时直线l与椭圆C没有公共点．
变式训练1　　解析：因为直线l与曲线C只有一个公共点，所以方程组有唯一一组实数解，消去y并整理，得k2x2＋(4k－1)x＋4＝0.①当k＝0时，解得x＝4，此时原方程组有唯一解②当k≠0时，Δ＝(4k－1)2－4×4k2＝－8k＋1，令Δ＝0，解得k＝，此时原方程组有唯一解．综上，实数k的取值集合是.
变式训练2　　解析：联立消去y并整理，得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得－＜k＜－1，故实数k的取值范围是.
变式训练3　2　　解析：先求与直线l：y＝x＋3平行且与椭圆相切的直线m，设直线m的方程为x－y＋t ＝0，联立消去y并整理，得5x2＋8tx＋4t2－4＝0.因为直线m与椭圆相切，所以Δ＝64t2－80(t2－1)＝0，解得t＝±，即直线m的方程为x－y ±＝0，所以椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值分别就是直线l：y＝x＋3与两条平行线x－y ±＝0之间的距离，故最大值是＝2，最小值是＝.
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1. C　解析： 联立消去y并整理，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B两点，所以Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－22. BCD　解析：将点A的坐标代入抛物线方程可得1＝2p，解得p＝，则抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为y＝－，故A错误；kAB＝＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，联立消去y并整理，得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以直线AB与抛物线C相切，故B正确；设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不符合题意，故直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消去y并整理，得x2－kx＋1＝0，则Δ＝k2－4>0，解得k>2或k<－2，且x1＋x2＝k，x1x2＝1，y1y2＝(x1x2)2＝1.又OP＝＝，OQ＝＝，所以OP·OQ＝＝＝|k|>2＝OA2，故C正确；因为BP＝|x1|，BQ＝|x2|，所以BP·BQ＝(1＋k2)·|x1x2|＝1＋k2>5＝BA2，故D正确．故选BCD.
例2　(1) 由题意可知e＝＝，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) ①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意可知AB＋CD＝7，不满足条件；
②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线CD的方程为y＝－(x－1).
将直线AB的方程代入椭圆方程中，
消去y并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以AB＝|x1－x2|＝·＝.
同理可得CD＝，
所以AB＋CD＝＋＝＝，
解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
例3　(1) 设直线l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2).
由抛物线的焦半径公式可知AF＋BF＝x1＋x2＋＝4，
所以x1＋x2＝.
联立消去y并整理，得9x2＋(12m－12)x＋4m2＝0，
则Δ＝(12m－12)2－144m2>0，解得m<，
所以x1＋x2＝－＝，解得m＝－，
所以直线l的方程为y＝x－，即12x－8y－7＝0.
(2) 设点P(t，0)，则直线l的方程为x＝y＋t，
联立消去x并整理，得y2－2y－3t＝0，
则Δ＝4＋12t>0，解得t>－，
所以y1＋y2＝2，y1y2＝－3t.
因为＝3，所以y1＝－3y2，
所以y2＝－1，y1＝3，所以y1y2＝－3，
则AB＝·＝×＝.
例4　(1) x＋2y－3＝0　解析：方法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2).联立消去y并整理，得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，所以x1＋x2＝.又x1＋x2＝2，所以＝2，解得k＝－，故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
方法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其斜率为k，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1①，＋＝1②，由①－②，得＋＝0.因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，则＋y1－y2＝0，所以k＝＝－，所以此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
(2) C　解析：由题意，圆(x＋2)2＋y2＝3的圆心为(－2，0)，半径r＝，所以直线e的斜率一定存在．设直线e的方程为y＝kx，则＝，整理可得k2＝3，解得k＝±.当k＝时，直线e的方程为y＝x，联立消去y并整理，得3x2－2px＝0，解得x＝0或x＝，故点M，则OM＝＝＝4，解得p＝3；当k＝－时，直线e的方程为y＝－x，同理可得点M，则OM＝＝＝4，解得p＝3.综上，p＝3.
变式训练　(1) 由题意，得解得
故椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2) 设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，线段MN的中点为
P(x0，y0)，则2x0＝x1＋x2，2y0＝y1＋y2.
由(1)，得F(－1，0)，
则直线DF的斜率为kDF＝＝－.
当n＝0时，直线MN的斜率不存在，
根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN；
当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝＝.
因为点M，N在椭圆E上，所以
由①－②，得＋＝0.
又2x0＝x1＋x2，2y0＝y1＋y2，
所以＝－，即直线OP的斜率为kOP＝－.
因为直线OD的斜率为kOD＝－，
所以直线OD平分线段MN.
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(1) 因为长轴长为4，所以a＝2.
又离心率为，所以c＝，则b＝，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 由题意可知直线l的斜率存在，且不为0，
设直线l：y＝kx－2，点A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立消去y并整理，得(1＋2k2)x2－8kx＋4＝0.
由Δ＝32k2－16>0，得k2>，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以AB＝|x1－x2|＝·＝·＝·.
又因为原点O到直线l的距离d＝，
所以△AOB的面积为AB·d＝×××＝＝，
化简，得(2k2－3)2＝0，即k2＝，
故d＝，则AB＝＝.
例5　(1) 因为椭圆 ＋＝1经过点(b，2e)，
所以＋＝1.
因为e2＝＝，所以＋＝1.
因为a2＝b2＋c2，
所以＋＝1，
整理，得 b4－12b2＋32＝0，
解得b2＝4或b2＝8(舍去)，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 方法一：分别过点A，B作椭圆右准线的垂线，垂足分别为A′，B′，再过点B作BM⊥AA′，垂足为M.
设TB＝m，由＝2，知TA＝2m.
由(1)知T为椭圆C的右焦点，
所以BB′＝，AA′＝，
所以AM＝＝m.
在Rt△ABM中，BM＝＝m，
所以tan ∠BAM＝＝，
故直线l的斜率k为.
方法二：设直线l的方程为y＝k(x－2)，点A(x1，y1)，B(x2，y2).
由＝2，得y1＝－2y2①.
由题意，得k≠0，不妨设m＝，
联立消去x并整理，得(m2＋2)y2＋4my－4＝0，
则y1＋y2＝－②，y1y2＝－③，
联立①②③，解得m2＝，
即k＝或k＝－(舍去)，
故直线l的斜率k为.
变式训练1　设直线l的方程为y＝k(x－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2).
由＝2，知y1＝－2y2①.
由题意，得k≠0，不妨设m＝，
联立消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2my－7＝0，
所以y1＋y2＝－②，y1y2＝－③，
联立①②③，解得m2＝14，
即k＝－(舍去)或k＝，
故直线l的斜率k为.
变式训练2　(1) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－1)，联立
消去y并整理，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，
联立消去y并整理，得 (2k2＋1)x2＝8，
解得x2＝.
因为MN∥l，所以＝. 　
因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝，(xM－xN)2＝4x2＝，
所以＝·＝.
(2) 在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，
所以点P(0，－k)，
所以＝(－x1，－k－y1), ＝(x2－1，y2).
因为＝，所以－x1＝(x2－1)，
即x1＋x2＝.
由(1)，知x1＋x2＝，x1x2＝.
联立解得
所以×＝，
整理，得50k4－83k2－34＝0，
解得k2＝2或k2＝－ (舍去).
又因为k＞0，所以k＝.

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