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9.2　二项式定理
一、 单选题
1 [2025无锡期中]在的展开式中，常数项为(　　)
A. －4 B. 4
C. －32 D. 32
2 (1＋2x)n的展开式中二项式系数最大的为C，则n的值不可能为(　　)
A. 10 B. 11
C. 12 D. 13
3 设C(x＋2)n－C(x＋2)n-1＋C(x＋2)n-2－…＋(－1)nC＝a0xn＋a1xn-1＋…＋an－1x＋an，则a1＋a2＋…＋an－1等于(　　)
A. 2n-1－2 B. 2n-1－1
C. 2n－2 D. 2n－1
4 在的展开式中，的系数为(　　)
A. 60 B. －60
C. 120 D. －120
二、 多选题
5 已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中第3项和第11项的二项式系数相等，则下列结论中正确的是(　　)
A. 第7项的二项式系数最大
B. 所有奇数项二项式系数的和为213
C. ＋＋…＋＝－1
D. a1＋2a2＋3a3＋…＋12a12＝－12
6 [2025广东一模]已知在的展开式中，设前3项的系数分别为a，b，c，若a＋c＝2b，则下列结论中正确的是(　　)
A. n＝6
B. 展开式的中间项为x
C. 展开式中有4项有理项
D. 展开式中系数最大的项为第3项和第4项
7 “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列结论中正确的是(　　)
A. C＋C＋C＋…＋C＝164
B. 在第2 022行中第1 011个数最大
C. 记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则(2i-1ai)＝3n
D. 第34行中第15个数与第16个数之比为2∶3
三、 填空题
8 [2025南京开学考试]已知(n∈N*)的展开式中第2项的二项式系数为6，则展开式中的常数项为________．
9 1.056的计算结果精确到0.01的近似值是________．
10 [2026南京中华中学月考]已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项的系数和为________．
四、 解答题
11 已知.
(1) 若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项；
(2) 若展开式中第2项与第4项的系数之比是4∶5，求展开式中的有理项．
12 [2026镇江期初]已知f(x)＝(x－2)n，n∈N*.
(1) 当n＝10时，f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，求a0，a1，a2，…，an中的最大值；
(2) 若f(x)＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)2＋…＋bn(x＋1)n，求rbr.
9．2　二项式定理
1. C　解析：展开式的通项为Tr＋1＝C(x3)4-r·＝(－2)rCx12-4r，令12－4r＝0，解得r＝3，所以常数项为(－2)3C＝－32.
2. A　解析：由二项式系数的对称关系可知当n＝10时，所有二项式系数中，C最大；当n＝11时，所有二项式系数中，C＝C，且C，C均为最大；当n＝12时，所有二项式系数中，C最大；当n＝13时，所有二项式系数中，C＝C，且C，C均为最大．故n的值不可能为10.
3. C　解析：因为C(x＋2)n－C(x＋2)n-1＋C(x＋2)n-2－…＋(－1)nC＝(x＋2－1)n＝(x＋1)n，所以(x＋1)n＝a0xn＋a1xn-1＋…＋an－1x＋an，当x＝1时，a0＋a1＋…＋an＝(1＋1)n＝2n；当x＝0时，an＝(0＋1)n＝1.由等式左右两边xn系数相等可得a0＝C＝1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n－2.
4. A　解析：由题意，得＝的通项为Tr＋1＝C，r＝0，1，…，6，且的通项为Sk＋1＝Cx6-r－k＝(－2)kCx6-r－ky－k，令k＝2，6－r－k＝4，解得k＝2，r＝0，所以的系数为C(－2)2C＝60.
5. AC　解析：由题意，得C＝C，所以n＝12.对于A，根据二项式定理的性质，得中间项第7项的二项式系数最大，故A正确；对于B，根据二项式系数的性质，得所有奇数项二项式系数的和为211，故B错误；对于C，令x＝，得a0＋＋＋…＋＝(1－1)12＝0，令x＝0，得a0＝1，所以＋＋…＋＝－1，故C正确；对于D，由(1－2x)12＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，得[(1－2x)12]′＝(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12)′，即－24(1－2x)11＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋12a12x11，令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋12a12＝－24×(1－2)11＝24，故D错误．故选AC.
6. BD　解析：展开式的通项为Tr＋1＝Cx，其中0≤r≤n且r∈N.因为前3项的系数为a，b，c，且a＋c＝2b，所以2×C＝C＋C，整理，得n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)，故A错误；展开式的通项为Tr＋1＝Cx，其中0≤r≤8且r∈N，展开式的中间项为T5＝Cx＝x，故B正确；令∈Z，0≤r≤8且r∈N，得r＝0或r＝4或r＝8，所以当r＝0，4，8时，Tr＋1为有理项，共3项，故C错误；由解得2≤r≤3，故展开式中系数最大的项为第3项和第4项，故D正确．故选BD.
7. AC　解析：对于A，C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋C＋…＋C－C＝…＝C－C＝164，故A正确；对于B，第2 022行的数是(a＋b)2 022展开式的二项式系数，所以第2 022行中第＋1＝1 012(个)数最大，故B错误；对于C，“杨辉三角”第n行的数是(a＋b)n展开式的二项式系数，所以ai＝C，所以(2i-1ai)＝(2i-1·C)＝(C·1n－i+1·2i-1)＝(1＋2)n＝3n，故C正确；对于D，第34行的数是(a＋b)34展开式的二项式系数，所以第15个数与第16个数之比为C∶C＝3∶4，故D错误．故选AC.
8. 135　解析：由题意，得C＝6，解得n＝6，则展开式的通项为Tk＋1＝C(3x)6-k＝36-k·Cx6-，令6－＝0，得k＝4，所以展开式中常数项为36-4C＝135.
9. 1.34　解析：1.056＝(1＋0.05)6＝1＋C×0.05＋C×0.052＋…＋C0.056≈1＋0.3＋0.037 5＝1.337 5≈1.34.
10. 729　解析：因为展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)6-r＝a6-rCx6-，r＝0，1，2，…，6，所以展开式中第2项的系数为a5C＝6a5，第2项的二项式系数为C＝6，所以6a5＋6＝198，解得a＝2.令x＝1，得展开式中的所有项的系数之和为36＝729.
11. (1) 由题意，得2n＝64，所以n＝6，
则展开式中二项式系数最大的项是T4＝C(x)6-3·＝20×x－＝－x－.
(2) 由题意，得＝，则＝，
整理，得n2－3n－28＝0，n∈N*，解得n＝7，
则Tr＋1＝C(x)7-r＝Cx－r(0≤r≤7，r∈N)，
令－r＝∈Z，得r＝4，即T5＝Cx-1.
故有理项为T5＝x-1.
12. (1) 当n＝10时，f(x)＝(x－2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
易知(x－2)10展开式的通项为Tr＋1＝Cx10-r(－2)r，
则ar＝C(－2)10-r，r＝0，1，2，…，10，
显然r为奇数时，ar<0；r为偶数时，ar>0，
所以当ar取到最大值时，r为偶数．
设ak为最大项，其中k＝0，2，4，6，8，10.
当2≤k≤8时，
即
整理，得解得≤x≤.
又k＝2，4，6，8，所以k＝4.
易得a0＝210＝1 024，a10＝20＝1，a4＝13 440，则a0所以最大项为a4＝13 440.
(2) 方法一：因为f(x)＝(x－2)n＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)2＋…＋bn(x＋1)n，
所以f′(x)＝n(x－2)n-1＝b1＋2b2(x＋1)＋…＋nbn(x＋1)n-1.
令x＝0，得n(－2)n-1＝b1＋2b2＋…＋nbn，
所以rbr＝n(－2)n-1.
方法二：易得(x－2)n＝[(－3)＋(x＋1)]n＝C(－3)n＋C(－3)n-1·(x＋1)1＋C(－3)n-2(x＋1)2＋…＋C(－3)0(x＋1)n，
则br＝C(－3)n－r，r＝0，1，2，…，n.
因为rC＝r·＝＝nC，
所以rbr＝nC(－3)n－r，
所以rbr＝rbr＝nC(－3)n－r＝nC(－3)n－r＝n[C(－3)n-1＋C(－3)n-2＋…＋C(－3)0]＝n[(－3)＋1]n-1＝n(－2)n-1.9.2　二项式定理
复习目标　1. 能用计数原理证明二项式定理.2. 会用二项展开式以及展开式的通项.3. 会用二项式定理解决与二项式定理有关的简单问题.
二项式定理
活动一 基础引入
1 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为(　　)
A. 60 B. 80
C. 100 D. 120
2 已知在(－)n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3，则展开式中系数绝对值最大的项是(　　)
A. 第6项 B. 第8项
C. 第9项 D. 第11项
3 [2025安徽部分重点中学期中]若(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2的值为(　　)
A. 49 B. 55 C. 120 D. 165
4 (多选)[2025苏州期初] 下列关于的二项展开式的结论中，正确的是(　　)
A. 二项式系数最大的项为第3项
B. 常数项为第5项
C. 展开式中含x3的项为60x3
D. 展开式中所有项的系数和为64
5 将展开后，常数项是________．
活动二 典例悟法
题组一　求二项展开式中的特定项
1 已知在(－)n的展开式中，第5项为常数项．
(1) 求n的值；
(2) 求含x2的项的系数.
在例1的条件下，求展开式中所有的有理项．
[2025上海卷·4]在(2x－1)5的展开式中，x3的系数为________．
题组二　二项式系数与某些项的系数问题
2 已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：
(1) 展开式中各项的系数之和；
(2) 展开式中所有奇数项的系数之和．
1 在例2中，求展开式中各项系数的绝对值的和．
2 在例2中，求展开式中二项式系数最大的项．
3 在例2中，求展开式中系数的绝对值最大的项．
1 [2025北京卷·12]已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝________，a1＋a2＋a3＋a4＝________．
2 [2024全国甲卷(理)·13]的展开式中，各项系数中的最大值为________.
3 (1) 已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为5，则实数a的值为(　　)
A. －4 B. －3 C. －2 D. －1
(2) 在(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A. 10 B. 20 C. 30 D. 60
(3) 的展开式中的常数项为(　　)
A. 1 B. 11 C. －19 D. 51
1 若x(x－2)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a5＋a6的值为(　　)
A. －14 B. 0 C. 14 D. －28
2 [2025湖州南太湖双语学校月考]已知(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9等于(　　)
A. 9 B. 10 C. 18 D. 19
[2022新课标Ⅰ卷·13](x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________．
题组三　二项展开式的应用
4 (1) 设a∈Z，且0≤a<13，若512 018＋a能被13整除，则a的值为(　　)
A. 0 B. 1 C. 11 D. 12
(2) 1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数为________．
9．2　二项式定理
1. B　解析：当x＝1时，3n＝243，解得n＝5，则展开式的通项为Tr＋1＝C(x3)5-r＝Cx15-3r2rx-2r＝C2rx15-5r.令15－5r＝0，解得r＝3，所以常数项为C23＝10×8＝80.
2. B　解析：由题意，得展开式的通项为Tr＋1＝C·()n－r＝(－2)r·C·x－，r＝0，1，2，…，n，所以第5项的系数为(－2)4·C＝16C，第3项的系数为(－2)2·C＝4C.由题意知，＝，整理可得n2－5n－50＝0，解得n＝10或n＝－5(舍去)，所以n＝10，Tr＋1＝(－2)r·C·x5-.设第s＋1项系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为2s·C，则即整理可得所以≤s≤.又s∈N*，所以s＝7，所以展开式中系数绝对值最大的项是第8项．
3. D　解析：因为(1＋x)n展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，所以a2＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C.因为C＋C＝C，所以C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝…＝C＝165.
4. BC　解析：由题意，得二项式系数最大为C，为第4项，故A错误；的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6-r＝2r·Cx6-r，r＝0，1，2，3，4，5，6，令6－r＝0，解得r＝4，所以常数项为第5项，故B正确；令6－r＝3，解得r＝2，所以含x3的项为22Cx3＝60x3，故C正确；对于，令x＝1，得＝36＝729，故D错误．故选BC.
5. －160　解析：＝展开式的通项是Tk＋1＝＝(－2)k·Cx3-k.令3－k＝0，得k＝3，所以常数项是C(－2)3＝－160.
例1　(1) 由题意，得二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx·x＝C x.
因为第5项为常数项，
所以当r＝4时，＝0，解得n＝8.
(2) 由(1)，得n＝8.
令＝2，得r＝(n－6)＝1，
所以含x2的项的系数为C×＝－4.
变式训练　 由题意，得
令＝m(m∈Z)，则8－2r＝3m，即r＝4－m.
因为0≤r≤8，且r∈Z，所以m应为偶数，
所以m可取2，0，－2，即r可取1，4，7，
所以第2项，第5项与第8项均为有理项，它们分别为－4x2, ，－.
链接高考
80　解析：由题意，得二项展开式的通项为Tr＋1＝C·25-r·x5-r·(－1)r＝C·(－1)r·25-rx5-r，令5－r＝3，得r＝2，所以x3的系数为C·(－1)2·25-2＝80.
例2　由题意，得展开式中二项式系数和为2n＝32，解得n＝5.
设(x－3)5 ＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.
(1) 展开式中各项的系数之和为a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(－2)5＝－32.
(2) 展开式中所有奇数项的系数之和为a0＋a2＋a4.
令x＝－1，得－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝(－4)5＝－1 024. ①
又a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－32.②
由②－①并整理，得 a0＋a2＋a4＝496.
变式训练1　展开式中各项系数的绝对值的和为|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.
方法一：由例2，可得a0＋a2＋a4＝496，a1＋a3＋a5＝－528，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝ a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝1 024.
方法二：由题意可知|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|即是二项式(x＋3)5展开式中各项系数的和．
在(x＋3)5中，令x＝1，得其各项系数的和为45＝1 024.
变式训练2　因为n＝5，展开式共6项，
所以二项式系数最大的项为第3，4两项，
所以二项式系数最大的项为T3＝Cx3(－3)2＝90x3，
T4＝Cx2(－3)3＝－270x2.
变式训练3　设展开式中第r＋1项系数的绝对值最大，
则Tr＋1＝Cx5-r(－3)r＝(－3)rCx5-r，
所以解得≤r≤，
所以r＝4，
即展开式中第5项系数的绝对值最大，
T5＝Cx·(－3)4＝405x.
链接高考
1. 1　15　解析：令x＝0，则a0＝1.又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，所以(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3·(－2x)3＋a4(－2x)4.令t＝－2x，则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4，令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24，所以a1＋a2＋a3＋a4＝15.
2. 5　解析：展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，0≤r≤10且r∈Z.设展开式中的第r＋1项系数最大，则解得≤r≤.又r∈Z，故r＝8，展开式中系数最大的项是第9项，且该项的系数为C＝5.
例3　(1) D　解析：由题意，得二项展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1.
(2) C　解析：(x2＋x＋y)5展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5-r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2.又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)3-k·xk＝Cx6-k，令6－k＝5，则k＝1，所以在(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30.
(3) B　解析：展开式的通项为Tr＋1＝C，当r＝5时，常数项为C＝1；当0≤r<5，且r∈Z时，易知展开式的通项为Tk＋1＝Cx5-r－k·＝(－1)kCx5-r-2k，0≤k≤5－r，且k∈Z.令5－r－2k＝0，解得或当r＝3时，常数项为－CC＝－20；当r＝1时，常数项为CC＝30.综上，常数项为1－20＋30＝11.
变式训练1　B　解析：因为x(x－2)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，且x(x－2)7＝[(x－1)＋1]·[(x－1)－1]7，所以a5＝C·(－1)2＋C·(－1)3＝－14，a6＝C·(－1)1＋C·(－1)2＝14，所以a5＋a6＝0.
变式训练2　D　解析：由(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，得(x－1)(2x－3)9＝a0(x－1)＋a1(x－1)2＋a2(x－1)3＋…＋a8(x－1)9＋a9(x－1)10，分别对两边进行求导，得(2x－3)9＋18(x－1)(2x－3)8＝a0＋2a1(x－1)＋3a2(x－1)2＋…＋9a8(x－1)8＋10a9(x－1)9，令x＝2，得(2×2－3)9＋18×(2－1)×(2×2－3)8＝a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9，所以a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝19.
链接高考
－28　解析：因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6，所以x2y6的系数为－28.
例4　(1) D　解析：因为51＝52－1，所以(52－1)2 018＝C522 018－C522 017＋…－C521＋1.又13整除52，所以只需13整除1＋a.又0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.
(2) 1　解析：因为1－90C＋902C－…＋(－1)k·90k·C＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910，所以8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1.因为前10项均能被88整除，所以余数是1.(共34张PPT)
第九章
9.2　二项式定理
统计与概率
复习目标　1．能用计数原理证明二项式定理.2．会用二项展开式以及展开式的通项.3．会用二项式定理解决与二项式定理有关的简单问题．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
二
项
式
定
理
活 动 方 案
活动一　基础引入
B
B
3 [2025安徽部分重点中学期中]若(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2的值为 (　　)
A．49　　　　B．55　　　　C．120　　　　D．165
D
BC
－160
活动二　典例悟法
1
　　　　　　在例1的条件下，求展开式中所有的有理项．
[2025上海卷·4]在(2x－1)5的展开式中，x3的系数为_____．
80
题组二　二项式系数与某些项的系数问题
　　　已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：
(1) 展开式中各项的系数之和；
(2) 展开式中所有奇数项的系数之和．
2
【解析】由题意，得展开式中二项式系数和为2n＝32，解得n＝5.
设(x－3)5 ＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.
(1) 展开式中各项的系数之和为a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(－2)5＝－32.
(2) 展开式中所有奇数项的系数之和为a0＋a2＋a4.
令x＝－1，得－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝(－4)5＝－1 024．①
又a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－32.②
由②－①并整理，得 a0＋a2＋a4＝496.
　　　　　　1 在例2中，求展开式中各项系数的绝对值的和．
【解析】展开式中各项系数的绝对值的和为|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.
方法一：由例2，可得a0＋a2＋a4＝496，a1＋a3＋a5＝－528，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝ a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝1 024.
方法二：由题意可知|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|即是二项式(x＋3)5展开式中各项系数的和．
在(x＋3)5中，令x＝1，得其各项系数的和为45＝1 024.
　　　　　　2 在例2中，求展开式中二项式系数最大的项．
　　　　　　3 在例2中，求展开式中系数的绝对值最大的项．
1 [2025北京卷·12]已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝____，a1＋a2＋a3＋a4＝_____．
1
【解析】令x＝0，则a0＝1.又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，所以(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3·(－2x)3＋a4(－2x)4.令t＝－2x，则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4，令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24，所以a1＋a2＋a3＋a4＝15.
15
2
　　　(1) 已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为5，则实数a的值为 (　　)
A．－4　　　　B．－3　　　　C．－2　　　　D．－1
3
D
(2) 在(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为 (　　)
A．10　　　　B．20　　　　C．30　　　　D．60
C
B
　　　　　　1 若x(x－2)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a5＋a6的值为 (　　)
A．－14　　　　B．0　　　　C．14　　　　D．－28
B
　　　　　　2 [2025湖州南太湖双语学校月考]已知(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9等于 (　　)
A．9　　　　B．10　　　　C．18　　　　D．19
D
【解析】由(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，得(x－1)(2x－3)9＝a0(x－1)＋a1(x－1)2＋a2(x－1)3＋…＋a8(x－1)9＋a9(x－1)10，分别对两边进行求导，得(2x－3)9＋18(x－1)(2x－3)8＝a0＋2a1(x－1)＋3a2(x－1)2＋…＋9a8(x－1)8＋10a9(x－1)9，令x＝2，得(2×2－3)9＋18×(2－1)×(2×2－3)8＝a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9，所以a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝19.
－28
题组三　二项展开式的应用
　　　(1) 设a∈Z，且0≤a<13，若512 018＋a能被13整除，则a的值为 (　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．11　　　　D．12
4
D
1
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