资源简介

9.3　随机抽样、用样本估计总体
一、 单选题
1 [2025石家庄一模]某同学记录了3月1日到8日每天的最高温度(单位：℃)，分别为13，9，13，10，8，8，15，14，则该组数据的80百分位数为(　　)
A. 10 B. 13 C. 13.5 D. 14
2 [2025青岛一模]若样本数据1，x1，x2，…，x9的平均数为1，方差为2，则数据x1，x2，…，x9相对于原数据　(　　)
A. 平均数变小 B. 平均数变大
C. 方差变小 D. 方差变大
3 [2025南京、盐城一模]某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是(　　)
A. 极差 B. 45百分位数
C. 平均数 D. 众数
4 [2025武汉调研]某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的是(　　)
A. a＝0.05
B. 评分的众数的估计值为70
C. 评分的25百分位数的估计值为67.5
D. 评分的平均数的估计值为76
二、 多选题
5 [2025长沙期末]为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些样本观测数据进行适当分组后(前四组为左闭右开的区间，最后一组为闭区间)，绘制出如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的是(　　)
A. 样本观测数据的极差不大于50
B. 样本观测数据落在区间[65，75)上的频率为0.025
C. 样本观测数据的平均数大于中位数
D. 若将工人每天加工产品的最少数量设为55，则估计80%的工人能完成任务
6 [2025广州一模]已知某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10，则下列结论中正确的是(　　)
A. 两组数据的平均数相等
B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差
C. 两组数据的极差相等
D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数
7 [2025郴州、娄底模拟]某市为丰富市民的业余生活，春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛，比赛分青年组、中年组和老年组．每组由6位专业评委对演唱评分(满分10分)，老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B. 甲得分的极差大于乙得分的极差
C. 甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数
D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
三、 填空题
8 在某校2025年秋季入学考试中，某班数学成绩的平均分为125分，方差为s.成绩分析时老师发现有三名同学的成绩录入有误，A同学实际成绩137分，被错录为118分；B同学实际成绩115分，被错录为103分；C同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为s，则s________s.(填“>”“<”或“＝”)
9 为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动．某班8位同学的成绩分别为7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是________．(写出一个满足条件的m值即可)
10 为了解某大学射击社团的射击水平，分析组用分层抽样的方法抽取了6名老学员和2名新学员的某次射击成绩进行分析，经测算，6名老学员的射击成绩的样本平均数为8环，方差为环2；2名新学员的射击成绩分别为3环和5环，则抽取的这8名学员的射击成绩的方差为________环2.
四、 解答题
11 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式．某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流．
(1) 应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
(2) 在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计(单位：元)，所得频率分布直方图如图2所示．
①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数；(求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表)
②若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．
图1 图2
　　　　　
12 某市开展创建全国文明城市知识竞赛，随机抽取n名参赛者的成绩统计如下表．
(1) 求出n，a，b的值，并画出频率分布直方图；
(2) 估计这n名参赛者成绩的众数和平均数；
(3) 估计这次知识竞赛成绩的60百分位数(精确到0.01).
成绩分组 频数 频率
[50，60) 10 0.10
[60，70) 25 a
[70，80) 35 0.35
[80，90) b 0.20
[90，100] 10 0.10
9．3　随机抽样、用样本估计总体
1. D　解析：由题意，得将数据从小到大排列有8，8，9，10，13，13，14，15，共8项数据，所以n＝8×0.8＝6.4.故该组数据的80百分位数为第7项数据14.
2. D　解析：设原数据的平均数为，方差为s2，变化后的数据的平均数为1，方差为s.由题意，得＝(1＋x1＋x2＋…＋x9)＝1，s2＝[(1－1)2＋(x1－1)2＋…＋(x9－1)2]＝2，则x1＋x2＋…＋x9＝9，(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x9－1)2＝20，所以1＝(x1＋x2＋…＋x9)＝1，s＝[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x9－1)2]＝，所以＝1，s23. B　解析：对于A，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A错误；对于B，因为10×0.45＝4.5，所以10个数据的45百分位数为从小到大排列后的第5个数据．又8×0.45＝3.6，所以8个数据的45百分位数为从小到大排列后的第4个数据，即为原来的第5个数据，故B正确；对于C，去掉一个最高分与一个最低分，平均数可能变化，故C错误；对于D，去掉一个最高分与一个最低分，众数可能变化，故D错误．
4. C　解析：由题意，得10×(2a＋3a＋4a＋5a＋6a)＝1，解得a＝0.005，故A错误；评分的众数的估计值为＝75，故B错误；因为0.1<0.25，0.1＋0.2＝0.3>0.25，所以评分的25百分位数的估计值为60＋10×＝67.5，故C正确；评分的平均数的估计值为0.1×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.25×85＋0.15×95＝76.5，故D错误．
5. ACD　解析：对于A，由频率分布直方图可知，样本观测数据的极差的最大值为95－45＝50，故A正确；对于B，由频率分布直方图可知，样本观测数据落在区间[65，75)上的频率为0.025×10＝0.25，故B错误；对于C，由频率分布直方图可知，样本观测数据的平均数为10×(0.020×50＋0.040×60＋0.025×70＋0.010×80＋0.005×90)＝64.因为样本观测数据落在区间[45，55)上的频率为0.020×10＝0.2<0.5，样本观测数据落在区间[45，65)上的频率为 0.020×10＋0.040×10＝0.6>0.5，所以样本观测数据的中位数位于区间[55，65)中，设为x，则0.020×10＋0.040×(x－55)＝0.5，解得x＝62.5，所以样本观测数据的中位数为62.5，则62.5<64，故C正确；对于D，由C知，样本观测数据落在区间[45，55)上的频率为0.2，所以将工人每天加工产品的最少数量设为55，则估计80%的工人能完成任务，故D正确．故选ACD.
6. AD　解析：第一组的平均数为×(7＋7＋7＋8＋8＋9＋10)＝8，方差为×[(10－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(7－8)2]＝，极差为10－7＝3，中位数为8；第二组的平均数为×(5＋5＋8＋9＋9＋10＋10)＝8，方差为×[(5－8)2＋(5－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2＋(10－8)2]＝4，极差为10－5＝5，中位数为9，故A，D正确，B，C错误．故选AD.
7. ABD　解析：由题意，得甲的得分从小到大排列为7.0，8.3，8.9，8.9，9.2，9.3；乙的得分从小到大排列为8.1，8.5，8.6，8.6，8.7，9.1.因为数据个数n＝6为偶数，所以甲得分的中位数为＝8.9，乙得分的中位数为＝8.6，故A正确；甲得分的极差为9.3－7.0＝2.3，乙得分的极差为9.1－8.1＝1，故B正确；因为6×75%＝4.5，所以甲得分的上四分位数是9.2，乙得分的上四分位数是8.7，故C错误；由图象可知甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确．故选ABD.
8. <　解析：因为118＋103＋129＝137＋115＋98，所以更正前后平均分不变．又(118－125)2＋(103－125)2＋(129－125)2<(137－125)2＋(115－125)2＋(98－125)2，所以s9. 7(答案不唯一)　解析：若去掉m，则该组数据从小到大排列为6，7，7，8，8，9，10，因为7×0.25＝1.75，所以25百分位数为第二个数即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m的25百分位数为7.又8×0.25＝2，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10.
10. 　解析：记6名老学员射击环数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，8名学员的射击成绩的平均数和方差分别为，s2.由题意可知，xi＝6×8＝48，(xi－8)2＝6×＝10，则＝＝×56＝7，所以s2＝[ (xi－7)2＋(3－7)2＋(5－7)2]＝[ (xi－8＋1)2＋20]＝[(xi－8)2＋2xi－15]＋＝(xi－8)2＋xi－＝×10＋×48－＝.
11. (1) 由分层抽样可知应抽取小吃类60×(1－30%－15%－10%－5%－5%)＝21(家)，生鲜类60×15%＝9(家)，
所以应抽取小吃类21家，生鲜类9家．
(2) ①由题意，得(0.002×3＋2a＋0.006)×50＝1，
解得a＝0.004.
设中位数为x.
因为(0.002＋0.004)×50＝0.3<0.5，
(0.002＋0.004＋0.006)×50＝0.6>0.5，
所以(x－400)×0.006＋0.3＝0.5，解得x＝，
所以该直播平台商家平均日利润的中位数为元．
平均数为(325×0.002＋375×0.004＋425×0.006＋475×0.004＋525×0.002＋575×0.002)×50＝440，
所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元．
②×50×800＝256(个)，
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为256.
12. (1) 由[70，80)组数据可得n＝＝100，
所以a＝＝0.25，b＝100×0.2＝20，
频率分布直方图如下：
(2) 估计这几名参赛者成绩的众数为＝75，
平均数为55×0.1＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.2＋95×0.1＝74.5.
(3) 因为0.10＋0.25＝0.35<0.6，0.10＋0.25＋0.35＝0.7>0.6，
所以60百分位数在区间[70，80)内，
所以60百分位数为70＋10×≈77.14.9.3　随机抽样、用样本估计总体
复习目标　1. 会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层抽样的方法.2. 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.3. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．
抽样方法
用样本估计总体
活动一 基础引入
1 某大学共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为(　　)
A. 80 B. 60 C. 40 D. 20
2 [2025池州二模] 春季是流感的高发季节，某医院对8名甲型流感患者展开临床观察，记录了从开始服药到痊愈所需的天数，具体数据如下(单位：天)：7，4，6，5，8，5，6，4，则下列说法中正确的是(　　)
A. 这组数据的众数为5
B. 这组数据的平均数为5
C. 这组数据的60百分位数为6
D. 这组数据的极差为5
3 某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类课题组的人数比参加理化类课题组的人数多(　　)
A. 16 B. 30 C. 32 D. 62
4 [2025咸宁崇阳二中期中]已知样本数据x，y，8，10，11的平均数为8，方差为6，则x2＋y2的值为________.
5 某工厂利用随机数表法对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第4行：
66　67　40　37　14　64　05　71　11　05
65　09　95　86　68　76　83　20　37　90
57　16　03　11　63　14　90　84　45　21
75　73　88　05　90　52　23　59　43　10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是________.
活动二 典例悟法
题组一　抽样方法
1 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)
①从无限多的个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2 (1) 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120，80，60.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于(　　)
A. 9 B. 10 C. 12 D. 13
(2) 我国古代数学名著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣(　　)
A. 104人 B. 108人
C. 112人 D. 120人
题组二　频率分布直方图的绘制与应用
3 某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：h)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5 h的人数是(　　)
A. 56 B. 60
C. 120 D. 140
4 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1) 求频率分布直方图中a的值；
(2) 设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3t的人数；
(3) 估计居民月均用水量的中位数．
题组三　用样本的数字特征估计总体的数字特征
5 某市有210名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了60名学生的答卷，成绩如下表：
成绩 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分
人数分布 0 0 0 6 15 21 12 3 3 0
(1) 求样本的平均成绩和标准差(精确到0.01分)；
(2) 若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以进入复赛？
6 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图：
(1) 分别求出两人得分的平均数与方差；
(2) 根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
1 [2024新课标Ⅱ卷·4]某农业研究部门在面积相等的100块田里种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如下表：
亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050)
频数 6 12 18
亩产量 [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200]
频数 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是(　　)
A. 100块稻田亩产量的中位数小于1 050kg
B. 100块稻田中亩产量低于1 100kg的稻田所占比例超过80%
C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1 000kg 之间
2 (多选)[2023新课标Ⅰ卷·9]有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则下列说法中正确的是(　　)
A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D. x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
9．3　随机抽样、用样本估计总体
1. C　解析：由题意，得三年级抽取的学生人数为 ×200＝40.
2. C　解析：对于A，这组数据的众数为4，5，6，故A错误；对于B，这组数据的平均数为＝，故B错误；对于C，将这组数据按从小到大的顺序排列为4，4，5，5，6，6，7，8，因为60%×8＝4.8，所以这组数据的60百分位数为6，故C正确；对于D，这组数据的极差为8－4＝4，故D错误．
3. C　解析：由扇形统计图可知参加数学类课题组的人数为200×31%＝62，参加理化类课题组的人数为200×15%＝30.故参加数学类课题组的人数比参加理化类课题组的人数多62－30＝32.
4. 65　解析：由题意，得x＋y＝11，s2＝×[(x－8)2＋(y－8)2＋13]＝6，即(x－8)2＋(y－8)2＝17，则x2＋y2－16x－16y＋64＋64＝x2＋y2－16(x＋y)＋128＝17，所以x2＋y2＝65.
5. 09　解析：由题意，得符合条件的编号为14，05，11，09，….故第4个样本编号为09.
例1　A　解析：①不是简单随机抽样，因为是从无限多的个体中抽取；②不是简单随机抽样，因为它是放回抽样；③不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样，因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．
例2　(1) D　解析：由题意，得＝，解得n＝13.
(2) B　解析：由题意知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡抽取的人数为300×＝300×＝108.
例3　D　解析：设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140.
例4　(1) 由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.
(2) 由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3t的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
由样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3t的人数为 300 000×0.12＝36 000.
(3) 设中位数为xt.
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，
所以2≤x<2.5.
由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04t.
例5　(1) ＝×(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，
s2＝×[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5，
所以s≈1.22.
故样本的平均成绩为6分，标准差约为1.22分．
(2) 由表可知，在60名选手中，有12＋3＋3＝18(名)学生的预赛成绩在7分或7分以上，
所以210人中约有×210＝63(名)学生的预赛成绩在7分或7分以上，
故大约有63名学生可以参加复赛．
例6　(1) 由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分．
甲＝＝13；
乙＝＝13，
s＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4；
s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2) 由s>s，可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．
链接高考
1. C　解析：对于A，根据频数分布表可知， 6＋12＋18＝36<50，所以亩产量的中位数不小于1 050kg, 故A错误；对于B，因为亩产量不低于1 100kg的频数为24＋10＝34，所以低于1 100kg 的稻田占比为＝66%，故B错误；对于C，稻田亩产量的极差最大为1 200－900＝300(kg)，最小为1 150－950＝200(kg)，故C正确；对于D，由频数分布表可得亩产量的平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067(kg)，故D错误．
2. BD　解析：对于A，设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，则n－m＝－＝.因为2(x1＋x6)，x2＋x3＋x4＋x5的大小关系无法确定，所以无法判断m，n的大小关系，故A错误；对于B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x2，x3，x4，x5的中位数为，x1，x2，…，x6的中位数也为，故B正确；对于C，因为x1是最小值，x6是最大值，所以x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，故C错误；对于D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确．故选BD.(共34张PPT)
第九章
9.3　随机抽样、用样本估计总体
统计与概率
复习目标　1．会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层抽样的方法.2．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.3．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 某大学共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为 (　　)
A．80　　　　B．60　　　　C．40　　　　D．20
C
2 [2025池州二模] 春季是流感的高发季节，某医院对8名甲型流感患者展开临床观察，记录了从开始服药到痊愈所需的天数，具体数据如下(单位：天)：7，4，6，5，8，5，6，4，则下列说法中正确的是
(　　)
A．这组数据的众数为5
B．这组数据的平均数为5
C．这组数据的60百分位数为6
D．这组数据的极差为5
C
3 某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类课题组的人数比参加理化类课题组的人数多 (　　)
A．16　　　　
B．30　　　　
C．32　　　　
D．62
C
【解析】由扇形统计图可知参加数学类课题组的人数为200×31%＝62，参加理化类课题组的人数为200×15%＝30.故参加数学类课题组的人数比参加理化类课题组的人数多62－30＝32.
4 [2025咸宁崇阳二中期中]已知样本数据x，y，8，10，11的平均数为8，方差为6，则x2＋y2的值为_____．
65
5 某工厂利用随机数表法对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第4行：
66　67　40　37　14　64　05　71　11　05
65　09　95　86　68　76　83　20　37　90
57　16　03　11　63　14　90　84　45　21
75　73　88　05　90　52　23　59　43　10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是_____．
09
【解析】由题意，得符合条件的编号为14，05，11，09，….故第4个样本编号为09.
活动二　典例悟法
题组一　抽样方法
　　　下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为 (　　)
①从无限多的个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
1
A
【解析】①不是简单随机抽样，因为是从无限多的个体中抽取；②不是简单随机抽样，因为它是放回抽样；③不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样，因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．
　　　(1) 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120，80，60.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于 (　　)
A．9　　　　B．10　　　　C．12　　　　D．13
2
D
(2) 我国古代数学名著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣 (　　)
A．104人　　　B．108人　　　C．112人　　　D．120人
B
题组二　频率分布直方图的绘制与应用
　　　某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：h)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5 h的人数是 (　　)
A．56　
B．60　　　　
C．120
D．140
3
D
【解析】设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140.
　　　我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1) 求频率分布直方图中a的值；
(2) 设该市有30万居民，估计全市
居民中月均用水量不低于3t的人数；
(3) 估计居民月均用水量的中位数．
4
【解析】(1) 由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.
(2) 由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3t的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
由样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3t的人数为 300 000×0.12＝36 000.
(3) 设中位数为xt.
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，
所以2≤x<2.5.
由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04t.
题组三　用样本的数字特征估计总体的数字特征
　　　某市有210名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了60名学生的答卷，成绩如下表：
5
成绩 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分
人数分布 0 0 0 6 15 21 12 3 3 0
(1) 求样本的平均成绩和标准差(精确到0.01分)；
(2) 若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以进入复赛？
　　　甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图：
(1) 分别求出两人得分的平均数与方差；
(2) 根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
6
1 [2024新课标Ⅱ卷·4]某农业研究部门在面积相等的100块田里种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如下表：
亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050)
频数 6 12 18
亩产量 [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200]
频数 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是 (　　)
A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050kg
B．100块稻田中亩产量低于1 100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1 000kg 之间
C
2 (多选)[2023新课标Ⅰ卷·9]有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则下列说法中正确的是 (　　)
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
BD
对于C，因为x1是最小值，x6是最大值，所以x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，故C错误；对于D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确．故选BD.
谢谢观看
Thank you for watching

展开更多......

收起↑