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第九章
9.4　随机事件的概率、古典概型及互斥事件
统计与概率
复习目标　1．了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性.2．理解古典概型的特点及其概率计算公式．3．了解两个互斥事件的概率加法公式.4．会计算一些随机事件发生的概率．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 下列说法中，正确的是 (　　)
A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
B
【解析】对于A，事件发生的频率为0≤P(A)≤1，故A错误；对于B，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故B正确；对于C，小概率事件是指发生可能性极小的事件，是可能发生的，并不是不可能发生的事件．大概率事件就是发生可能性很大的事件，也可能不发生，并不是必然要发生的事件，故C错误；对于D，概率是稳定值，是频率的理想值，并不会随着频率的变化而变化，故与试验次数无关，故D错误．
2 [2025重庆调研]某池塘中饲养了A，B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的．在池塘的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据(单位：尾)，若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有
(　　)
C
采样点 品种A 品种B
东 20 9
南 7 3
西 17 8
A．6尾　　　　B．10尾　　　　C．13尾　　　　D．17尾
C
活动二　典例悟法
题组一　古典概型的概率问题
　　　先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：
(1) 点数之和是4的倍数的概率；
(2) 点数之和大于5且小于10的概率．
1
【解析】如图，由图可知基本事件共有36种．
　　　　　　1 在例1的条件下，求：
(1) 点数之和为7的概率；
(2) 出现两个4点的概率；
(3) 点数之和能被3整除的概率．
【解析】如图，由图可知基本事件与所描点一一对应，共36种．
(3) 记“点数之和能被3整除”为事件C.
由图可知事件C包含的基本事件共有12个，分别为(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6).
　　　　　　2 若先后抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，求点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率．
【解析】由题意可得基本事件数为36.
当m＝1时，1≤n≤3，故符合条件的点有3个；
当m＝2 时，1≤n≤4，故符合条件的点有4个；
当m＝3时，1≤n≤ 3，故符合条件的点有3个；
当m＝4时，n＝2，故符合条件的点有1个．
　　　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率．
2
题组二　古典概型与统计的综合
　　　在某次测验中，6位同学的平均成绩为 75分.用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
3
(1) 求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
(2) 从前5位同学中，随机地选出2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)内的概率．
编号n 1 2 3 4 5
成绩xn 70 76 72 70 72
(2) 从前5位同学中，随机地选出2位同学成绩的情况有(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10种，
　　　20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示．
(1) 求频率分布直方图中a的值；
(2) 分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)内的学生人数；
(3) 从成绩在[50，70)内的学生中任选2人，求此 2人的成绩都在[60，70)内的概率．
4
(3) 记成绩落在[50，60)内的2人为A1，A2，成绩落在[60，70)内的3人为B1，B2，B3，
则从成绩在[50，70)内的学生中任选2人的基本事件共有10个，分别为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，
其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个，即(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).
题组三　互斥事件与对立事件的概率
　　　下列命题：
①将一枚硬币抛掷两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；
②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；
③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；
④若事件A与B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件．
其中真命题的序号是_______．
5
②④
【解析】一枚硬币抛两次，共出现(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①是假命题；对立事件首先是互斥事件，故②是真命题；互斥事件不一定是对立事件，如①中的两个事件，故③是假命题；若事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故④是真命题．
　　　(1) 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为_______；
6
0.35
【解析】“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，则所求概率P＝1－P(A)＝0.35.
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复习目标　1. 了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性.2. 理解古典概型的特点及其概率计算公式．3. 了解两个互斥事件的概率加法公式.4. 会计算一些随机事件发生的概率．
随机事件的概率
活动一 基础引入
1 下列说法中，正确的是(　　)
A. 某事件发生的频率为P(A)＝1.1
B. 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C. 小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D. 某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
2 [2025重庆调研]某池塘中饲养了A，B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的. 在池塘的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据(单位：尾)，若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有(　　)
采样点 品种A 品种B
东 20 9
南 7 3
西 17 8
A. 6尾 B. 10尾 C. 13尾 D. 17尾
3 [2025安阳三模]某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为(　　)
A. B. C. D.
4 [2025长沙雅礼中学月考]从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为m，n，记“logmn<0”为事件A，则P(A)＝________.
5 [2025韶关曲江中学期中]为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”．某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试. 假设两题作答相互独立，现有甲、乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，，答对第二题的概率分别是，，则甲、乙两人中至少有一人通过面试的概率是________.
活动二 典例悟法
题组一　古典概型的概率问题
1 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：
(1) 点数之和是4的倍数的概率；
(2) 点数之和大于5且小于10的概率．
1 在例1的条件下，求：
(1) 点数之和为7的概率；
(2) 出现两个4点的概率；
(3) 点数之和能被3整除的概率．
2 若先后抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，求点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率．
3 若先后抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，求点P(m，n) 落在区域＋≤2内的概率．
2 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率．
[2024全国甲卷(理)·16]有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为________．
题组二　古典概型与统计的综合
3 在某次测验中，6位同学的平均成绩为 75分.用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5
成绩xn 70 76 72 70 72
(1) 求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
(2) 从前5位同学中，随机地选出2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)内的概率．
4 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示．
(1) 求频率分布直方图中a的值；
(2) 分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)内的学生人数；
(3) 从成绩在[50，70)内的学生中任选2人，求此 2人的成绩都在[60，70)内的概率．
题组三　互斥事件与对立事件的概率
5 下列命题：
①将一枚硬币抛掷两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；
②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；
③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；
④若事件A与B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件．
其中真命题的序号是________．
6 (1) 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________；
(2) 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
9．4　随机事件的概率、古典概型及互斥事件
1. B　解析：对于A，事件发生的频率为0≤P(A)≤1，故A错误；对于B，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故B正确；对于C，小概率事件是指发生可能性极小的事件，是可能发生的，并不是不可能发生的事件．大概率事件就是发生可能性很大的事件，也可能不发生，并不是必然要发生的事件，故C错误；对于D，概率是稳定值，是频率的理想值，并不会随着频率的变化而变化，故与试验次数无关，故D错误．
2. C　解析：因为鱼群在池塘里是均匀分布的，所以品种A的占比为＝.又在采样点北捕捞到20尾鱼，×20＝13.75，所以品种A约有13尾．
3. C　解析：由题意，得选出的3人中至少有1名女生的概率为P＝1－＝1－＝.
4. 　解析：因为logmn<0，所以01或m>1，05. 　解析：由题意可得甲没有通过面试的概率为P1＝1－×＝，乙没有通过面试的概率为P2＝1－×＝，所以甲、乙都没有通过面试的概率为P3＝×＝.故甲、乙两人中至少有一人通过面试的概率是P＝1－P3＝1－＝.
例1　如图，由图可知基本事件共有36种．
(1) 记“点数之和是4的倍数”的事件为A.
由图可知事件A包含的基本事件共有9个，分别为(1，3)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(6，6)，
所以P(A)＝.
(2) 记“点数之和大于5且小于10”的事件为B.
由图可知事件B包含的基本事件共有20个(已用虚线圈出)，
所以P(B)＝＝.
变式训练1　如图，由图可知基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1) 记“点数之和是7”为事件A.
由图可知事件A包含的基本事件共有6个，分别为(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6).
故P(A)＝＝.
(2) 记“出现两个4点”为事件B.
由图可知事件B包含的基本事件只有1个，即(4，4).
故P(B)＝.
(3) 记“点数之和能被3整除”为事件C.
由图可知事件C包含的基本事件共有12个，分别为(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6).
故P(C)＝＝.
变式训练2　由题意，得(m，n)的取值情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(1，6)；(2，1)，(2，2)，…，(2，6)；…；(6，1)，(6，2)，…，(6，6)，共36种情况，其中满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3种情况．故所求概率为＝ .
变式训练3　由题意可得基本事件数为36.
当m＝1时，1≤n≤3，故符合条件的点有3个；
当m＝2 时，1≤n≤4，故符合条件的点有4个；
当m＝3时，1≤n≤ 3，故符合条件的点有3个；
当m＝4时，n＝2，故符合条件的点有1个．
故符合条件的点共计11个，所以所求概率为.
例2　设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，
则P(A)＝＝，
所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.
链接高考
　解析：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A＝120(种)情况. 设前两个球的号码为a，b，第三个球的号码为c，则|－|≤，即|2c－(a＋b)|≤3，所以－3≤2c－(a＋b)≤3，所以a＋b－3≤2c≤a＋b＋3.若c＝1，则a＋b≤5，则(a，b)为(2，3)，(3，2)，共有2种情况；若c＝2，则1≤a＋b≤7，则(a，b)为(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，(5，1)，(6，1)，共有10种情况；若c＝3，则3≤a＋b≤9，则(a，b)为(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(4，5)，(2，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(5，4)，共有16种情况；若c＝4，则5≤a＋b≤11，同理有16种情况；若c＝5，则7≤a＋b≤13，同理有10种情况；若c＝6，则9≤a＋b≤15，同理有2种情况．综上，m与n之差的绝对值不大于的不同的抽取方法总数为2×(2＋10＋16)＝56.故所求概率为＝.
例3　(1) 因为这6位同学的平均成绩为75分，
所以×(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，
解得x6＝90,
则s2＝×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，
所以标准差s＝7.
(2) 从前5位同学中，随机地选出2位同学成绩的情况有(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10种，
恰有1位同学成绩在区间(68，75)内的情况有(70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4种，故所求概率为＝0.4,
即恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率为0.4.
例4　(1) 由频率分布直方图可知组距为10，
所以(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，
解得a＝＝0.005.
(2) 成绩落在[50，60)内的学生人数为2×0.005×10×20＝2.
成绩落在[60，70)内的学生人数为3×0.005×10×20＝3.
(3) 记成绩落在[50，60)内的2人为A1，A2，成绩落在[60，70)内的3人为B1，B2，B3，
则从成绩在[50，70)内的学生中任选2人的基本事件共有10个，分别为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，
其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个，即(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).
故所求概率为P＝.
例5　②④　解析：一枚硬币抛两次，共出现(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①是假命题；对立事件首先是互斥事件，故②是真命题；互斥事件不一定是对立事件，如①中的两个事件，故③是假命题；若事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故④是真命题．
例6　(1) 0.35　解析：“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，则所求概率P＝1－P(A)＝0.35.　
(2) 　解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.9.4　随机事件的概率、古典概型及互斥事件
一、 单选题
1 [2025常州月考]从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出下列事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥且不对立的事件是(　　)
A. ③ B. ①③ C. ②③ D. ①②
2 [2025镇江期初]由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为(　　)
A. B. C. D.
3 [2025安阳二模]为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为(　　)
A. B. C. D.
4 [2025江苏苏南十校联考]为迎接国庆假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得a百元代金券；摸到两红球，可获得b百元代金券；摸到两白球，可获得ab百元代金券(a，b均为整数).已知每位员工平均可得3.2百元代金券，则运气最好者最多获得(　　)
A. 5.4百元代金券 B. 9百元代金券
C. 8百元代金券 D. 18百元代金券
二、 多选题
5 关于频率和概率，下列说法中正确的是(　　)
A. 某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为
B. 数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12 000次硬币，得到正面向上的频率约为0.501 6；抛掷24 000次硬币，得到正面向上的频率为0.500 5.如果他抛掷36 000次硬币，正面向上的频率可能大于0.500 5
C. 某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2 000粒种子试种，一定会有1 806粒种子发芽
D. 将一颗均匀的骰子抛掷6 000次，则出现点数大于2的次数大约为4 000
6 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A为“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B为“抽取的两个小球标号之积大于8”，则下列结论中正确的是(　　)
A. 事件A发生的概率为
B. 事件A∪B发生的概率为
C. 事件A∩B发生的概率为
D. 从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
7 [2025厦门二模]某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则下列结论中正确的是(　　)
A. P(AB)＝ B. P(B|A)＝
C. P(A)＝P(B) D. P(A∪B)＝
三、 填空题
8 [2025池州二模]在学校三月文明礼仪月中，学生会4位干事各自匿名填写一张《校园设施改进建议卡》，老师将建议卡打乱顺序后，要求每人随机抽取一张进行互评审核，则恰好有2位干事抽到自己所写建议卡的概率为________．
9 [2025八省联考]有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为________．
10 [2026天津耀华中学期初]将若干个黑球和白球(这些球除颜色外无其他差异)放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5∶4∶6，且其中的黑球比例依次为40%，25%，50%.若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为________；若将所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为________．
四、 解答题
11 [2025扬州期末]已知给定两个集合A＝{1，2，3，4}，B＝{a，b，c}，从两个集合中各随机取出两个元素合并成一个集合C.
(1) 若A∩B＝{1}，求集合C中恰有三个元素的概率；
(2) 若A∩B＝{1，3}，设集合C中元素的个数为X，求随机变量X的概率分布与数学期望．
12 [2025常州月考]算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆(简称档)，自右向左分别表示个位、十位、百位……梁上面一粒珠子(简称上珠)代表5，梁下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上．
(1) 设事件A为“表示的三位数能被5整除”，事件B为“表示的三位数能被3整除”，分别求事件A，B发生的概率；
(2) 设随机变量为表示的三位数除以3的余数(能整除时记余数为0)，求随机变量的概率分布及数学期望．
9．4　随机事件的概率、古典概型及互斥事件
1. D　解析：从口袋内一次取出2个球，按照取到白球的数量分为两球都不是白球，两球恰有一个白球或两球都是白球，所以①②与事件“两球都为白球”互斥且不对立．当“两球都为白球”时，③一定发生，所以③与事件“两球都为白球”不互斥．
2. A　解析：将2，3，4组成没有重复数字的三位数，共有A＝6(种)，其中偶数有两种情况：以2为个位数的三位数，是342，432，共有2种；以4为个位数的三位数，是234，324，共有2种，所以这个三位数是偶数的情况共有2＋2＝4(种).记这个三位数是偶数为事件A，则P(A)＝＝.
3. A　解析：因为歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，有AA＝120(种)排法．又六个节目演出，共有A＝720(种)排法，所以由古典概型的概率公式可知，所求概率为P＝＝.
4. C　解析：由题意，得摸到一红球一白球的概率为＝，摸到两红球的概率为＝，摸到两白球的概率为＝，所以a＋b＋ab＝3.2，即3a＋1.5b＋0.5ab＝16.又a，b均为正整数，所以当a＝1时，1.5b＋0.5b＝13，即b＝6.5(舍去)；当a＝2时，6＋1.5b＋b＝16，即b＝4，此时运气最好者最多获得2×4＝8(百元)代金券；当a＝3时，9＋1.5b＋1.5b＝16，即b＝(舍去)；当a＝4时，12＋1.5b＋2b＝16，即b＝(舍去)；当a＝5时，15＋1.5b＋2.5b＝16，即b＝0.25(舍去).综上，运气最好者最多获得8百元代金券．
5. BD　解析：对于A，某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这三次投篮中命中的频率为，不能说明概率为，故A错误；对于B，进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5，故B正确；对于C，只能说明可能有1 806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1 806粒种子发芽，故C错误；对于D，出现点数大于2的次数大约为4 000，故D正确．故选BD.
6. BC　解析：由题意，得从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含CC＝20(个)基本事件．“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(3，6)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，共11个基本事件；“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(3，6)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，共8个基本事件，所以事件B是事件A的子事件．事件A发生的概率为，故A错误；事件A∪B包含的基本事件有11个，所以事件A∪B发生的概率为，故B正确；事件A∩B包含的基本事件有8个，所以事件A∩B发生的概率为＝，故C正确；从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，5)，(2，6)，共5个基本事件．故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，故D错误．故选BC.
7. BCD　解析：对于A，由题意，得P(AB)＝＝＝，故A错误；对于B，由题意，得P(A)＝＝＝，所以P(B|A)＝＝，故B正确；对于C，对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生，所以P(B)＝＝＝，所以P(A)＝P(B)，故C正确；对于D，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，故D正确．故选BCD.
8. 　解析：假设所有人拿到自己的卡，则恰好有2位干事抽到自己所写建议卡，相当于从4人中选两人交换自己的卡，有C＝6(种)可能，而每人随机抽取一张有A＝24(种)可能性，则相应概率为＝.
9. 　 解析：因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则抽出的3张卡片上的数字之和应为18，有8，7，3或8，6，4或7，6，5，共3种组合，所以所求事件的概率为P＝＝.
10. 　 　解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n，4n，6n，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%×5n＝2n，白球个数为3n；乙盒中黑球个数为25%×4n＝n，白球个数为3n；丙盒中黑球个数为50%×6n＝3n，白球个数为3n.记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以P(A)＝××＝.记“将三个盒子混合后取出一个球，取到的球是白球”为事件B，黑球总共有2n＋n＋3n＝6n(个)，白球共有9n个，所以P(B)＝＝.
11. (1) 集合C恰有三个元素，即从集合A中取出的两个元素，与集合B中取出的两个元素，恰有一个是相同的，另一个是不同的，
又A∩B＝{1}，
所以集合C中恰有三个元素的概率为P＝＝.
(2) 由题意，得X的可能取值为2，3，4，
则P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以随机变量X的概率分布为
X 2 3 4
P
故随机变量X的数学期望为E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
12. (1) 将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上，
所以各位上的数字可以是1，2，5，6，
所以可以表示的三位数的个数是43＝64.
要使得组成的三位数能被5整除，则表示的三位数的个位数是5，
所以可以表示个位数是5的三位数的个数为42＝16，
所以事件A发生的概率为P(A)＝＝.
要使得组成的三位数能被3整除，
则数字组合有126，156，225，552，111，222，555，666，共8种，
所以满足条件的三位数有2A＋2A＋4＝22(个)，
所以事件B发生的概率为P(B)＝＝.
(2) 记三位数除以3的余数为X，则X的可能取值为0，1，2.
由(1)知P(X＝0)＝.
当X＝1时，数字组合有256，112，115，226，556，661，共6种，
所以除以3余1的三位数有A＋5A＝21(个)，
所以P(X＝1)＝，
所以P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝，
则随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
P
故数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

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