资源简介

9.7　变量间的相关关系、统计案例
复习目标　1. 会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的经验回归方程系数公式建立经验回归方程.3. 了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用，能通过计算判断两个变量的相关程度．
变量的相关性
统计案例
活动一 基础引入
1 在吸烟与患肺癌是否相关的研究中，下列说法中正确的是(　　)
A. 若χ2>6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，则在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌
B. 由独立性检验可知，当有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺癌
C. 通过计算得到χ2>3.841，是指有95%的把握认为吸烟与患肺癌有关系
D. 以上三种说法都不正确
2 经验表明，树高y(单位：m)与胸径x(单位：cm)具有线性关系，为了解回归方程的拟合效果，利用下列数据计算残差，用来绘制残差图．
胸径x/cm 18.2 19.1 22.3 24.5 26.2
树高的观测值y/m 18.9 19.4 20.8 22.8 24.8
树高的预测值/m 18.6 19.3 21.5 23.0 24.4
则残差的最大值和最小值分别是(　　)
A. 0.4，－1.8 B. 1.8，－0.4
C. 0.4，－0.7 D. 0.7，－0.4
3 某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分析，统计每次骑行期间的身体综合指标评分x与骑行用时y(单位：h)如下表：
身体综合指标评分x 1 2 3 4 5
用时y/h 9.5 8.6 7.8 7.0 6.1
由上表数据得到的正确结论是(附：(xi－)2＝10，(yi－)2＝7.06，(xi－)(yi－)＝－8.4，≈8.402，样本相关系数r＝)(　　)
A. 身体综合指标评分x与骑行用时y正相关
B. 身体综合指标评分x与骑行用时y的相关程度较弱
C. 身体综合指标评分x与骑行用时y的相关程度较强
D. 身体综合指标评分x与骑行用时y的关系不适合用线性回归模型拟合
4 为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取的女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有(附：χ2＝)(　　)
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 11人 B. 12人 C. 13人 D. 14人
5 某产品的年广告费用x(单位：万元)与年销售额y(单位：万元)的统计数据如下表：
年广告费用x/万元 4 2 3 5
年销售额y/万元 49 m 39 54
经测算，年广告费用x与年销售额y满足经验回归方程＝9.4x＋9.1，则m的值为________．
活动二 典例悟法
题组一　相关关系的判定
1 两个变量的相关关系有①正相关；②负相关；③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(　　)
　　
A. ①②③
B. ②③①
C. ②①③
D. ①③②
2 (1) 已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关，则下列结论中正确的是(　　)
A. x与y正相关，x与z负相关
B. x与y正相关，x与z正相关
C. x与y负相关，x与z负相关
D. x与y负相关，x与z正相关
(2) 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，则下列关于其样本相关系数的比较中正确的是(　　)
① ②
③ ④
A. r2B. r4C. r4D. r2(3) [2025湖北八市联考] 根据变量y1和x的成对样本数据，由一元线性回归模型①得到经验回归模型＝1x＋1，对应的残差如图1.根据变量y2和x的成对样本数据，由一元线性回归模型②得到经验回归模型 ＝2x＋2，对应的残差如图2，则下列结论中正确的是(　　)
图1 图2
A. 模型①的误差满足一元线性回归模型的E(e1)＝0的假设，不满足D(e1)＝σ的假设
B. 模型①的误差不满足一元线性回归模型的E(e1)＝0的假设，满足D(e1)＝σ的假设
C. 模型②的误差满足一元线性回归模型的E(e2)＝0的假设，不满足D(e2)＝σ的假设
D. 模型②的误差不满足一元线性回归模型的E(e2)＝0的假设，满足D(e2)＝σ的假设
[2024天津卷·3]下列图中，线性相关性系数最大的是(　　)
A B C D
题组二　统计案例
3 (多选)[2025 合肥一模]某同学两次实验得到的数据如下表．实验一所得的样本相关系数为r1，y关于x的经验回归方程为＝x＋；实验二所得的样本相关系数为r2，u关于v的经验回归方程为＝v＋，则下列结论中正确的是(　　)
实验一
x 2 3 4 5 6
y 12 10 9 7 4
实验二
v 4 6 8 10 12
u 8 10 11 13 16
参考公式：样本相关系数r＝，＝.
A. ＝2
B. ＋＝20
C. 2＋＝0
D. r1＋r2＝0
4 [2025丽江一中三模]某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：
零件的个数x/个 2 3 4 5
加工的时间/h 2.5 3 4 4.5
(1) 求y关于x的经验回归方程＝x＋；
(2) 求各样本的残差；
(3) 试预测加工10个零件需要的时间．
参考公式：用最小二乘法求经验回归方程系数公式＝，＝－.
5 [2026无锡一模] 2025年总台春晚无锡分会场《无锡景·家国情》节目的惊艳亮相，让无锡非遗大放异彩，火爆出圈.惠山泥人是无锡国家级非遗项目，“阿福”“阿喜”是它的代表作品.某文创工作室在春节后推出“惠山泥人非遗盲盒”系列，每个盲盒装有“阿福”“阿喜”“普通泥人”三种款式之一.随机抽取了200名购买者，调查其性别与抽中“阿福”的情况，得到如下列联表：
抽中“阿福” 未抽中“阿福” 合计
男游客 40 60 100
女游客 50 50 100
合计 90 110 200
(1) 依据小概率值α=0.05的独立性检验，判断抽中“阿福”与游客性别是否有关；
(2) 若盲盒中是“阿福”“阿喜”“普通泥人”的比例为2∶2∶1，某游客决定采用以下规则购买：若第一次抽中“阿福”或“阿喜”，则立即停止购买；若第一次抽中“普通泥人”，则继续购买第二个盲盒，此时若第二次抽中“阿喜”，则停止购买；若第二次仍未抽中“阿喜”，则继续购买第三个盲盒，且无论结果如何都停止，记最终抽中“阿福”的个数为随机变量X，求X的概率分布及数学期望.
附：χ2=，n=a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
6 [2025八省联考]为考察某种药物A对疾病B的预防效果，进行了动物(单位：只)试验，得到列联表如下：
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 100 80 s
服用 150 70 220
合计 250 t 400
(1) 求s，t的值；
(2) 记未服用药物A的动物患疾病B的概率为P，求出P的估计值；
(3) 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
9．7　变量间的相关关系、统计案例
1. C　解析：若χ2>6.635，则我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，而不是在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌，故A错误；99%是指吸烟与患肺癌有关的概率，而不是吸烟的人有99%的可能患有肺癌，故B错误；显然C正确，D错误．
2. C　解析：由表可得，各组数据的残差为18.9－18.6＝0.3，19.4－19.3＝0.1，20.8－21.5＝－0.7，22.8－23＝－0.2，24.8－24.4＝0.4.故残差的最大值为0.4，最小值为－0.7.
3. C　解析：因为样本相关系数r＝＝≈－1，即样本相关系数近似为－1，所以y与x负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系，故C正确，A，B，D错误．
4. B　解析：设男性人数为k.由题意，得2×2列联表如下：
喜爱足球 不喜爱足球 合计
男性 k
女性 2k
合计 3k
则χ2＝＝.因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，所以χ2≥7.879，即≥7.879，解得k≥11.818 5.又k∈N*，所以kmin＝12.
5. 26　解析：由题意，得 ＝3.5，经验回归方程＝9.4x＋9.1经过样本中心点(，)，所以＝42，所以＝42，解得m＝26.
例1　D　解析：第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是①③②.
例2　(1) C　解析：因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，所以x与y负相关．因为y与z正相关，所以可设z＝y＋，＞0，则z＝y＋＝－0.1x＋＋，可得－0.1<0，所以x与z负相关．
(2) A　解析：由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r2(3) A　解析：对于图1对应的散点，随机误差满足E(e1)＝0的假设，但是方差σ随着x的变化而变化，不满足D(e1)＝σ的假设，故A正确，B错误；对于图2对应的散点，均匀分布在水平带状区域内，随机误差满足E(e2)＝0的假设，方差σ不随x的变化而变化，满足D(e2)＝σ的假设，故C，D错误．
链接高考
A　解析：观察4幅图可知A图的散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，|r|值相比于其他3幅图更接近1，故选A.
例3　ABD　解析：方法一：由题意，得＝×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝×(4＋6＋8＋10＋12)＝8，则＝2，故A正确；＝×(12＋10＋9＋7＋4)＝8.4，＝×(8＋10＋11＋13＋16)＝11.6，则 ＋ ＝20，故B正确；由题意，得(xi－)(yi－)＝(2－4)×(12－8.4)＋(3－4)×(10－8.4)＋(4－4)×(9－8.4)＋(5－4)×(7－8.4)＋(6－4)×(4－8.4)＝－19，(xi－)2＝(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2＝10，(vi－)(ui－)＝(4－8)×(8－11.6)＋(6－8)×(10－11.6)＋(8－8)×(11－11.6)＋(10－8)×(13－11.6)＋(12－8)×(16－11.6)＝38，(vi－)2＝(4－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(12－8)2＝40，所以＝＝－，＝＝，则2＋＝－＋≠0，故C错误；＝＝＝，则r1＝＝，r2＝＝＝，所以r1＋r2＝0，故D正确．故选ABD.
方法二：由表格数据，得v＝2x，yi＋ui＝20，则＝2，＋＝20，故A，B正确；＝＝＝＝－，则＋2＝0，故C错误；r2＝＝＝－r1，则r1＋r2＝0，故D正确．故选ABD.
例4　(1) 由题意，得＝＝3.5，
＝＝3.5，
＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5，
＝4＋9＋16＋25＝54，所以＝＝0.7，
＝3.5－0.7×3.5＝1.05，
故所求经验回归方程为＝0.7x＋1.05.
(2) 计算每个xi对应的预测值为1＝0.7×2＋1.05＝2.45，2＝0.7×3＋1.05＝3.15，3＝0.7×4＋1.05＝3.85，y∧4＝0.7×5＋1.05＝4.55，
计算残差ei＝yi－y∧为e1＝2.5－2.45＝0.05，e2＝3－3.15＝－0.15，e3＝4－3.85＝0.15，e4＝4.5－4.55＝－0.05，
所以各样本的残差依次为0.05，－0.15，0.15，－0.05.
(3) 当x＝10时，＝0.7×10＋1.05＝8.05，
所以预测加工10个零件需要8.05h.
例5　(1) 零假设H0：抽中“阿福”与游客性别无关．
根据列联表中数据，经计算得到
χ2＝≈2.02<3.841，
故根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为抽中“阿福”与游客性别无关．
(2) 设“第i次抽取中抽中‘阿福’”为事件Ai，“第i次抽取中抽中‘阿喜’”为事件Bi，“第i次抽取中抽中‘普通泥人’”为事件Ci.i＝1，2，3.
由题意，得P(Ai)＝P(Bi)＝，P(Ci)＝.
X的可能取值为0，1，2，
则P(X＝2)＝××＝，
P(X＝0)＝＋×＋××＝，
P(X＝1)＝＋××＋××＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2
P
所以数学期望E(X)＝×0＋×1＋×2＝.
例6　(1) 由列联表知，s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150.
(2) 由(1)知，未服用药物A的动物有180只，
未服用药物A且患疾病B的动物有80只，
所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为＝.
故未服用药物A的动物患疾病B的概率P的估计值为.
(3) 假设H0：药物A对预防疾病B无效．
由题意，得χ2＝≈6.734>6.635，
由小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，
即认为药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.01，
所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能认为药物A对预防疾病B有效．(共50张PPT)
第九章
9.7　变量间的相关关系、统计案例
统计与概率
复习目标　1．会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的经验回归方程系数公式建立经验回归方程.3．了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用，能通过计算判断两个变量的相关程度．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 在吸烟与患肺癌是否相关的研究中，下列说法中正确的是(　　)
A．若χ2>6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，则在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌
B．由独立性检验可知，当有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺癌
C．通过计算得到χ2>3.841，是指有95%的把握认为吸烟与患肺癌有关系
D．以上三种说法都不正确
C
【解析】若χ2>6.635，则我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，而不是在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌，故A错误；99%是指吸烟与患肺癌有关的概率，而不是吸烟的人有99%的可能患有肺癌，故B错误；显然C正确，D错误．
C
【解析】由表可得，各组数据的残差为18.9－18.6＝0.3，19.4－19.3＝0.1，20.8－21.5＝－0.7，22.8－23＝－0.2，24.8－24.4＝0.4.故残差的最大值为0.4，最小值为－0.7.
3 某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分析，统计每次骑行期间的身体综合指标评分x与骑行用时y(单位：h)如下表：
身体综合指标评分x 1 2 3 4 5
用时y/h 9.5 8.6 7.8 7.0 6.1
C
B
【解析】设男性人数为k.由题意，得2×2列联表如下：
5 某产品的年广告费用x(单位：万元)与年销售额y(单位：万元)的统计数据如下表：
年广告费用x/万元 4 2 3 5
年销售额y/万元 49 m 39 54
26
活动二　典例悟法
题组一　相关关系的判定
　　　两个变量的相关关系有①正相关；②负相关；③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是 (　　)
1
D
A．①②③　　　B．②③①　　　C．②①③　　　D．①③②
【解析】第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是①③②.
　　　(1) 已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关，则下列结论中正确的是 (　　)
A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
2
C
(2) 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，则下列关于其样本相关系数的比较中正确的是 (　　)
A
【解析】由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r2A．r2B．r4C．r4D．r2【答案】A
[2024天津卷·3]下列图中，线性相关性系数最大的是 (　　)
A
【解析】观察4幅图可知A图的散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，|r|值相比于其他3幅图更接近1，故选A.
3
实验一
实验二
x 2 3 4 5 6
y 12 10 9 7 4
v 4 6 8 10 12
u 8 10 11 13 16
【答案】ABD
　　　[2025丽江一中三模]某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：
4
零件的个数x/个 2 3 4 5
加工的时间/h 2.5 3 4 4.5
　　　[2026无锡一模] 2025年总台春晚无锡分会场《无锡景·家国情》节目的惊艳亮相，让无锡非遗大放异彩，火爆出圈.惠山泥人是无锡国家级非遗项目，“阿福”“阿喜”是它的代表作品.某文创工作室在春节后推出“惠山泥人非遗盲盒”系列，每个盲盒装有“阿福”“阿喜”“普通泥人”三种款式之一.随机抽取了200名购买者，调查其性别与抽中“阿福”的情况，得到如下列联表：
5
抽中“阿福” 未抽中“阿福” 合计
男游客 40 60 100
女游客 50 50 100
合计 90 110 200
(1) 依据小概率值α=0.05的独立性检验，判断抽中“阿福”与游客性别是否有关；
(2) 若盲盒中是“阿福”“阿喜”“普通泥人”的比例为2∶2∶1，某游客决定采用以下规则购买：若第一次抽中“阿福”或“阿喜”，则立即停止购买；若第一次抽中“普通泥人”，则继续购买第二个盲盒，此时若第二次抽中“阿喜”，则停止购买；若第二次仍未抽中“阿喜”，则继续购买第三个盲盒，且无论结果如何都停止，记最终抽中“阿福”的个数为随机变量X，求X的概率分布及数学期望.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】 (1) 零假设H0：抽中“阿福”与游客性别无关．
根据列联表中数据，经计算得到
故根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为抽中“阿福”与游客性别无关．
(2) 设“第i次抽取中抽中‘阿福’”为事件Ai，“第i次抽取中抽中‘阿喜’”为事件Bi，“第i次抽取中抽中‘普通泥人’”为事件Ci.i＝1，2，3.
所以X的概率分布为
　　　[2025八省联考]为考察某种药物A对疾病B的预防效果，进行了动物(单位：只)试验，得到列联表如下：
6
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 100 80 s
服用 150 70 220
合计 250 t 400
(1) 求s，t的值；
(2) 记未服用药物A的动物患疾病B的概率为P，求出P的估计值；
(3) 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
【解析】(1) 由列联表知，s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150.
(2) 由(1)知，未服用药物A的动物有180只，
未服用药物A且患疾病B的动物有80只，
谢谢观看
Thank you for watching9.7　变量间的相关关系、统计案例
一、 单选题
1 [2026镇江一中期初]某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，将500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得χ2的观测值χ2≈3.918，则认为这种血清能起到预防感冒的作用，此推断出错的可能性不超过(　　)
附表：
P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
A. 2.5% B. 5%
C. 95% D. 97.5%
2 [2025莆田二模]为了解女儿身高与其母亲身高的关系，随机抽取5对母女的身高数据如下：
母亲身高x/cm 164 166 166 166 168
女儿身高y/cm 165 165 166 167 167
根据最小二乘法(即(yi－i)2取最小），y关于x的经验回归方程为(　　)
A. ＝x－1 B. ＝x＋1
C. n＝x＋83 D. ＝166
3 [2025福州质检]有一组成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，设＝xi，＝yi.由这组数据得到新成对样本数据(x1＋，y1＋)，(x2＋，y2＋)，…，(xn＋，yn＋).利用一元线性回归模型，根据最小二乘法，下列结论中一定正确的是(附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－；样本相关系数r＝，决定系数R2＝1－，其中i＝xi＋)(　　)
A. 两条经验回归直线都过点(，)
B. 两条经验回归直线的截距相同
C. 两组数据的样本相关系数相同
D. 两组数据的决定系数不同
4 [2025九江二模]植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官．已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度x(单位：cm)与氮元素吸收量y(单位：mg/天)的相关数据，如下表所示：
x 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9
y 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55
x 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1
y 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86
根据表中数据可得＝21.2，＝0.58及经验回归方程为＝0.025x＋，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝－0.05
B. 变量y与x的样本相关系数r<0
C. 若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应的经验回归方程不变
D. 在一定范围内，小麦的根长度每增加1cm，它一天的氮元素吸收量平均增加0.025mg
二、 多选题
5 [2025济南一模]为了验证牛的毛色(黑色、红色)和角(有角、无角)这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，下列结论中正确的是(　　)
附表：
α 0.100 0.050 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
A. 若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”无关
B. 若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%
C. 若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”无关
D. 若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%
6 [2026南京临江高级中学期初]已知变量x，y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为＝x＋3.4，则下列结论中正确的是(　　)
x 1 2 3 4 5
y 5 9 10 11 15
附：样本相关系数r＝，经验回归方程斜率＝，截距＝－.
A. ＝2.3
B. 当x＝5时，对应样本点的残差为0.6
C. 表中y的所有样本数据的70百分位数是11
D. 去掉样本点(3，10)后，y与x的样本相关系数不变
7 [2025西充中学一模]已知一组样本数据(xi，yi)，i∈{1，2，3，…，100}，其中xi>1 895，＝2×105，＝970，求得其经验回归方程为＝－0.02x＋1，残差为i.对样本数据进行处理，令x′i＝ln (xi－1 895)，得到新的样本数据(x′i，y′i)，求得其经验回归方程为＝－0.42x＋2，其残差为i.i，i的分布如图1，图2所示，且～N（0，σ），～N（0，σ），则下列结论中正确的是(　　)
图1 图2
A. xi与yi负相关 B. 1＝49.7
C. σ<σ D. 处理后的决定系数变大
三、 填空题
8 [2026随州一模]某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．得到数据如下表：,
零件个数x 10 20 30 40 50
加工时间y/min 53 65 71 76 85
根据上表可得经验回归方程＝x＋中的＝0.75，则经验回归方程＝x＋中的＝　　　　；据此估计，加工的零件个数为60时所花费的时间为
　　　　min.
9 [2026沧州八县一中模拟]利用变量x，y的5对实验数据，求得y关于x的经验回归方程为＝－x＋1.若这5对数据对应的点都在该经验回归直线上，则它们的样本相关系数为________．
10 已知x，y的取值如下表：
x 1 2 3 4
y 32 48 72 88
根据表中的数据求得y关于x的经验回归方程为＝19.2x＋12，则表中第2个记录数据的残差2＝________．
四、 解答题
11 [2025南通一模]某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：
女 男
未参加跳绳比赛 75 90
参加跳绳比赛 25 10
(1) 能否有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关？
(2) 为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人进行研究，老师甲从这12人中随机选取3人，求至少有1人参加跳绳比赛的概率．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
12 [2026镇江一中期初]强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x(考查数学、物理等学科知识的交叉应用)和创新思维能力指标y(考查逻辑推理、问题建模等能力).随机抽取5名考生的测试结果如下表：
x 6 8 9 t 12
y 2 3 4 5 6
(1) 已知这5名考生的学科知识整合能力指标的平均值＝9.
①求实数t的值；
②求y关于x的经验回归方程＝x＋，并估计当一名考生的学科知识整合能力指标为14时，他的创新思维能力指标的值；
(2) 现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立．
甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X；
乙高校：第一门科目通过的概率为m(0若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校．
附：经验回归方程＝x＋中和的最小二乘估计分别为＝，＝－.
9．7　变量间的相关关系、统计案例
1. B　解析：由题意，得观测值χ2≈3.918>3.841，所以认为这种血清能起到预防感冒的作用，此推断出错的可能性不超过5%.
2. C　解析：观察数据，得y与x有关，故D错误．又＝166，＝166，所以经验回归直线必过点(166，166)，故A，B错误，C正确．
3. C　解析：原经验回归直线经过点(，)，而新经验回归直线经过点(2，2)，故A错误；由的计算公式可知，变化前后经验回归直线的斜率不改变，原经验回归直线的截距为＝－，而新经验回归直线的截距为′ ＝2－·2＝2，故B错误；由公式可知两组数据的样本相关系数和决定系数均不变，故C正确，D错误．
4. D　解析：由经验回归直线过样本中心点(，)知，＝0.58－0.025×21.2＝0.05，故A错误；小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有正相关的关系，所以样本相关系数r>0，故B错误；若研究小麦的根长度与钾元素吸收量的相关关系，则对应的经验回归方程可能发生改变，故C错误；由经验回归方程＝0.025x＋，得在一定范围内，小麦的根长度每增加1 cm，它一天的氮元素吸收量平均增加0.025 mg，故D正确．
5. BC　解析：对于A，B，若α＝0.100，则2.706<2.727，认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A错误，B正确；对于C，D，若α＝0.010，则6.635>2.727，认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误．故选BC.
6. BCD　解析：由表中数据，得＝＝3，＝＝10.因为经验回归方程为＝x＋3.4，且经过点(3，10)，所以10＝3＋3.4，解得＝2.2，故A错误；当x＝5时，＝2.2×5＋3.4＝14.4，残差为15－14.4＝0.6，故B正确；因为5×70%＝3.5，所以表中y的所有样本数据的70百分位数是从小到大排列的第4个数，为11，故C正确；因为＝3，＝10，所以去掉样本点(3，10)后，y与x的样本相关系数计算公式中的分子、分母的值都不发生变化，所以相关系数的值不变，故D正确．故选BCD.
7. ABD　解析：在经验回归方程＝－0.02x＋1中，－0.02<0，所以xi与yi负相关，故A正确；由题意，得 ＝2×103，＝9.7.又样本中心在经验回归直线上，所以9.7＝－0.02×2×103＋，解得1＝49.7，故B正确；由题图1的数据波动较大，得i比i更集中，所以σ<σ，故C错误；因为题图1的残差平方和比题图2的残差平方和大，所以处理后的回归模型的拟合效果更好，所以决定系数变大，故D正确．故选ABD.
8. 47.5　92.5　解析：由题意，得＝×(10＋20＋30＋40＋50)＝30，＝×(53＋65＋71＋76＋85)＝70.因为经验回归直线＝x＋必过样本中心点(30，70)，且＝0.75，所以0.75×30＋＝70，解得＝47.5，即＝0.75x＋47.5.当x＝60时，＝0.75×60＋47.5＝92.5，故估计加工的零件个数为60时所花费的时间为92.5min.
9. －1　解析：由经验回归方程知y与x负相关．因为这5对数据对应的点都在经验回归直线上，所以它们的样本相关系数为－1.
10. －2.4　解析：因为y关于x的经验回归方程为＝19.2x＋12，当x2＝2时，2＝19.2×2＋12＝50.4，所以表中第2个记录数据的残差2＝y2－2＝48－50.4＝－2.4.
11. (1) 提出假设H0：学生参加跳绳比赛与学生的性别无关，
则χ2＝≈7.792>6.635，
所以有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关．
(2) 利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人，
则未参加跳绳比赛的女生有9人，参加跳绳比赛的女生有3人．
记“至少有1人参加跳绳比赛”为事件A，
则P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝，
所以至少有1人参加跳绳比赛的概率是.
12. (1) ①由表中的数据，得＝＝9，解得t＝10.
②由题意，得＝＝＝0.7，
所以＝4－9×0.7＝－2.3.
故所求经验回归方程为＝0.7x－2.3，
当x＝14时，＝0.7×14－2.3＝7.5，
所以当一名考生的学科知识整合能力指标为14时，他的创新思维能力指标的预测值为7.5.
(2) 由题意，得X～B，
所以E(X)＝3×＝.
由题意，得Y的可能取值为0，1，2，3，
则P(Y＝0)＝(1－m)×＝－，
P(Y＝1)＝m×＋(1－m)××＋(1－m)×＝－，
P(Y＝2)＝m××＋m××＋(1－m)××＝＋，
P(Y＝3)＝m××＝，
所以E(Y)＝－＋2＋3×＝＋m.
当E(X)＝E(Y)时，＝＋m，解得m＝；
当E(X)>E(Y)时，>＋m，且0所以0当E(X)所以故当m＝时，该考生报考甲高校或乙高校都可以；当0

展开更多......

收起↑