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带电粒子在立体空间中的运动
1.带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的,带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况:
(1)空间中只存在匀强磁场,当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时,带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时,带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动,这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
例1 (2025·陕、晋、青、宁卷,14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷,一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统,结构简化如图(a)所示,足够长圆柱形筒半径为R,正中央有一电子发射源 O持续向空间各方向发射大量速度大小均为v0的电子。某时刻起筒内加大小可调节且方向沿轴向下的匀强磁场,筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示,当磁感应强度大小从0缓慢调至B0时,恰好没有电子落到筒壁上,不计电子间相互作用及其重力的影响。求:(R、v0、B0均为已知量)
(1)电子的比荷;
(2)当磁感应强度大小调至B0时,筒壁上落有电子的区域面积S。
答案　(1)　(2)2π2R2
解析　(1)由题意可知,当垂直于轴线射出的电子恰不打到筒壁上时,磁感应强度大小为B0,如图甲所示
根据几何关系可知,此种情况下电子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r=
根据洛伦兹力提供向心力有ev0B0=m
解得=。
(2)当磁感应强度大小调至时,设发射速度方向与横截面的夹角为θ的电子恰好不打在筒壁上,如图乙所示,可将该电子的运动分解为竖直方向上的速度为vy=v0sin θ的匀速直线运动和横截面内速率为vn=v0cos θ的匀速圆周运动,故电子做螺旋线运动,如图丙所示
由洛伦兹力提供向心力,有
ev0cos θ·=m
结合(1)问解得θ=60°,即发射速度方向与横截面成60°角的电子恰好不打在筒壁上,对该情况下的电子,根据圆周运动知识有
T==
运动半个周期时电子恰好运动至轨迹与筒壁切点处,如图丁所示
竖直方向上电子做匀速直线运动,则有
h=v0sin 60°·=πR
由对称性可知,整个筒壁沿轴方向有电子落到区域的高度为2h,则打在筒壁上的区域面积
S=2πR·2h=2π2R2。
2.带电粒子在立体空间中的偏转
分析带电粒子在立体空间中的运动时,要发挥空间想象力,确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间,运动过程分为不同的阶段,只要分析出每个阶段上的运动规律,再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法,要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。
例2 (2025·广东广州模拟)如图所示,以长方体abcd-a'b'c'd'的ad边中点O为坐标原点、ad方向为x轴正方向、a'a方向为y轴正方向、ab方向为z轴正方向建立O-xyz坐标系,已知Oa=ab=aa'=L。长方体中存在沿y轴负方向的匀强磁场,现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,恰好从a点射出磁场。
(1)求磁场的磁感应强度B的大小;
(2)若在长方体中加上沿y轴负方向的匀强电场,让粒子仍从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,为使粒子能从a'点射出磁场,求电场强度E1的大小;
(3)若在长方体中加上电场强度大小为E2=、方向沿z轴负方向的匀强电场,让该粒子仍从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,求粒子射出磁场时与O点的距离s。
答案　(1)　(2)　(3)L
解析　(1)粒子在abcd平面内做匀速圆周运动,如图甲中轨迹1所示
根据几何关系有r=L
由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m
解得B=。
(2)粒子在电磁复合场中的运动为匀速圆周运动与类平抛运动的合运动,在长方体中运动的时间
t=
在y轴方向上做初速度为零的匀加速直线运动,则L=at2
又qE1=ma
联立解得E1=。
(3)将初速度v分解为v1、v2,使v1对应的洛伦兹力恰好与静电力平衡,速度分解如图乙所示
有qv1B=qE2
其中E2=
解得v1=v
根据勾股定理可得v2==2v
由几何关系知v2与z轴正方向的夹角θ=60°
若仅在v2对应的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,有qv2B=m
则轨道半径r1==L
该分运动的情况如图甲中轨迹2所示
粒子在磁场中运动的时间t2=·
由于粒子同时也参与速度大小为v1、方向沿x轴正方向的匀速直线运动,粒子射出磁场时与O点的距离为s=L-v1t2
解得s=L。
跟踪训练
(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)空间直角坐标系Oxyz如图所示,在y≤0,z>0的空间内存在沿y轴正方向的匀强磁场(图中未画出);在y>0,z>0的空间内存在沿x轴正方向的匀强电场(图中未画出)。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,由空间中A点处以大小为v0的初速度射出,速度方向平行于yOz平面、与y轴正方向的夹角θ=60°。t=0时刻,粒子恰好从P点穿过yOz平面射入电场区域,经过P点时沿z轴方向的速度分量为0,t=时粒子再次穿过yOz平面,不计粒子重力。求:
(1)粒子由A运动至P所用的时间;
(2)匀强磁场磁感应强度的大小;
(3)电场强度的大小及t=时粒子的位置坐标。
答案　(1)　(2) (3)　
解析　(1)粒子从A到P的过程中,沿y轴正方向做匀速直线运动,速度大小为v1=v0cos θ
沿y轴正方向有L=v1t1
解得t1=。
(2)粒子在平行于xOz的平面内做匀速圆周运动,线速度大小为v2=v0sin θ
运动的轨迹半径为r=zP-zA=
由洛伦兹力提供向心力有qv2B=m
联立解得B=。
(3)设粒子在电场中的加速度大小为a,则有
qE=ma
粒子在P点的速度可分解为沿y轴正方向的速度v1和沿x轴负方向的速度v2,沿x轴方向,根据速度公式有v2=-v2+a·
解得E=
t=时,粒子在y轴上的坐标为y=v1t
解得y=3L
粒子在x轴上的坐标为x=-v2t+at2
解得x=3L
粒子在z轴上的坐标为z=zP=
故t=时,粒子的位置坐标为。(共17张PPT)
增分微点6 带电粒子在立体空间中的运动
第十章　磁场
1.带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的,带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况:
(1)空间中只存在匀强磁场,当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时,带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时,带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动,这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
例1 (2025·陕、晋、青、宁卷,14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷,一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统,结构简化如图(a)所示,足够长圆柱形筒半径为R,正中央有一电子发射源 O持续向空间各方向发射大量速度大小均为v0的电子。某时刻起筒内加大小可调节且方向沿轴向下的匀强磁场,筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示,当磁感应强度大小从0缓慢调至B0时,恰好没有
电子落到筒壁上,不计电子间相互作用及其重力的
影响。求:(R、v0、B0均为已知量)
(1)电子的比荷;
解析　由题意可知,当垂直于轴线射出的电子恰不打到筒壁上时,磁感应强度大小为B0,如图甲所示
答案　
根据几何关系可知,此种情况下电子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r=
根据洛伦兹力提供向心力有ev0B0=m
解得=。
(2)当磁感应强度大小调至B0时,筒壁上落有电子的区域面积S。
解析　当磁感应强度大小调至时,设发射速度方向与横截面的夹角为θ的电子恰好不打在筒壁上,如图乙所示,可将该电子的运动分解为竖直方向上的速度为vy=v0sin θ的匀速直线运动和横截面内速率为vn=v0cos θ的匀速圆周运动,故电子做螺旋线运动,如图丙所示
由洛伦兹力提供向心力,有
ev0cos θ·=m
结合(1)问解得θ=60°,即发射速度方向与横截面成60°角的电子恰好不打在筒壁上,对该情况下的电子,根据圆周运动知识有
T==
运动半个周期时电子恰好运动至轨迹与筒壁切点处,如图丁所示
答案　2π2R2
竖直方向上电子做匀速直线运动,则有
h=v0sin 60°·=πR
由对称性可知,整个筒壁沿轴方向有电子落到区域的高度为2h,则打在筒壁上的区域面积
S=2πR·2h=2π2R2。
2.带电粒子在立体空间中的偏转
分析带电粒子在立体空间中的运动时,要发挥空间想象力,确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间,运动过程分为不同的阶段,只要分析出每个阶段上的运动规律,再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法,要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。
例2 (2025·广东广州模拟)如图所示,以长方体abcd-a'b'c'd'的ad边中点O为坐标原点、ad方向为x轴正方向、a'a方向为y轴正方向、ab方向为z轴正方向建立O-xyz坐标系,已知Oa=ab=aa'=L。长方体中存在沿y轴负方向的匀强磁场,现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,恰好从a点射出磁场。
(1)求磁场的磁感应强度B的大小;
解析　粒子在abcd平面内做匀速圆周运动,如图甲中轨迹1所示
答案　
根据几何关系有r=L
由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m
解得B=。
(2)若在长方体中加上沿y轴负方向的匀强电场,让粒子仍从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,为使粒子能从a'点射出磁场,求电场强度E1的大小;
解析　粒子在电磁复合场中的运动为匀速圆周运动与类平抛运动的合运动,在长方体中运动的时间
t=
在y轴方向上做初速度为零的匀加速直线运动,则L=at2
又qE1=ma
联立解得E1=。
答案　
(3)若在长方体中加上电场强度大小为E2=、方向沿z轴负方向的匀强电场,让该粒子仍从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,求粒子射出磁场时与O点的距离s。
解析　将初速度v分解为v1、v2,使v1对应的洛伦兹力恰好与静电力平衡,速度分解如图乙所示
有qv1B=qE2
其中E2=
解得v1=v
根据勾股定理可得v2==2v
由几何关系知v2与z轴正方向的夹角θ=60°
若仅在v2对应的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,有qv2B=m
则轨道半径r1==L
该分运动的情况如图甲中轨迹2所示
粒子在磁场中运动的时间t2=·
由于粒子同时也参与速度大小为v1、方向沿x轴正方向的匀速直线运动,粒子射出磁场时与O点的距离为s=L-v1t2
解得s=L。
答案　L
(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)空间直角坐标系Oxyz如图所示,在y≤0,z>0的空间内存在沿y轴正方向的匀强磁场(图中未画出);在y>0,z>0的空间内存在沿x轴正方向的匀强电场(图中未画出)。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,由空间中A点处以大小为v0的初速度射出,速度方向平行于yOz平面、与y轴正方向的夹角θ=60°。t=0时刻,粒子恰好从P点穿过yOz平面射入电场区域,经过P点时沿z轴方向的速度分量为0,t=时粒子再次穿过yOz平面,不计粒子重力。求:
跟踪训练
(1)粒子由A运动至P所用的时间;
(2)匀强磁场磁感应强度的大小;
(3)电场强度的大小及t=时粒子的位置坐标。
答案　(1)　(2) (3)　
解析　(1)粒子从A到P的过程中,沿y轴正方向做匀速直线运动,速度大小为v1=v0cos θ
沿y轴正方向有L=v1t1
解得t1=。
(2)粒子在平行于xOz的平面内做匀速圆周运动,线速度大小为v2=v0sin θ
运动的轨迹半径为r=zP-zA=
由洛伦兹力提供向心力有qv2B=m
联立解得B=。
(3)设粒子在电场中的加速度大小为a,则有
qE=ma
粒子在P点的速度可分解为沿y轴正方向的速度v1和沿x轴负方向的速度v2,沿x轴方向,根据速度公式有v2=-v2+a·
解得E=
t=时,粒子在y轴上的坐标为y=v1t
解得y=3L
粒子在x轴上的坐标为x=-v2t+at2
解得x=3L
粒子在z轴上的坐标为z=zP=
故t=时,粒子的位置坐标为。
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