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浙教版（2024）八年级下册 5.1 矩形 暑期巩固
利用矩形的性质求角度
1、如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
2、如图，在矩形中，对角线，交于点O，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
3、如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为 ．
4、如图，长方形中，点F在边上，与关于直线对称，若，则 度．
利用矩形的性质求线段长
1、如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（　　）

A.6 B. C.12 D.
2、把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为 cm，宽为4 cm)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是(　　)
A.4 cm B.16 cm C.2(＋4)cm D.4(－4)cm
3、如图，矩形的对角线，则的长为（ ）

A.4 B. C.6 D.
4、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连结AP并延长，交DC的延长线于点Q，连结BQ，则BQ的长为　　.
5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(12，5)．若直线y＝x＋b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，求b的值．
利用矩形的性质求面积
1、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，且AC＝4CE，若OC＝4，则矩形ABCD的面积为（　　）
A.12 B.20 C. D.
2、如图，平行四边形EQGH的四个顶点分别在矩形ABCD的四条边上，QP∥AB，分别交EH，AD于点R，P，过点R作MN∥AD，分别交AB，DC于点M，N，要求得平行四边形EQGH的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可（　　）
A.四边形MBCN B.四边形AMND C.四边形RQCN D.四边形PRND
3、如图，一张等腰直角三角形ABC纸片，已知AB＝BC＝20cm，先裁剪出①号长方形BEDF，然后在剩余的大纸片三角形AFD中剪出②号长方形GHMN，且满足HM＝DE，当①号长方形的面积为64cm2时，则②号长方形的面积为（　　）
A.60cm2 B.64cm2 C. D.
4、如图是一块长方形菜地ABCD，AB＝am，AD＝bm，面积为Sm2．现将边AB增加1m，边AD增加2m，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为2Sm2，则S的值是 ．
5、如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的面积是 　 　．
6、如图，在 ABCD中，E为线段CD的中点，连结AC，AE，延长AE，BC相交于点F，连结DF，∠ACF＝90°.
(1)求证：四边形ACFD是矩形.
(2)若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积.
求矩形在坐标系中的坐标
1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点坐标是（　　）
A.（﹣2，﹣2） B.（3，2） C.（3，3） D.（2，3）
2、已知直角坐标系中，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是腰长为5的等腰三角形时，则点P坐标为（　　）
A.（2，4）（3，4）
B.（2，4）（8，4）
C.（2，4）（3，4）（8，4）
D.（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4）
3、在直角坐标系中，长方形ABCD的边AB可表示成（2，y）（﹣1≤y≤3），边BC可表示成（x，3）（2≤x≤8），则点D的坐标是 　 　．
4、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A（﹣2，1），C（2，4），点B在y轴上，则点B的坐标为 　 　．
与矩形有关的折叠问题
1、将一张长方形纸条按如图所示折叠，若∠1＝110°，则∠2 的度数是（　　）
A.20° B.30° C.40° D.50°
2、如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，将纸片展平，再次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，再展平纸片，连结MN，BN.下列结论一定正确的是(　　)
A.AE＝MN B.AB＝MB C.BM与EN互相平分 D.∠BNE＝30°
3、将长方形纸片ABCD（如图①所示）按如下步骤操作：
（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②所示）；
（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在EC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③所示）；
（3）将纸片展平．那么∠AFE的度数为（　　）
A.60° B.67.5° C.72° D.75°
4、在矩形ABCD中,F为边AD的中点,连结BF,将△ABF沿直线BF翻折,使得点A与点H重合,FH的延长线交线段BC于点G,BH的延长线交线段CD于点E,AB=6。若E为线段CD的中点,则线段BC的长为　　　　,线段BG的长为　　　　。
5、如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若∠AFB＝50°，则∠DFE＝　 　．
6、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F.
(1)求证：△AEF≌△CDF.
(2)求DF的长.
矩形的判定定理
1、如图,用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直,只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC,BD就可以判断,其推理依据是()
A.矩形的对角线相等 B.矩形的四个角是直角 C.对角线垂直的平行四边形是矩形 D.对角线相等的平行四边形是矩形
2、如图，在 ABCD中，有下列条件：①AC＝BD.②∠1＋∠3＝90°.③OB＝AC.④∠1＝∠2.其中能判定 ABCD是矩形的有(　　)
A.① B.①②③ C.②③④ D.①②③④
3、如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，E是BD的中点，过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，连接CF．求证：四边形BDCF是矩形．
4、如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若AE＝AD，求证：四边形ABEC是矩形．
添加条件使四边形是矩形
1、如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（　　）
A.CD＝4 B.CD＝2 C.OD＝2 D.OD＝4
2、四边形ABCD的对边AB＝CD，AD＝BC，要使它成为矩形，可添加条件（　　）
A.AC⊥BD B.AC＝BD C.AB∥CD D.AD∥BC
3、在平行四边形ABCD中，若增加条件　 　，则可得四边形ABCD为矩形．
4、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是____．
浙教版（2024）八年级下册 5.1 矩形 暑期巩固（参考答案）
利用矩形的性质求角度
1、如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵矩形的对角线，相交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2、如图，在矩形中，对角线，交于点O，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
∵矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
3、如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为 ．
【答案】
/50度
【解析】
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
4、如图，长方形中，点F在边上，与关于直线对称，若，则 度．
【答案】
70
【解析】
∵四边形ABCD为长方形，
∴，
∵，
∴，
∵与关于直线对称，
∴，
．
故答案为：70．
利用矩形的性质求线段长
1、如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（　　）

A.6 B. C.12 D.
【答案】C
【解析】
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2、把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为 cm，宽为4 cm)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是(　　)
A.4 cm B.16 cm C.2(＋4)cm D.4(－4)cm
【答案】B
【解析】设小长方形卡片的长为x(cm)，宽为y(cm).
由题意，得x＋2y＝，
则图2中两块阴影部分的周长和是2＋2(4－2y)＋2(4－x)＝2＋16－2(x＋2y)＝2＋16－2＝16(cm).
3、如图，矩形的对角线，则的长为（ ）

A.4 B. C.6 D.
【答案】A
【解析】
四边形是矩形，，
，
，
，
为等边三角形，
，
故选：A．
4、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连结AP并延长，交DC的延长线于点Q，连结BQ，则BQ的长为　　.
【答案】3√17
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AB綊CD.
又∵AB＝5，AD＝12，
∴BD＝＝13.
∵BP＝BA＝5，
∴PD＝BD－BP＝8，
∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ.
∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DQP，
∴∠DPQ＝∠DQP，∴DQ＝DP＝8，
∴CQ＝DQ－CD＝DQ－AB＝3，
∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
BQ＝＝3.
5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(12，5)．若直线y＝x＋b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，求b的值．
【答案】解：∵直线y＝x＋b将矩形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线y＝x＋b经过矩形的中心．
∵点B的坐标为(12，5)，
∴矩形中心的坐标为，
∴×6＋b＝，解得b＝1.
利用矩形的性质求面积
1、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，且AC＝4CE，若OC＝4，则矩形ABCD的面积为（　　）
A.12 B.20 C. D.
【答案】C
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝OD，AO＝OC＝4，BD＝AC，
∴OC＝OB＝4，
∵AC＝4CE，
∴OC＝2CE，
∴OE＝，
∵BE⊥AC，
∴BE＝＝，
∴矩形ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AC BE＝2×＝16．
故选：C．
2、如图，平行四边形EQGH的四个顶点分别在矩形ABCD的四条边上，QP∥AB，分别交EH，AD于点R，P，过点R作MN∥AD，分别交AB，DC于点M，N，要求得平行四边形EQGH的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可（　　）
A.四边形MBCN B.四边形AMND C.四边形RQCN D.四边形PRND
【答案】C
【解析】
如图所示，连接HQ，RC，
由题可得，∠AHQ＝∠CQH，∠EHQ＝∠GQH，
∴∠AHE＝∠CQG，
又∵∠HAE＝∠QCG＝90°，EH＝GQ，
∴△AEH≌△CGQ（AAS），
∴AH＝CQ，
又∵S△EQH＝S△EQR+S△RQH＝RQ（AP+HP）＝RQ×AH，
S△CQR＝RQ×CQ，
∴S△EQH＝S△CQR，
∴2S△EQH＝2S△CQR，
即S平行四边形EQGH＝S矩形RQCN，
∴要求得平行四边形EQGH的面积，只需知道四边形RQCN的面积即可．
故选：C．
3、如图，一张等腰直角三角形ABC纸片，已知AB＝BC＝20cm，先裁剪出①号长方形BEDF，然后在剩余的大纸片三角形AFD中剪出②号长方形GHMN，且满足HM＝DE，当①号长方形的面积为64cm2时，则②号长方形的面积为（　　）
A.60cm2 B.64cm2 C. D.
【答案】C
【解析】
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵四边形BEDF，GHMN是矩形，
∴FD∥BC，GH∥AC，∠DEB＝∠BFD＝∠MNG＝90°，HM＝GN，FD＝BE，
∴∠GDN＝∠C＝45°，∠HFG＝∠A＝45°，
∵∠DEC＝∠DNG＝∠HFG＝90°，
∴△DEC、△NDG、△FHG是等腰直角三角形，
设DE＝x cm，
∵HM＝DE，
∴EC＝HM＝GN＝x cm，
∴FD＝BE＝（20﹣x）cm，GD＝GN＝x（cm），
∴FG＝（20﹣x﹣x）cm，
∴HG＝FG＝（20﹣x﹣2x）cm，
∵长方形BFDE的面积＝BE DE＝（20﹣x）x＝64，
∴x＝4或x＝16（舍去），
∴长方形MNGH的面积＝GH GN＝（20﹣x﹣2x）x＝20x﹣（2+）x2＝（64﹣32）cm2．
故选：C．
4、如图是一块长方形菜地ABCD，AB＝am，AD＝bm，面积为Sm2．现将边AB增加1m，边AD增加2m，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为2Sm2，则S的值是 ．
【答案】
．
【解析】
∴2S＝（a+1）（b+2），b＝，
∴2S＝（a+1）（+2），
∴2a2+（2﹣S）a+S＝0，
∵有且只有一个a的值，
∴Δ＝（2﹣S）2﹣8S＝0，
整理得：S2﹣12S+4＝0，
解得：S1＝6+4，S2＝6﹣4（舍去），
∴S的值是6+4．
故答案为：．
5、如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的面积是 　 　．
【答案】
16．
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC．
在Rt△ADE中，
∵∠A＝90°，∠ADE＝30°，DE＝4，
∴AE＝DE＝2，AD＝AE＝2．
∵DE⊥CE，∠A＝90°，
∴∠BEC＝∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°．
在Rt△BEC中，
∵∠B＝90°，∠BEC＝30°，BC＝AD＝2，
∴BE＝BC＝6，
∴AB＝AE+BE＝2+6＝8，
∴矩形ABCD的面积＝AB BC＝8×，
故答案为：16．
6、如图，在 ABCD中，E为线段CD的中点，连结AC，AE，延长AE，BC相交于点F，连结DF，∠ACF＝90°.
(1)求证：四边形ACFD是矩形.
(2)若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积.
【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE.
∵E为线段CD的中点，∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AE＝FE，∴四边形ACFD是平行四边形.
∵∠ACF＝90°，∴ ACFD是矩形.
(2)∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD＝90°，AC＝DF.
∵CD＝13，CF＝5，
∴DF＝＝12.
∵S△CEF＝S△ACF＝××5×12＝15，△ADE≌△FCE，
S ABCD＝BC·AC＝5×12＝60，
∴S四边形ABCE＝S ABCD－S△CEF＝60－15＝45.
求矩形在坐标系中的坐标
1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点坐标是（　　）
A.（﹣2，﹣2） B.（3，2） C.（3，3） D.（2，3）
【答案】B
【解析】
过（﹣1，2）、（3，﹣1）两点分别作x轴、y轴的平行线，
交点为（3，2），即为第四个顶点坐标．
故选：B．
2、已知直角坐标系中，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是腰长为5的等腰三角形时，则点P坐标为（　　）
A.（2，4）（3，4）
B.（2，4）（8，4）
C.（2，4）（3，4）（8，4）
D.（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4）
【答案】C
【解析】
在直角△OPC中，CP＝＝＝3，
则P的坐标是（3，4）；
若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM＝＝＝3，
当P在M的左边时，CP＝CM﹣PM＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝CM+PM＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
所以满足条件的点P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故选：C．
3、在直角坐标系中，长方形ABCD的边AB可表示成（2，y）（﹣1≤y≤3），边BC可表示成（x，3）（2≤x≤8），则点D的坐标是 　 　．
【答案】
（8，﹣1）．
【解析】
∵边AB可表示为（2，y），边BC可表示成（x，3），
∴点B的坐标为（2，3），
∵﹣1≤y≤3，
∴点A的坐标为（2，﹣1），
∵2≤x≤8，
∴点C的坐标为（8，3），
∵四边形ABCD是长方形，
∴点D的坐标为（8，﹣1）．
故答案为：（8，﹣1）．
4、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A（﹣2，1），C（2，4），点B在y轴上，则点B的坐标为 　 　．
【答案】
（0，5）．
【解析】
连接AC，
∵点A（﹣2，1），C（2，4），
∴AC＝＝5，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB＝AC＝5，
∴点B的坐标为（0，5），
故答案为：（0，5）．
与矩形有关的折叠问题
1、将一张长方形纸条按如图所示折叠，若∠1＝110°，则∠2 的度数是（　　）
A.20° B.30° C.40° D.50°
【答案】C
【解析】
如图，由矩形的对边平行，可得∠1+∠ABC＝180°，
∵∠1＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
由折叠的性质可得∠ABD＝∠ABC＝70°，
∴∠2＝180°﹣2∠ABD＝40°．
故选：C．
2、如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，将纸片展平，再次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，再展平纸片，连结MN，BN.下列结论一定正确的是(　　)
A.AE＝MN B.AB＝MB C.BM与EN互相平分 D.∠BNE＝30°
【答案】D
【解析】由图形可知AE显然不等于MN，AB显然不等于BM，A，B错误.
∵MN与AB不平行，因此四边形MNBE不是平行四边形，因此BM与EN不可能互相平分，C错误.
由折叠可知BN＝AB＝2BE，在Rt△BNE中，可得∠BNE＝30°，D正确.
3、将长方形纸片ABCD（如图①所示）按如下步骤操作：
（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②所示）；
（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在EC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③所示）；
（3）将纸片展平．那么∠AFE的度数为（　　）
A.60° B.67.5° C.72° D.75°
【答案】B
【解析】
在图②中，由折叠的性质得：AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝∠BAE＝45°，
在图③中，∵DF∥CE，
∴∠DFA＝∠EAF＝45°，
由折叠的性质得：∠AFE＝＝＝67.5°，
故选：B．
4、在矩形ABCD中,F为边AD的中点,连结BF,将△ABF沿直线BF翻折,使得点A与点H重合,FH的延长线交线段BC于点G,BH的延长线交线段CD于点E,AB=6。若E为线段CD的中点,则线段BC的长为　　　　,线段BG的长为　　　　。
【答案】6　　
【解析】 如答图,连结EF,过点F作FM⊥BC于点M。
∵在矩形ABCD中,∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°,AB=CD=6,AD=BC,
∴四边形ABMF, CDFM都是矩形。
由翻折,得AB=BH=6,AF=DF=FH,∠A=∠BHF=∠EHF=90°。
又∵EF=EF,
∴Rt△DEF≌Rt△HEF(HL),
∴DE=HE=CD=3,
∴BE=BH+HE=9,
在Rt△BCE中,BC===6。
∵AD∥BC ,∴∠AFB=∠CBF。
∵∠AFB=∠GFB,∴∠GFB=∠CBF,
∴BG=FG。
设BG=FG=x。
∵AF=BM=BC=3,
∴MG=x-3,
∴在Rt△FMG中,FG2=FM2+MG2,即x2=62+(x-3)2,
解得x=。
5、如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若∠AFB＝50°，则∠DFE＝　 　．
【答案】
40°．
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
由翻折可知：∠EFB＝∠C＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，
∵∠AFB＝50°，
∴∠DFE＝40°．
故答案为：40°．
6、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F.
(1)求证：△AEF≌△CDF.
(2)求DF的长.
【答案】解：(1)由折叠得，AE＝AB，∠E＝∠B.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∴AE＝DC，∠E＝∠D.
在△AEF和△CDF中，
∵
∴△AEF≌△CDF(AAS).
(2)∵△AEF≌△CDF，
∴AF＝CF.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4.
设AF＝x，则CF＝x，DF＝6－x.
在Rt△CDF中，CF2＝CD2＋DF2，
即x2＝42＋(6－x)2，解得x＝，
∴DF＝6－x＝.
矩形的判定定理
1、如图,用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直,只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC,BD就可以判断,其推理依据是()
A.矩形的对角线相等 B.矩形的四个角是直角 C.对角线垂直的平行四边形是矩形 D.对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
2、如图，在 ABCD中，有下列条件：①AC＝BD.②∠1＋∠3＝90°.③OB＝AC.④∠1＝∠2.其中能判定 ABCD是矩形的有(　　)
A.① B.①②③ C.②③④ D.①②③④
【答案】D
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，①符合题意．
②∵∠1＋∠3＝90°，∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，②符合题意．
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD.
又∵OB＝AC，∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，③符合题意．
④∵四边形ABCD是平行四边形，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AB∥CD，
∴∠1＝∠OCD.
又∵∠1＝∠2，∴∠OCD＝∠2，
∴OC＝OD，∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，④符合题意．
综上所述，能判定 ABCD是矩形的有①②③④.
3、如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，E是BD的中点，过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，连接CF．求证：四边形BDCF是矩形．
【答案】
证明：∵BF∥AC，
∴∠BFE＝∠DAE，∠FBE＝∠ADE，∵E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∴△BFE≌△DAE（AAS），
∴BF＝AD，
∵AB＝BC，D是AC的中点，
∴AD＝CD BD⊥AC，
∴BF＝CD，∠BDC＝90°，
∴四边形BDCF是平行四边形，
又∵∠BDC＝90°，
∴平行四边形BDCF是矩形．
4、如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若AE＝AD，求证：四边形ABEC是矩形．
【答案】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵CE＝CD，
∴AB∥CE，AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AE＝AD，
∴AE＝BC，
∵由（1）知：四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是矩形．
添加条件使四边形是矩形
1、如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（　　）
A.CD＝4 B.CD＝2 C.OD＝2 D.OD＝4
【答案】D
【解析】
添加OD＝4时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵OA＝OC＝4，OB＝OD＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD＝8，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
2、四边形ABCD的对边AB＝CD，AD＝BC，要使它成为矩形，可添加条件（　　）
A.AC⊥BD B.AC＝BD C.AB∥CD D.AD∥BC
【答案】B
【解析】
∵四边形ABCD的对边AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：B．
3、在平行四边形ABCD中，若增加条件　 　，则可得四边形ABCD为矩形．
【答案】
∠A＝90°，AC＝BD （答案不唯一）
【解析】
因为对角线相等的平行四边形是矩形，
所以在平行四边形ABCD中，增加AC＝BD即可判定四边形ABCD为矩形；
因为有一个内角是直角的平行四边形是矩形，
所以在平行四边形ABCD中，增加∠C＝90°即可判定四边形ABCD为矩形．
故答案为：∠A＝90°，AC＝BD （答案不唯一）
4、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是____．
【答案】
∠A＝90°(答案不唯一)

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