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浙教版（2024）八年级下册 4.4 平行四边形的判定定理 暑期巩固
利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明
1、如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AB∥DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD
2、如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件中,不能判定其为平行四边形的是()
A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CD C.OA=OC,OB=OD D.AB∥CD,AD=BC
3、如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为边AB上一点,连结CD,E为CD的中点,连结BE并延长至点F,使得EF＝EB,连结DF,交AC于点G,连结CF.若∠A＝30°,BC＝2,CF＝3,则CD的长为 　.
4、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.求证：
(1)△BEO≌△DFO.
(2)四边形ABCD是平行四边形．
5、如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，连结AE，AF，CE，CF.求证：四边形AECF是平行四边形.
添加一个条件成为平行四边形
1、如图，在四边形ABCD中，AD BC，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）
A.AB＝CD B.∠ADB＝∠CBD C.AB＝AD D.∠A＝∠C
2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）
A.AB＝CD
B.AB＝AD
C.∠ADB＝∠DBC
D.∠ABC＝∠ADC
3、如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件：　 　，使四边形ABCD是平行四边形．
4、如图,已知AB=CD,那么添加一个条件　　　　　　　　后,可判定四边形ABCD是平行四边形(写出一种情况即可)。
数平行四边形的个数
1、如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，则图中平行四边形的个数为( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（ ）个
A.4 B.5 C.3 D.6
3、如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有 个平行四边形．
4、如图，在□ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点的平行四边形共有 个．
全等三角形拼平行四边形问题
1、如图，有两块全等的含30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图，由六个全等的正三角形拼成的图，图中平行四边形的个数是（　　）
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
3、如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出（　　）个平行四边形．
A.1 B.2 C.3 D.4
4、关于用两个全等三角形拼成的四边形，有下列说法：
①一定是平行四边形；
②可能是平行四边形；
③一定不是平行四边形．
其中正确的说法是　 　．
5、如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长．
6、如图，将两块相同的三角尺ABC和A′B′C′如图放置，使两条直角边BC与B′C′重合在一起，这样拼成的四边形ACA′B′是平行四边形吗？试用两种不同的方法说明理由．
利用平行四边形的判定与性质求角度
1、如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交BC于点E，连结DE．若∠A＝50°，则∠BED的度数为（　　）
A.65° B.60° C.50° D.40°
2、在四边形ABCD中，两组对边分别相等．若∠B＝70°，则∠C的度数为（　　）
A.100° B.110° C.120° D.130°
3、如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是　 　度．
4、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，满足AE＝CF，且BE∥DF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB＝AC＝BE，∠ABE＝20°，求∠BAD的度数．
利用平行四边形的判定与性质求线段的长度
1、如图,在 ABCD中,∠D=5∠CAB,在AC上取点P,使PC=BC,连结BP,过点P作EF⊥CD,分别交AB,CD于点E,F。已知BE=2,AE=x,BP=y,当x,y发生变化时,下列代数式值不变的是()
A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2
2、如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，若AD＝4，BC＝7，则FG的长为 　 　．
4、在 ABCD中,∠ABC的平分线交直线AD于点E,AB=4,DE=1,则 ABCD的周长为　　　　。
5、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝5，求EG的长．
6、在 ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
平行四边形的判定与性质的实际应用
1、如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　）
A.红花、绿花种植面积一定相等
B.紫花、橙花种植面积一定相等
C.绿花、蓝花种植面积一定相等
D.蓝花、黄花种植面积一定相等
2、小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　）
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
3、生活中处处皆数学，如图是“左侧通行”交通标识，其中四边形ABCD为平行四边形．若∠BAD＝140°，则∠BCD的度数为（　　）
A.40° B.100° C.120° D.140°
4、如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______．
5、如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形．
6、如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，且点F是CE的中点．甲乘1路车，路线是B A E F；乙乘2路车，路线是B D C F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由．
浙教版（2024）八年级下册 4.4 平行四边形的判定定理 暑期巩固（参考答案）
利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明
1、如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AB∥DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD
【答案】C
2、如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件中,不能判定其为平行四边形的是()
A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CD C.OA=OC,OB=OD D.AB∥CD,AD=BC
【答案】D
3、如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为边AB上一点,连结CD,E为CD的中点,连结BE并延长至点F,使得EF＝EB,连结DF,交AC于点G,连结CF.若∠A＝30°,BC＝2,CF＝3,则CD的长为 　.
【答案】
【解析】∵E为CD的中点,∴CE＝DE.
又∵EF＝BE,
∴四边形DBCF是平行四边形,
∴CF∥AB,DF∥BC,DF＝BC,
∴∠FCG＝∠A＝30°,∠CGF＝∠ACB＝90°.
∵在Rt△FCG中,CF＝3,
∴FG＝CF＝,
∴CG＝.
∵DF＝BC＝2,∴DG＝,
∴CD＝.
4、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.求证：
(1)△BEO≌△DFO.
(2)四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：(1)在△BEO和△DFO中，
∵
∴△BEO≌△DFO(ASA)．
(2)∵△BEO≌△DFO，∴OE＝OF.
又∵AE＝CF，∴OA＝OC.
又∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
5、如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，连结AE，AF，CE，CF.求证：四边形AECF是平行四边形.
【答案】证明：如答图，连结AC，交BD于点O.
答图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
又∵BE＝DF，
∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形.
添加一个条件成为平行四边形
1、如图，在四边形ABCD中，AD BC，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）
A.AB＝CD B.∠ADB＝∠CBD C.AB＝AD D.∠A＝∠C
【答案】D
【解析】
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
A、由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AD∥BC，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADC+∠A＝180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）
A.AB＝CD
B.AB＝AD
C.∠ADB＝∠DBC
D.∠ABC＝∠ADC
【答案】D
【解析】
由AD∥BC，AB＝CD，可证明四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，但不一定是平行四边形，可判断A不符合题意；由AD∥BC，AB＝AD，只能证明四边形ABCD是一组对边平行且一组邻边相等的四边形，但四边形ABCD不一定是平行四边形，可判断B不符合题意；由AD∥BC，得∠ADB＝∠DBC，不能证明四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由BC∥AD得∠DBC＝∠ADB，而∠ABC＝∠ADC，可推导出∠ABD＝∠CDB，则AB∥CD，可根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
∵AD∥BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
故A不符合题意；
∵AD∥BC，AB＝AD，
∴四边形ABCD是一组对边平行且一组邻边相等的四边形，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
故B不符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵四边形ABCD只有一组对边平行，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
故C不符合题意；
∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故D符合题意，
故选：D．
3、如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件：　 　，使四边形ABCD是平行四边形．
【答案】
AB＝BF．
【解析】
添加条件是AB＝BF，求出∠CDE＝∠F，CE＝BE，根据AAS证△CDE≌△BFE，推出DC＝BF，推出AB＝CD，CD∥AB，根据平行四边形的判定推出即可．
添加条件是AB＝BF，
理由是：∵CD∥AF，
∴∠CDE＝∠F，
∵E是BC边的中点，
∴CE＝BE，
在△CDE和△BFE中
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DC＝BF，
∵AB＝BF，CD∥AF，
∴AB＝CD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB＝BF．
4、如图,已知AB=CD,那么添加一个条件　　　　　　　　后,可判定四边形ABCD是平行四边形(写出一种情况即可)。
【答案】
AB∥CD(答案不唯一)
数平行四边形的个数
1、如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，则图中平行四边形的个数为( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】
由已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出EF∥AB且EF＝AD，EF＝DB，DF∥BC且DF＝CE，所以得到3个平行四边形．
已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴EF∥AB且EF＝AB＝AD，EF＝AB＝DB，
DF∥BC且DF＝CE，
∴四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形，
故选C．
2、如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（ ）个
A.4 B.5 C.3 D.6
【答案】B
【解析】
根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得．
如图，
图中的平行四边形有：□ABED，□ABGF，□BCFE，□ACFD，□PBQF，
故选B．
3、如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有 个平行四边形．
【答案】
4
试题解析：∵在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点
∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD
∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上□ABCD本身，共有4个平行四边形4．
故答案为4．
4、如图，在□ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点的平行四边形共有 个．
【答案】
4
如图：
即□EFGH，□ABCD，□BEDG，□AFCH，
故答案为4.
全等三角形拼平行四边形问题
1、如图，有两块全等的含30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】
分别以不同的三边为对角线，则可以得到三种不同的平行四边形．
如图所示：
故选C．
2、如图，由六个全等的正三角形拼成的图，图中平行四边形的个数是（　　）
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
【答案】B
【解析】
根据等边三角形的性质，易判定EF∥AD∥BC，ED∥FC∥AB，CD∥BE∥AF，然后根据平行四边形的判定求解即可．
如图，可知，EF∥AD∥BC，ED∥FC∥AB，CD∥BE∥AF，有ED＝EF＝AF＝AB＝BC＝CD＝GE＝GF＝GA＝GB＝GC＝GD，
∴四边形EDGF，EDCG，FGBA，GCBA，EGAF，CDGB是平行四边形，共6个．
故选：B．
3、如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出（　　）个平行四边形．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
根据等腰三角形的性质以及平行四边形的判定，可以动手拼凑，得出答案．
如图所示就是3种平行四边形，
故选：C．
4、关于用两个全等三角形拼成的四边形，有下列说法：
①一定是平行四边形；
②可能是平行四边形；
③一定不是平行四边形．
其中正确的说法是　 　．
【答案】
②．
【解析】
当两个全等三角形是不等边三角形时，可拼成六个四边形，其中只有三个是平行四边形；当两个全等三角形是直角三角形时，可拼成的四边形是四个，其中三个是平行四边形．
两个全等三角形拼成的四边形不一定是平行四边形，
故答案为：②．
5、如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长．
【答案】
解：把相等的边靠在一起即可得到答案，有三种拼法．
有三种拼法，如图1中，两条对角线都是m；
如图2中，对角线分别为n和；
较长的对角线＝2×＝．
如图3中，对角线分别为h和；
较长的对角线＝2×＝．
6、如图，将两块相同的三角尺ABC和A′B′C′如图放置，使两条直角边BC与B′C′重合在一起，这样拼成的四边形ACA′B′是平行四边形吗？试用两种不同的方法说明理由．
【答案】
解：拼成的四边形ACA′B′是平行四边形，理由如下：
方法1：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A'B'，AC＝A'C'，
∴四边形ACA′B′是平行四边形；
方法2：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AC=A′C′，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，
∴AC∥A′C′，
∴四边形ACA′B′是平行四边形．
利用平行四边形的判定与性质求角度
1、如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交BC于点E，连结DE．若∠A＝50°，则∠BED的度数为（　　）
A.65° B.60° C.50° D.40°
【答案】C
【解析】
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形对角相等即可求出∠BED的度数．
由题意得，BE＝AD，
∵AD∥BC，即AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠BED＝∠A＝50°，
故选：C．
2、在四边形ABCD中，两组对边分别相等．若∠B＝70°，则∠C的度数为（　　）
A.100° B.110° C.120° D.130°
【答案】B
【解析】
由题意可得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形邻角互补即可求得答案．
∵四边形ABCD中，两组对边分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝70°，
∴∠C＝110°，
故选：B．
3、如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是　 　度．
【答案】
见试题解答内容
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，即可证得四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF的度数．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EDF＝∠EBF＝45°．
故答案为：45．
4、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，满足AE＝CF，且BE∥DF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB＝AC＝BE，∠ABE＝20°，求∠BAD的度数．
【答案】
解：1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF．
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠DFC，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵AB＝BE，∠ABE＝20°，
∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣20°）＝80°，
∵AB＝AC，
∴∠BCA＝∠BAE＝（180°﹣80°）＝50°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝80°+50°＝130°．
利用平行四边形的判定与性质求线段的长度
1、如图,在 ABCD中,∠D=5∠CAB,在AC上取点P,使PC=BC,连结BP,过点P作EF⊥CD,分别交AB,CD于点E,F。已知BE=2,AE=x,BP=y,当x,y发生变化时,下列代数式值不变的是()
A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2
【答案】B
【解析】
设∠CAB=α,则∠D=5∠CAB=5α。
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠D=5α,AB∥CD。
在△ABC中,∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-α-5α=180°-6α。
∵PC=BC,
∴∠CPB=∠CBP===3α,
∴∠PBA=∠ABC-∠CBP=5α-3α=2α。
如答图,在AE上取QE=BE=2,连结PQ。
答图
∵EF⊥CD,AB∥CD,∴EF⊥AB,
∴EF是QB的垂直平分线,
∴PQ=PB,∴∠PQB=∠PBQ=2α,
∴∠QPA=∠PQB-∠CAB=2α-α=α,
∴∠QPA=∠CAB=α,
∴AQ=QP=BP=y。
∵AE=x,∴AE-AQ=QE=2,即x-y=2,
∴x,y发生变化时,x-y不变。
2、如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】C
【解析】
根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平行四边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
在 ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，若AD＝4，BC＝7，则FG的长为 　 　．
【答案】
3．
【解析】
首先证明四边形ABFE，四边形DCGE均为平行四边形，从而得AE＝BF，DE＝CG，进而得BF+CG＝AD＝4，据此可得出FG的长．
根据平移的性质得：AB∥EF，CD∥EG，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABFE，四边形DCGE均为平行四边形，
∴AE＝BF，DE＝CG，
∴BF+CG＝AE+DE＝AD＝4，
∴FC＝BC﹣（BF+CG）＝7﹣4＝3．
故答案为：3．
4、在 ABCD中,∠ABC的平分线交直线AD于点E,AB=4,DE=1,则 ABCD的周长为　　　　。
【答案】
14或18
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=DC,
∴∠AEB=∠CBE。
①当点E在线段AD上时,如答图1。
答图1
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB=4。
∵DE=1,∴AD=5,
∴C ABCD=4+4+5+5=18;
②当点E在AD的延长线上时,如答图2。
答图2
同①可得AE=AB=4。
∵DE=1,∴AD=3,
∴C ABCD=4+4+3+3=14。
综上所述, ABCD的周长为14或18。
5、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝5，求EG的长．
【答案】
解：（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC，
又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD，
∴△FCE≌△ACD（ASA），
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）如图，
由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE＝5，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴DE＝2CD＝4，
∵EF∥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴EF＝＝＝3，
∵EG⊥DF，
∴S△DEF＝DF EG＝DE EF，
∴EG＝＝＝，
即EG的长为．
6、在 ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
【答案】
解：（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN﹣EN＝4，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
平行四边形的判定与性质的实际应用
1、如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　）
A.红花、绿花种植面积一定相等
B.紫花、橙花种植面积一定相等
C.绿花、蓝花种植面积一定相等
D.蓝花、黄花种植面积一定相等
【答案】C
【解析】
根据平行四边形的性质可知GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，我们知道，一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，据此可从图中获得S黄＝S蓝，S绿＝S红，S（紫+黄+绿）＝S（橙+红+蓝），根据等量相减原理知S紫＝S橙，依此就可找出题中说法错误的．
∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD
∴GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，
∴一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，
得S黄＝S蓝，（故D正确）
S绿＝S红，（故A正确）
S（紫+黄+绿）＝S（橙+红+蓝），
根据等量相减原理知S紫＝S橙，（故B正确）
S绿与S蓝显然不相等．（故C错误）
故选：C．
2、小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　）
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
【答案】C
【解析】
确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：C．
3、生活中处处皆数学，如图是“左侧通行”交通标识，其中四边形ABCD为平行四边形．若∠BAD＝140°，则∠BCD的度数为（　　）
A.40° B.100° C.120° D.140°
【答案】D
【解析】
根据平行四边形的对角相等解答即可．
∵四边形ABCD为平行四边形．
∴∠BCD＝∠BAD＝140°，
故选：D．
4、如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______．
【答案】
(1)2；(2).
【解析】
（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可；（2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可．
（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，
∴四边形是平行四边形，
∴，即在地面上影子的长为2米；
故答案为：2；
（2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，
当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半，
∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴．
故答案为：．
5、如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形．
【答案】
4
【解析】
根据平行四边形的判定画出图形即可．
如图，四边形ABCD即为所求．
共能作出4个平行四边形．
故答案为：4．
6、如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，且点F是CE的中点．甲乘1路车，路线是B A E F；乙乘2路车，路线是B D C F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由．
【答案】
解：可以同时到达．理由如下：
∵BA∥DE，AE∥DB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB＝DE，AE＝BD，
∵F是CE的中点，
∴EF＝FC，
∵EC⊥BC，AF∥BC，
∴AF⊥CE，
即AF垂直平分CE，
∴DE＝DC，即AB＝DC，
∴AB+AE+EF＝DC+BD+CF，
∴二人同时到达F站．

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