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浙教版（2024）八年级下册 5.2 菱形 暑期巩固
利用菱形的性质求角度
1、如图，在菱形ABCD中，E，F分别在AB，BC上，BE＝BF，AD＝DE．若∠B＝110°，则∠EDF的度数是（　　）
A.30° B.35° C.40° D.50°
2、如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝（　　）
A.20° B.30° C.40° D.50°
3、[应用意识,推理能力]杭州纸伞馆有制作精美的纸伞,如图,四条长度相等的伞骨围成菱形ABCD,伞骨连接点A固定在伞柄AP顶端,伞圈C能沿着伞柄AP滑动。小聪通过测量发现:当伞完全张开时,伞柄AP的中点O到伞骨连接点B,D的距离都等于AP长的一半。若夹角∠BAD=2∠BOD,则∠BCD的度数为　　　　°。
4、如图,在菱形ABCD中,过顶点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,连结EF。
(1)求证:△DEF为等腰三角形。
(2)若∠DEF=66°,求∠A的度数。
5、八年级下册数学教材内容：菱形的对角线互相垂直.
[结论运用]
图1　 图2　 图3
(1)如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD＝10，OD＝8，则菱形ABCD的面积是　　.
(2)如图2，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连结AE，AC，BF.求证：AC＝BF.
(3)如图3，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连结AE，若∠DAE＝42°，则∠ACF＝　　°.
利用菱形的性质求线段长
1、如图，若菱形ABCD的周长16cm，则菱形ABCD的一边的中点E到对角线交点O的距离为（　　）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
2、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD的中点，连结OE.若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
3、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E为BC中点，过E作EG⊥AC，垂足为G，过E作EF⊥BD交AB于点F，连接FG，若AC＝5，BD＝24，则FG的长为（　　）
A.12 B.10 C.6.5 D.5
4、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连结AE，F为CD的中点，连结OF，若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为____.
5、如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为 ．
6、如图，菱形ABCD，点P为对角线CA的延长线上一点，连结PD．
（1）若∠PDC＝∠BCA＝2∠P，求∠P的度数；
（2）若AB＝6，AC＝4，PA＝AC，求PD的长．
利用菱形的性质求面积
1、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(　　)
A. B. C. D.10
2、如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连结OE。若OE=3,BD=10,则菱形ABCD的面积为()
A.30 B.40 C.50 D.60
3、已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的面积是 　 　cm2．
4、如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4，求：
（1）∠ABC的度数；
（2）菱形ABCD的面积．
5、如图，已知四边形ABCD是菱形，延长AD至点E，使AE＝2BC．
（1）求证：∠ACE＝90°；
（2）若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCE的面积．
求菱形在坐标系中的坐标
1、菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　）
A.（3，1） B.（3，﹣1） C.（1，﹣3） D.（1，3）
2、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（　　）
A.（0，﹣8） B.（0，﹣5） C.（﹣5，0） D.（0，﹣6）
3、已知点A(0，3)，B(6，0)，C是x轴正半轴上一点，D是同一平面直角坐标系内一点.若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　.　
4、如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点A的坐标为（﹣3，﹣5），点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），则边CD＝ ．
添加条件使四边形是菱形
1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，还需要添加的条件是(　　)
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AC＝BD D.AB＝BC
2、如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O。添加下列一个条件,仍不能判定 ABCD是菱形,这个条件是()
A.AC⊥BD B.AC=BD C.AB=BC D.∠BAC=∠DAC
3、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：　　，使四边形ABCD成为菱形.
4、已知：在 ABCD中，分别过点B、D作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，如图．请从以下四个关系式中：①DE＝BF；②∠FBE＝∠EDF；③CE＝CF；④BE＝DF．选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD是菱形．
（1）你选择的条件是 　 　．
（2）添加了条件后，请证明 ABCD为菱形．
5、如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．
（1）证明：△BDF≌△DCE；
（2）请你给△ABC增加一个条件，　 　使四边形AFDE成为菱形（不添加其他辅助线，写出一个即可，不必证明）
证明四边形是菱形
1、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.有下列说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；
③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；
④若AD⊥BC，且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形.
其中正确的是(　　)
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④
2、下列命题正确的是(　)
A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3、如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE．
求证：四边形DBFE是菱形．
4、如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC是∠BAD的角平分线，AD∥CB．
求证：四边形ABCD是菱形．
浙教版（2024）八年级下册 5.2 菱形 暑期巩固（参考答案）
利用菱形的性质求角度
1、如图，在菱形ABCD中，E，F分别在AB，BC上，BE＝BF，AD＝DE．若∠B＝110°，则∠EDF的度数是（　　）
A.30° B.35° C.40° D.50°
【答案】A
【解析】
∵菱形ABCD，∠B＝110°，
∴AB＝CB＝AD＝CD，∠ADC＝∠ABC＝110°，AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A＝180°﹣∠ABC＝70°，
∵AD＝DE，
∴∠AED＝∠A＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝40°，
∵AB＝CB，BE＝BF，
∴AB﹣BE＝CB﹣BF，即AE＝CF，
又∠A＝∠C，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF，
∴∠ADE＝∠CDF＝40°，
∴∠EDF＝∠ADC﹣∠ADE﹣∠CDF＝30°．
故选：A．
2、如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝（　　）
A.20° B.30° C.40° D.50°
【答案】A
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝70°．
∵DE⊥BC，
∴在Rt△BDE中，OE＝OB＝OD，
∴∠OEB＝∠OBE＝70°．
∴∠OED＝90°﹣70°＝20°．
故选：A．
3、[应用意识,推理能力]杭州纸伞馆有制作精美的纸伞,如图,四条长度相等的伞骨围成菱形ABCD,伞骨连接点A固定在伞柄AP顶端,伞圈C能沿着伞柄AP滑动。小聪通过测量发现:当伞完全张开时,伞柄AP的中点O到伞骨连接点B,D的距离都等于AP长的一半。若夹角∠BAD=2∠BOD,则∠BCD的度数为　　　　°。
【答案】
144
【解析】
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BCA=∠DCA=∠BCD,∠BAO=∠DAO=∠BAD,
∴∠BAD=2∠BAO,∠BCD=∠BAD。
∵∠BAD=2∠BOD,
∴∠BAO=∠BOD。
由题意知OA=OB=OD=AP,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD=∠ODA=∠BOD。
又∵∠OAB+∠OBA+∠OAD+∠ODA+∠BOD=360°,
∴∠BAO=72°,
∴∠BCD=∠BAD=2×72°=144°。
4、如图,在菱形ABCD中,过顶点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,连结EF。
(1)求证:△DEF为等腰三角形。
(2)若∠DEF=66°,求∠A的度数。
【答案】
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,∠A=∠C。
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠AED=∠CFD=90°。
在△ADE和△CDF中,
∵
∴△ADE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF,
∴△DEF是等腰三角形。
(2)∵DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE=66°,
∴∠BEF=∠BFE=90°-66°=24°,
∴∠B=180°-24°-24°=132°。
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠A=180°-∠B=48°。
5、八年级下册数学教材内容：菱形的对角线互相垂直.
[结论运用]
图1　 图2　 图3
(1)如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD＝10，OD＝8，则菱形ABCD的面积是　　.
(2)如图2，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连结AE，AC，BF.求证：AC＝BF.
(3)如图3，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连结AE，若∠DAE＝42°，则∠ACF＝　　°.
【答案】(1)96 (3)27
解：(1)∵四边形ABCD为菱形，AD＝10，OD＝8，
∴AC⊥BD，BD＝2OD＝16，
∴在Rt△AOD中，
OA＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∴菱形ABCD的面积为S＝AC·BD＝×12×16＝96.
(2)如答图，连结CE，交AD于点H.
答图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵四边形CDEF是菱形，
∴EF∥CD，EF＝CD，EC⊥FD，EH＝CH，
∴AB＝CD＝EF，AB∥CD∥EF，AD垂直平分线段EC，
∴四边形ABFE是平行四边形，AC＝AE，
∴AE＝BF，∴AC＝BF.
(3)∵四边形ACBD菱形，四边形CDEF菱形，
∴AD＝AC，CD＝CF＝DE，∠ADE＝∠ADC.
∵AD＝AD，∠ADE＝∠ADC，CD＝ED，
∴△ADC≌△ADE(SAS)，
∴∠DAE＝∠DAC＝42°.
∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝×(180°－∠DAC)＝69°.
∵CD＝CF，∴∠ADC＝∠CFD＝69°，
∴∠ACF＝∠CFD－∠DAC＝69°－42°＝27°.
利用菱形的性质求线段长
1、如图，若菱形ABCD的周长16cm，则菱形ABCD的一边的中点E到对角线交点O的距离为（　　）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
【答案】B
【解析】
如图，连接BD，
∵四边形ABCD是周长为16cm的菱形，
∴AB＝4cm，AC⊥BD，
∵点E为AB的中点，
∴OE＝AB＝2cm，
故选：B．
2、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD的中点，连结OE.若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
【答案】A
【解析】∵菱形ABCD的周长为32，∴AB＝8，O为BD的中点．
又∵E是边AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝AB＝4.
3、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E为BC中点，过E作EG⊥AC，垂足为G，过E作EF⊥BD交AB于点F，连接FG，若AC＝5，BD＝24，则FG的长为（　　）
A.12 B.10 C.6.5 D.5
【答案】C
【解析】
连接OE，延长GE，过点B作BH⊥GH，垂足为点H，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，AC⊥BD，
∵EG⊥AC，EF⊥BD
∴∠EMO＝∠GOM＝∠EGO＝90°，
∴四边形EGOM为矩形，
∴EM∥AC，∠MEG＝90°，
∵E为BC的中点，O为AC的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴四边形AOEF为平行四边形，
∴，
在△BEH和△CEG中，
，
∴△BEH≌△CEG（AAS），
∴EH＝EG，
∵∠BHG＝∠OGH＝∠BOG＝90°，
∴四边形BOGH为矩形，
∴GH＝BO＝12，
∴，
∴．
故选：C．
4、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连结AE，F为CD的中点，连结OF，若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为____.
【答案】2
【解析】 在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝OD.
在Rt△AOE中，AE＝＝5.
∵AE＝BE，∴OB＝AE＋OE＝8.
在Rt△AOB中，AB＝＝4，
即菱形的边长为4.
∵F为CD的中点，OB＝OD，∴OF＝BC＝2.
5、如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为 ．
【答案】
．
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，
∴BC＝＝5，
∴S菱形ABCD＝BD AC＝×6×8＝24，
∵S菱形ABCD＝BC×AE，
∴BC×AE＝24，
∴AE＝．
故答案为：．
6、如图，菱形ABCD，点P为对角线CA的延长线上一点，连结PD．
（1）若∠PDC＝∠BCA＝2∠P，求∠P的度数；
（2）若AB＝6，AC＝4，PA＝AC，求PD的长．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠PDC＝∠BCA＝2∠P，
∴∠DAC＝2∠P，
又∵∠DAC＝∠P+∠ADP，
∴∠P＝∠ADP，
∴∠PDC＝2∠P＝∠PDA+∠ADC，
∴∠ADC＝∠P，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝2∠P，
∵∠DAC+∠DCA+∠ADC＝180°，
∴5∠P＝180°，
∴∠P＝36°；
（2）如图，过点D作DH⊥PC于H，
∵AB＝6＝AD＝CD，AC＝4，DH⊥PC，
∴AH＝HC＝2，
∴DH＝＝＝4，
∵PA＝AC＝4，
∴PH＝6，
∴PD＝＝＝2．
利用菱形的性质求面积
1、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(　　)
A. B. C. D.10
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4.
∵在Rt△ABO中，
AB＝＝5，∴BC＝5.
∵S△ABC＝AC·BO＝BC·AE，
∴AE＝＝.
2、如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连结OE。若OE=3,BD=10,则菱形ABCD的面积为()
A.30 B.40 C.50 D.60
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC。
∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,
∴AC=2OE=2×3=6,
∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×6×10=30。
3、已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的面积是 　 　cm2．
【答案】
解：∵菱形的两条对角线长为8cm和6cm，
∴菱形的面积＝×8×6＝24（cm2）．
故答案为：24．
4、如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4，求：
（1）∠ABC的度数；
（2）菱形ABCD的面积．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∵E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝30°，∠DAE＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°；
（2）连接BD，交AC于点O，
在菱形ABCD中，∠DAE＝60°，
∴∠CAE＝30°，AB＝4，
∴OB＝AB＝2，
∴BD＝2OB＝4
根据勾股定理可得：AO＝＝2，
即AC＝4，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝×4×4＝8．
5、如图，已知四边形ABCD是菱形，延长AD至点E，使AE＝2BC．
（1）求证：∠ACE＝90°；
（2）若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCE的面积．
【答案】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝BC，
∵AE＝2BC，
∴AD＝DE＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠DCE＝∠E，
∵∠DAC+∠DCA+∠DCE+∠E＝180°，
∴∠DCA+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°；
（2）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，
∵AC＝16，BC＝10，
∴OC＝8，BC＝10，
∴OB＝，
∴BD＝12，
∴四边形ABCE的面积＝＝144．
求菱形在坐标系中的坐标
1、菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　）
A.（3，1） B.（3，﹣1） C.（1，﹣3） D.（1，3）
【答案】B
【解析】
连接AB交OC于点D，
∵四边形OACB是菱形，
∴AB⊥OC，AD＝BD＝1，OD＝CD＝3，
∴点B的坐标是（3，﹣1）．
故选：B．
2、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（　　）
A.（0，﹣8） B.（0，﹣5） C.（﹣5，0） D.（0，﹣6）
【答案】B
【解析】
∵A（12，13），
∴OD＝12，AD＝13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝13，
在Rt△ODC中，OC＝，
∴C（0，﹣5）．
故选：B．
3、已知点A(0，3)，B(6，0)，C是x轴正半轴上一点，D是同一平面直角坐标系内一点.若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　.　
【答案】或
【解析】当AB为菱形的边时，如答图1.
答图1
AB＝＝3.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝3，AD∥BC，
∴点D的坐标为(3，3).
当AB为菱形的对角线时，如答图2，设菱形的边长为m.
答图2
∵点A(0，3)，B(6，0)，
∴OA＝3，OB＝6.
∵四边形ABCD为菱形，
∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，
∴CA＝CB＝m，∴OC＝6－m.
在Rt△AOC中，32＋(6－m)2＝m2，解得m＝，
∴点D的坐标为.
综上所述，点D的坐标为(3，3)或.
4、如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点A的坐标为（﹣3，﹣5），点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），则边CD＝ ．
【答案】
．
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A与点C，点B与点D关于原点对称，
∴C（3，5），
∵点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），
∴n＝﹣10，
∴点D的坐标为（﹣10，6），
∴CD＝＝，
故答案为：．
添加条件使四边形是菱形
1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，还需要添加的条件是(　　)
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AC＝BD D.AB＝BC
【答案】D
2、如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O。添加下列一个条件,仍不能判定 ABCD是菱形,这个条件是()
A.AC⊥BD B.AC=BD C.AB=BC D.∠BAC=∠DAC
【答案】B
3、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：　　，使四边形ABCD成为菱形.
【答案】AD∥BC(或AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等，答案不唯一)
【解析】当添加“AD∥BC”时，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；
当添加“AB＝CD”时，∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；
当添加“OB＝OD”时，∵AD＝BC，AC⊥BD，
∴Rt△ADO≌Rt△CBO(HL)，
∴AO＝CO，DO＝BO，∴四边形ABCD是菱形；
当添加“∠ADB＝∠CBD”时，∴AD∥BC.
∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.
4、已知：在 ABCD中，分别过点B、D作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，如图．请从以下四个关系式中：①DE＝BF；②∠FBE＝∠EDF；③CE＝CF；④BE＝DF．选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD是菱形．
（1）你选择的条件是 　 　．
（2）添加了条件后，请证明 ABCD为菱形．
【答案】
解：（1）选择的条件是③，
故答案为：③；
（2）证明：∵BE⊥CD，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠CEB＝90°
∵CE＝CF，∠ECA＝∠FCD，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴BC＝DC，
∴ ABCD为菱形．
5、如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．
（1）证明：△BDF≌△DCE；
（2）请你给△ABC增加一个条件，　 　使四边形AFDE成为菱形（不添加其他辅助线，写出一个即可，不必证明）
【答案】
解：（1）证明：∵D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F
∴∠FDB＝∠C，BD＝CD，∠B＝∠CDE，
∴△BDF≌△DCE；
（2）AF＝AE（答案不唯一）．
证明四边形是菱形
1、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.有下列说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；
③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；
④若AD⊥BC，且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形.
其中正确的是(　　)
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④
【答案】C
【解析】∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，①正确.
若∠BAC＝90°，
则 AEDF是矩形，②正确.
若AD平分∠BAC，
则∠EAD＝∠FAD.
∵DE∥CA，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∴ AEDF是菱形，③正确.
若AB＝AC，AD⊥BC，
则AD平分∠BAC，
同理可得 AEDF是菱形，但无法证明 AEDF是正方形，④错误.
综上所述，正确的是①②③.
2、下列命题正确的是(　)
A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
3、如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE．
求证：四边形DBFE是菱形．
【答案】
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠EFC＝2∠ABE＝∠ABC，
∴EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴DE＝DB，
∴四边形DBFE是菱形．
4、如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC是∠BAD的角平分线，AD∥CB．
求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】
证明：∵AC是∠BAD的角平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
在△DAC和△BAC中，
，
∴△DAC≌△BAC（SAS），
∴AD＝CB，
又∵AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．

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