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专题强化二十二　电磁感应中的动力学和能量问题
学习目标　1.学会用动力学知识分析导体棒在磁场中的运动问题。 2.会用功能关系和能量守恒定律分析电磁感应中的能量转化。
考点一　电磁感应中的动力学问题
1.导体的两种运动状态
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律结合运动学公式进行分析
2.用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
模型　“单杆+电阻”模型
例1 (2026·山东青岛高三调研)如图所示,MN、PQ为间距0.4 m的足够长光滑平行金属导轨,导轨平面与水平面夹角为30°,两导轨间接R=0.1 Ω的电阻。与导轨垂直的虚线AB上方有垂直导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度大小为0.5 T。电阻不计、长为0.4 m的金属杆在沿斜面向上的恒力F作用下,由静止开始沿斜面向上运动,经0.5 s到达AB时的速度为4 m/s,最终匀速运动的速度为2 m/s。重力加速度g=10 m/s2,则恒力F大小及金属杆的质量m分别为(　　)
A.1.3 N,0.1 kg B.1.3 N,0.2 kg
C.2.6 N,0.2 kg D.0.3 N,0.1 kg
答案　A
解析　金属杆沿斜面由静止运动到AB过程中,设加速度为a1,由运动学公式v1=a1t1,解得a1=8 m/s2;由牛顿第二定律可知F-mgsin 30°=ma1;金属杆最终匀速运动的速度为v2=2 m/s,可知F-F安-mgsin 30°=0,又F安=BIL=BL=BL,联立解得F=1.3 N,m=0.1 kg,故A正确。
总结提升　“单杆+电阻”模型动力学特点
v0≠0,轨道光滑 v0=0,有外力轨道光滑
示意图
v-t图像
运动过程分析 导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E=BLv,电流I==,安培力F=ILB=,做减速运动:v F a,当v=0时,F=0,a=0,杆保持静止 开始时a=,以后杆ab速度v 感应电动势E=BLv I 安培力F安=ILB,由F-F安=ma知a,当a=0时,v最大,vm=
模型　“单杆+电容器”模型
例2 (多选)如图所示,两条足够长的光滑平行导轨MN、PQ水平放置,导轨间距为L=1 m,电阻不计,两导体棒a、b静置于导轨上,导体棒a的电阻不计,b棒的阻值为R=1 Ω,单刀双掷开关1接在电容为C=0.5 F的电容器上,初始状态电容器不带电。电容器的右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B1=1 T,电容器左侧有垂直于纸面向外的匀强磁场B2=0.5 T,导体棒a通过细线跨过光滑定滑轮与竖直悬挂的重物A相连,已知重物A、两导体棒a、b三者的质量均为m=1 kg。现将开关S接1位置,释放重物A,同时开始计时,t1=0.25 s时断开开关S,t2=0.45 s时将开关S接2位置,导体棒b开始运动,t3时刻两导体棒的加速度大小相等。重力加速度g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
A.t1时刻导体棒a的速度为v1=1 m/s
B.t2时刻导体棒a的速度为v2=3 m/s
C.t3时刻导体棒a的加速度为 m/s2
D.t3时刻回路消耗的热功率为25 W
答案　AD
解析　对导体棒a和重物A,根据牛顿第二定律得mg-B1I1L=2ma1,根据I1=,ΔQ=CΔU,ΔU=B1LΔv,Δv=a1Δt,联立解得a1==4 m/s2,t1时刻导体棒a的速度v1=a1t1=1 m/s,故A正确;断开开关S后,导体棒a不受安培力,则有mg=2ma2,t2时刻导体棒a的速度为v2=v1+a2(t2-t1)==2 m/s,故B错误;开关S接2位置,设t3时刻导体棒a、b的加速度大小为a3,对导体棒a和重物A,有mg-I2LB1=2ma3,对金属棒b,有I2LB2=ma3,解得a3=2.5 m/s2,I2=5 A,t3时刻回路消耗的热功率为P=R=25 W,故C错误,D正确。
总结提升　“单杆+电容器”模型动力学特点
v0=0　轨道光滑
示意图
v-t 图像
运动过程分析 开始时a=,以后杆ab速度v E=BLv,经过Δt速度为v+Δv,此时感应电动势E'=BL(v+Δv),Δt时间内流入电容器的电荷量Δq=CΔU=CBLΔv,Δv=aΔt 电流I==CBL=CBLa 安培力F安=ILB=CB2L2a F-F安=ma,a=,所以杆以恒定的加速度做匀加速运动
模型　“双杆+导轨”模型
例3 (多选)如图所示,空间存在竖直方向的匀强磁场,磁感应强度大小为B=2 T,两根足够长水平金属直轨道平行放置,轨道间距L=0.5 m。将质量均为m=0.5 kg、长度均为L、电阻均为R=0.5 Ω的金属棒a、b垂直轨道放置,金属棒与直轨道间动摩擦因数均为μ=0.4。现用外力F使金属棒b保持静止,对金属棒a施加大小为F0=6 N、方向水平向右的恒力,当金属棒a匀速运动时,撤去固定金属棒b的外力F,在运动过程中,金属棒与导轨始终垂直且接触良好,导轨电阻不计,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.金属棒a匀速运动时的速度大小为4 m/s
B.金属棒a匀速运动时,其两端的电势差为4 V
C.撤去外力F后,a、b两金属棒的速度差不断增大
D.最终金属棒b以大小为2 m/s2的加速度运动
答案　AD
解析　当加速度a=0时,金属棒a做匀速运动,此时有I=,又F0=μmg+ILB,联立解得v=4 m/s,故A正确;金属棒a匀速运动时,切割磁感线产生的感应电动势为E=BLv=4 V,由于两金属棒阻值相等,则金属棒a两端的电势差大小为U==2 V,故B错误;撤去外力F后,对a、b由牛顿第二定律可得F0-μmg-F安=maa,F安-μmg=mab,最终两金属棒加速度相同,有F安=3 N,aa=ab=2 m/s2,故D正确;又F安=,解得Δv=3 m/s,即最终两棒的速度差保持不变,故C错误。
总结提升　“双杆+导轨”模型动力学特点
1.初速度不为零,不受其他水平外力
光滑的平行导轨 光滑不等距导轨
示意图 质量m1=m2 电阻r1=r2 长度L1=L2 杆MN、PQ间距足够长 质量m1=m2 电阻r1=r2 长度L1=2L2 杆MN、PQ间距足够长且只在各自的轨道上运动
v-t 图像
分析 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动,稳定时,两杆的加速度均为零,以相等的速度做匀速运动 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动,稳定时,两杆的加速度均为零,两杆的速度之比为1∶2
2.初速度为零,一杆受到恒定水平外力
光滑的平行导轨 不光滑平行导轨
示意图 质量m1=m2 电阻r1=r2 长度L1=L2 摩擦力Ff1=Ff2 质量m1=m2 电阻r1=r2 长度L1=L2
v-t 图像
分析 开始时,两杆做变加速运动;稳定时,两杆以相同的加速度做匀加速运动,且速度差恒定 开始时,若Ff2Ff,PQ杆先变加速后匀加速运动,MN杆先静止后变加速运动,最后和PQ杆同时做匀加速运动,且加速度相同
考点二　电磁感应中的能量问题
1.电磁感应中的能量转化
2.求解焦耳热Q的三种方法
例4 (2026·安徽皖东名校联盟联考)如图所示,两足够长的光滑平行导轨固定在同一水平面上,虚线MN与导轨垂直,其左、右两侧的导轨间距分别为L2和L1,L2>L1,整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。MN左、右两侧的磁感应强度大小分别为B2和B1,B1>B2,在MN两侧导轨上分别垂直于导轨放置两根平行金属棒ab和cd,接入电路的阻值分别为r1和r2,系统静止。某时刻对ab棒施加一个水平向右的恒力F,两金属棒在向右的运动过程中,始终与导轨垂直且接触良好,cd棒始终未到达MN处,则下列判断正确的是(　　)
A.最终两棒以不同的速度匀速运动
B.最终两棒以相同的速度匀速运动
C.安培力对cd棒所做的功大于cd棒的动能增加量
D.外力F做的功等于两棒的动能增加量和回路中产生的焦耳热
答案　D
解析　ab棒在恒力F作用下向右加速,由于受到向左的安培力,所以做加速度减小的加速运动,cd棒在向右的安培力作用下,向右加速,两者达到稳定状态应该是有共同的加速度,即为a=,所以最终两棒以相同的加速度一起向右做加速运动,A、B错误;cd棒受的合力为安培力,由动能定理知安培力对cd棒所做的功等于cd棒的动能增加量,C错误;由功能关系知恒力F做的功等于两棒的动能增加量和回路中产生的焦耳热,D正确。
例5 (多选)(2026·广东深圳高三月考)如图甲所示,水平粗糙导轨左侧接有定值电阻R=3 Ω,导轨处于垂直纸面向外的匀强磁场中,磁感应强度B=1 T,导轨间距L=1 m。一质量m=1 kg、阻值r=1 Ω的金属棒在水平向右拉力F作用下由静止开始从CD处运动,金属棒与导轨间动摩擦因数μ=0.25,金属棒的v-x图像如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.由图像可知金属棒做匀加速直线运动
B.拉动过程中,拉力F做的功等于金属棒的焦耳热与克服摩擦力所做的功之和
C.x=1 m时,安培力的大小为0.5 N
D.从起点运动到位移x=1 m的过程中,回路产生的焦耳热为0.25 J
答案　CD
解析　由题图乙可知金属棒的速度随位移均匀变化,由匀变速直线运动v2=2ax,可得v=∝,其图像不是一条直线,则金属棒做变加速直线运动,故A错误;运动过程中金属棒在水平方向受到拉力、安培力及摩擦力作用,金属棒做加速运动,动能增加,拉力做的功大于金属棒克服安培力和摩擦力所做的功之和,故B错误;由题图乙可知当x=1 m时,金属棒的速度为2 m/s,则金属棒产生的感应电动势E=BLv1=2 V,此时的电流I==0.5 A,安培力F1=ILB=0.5 N,故C正确;由功能关系可知金属棒从起点运动到x=1 m处的过程中,回路产生的焦耳热等于金属棒克服安培力所做的功,即Q=W=F安x=x,从题图乙中图像与坐标轴围成的面积的物理意义可知vx=×2×1 m2/s=1 m2/s,解得该过程回路产生的总焦耳热Q总=0.25 J,故D正确。
A级　基础对点练
对点练1　电磁感应中的动力学问题
1.如图所示,在一匀强磁场中有一U形导线框abcd,线框处于水平面内,磁场与线框平面垂直,R为一电阻,ef为垂直于ab的一根导体杆,它可在ab、cd上无摩擦地滑动。杆ef及线框的电阻不计,开始时,给ef一个向右的初速度,则(　　)
A.ef将减速向右运动,但不是匀减速运动
B.ef将匀减速向右运动,最后停止
C.ef将匀速向右运动
D.ef将往返运动
答案　A
解析　ef向右运动,切割磁感线,产生感应电动势和感应电流,会受到向左的安培力而做减速运动,由F=ILB==ma知,ef做的是加速度减小的减速运动,最终停止运动,故A正确,B、C、D错误。
2.(多选)(2026·云南大理模拟)如图所示,足够长的平行光滑导轨水平放置在竖直向上的匀强磁场中,磁场的磁感应强度大小B=3 T,导轨宽度L=1 m,左端通过导线连接了电源和开关S,电源的电动势E=6 V,内阻r=1 Ω。一质量m=0.1 kg的导体棒垂直于导轨放置,并与导轨接触良好,其接入电路的阻值R=2 Ω,导体棒的中部通过绕过光滑定滑轮的绝缘轻绳连接了一质量M=0.4 kg的物块,用手托住物块保持静止且轻绳恰好处于伸直状态。t=0时刻,释放物块并闭合开关S,重力加速度大小g=10 m/s2,最后物块做匀速直线运动。下列说法正确的是(　　)
A.导体棒向左先加速后匀速运动
B.物块做匀速直线运动时,导体棒的速度大小为1.5 m/s
C.刚释放物块时,通过导体棒的电流为2 A
D.刚释放物块时,导体棒的加速度大小为20 m/s2
答案　AC
解析　释放物块且闭合开关后,以向左为正方向,设导体棒的速度大小为v时,通过导体棒的电流I=,对导体棒和物块组成的系统,由牛顿第二定律有ILB-Mg=(M+m)a,加速度大小a=,可知随着速度的增大,加速度a逐渐减小,当加速度a=0时,即ILB=Mg,可得v= m/s,即导体棒向左先加速后匀速运动,故A正确,B错误;刚释放物块时,通过导体棒的电流I0==2 A,对导体棒和物块,由牛顿第二定律有I0LB-Mg=(M+m)a0,解得a0=4 m/s2,导体棒向左运动,物块上升,故C正确,D错误。
对点练2　电磁感应中的能量问题
3.(2025·河南周口模拟)如图所示,两个由不同导电材料做成质量相同、边长相同的线框A和线框B,线框的电阻RA大于RB。现将两个线框从同一高度由静止释放,下落到某一高度时进入磁场,磁场一直延伸到地面位置。不计空气阻力,设两线框落地时的动能大小分别为EkA和EkB,落地所用时间分别为tA和tB,下列说法正确的是(　　)
A.EkA=EkB　tA=tB B.EkA>EkB　tAC.EkA>EkB　tA>tB D.EkA答案　B
解析　不计空气阻力,质量相同的线框A和线框B在同一高度时,所具有的重力势能相等,线框自由下落然后进入磁场区域时,做切割磁感线运动,将机械能一部分转化为电能,即重力势能部分转化为动能,部分转化为电能。线框A电阻大,进入磁场后产生的感应电流小,克服安培力做功小,产生焦耳热小,由能量守恒定律知mgh=Ek+Q,所以落地时,EkA>EkB;进入磁场时,线框A所受向上的磁场力小,进入磁场时的速度比线框B大,所以落地所用时间小,即tA4.(多选)如图所示,MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨,其间距为L,导轨弯曲部分光滑,平直部分粗糙,二者平滑连接。右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放,到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ,金属棒与导轨间接触良好。重力加速度为g,则金属棒穿过磁场区域的过程中(　　)
A.流过定值电阻的电流方向是N→Q
B.通过金属棒的电荷量为
C.克服安培力做的功为mgh
D.金属棒产生的焦耳热为(mgh-μmgd)
答案　BD
解析　金属棒下滑到导轨底端时速度方向向右,磁场方向竖直向上,根据右手定则可知流过定值电阻的电流方向是Q→N,故A错误;根据法拉第电磁感应定律可知,通过金属棒的电荷量为q=·Δt=·Δt=,故B正确;根据动能定理有mgh-μmgd-W克安=0,则克服安培力所做的功为W克安=mgh-μmgd,电路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功,所以金属棒产生的焦耳热为QR=(mgh-μmgd),选项C错误,D正确。
5.(多选)如图甲所示,平行金属导轨及所在平面与水平面成37°角。不计金属导轨电阻,平行导轨间距L=1 m,定值电阻R=3 Ω,虚线OO'下方有垂直于导轨平面的匀强磁场。将电阻r=1 Ω、m=0.1 kg的金属棒ab从OO'上方某处垂直导轨由静止释放,金属棒下滑过程中的v-t图像如图乙所示。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
A.金属棒下滑过程中受到的摩擦力为0.2 N
B.匀强磁场的磁感应强度大小为2 T
C.金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R中电流为0.5 A
D.金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R产生的热量为1.875×10-2 J
答案　BD
解析　由图乙知金属棒ab进磁场前的加速度为a==5 m/s2,由mgsin 37°-Ff=ma,解得Ff=0.1 N,A错误;ab进磁场后做匀速运动,有mgsin 37°=Ff+ILB,回路中电流I=,解得B=2 T,B正确;金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R中电流I==0.25 A,C错误;金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R产生的热量Q=I2Rt=1.875×10-2 J,D正确。
6.(多选)(2026·安徽黄山高三检测)如图所示,足够长倾斜U型导轨顶端连有一电容器,电容器规格为“0.01 F　100 V”,导轨处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为B=10 T,导轨倾角θ=37°。将质量为m=1 kg的金属棒在导轨某处由静止释放,一段时间后,电容器被击穿。已知倾斜导轨宽度为L=1 m,金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ=0.5,sin 37°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,导轨及金属棒电阻不计,金属棒始终与导轨垂直且接触良好。以金属棒开始运动为计时起点,下列说法正确的是(　　)
A.金属棒向下做加速度减小的加速运动,最后匀速
B.t=10 s时,电容器被击穿
C.t=2 s时,金属棒下滑的距离为4 m
D.t=2 s时,电容器储存的电能为2 J
答案　BD
解析　根据题意可得I====CBLa,由牛顿第二定律mgsin θ-μmgcos θ-ILB=ma,联立上述两式可解得a==1 m/s2,即金属棒向下做匀加速直线运动,故A错误;当金属棒两端电压等于电容器的击穿电压时,电容器被击穿,即U=BLv,解得v=10 m/s,再由v=at,可得t=10 s,故B正确;当t=2 s时,金属棒下滑的距离为x=at2=2 m,克服安培力做功W=ILBx=2 J,由功能关系知电容器储存的电能E=W=2 J,故C错误,D正确。
B级　综合提升练
7.(多选)(2026·山东滨州高三月考)如图所示,平行光滑金属导轨ad、bc间距为L=1.5 m,与水平面间的夹角为37°,导轨上端接有电阻R=0.8 Ω。一导体棒垂直导轨放置且与导轨接触良好,导体棒质量为2 kg,连入电路的电阻为0.2 Ω,导体棒MN上方导轨间有一矩形磁场,磁场面积为2 m2,磁场方向垂直导轨平面向下,矩形磁场的磁感应强度均匀增大,变化率为=1.0 T/s,MN棒下方包括MN所处的导轨间充满垂直导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度大小为2 T,导轨足够长且电阻不计,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,释放导体棒后,下列说法正确的是(　　)
A.刚释放时导体棒的加速度大小为6 m/s2
B.导体棒稳定下滑时速度大小为2 m/s
C.若撤去MN上方变化的磁场,导体棒稳定运行的速度变大
D.若撤去MN上方变化的磁场,R两端电压最大为3.2 V
答案　BD
解析　刚释放导体棒时,感应电动势为E=S=2 V,根据楞次定律知,导体棒中感应电流的方向为M→N,由左手定则可知,安培力方向沿导轨向下,根据牛顿第二定律有mgsin 37°+ILB=ma,又I=,联立解得a=9 m/s2,故A错误;导体棒匀速运动时,根据平衡条件可知BL=mgsin 37°,解得v=2 m/s,故B正确;若撤去MN上方变化的磁场,导体棒稳定时有BL=mgsin 37°,解得v'= m/s8.(多选)(2026·湖北部分学校联考)如图所示,间距为L的固定平行双轨道由足够长的水平光滑段和倾角为θ的粗糙段构成,所在空间均存在与导轨所在平面垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量均为m、电阻均为R的金属棒ab、cd垂直放在水平、倾斜导轨上且与导轨接触良好。起初cd棒恰好静止,ab棒在水平向右的恒力F作用下从静止开始向右加速,当ab棒达到最大速度时,cd棒又恰好静止。导轨的电阻不计,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g,下列说法正确的是(　　)
A.cd棒与倾斜导轨间的动摩擦因数为sin θ
B.ab棒的最大加速度为4gsin θ
C.ab棒的最大速度为
D.恒力F的最大功率为
答案　CD
解析　起初cd棒恰好静止,根据平衡条件得mgsin θ=μmgcos θ,解得μ=tan θ,A错误;当ab棒达到最大速度时,cd棒受到的安培力大小为F安=mgsin θ+μmgcos θ=2mgsin θ,所以ab棒所受恒力F=F安=2mgsin θ,开始运动时ab棒的加速度最大,则最大加速度为2gsin θ,B错误;根据平衡条件得2mgsin θ=,解得vm=,C正确;恒力F的最大功率为P=Fvm=,D正确。
9.(2026·广东惠州高三期末)如图所示,固定在地面上的足够长的粗糙绝缘斜面与水平面所成夹角θ=30°,在斜面下方虚线aa'、bb'围成的区域内有垂直斜面向上的有界匀强磁场,虚线aa'和bb'与斜面底边平行。斜面上方平行放置n=25匝的正方形金属线框MNPQ,使其PQ边与斜面底边平行,从静止释放,线框向下运动x=5 m进入磁场区域,刚好能够匀速穿过整个磁场区域,已知线框的质量为m=1 kg、边长d=0.1 m、电阻R=0.5 Ω,线框与斜面间的动摩擦因数为μ=,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)线框进入磁场区域时的速度大小;
(2)有界匀强磁场的磁感应强度大小;
(3)整个线框穿过磁场的过程中,线框上产生的焦耳热。
答案　(1)5 m/s　(2)0.2 T　(3)0.5 J
解析　(1)对金属线框从静止释放到刚进入磁场区域的过程中,由动能定理得
mgxsin θ-μmgcos θ·x=m-0
解得线框进入磁场区域时的速度大小v0=5 m/s。
(2)线框匀速穿过整个磁场区域,有
mgsin θ=μmgcos θ+nIdB
感应电动势E=nBdv0
感应电流I=
联立解得有界匀强磁场的磁感应强度大小B=0.2 T。
(3)因刚好能够匀速穿过整个磁场区域,则磁场宽度也为d,位移为2d
由功能关系,有Q=nBId·2d
联立解得Q=0.5 J。
C级　培优加强练
10.(2024·北京卷,18)如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中,两根相距L的平行长直金属导轨水平放置,左端接电容为C的电容器,一导体棒放置在导轨上,与导轨垂直且接触良好,不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B,导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。
(1)求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I;
(2)求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a;
(3)在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。
答案　(1)　(2)　(3)见解析图
解析　(1)开关闭合前电容器的电荷量为Q,则电容器两极板间电压为U=
闭合开关瞬间,通过导体棒的电流为I=
联立解得I=。
(2)闭合开关瞬间,对导体棒由牛顿第二定律有
ILB=ma
结合(1)问解得a=。
(3)由(2)中结论可知,随着电容器放电,电容器所带电荷量不断减少,导体棒的加速度不断减小,当电容器两极板间的电压与导体棒产生的感应电动势相等,即回路中电流减为0时,导体棒不受安培力作用,加速度为0,此后导体棒做匀速运动,其v-t图线如图所示。(共50张PPT)
专题强化二十二　电磁感应中的动力学和能量问题
第十一章　电磁感应
1.学会用动力学知识分析导体棒在磁场中的运动问题。 2.会用功能关系和能量守恒定律分析电磁感应中的能量转化。
学习目标
目 录
CONTENTS
考点
01
提升素养能力
02
考点
1
考点二　电磁感应中的能量问题
考点一　电磁感应中的动力学问题
1.导体的两种运动状态
考点一　电磁感应中的动力学问题
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律结合运动学公式进行分析
2.用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
模型　　“单杆+电阻”模型
例1 (2026·山东青岛高三调研)如图所示,MN、PQ为间距0.4 m的足够长光滑平行金属导轨,导轨平面与水平面夹角为30°,两导轨间接R=0.1 Ω的电阻。与导轨垂直的虚线AB上方有垂直导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度大小为0.5 T。电阻不计、长为0.4 m的金属杆在沿斜面向上的恒力F作用下,由静止开始沿斜面向上运动,经0.5 s到达AB时的速度为4 m/s,最终匀速运动的速度为2 m/s。重力加速度g=10 m/s2,则恒力F大小及金属杆的质量m分别为(　　)
A.1.3 N,0.1 kg B.1.3 N,0.2 kg
C.2.6 N,0.2 kg D.0.3 N,0.1 kg
A
解析　金属杆沿斜面由静止运动到AB过程中,设加速度为a1,由运动学公式v1=a1t1,解得a1=8 m/s2;由牛顿第二定律可知F-mgsin 30°=ma1;金属杆最终匀速运动的速度为v2=2 m/s,可知F-F安-mgsin 30°=0,又F安=BIL=BL=BL,联立解得F=
1.3 N,m=0.1 kg,故A正确。
总结提升　“单杆+电阻”模型动力学特点
v0≠0,轨道光滑 v0=0,有外力轨道光滑
示意图
v-t图像
模型 　　“单杆+电容器”模型
例2 (多选)如图所示,两条足够长的光滑平行导轨MN、PQ水平放置,导轨间距为L=
1 m,电阻不计,两导体棒a、b静置于导轨上,导体棒a的电阻不计,b棒的阻值为R=
1 Ω,单刀双掷开关1接在电容为C=0.5 F的电容器上,初始状态电容器不带电。电容器的右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B1=1 T,电容器左侧有垂直于纸面向外的匀强磁场B2=0.5 T,导体棒a通过细线跨过光滑定滑轮与竖直悬挂的重物A相连,已知重物A、两导体棒a、b三者的质量均为m=1 kg。现将开关S接1位置,释放重物A,同时开始计时,t1=0.25 s时断开开关S,t2=
0.45 s时将开关S接2位置,导体棒b开始运动,t3时刻两
导体棒的加速度大小相等。重力加速度g取10 m/s2,
则下列说法正确的是(　　)
A.t1时刻导体棒a的速度为v1=1 m/s B.t2时刻导体棒a的速度为v2=3 m/s
C.t3时刻导体棒a的加速度为 m/s2 D.t3时刻回路消耗的热功率为25 W
AD
解析　对导体棒a和重物A,根据牛顿第二定律得
mg-B1I1L=2ma1,根据I1=,ΔQ=CΔU,ΔU=B1LΔv,
Δv=a1Δt,联立解得a1==4 m/s2,t1时刻导体棒a的速度v1=a1t1=1 m/s,故A正确;断开开关S后,导体棒a不受安培力,则有mg=2ma2,t2时刻导体棒a的速度为v2=
v1+a2(t2-t1)==2 m/s,故B错误;开关S接2位置,设t3时刻导体棒a、b的加速度大小为a3,对导体棒a和重物A,有mg-I2LB1=2ma3,对金属棒b,有I2LB2=ma3,解得a3=2.5 m/s2,I2=
5 A,t3时刻回路消耗的热功率为P=R=25 W,故C错误,D正确。
总结提升　“单杆+电容器”模型动力学特点
v0=0　轨道光滑
示意图
v-t 图像
模型 　　“双杆+导轨”模型
例3 (多选)如图所示,空间存在竖直方向的匀强磁场,磁感应强度大小为B=2 T,两根足够长水平金属直轨道平行放置,轨道间距L=0.5 m。将质量均为m=0.5 kg、长度均为L、电阻均为R=0.5 Ω的金属棒a、b垂直轨道放置,金属棒与直轨道间动摩擦因数均为μ=0.4。现用外力F使金属棒b保持静止,对金属棒a施加大小为F0=6 N、方向水平向右的恒力,当金属棒a匀速运动时,撤去固定金属棒b的外力F,在运动过程中,金属棒与导轨始终垂直且接触良好,导轨电阻不计,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.金属棒a匀速运动时的速度大小为4 m/s
B.金属棒a匀速运动时,其两端的电势差为4 V
C.撤去外力F后,a、b两金属棒的速度差不断增大
D.最终金属棒b以大小为2 m/s2的加速度运动
AD
解析　当加速度a=0时,金属棒a做匀速运动,此时有I=,又F0=μmg+ILB,联立解得v=4 m/s,故A正确;金属棒a匀速运动时,切割磁感线产生的感应电动势为E=BLv=
4 V,由于两金属棒阻值相等,则金属棒a两端的电势差大小为U==2 V,故B错误;撤去外力F后,对a、b由牛顿第二定律可得F0-μmg-F安=maa,F安-μmg=mab,最终两金属棒加速度相同,有F安=3 N,aa=ab=2 m/s2,故D正确;
又F安=,解得Δv=3 m/s,即最终两棒的速度
差保持不变,故C错误。
总结提升　“双杆+导轨”模型动力学特点
1.初速度不为零,不受其他水平外力
光滑的平行导轨 光滑不等距导轨
示意图 质量m1=m2 电阻r1=r2 长度L1=L2 杆MN、PQ间距足够长
质量m1=m2
电阻r1=r2
长度L1=2L2
杆MN、PQ间距足够长且只在各自的轨道上运动
光滑的平行导轨 光滑不等距导轨
v-t 图像
分析 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动,稳定时,两杆的加速度均为零,以相等的速度做匀速运动 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动,稳定时,两杆的加速度均为零,两杆的速度之比为1∶2
2.初速度为零,一杆受到恒定水平外力
光滑的平行导轨 不光滑平行导轨
示意图 质量m1=m2 电阻r1=r2 长度L1=L2
摩擦力Ff1=Ff2
质量m1=m2
电阻r1=r2
长度L1=L2
光滑的平行导轨 不光滑平行导轨
v-t 图像
分析 开始时,两杆做变加速运动;稳定时,两杆以相同的加速度做匀加速运动,且速度差恒定 开始时,若Ff2Ff,PQ杆先变加速后匀加速运动,MN杆先静止后变加速运动,最后和PQ杆同时做匀加速运动,且加速度相同
1.电磁感应中的能量转化
考点二　电磁感应中的能量问题
2.求解焦耳热Q的三种方法
例4 (2026·安徽皖东名校联盟联考)如图所示,两足够长的光滑平行导轨固定在同一水平面上,虚线MN与导轨垂直,其左、右两侧的导轨间距分别为L2和L1,L2>L1,整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。MN左、右两侧的磁感应强度大小分别为B2和B1,B1>B2,在MN两侧导轨上分别垂直于导轨放置两根平行金属棒ab和cd,接入电路的阻值分别为r1和r2,系统静止。某时刻对ab棒施加一个水平向右的恒力F,两金属棒在向右的运动过程中,始终与导轨垂直且接触良好,cd棒始终未到达MN处,则下列判断正确的是(　　)
A.最终两棒以不同的速度匀速运动
B.最终两棒以相同的速度匀速运动
C.安培力对cd棒所做的功大于cd棒的动能增加量
D.外力F做的功等于两棒的动能增加量和回路中产生的焦耳热
D
解析　ab棒在恒力F作用下向右加速,由于受到向左的安培力,所以做加速度减小的加速运动,cd棒在向右的安培力作用下,向右加速,两者达到稳定状态应该是有共同的加速度,即为a=,所以最终两棒以相同的加速度一起向右做加速运动,A、B错误;cd棒受的合力为安培力,由动能定理知安培力对cd棒所做的功等于cd棒的动能增加量,C错误;由功能关系知恒力F做的功等于两棒的动能增加量和回路中产生的焦耳热,D正确。
例5 (多选)(2026·广东深圳高三月考)如图甲所示,水平粗糙导轨左侧接有定值电阻R=3 Ω,导轨处于垂直纸面向外的匀强磁场中,磁感应强度B=1 T,导轨间距L=1 m。一质量m=1 kg、阻值r=1 Ω的金属棒在水平向右拉力F作用下由静止开始从CD处运动,金属棒与导轨间动摩擦因数μ=0.25,金属棒的v-x图像如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.由图像可知金属棒做匀加速直线运动
B.拉动过程中,拉力F做的功等于金属棒的
焦耳热与克服摩擦力所做的功之和
C.x=1 m时,安培力的大小为0.5 N
D.从起点运动到位移x=1 m的过程中,回路产生的焦耳热为0.25 J
CD
解析　由题图乙可知金属棒的速度随位移均匀变化,由匀变速直线运动v2=2ax,可得v=∝,其图像不是一条直线,则金属棒做变加速直线运动,故A错误;运动过程中金属棒在水平方向受到拉力、安培力及摩擦力作用,金属棒做加速运动,动能增加,拉力做的功大于金属棒克服安培力和摩擦力所做的功之和,故B错误;由题图乙可知当x=1 m时,金属棒的速度为2 m/s,则金属棒产生的感应电动势E=BLv1=
2 V,此时的电流I==0.5 A,安培力F1=ILB=0.5 N,故C正确;由功能关系可知金属棒从起点运动到x=1 m处的过程中,回路产生的焦耳热等于金属棒克服安培力所做的功,即Q=W=F安x=x,从题图乙中图像与坐标
轴围成的面积的物理意义可知vx=×2×1 m2/s=
1 m2/s,解得该过程回路产生的总焦耳热Q总=
0.25 J,故D正确。
提升素养能力
2
A级　基础对点练
A
对点练1　电磁感应中的动力学问题
1.如图所示,在一匀强磁场中有一U形导线框abcd,线框处于水平面内,磁场与线框平面垂直,R为一电阻,ef为垂直于ab的一根导体杆,它可在ab、cd上无摩擦地滑动。杆ef及线框的电阻不计,开始时,给ef一个向右的初速度,则(　　)
A.ef将减速向右运动,但不是匀减速运动
B.ef将匀减速向右运动,最后停止
C.ef将匀速向右运动
D.ef将往返运动
解析　ef向右运动,切割磁感线,产生感应电动势和感应电流,会受到向左的安培力而做减速运动,由F=ILB==ma知,ef做的是加速度减小的减速运动,最终停止运动,故A正确,B、C、D错误。
AC
2.(多选)(2026·云南大理模拟)如图所示,足够长的平行光滑导轨水平放置在竖直向上的匀强磁场中,磁场的磁感应强度大小B=3 T,导轨宽度L=1 m,左端通过导线连接了电源和开关S,电源的电动势E=6 V,内阻r=1 Ω。一质量m=0.1 kg的导体棒垂直于导轨放置,并与导轨接触良好,其接入电路的阻值R=2 Ω,导体棒的中部通过绕过光滑定滑轮的绝缘轻绳连接了一质量M=0.4 kg的物块,用手托住物块保持静止且轻绳恰好处于伸直状态。t=0时刻,释放物块并闭合开关S,重力加速度大小g=10 m/s2,最后物块做匀速直线运动。下列说法正确的是(　　)
A.导体棒向左先加速后匀速运动
B.物块做匀速直线运动时,导体棒的速度大小为1.5 m/s
C.刚释放物块时,通过导体棒的电流为2 A
D.刚释放物块时,导体棒的加速度大小为20 m/s2
解析　释放物块且闭合开关后,以向左为正方向,设导体棒
的速度大小为v时,通过导体棒的电流I=,对导体棒和
物块组成的系统,由牛顿第二定律有ILB-Mg=(M+m)a,加速
度大小a=,可知随着速度的增大,加速度a逐渐减小,当加速度a=0时,即ILB=Mg,可得v= m/s,即导体棒向左先加速后匀速运动,故A正确,B错误;刚释放物块时,通过导体棒的电流I0==2 A,对导体棒和物块,由牛顿第二定律有I0LB-Mg=(M+m)a0,解得a0=4 m/s2,导体棒向左运动,物块上升,故C正确,D错误。
B
对点练2　电磁感应中的能量问题
3.(2025·河南周口模拟)如图所示,两个由不同导电材料做成质量相同、边长相同的线框A和线框B,线框的电阻RA大于RB。现将两个线框从同一高度由静止释放,下落到某一高度时进入磁场,磁场一直延伸到地面位置。不计空气阻力,设两线框落地时的动能大小分别为EkA和EkB,落地所用时间分别为tA和tB,下列说法正确的是(　　)
A.EkA=EkB　tA=tB B.EkA>EkB　tAC.EkA>EkB　tA>tB D.EkA解析　不计空气阻力,质量相同的线框A和线框B在同一高度时,所具有的重力势能相等,线框自由下落然后进入磁场区域时,做切割磁感线运动,将机械能一部分转化为电能,即重力势能部分转化为动能,部分转化为电能。线框A电阻大,进入磁场后产生的感应电流小,克服安培力做功小,产生焦耳热小,由能量守恒定律知mgh=Ek+Q,所以落地时,EkA>EkB;进入磁场时,线框A所受向上的磁场力小,进入磁场时的速度比线框B大,所以落地所用时间小,即tABD
4.(多选)如图所示,MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨,其间距为L,导轨弯曲部分光滑,平直部分粗糙,二者平滑连接。右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放,到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ,金属棒与导轨间接触良好。重力加速度为g,则金属棒穿过磁场区域的过程中(　　)
A.流过定值电阻的电流方向是N→Q
B.通过金属棒的电荷量为
C.克服安培力做的功为mgh
D.金属棒产生的焦耳热为(mgh-μmgd)
解析　金属棒下滑到导轨底端时速度方向向右,磁场方向竖直向上,根据右手定则可知流过定值电阻的电流方向是Q→N,故A错误;根据法拉第电磁感应定律可知,通过金属棒的电荷量为q=·Δt=·Δt=,故B正确;根据动能定理有mgh-μmgd-W克安=0,则克服安培力所做的功为W克安=mgh-μmgd,电路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功,所以金属棒产生的焦耳热为QR=(mgh-μmgd),选项C错误,D正确。
BD
5.(多选)如图甲所示,平行金属导轨及所在平面与水平面成37°角。不计金属导轨电阻,平行导轨间距L=1 m,定值电阻R=3 Ω,虚线OO'下方有垂直于导轨平面的匀强磁场。将电阻r=1 Ω、m=0.1 kg的金属棒ab从OO'上方某处垂直导轨由静止释放,金属棒下滑过程中的v-t图像如图乙所示。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
A.金属棒下滑过程中受到的摩擦力为0.2 N
B.匀强磁场的磁感应强度大小为2 T
C.金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R中
电流为0.5 A
D.金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R产生的热量为1.875×10-2 J
解析　由图乙知金属棒ab进磁场前的加速度为a==5 m/s2,由mgsin 37°-Ff=ma,解得Ff=0.1 N,A错误;ab进磁场后做匀速运动,有mgsin 37°=Ff+ILB,回路中电流I=,解得B=2 T,B正确;金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R中电流I==0.25 A,C错误;金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R产生的热量Q=I2Rt=1.875×10-2 J,D正确。
BD
6.(多选)(2026·安徽黄山高三检测)如图所示,足够长倾斜U型导轨顶端连有一电容器,电容器规格为“0.01 F　100 V”,导轨处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为B=10 T,导轨倾角θ=37°。将质量为m=1 kg的金属棒在导轨某处由静止释放,一段时间后,电容器被击穿。已知倾斜导轨宽度为L=1 m,金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ=0.5,sin 37°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,导轨及金属棒电阻不计,金属棒始终与导轨垂直且接触良好。以金属棒开始运动为计时起点,下列说法正确的是(　　)
A.金属棒向下做加速度减小的加速运动,最后匀速
B.t=10 s时,电容器被击穿
C.t=2 s时,金属棒下滑的距离为4 m
D.t=2 s时,电容器储存的电能为2 J
解析　根据题意可得I====CBLa,由牛顿第二定律mgsin θ-μmgcos θ-ILB=ma,联立上述两式可解得a==1 m/s2,即金属棒向下做匀加速直线运动,故A错误;当金属棒两端电压等于电容器的击穿电压时,电容器被击穿,即U=BLv,解得v=10 m/s,再由v=at,可得t=10 s,故B正确;当t=2 s时,金属棒下滑的距离为x=at2=2 m,克服安培力做功W=ILBx=2 J,由功能关系知电容
器储存的电能E=W=2 J,故C错误,D正确。
BD
7.(多选)(2026·山东滨州高三月考)如图所示,平行光滑金属导轨ad、bc间距为L=
1.5 m,与水平面间的夹角为37°,导轨上端接有电阻R=0.8 Ω。一导体棒垂直导轨放置且与导轨接触良好,导体棒质量为2 kg,连入电路的电阻为0.2 Ω,导体棒MN上方导轨间有一矩形磁场,磁场面积为2 m2,磁场方向垂直导轨平面向下,矩形磁场的磁感应强度均匀增大,变化率为=1.0 T/s,MN棒下方包括MN所处的导轨间充满垂直导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度大小为2 T,导轨足够长且电阻不计,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,释放导体棒后,下列说法正确的是(　　)
A.刚释放时导体棒的加速度大小为6 m/s2
B.导体棒稳定下滑时速度大小为2 m/s
C.若撤去MN上方变化的磁场,导体棒稳定运行的速度变大
D.若撤去MN上方变化的磁场,R两端电压最大为3.2 V
B级　综合提升练
解析　刚释放导体棒时,感应电动势为E=S=2 V,根据楞次定律知,导体棒中感应电流的方向为M→N,由左手定则可知,安培力方向沿导轨向下,根据牛顿第二定律有mgsin 37°+ILB=ma,又I=,联立解得a=9 m/s2,故A错误;导体棒匀速运动时,根据平衡条件可知BL=mgsin 37°,解得v=2 m/s,故B正确;若撤去MN上方变化的磁场,导体棒稳定时有BL=mgsin 37°,解得v'= m/s错误;若撤去MN上方变化的磁场,R两端电压最大为U=BLv'
=3.2 V,故D正确。
CD
8.(多选)(2026·湖北部分学校联考)如图所示,间距为L的固定平行双轨道由足够长的水平光滑段和倾角为θ的粗糙段构成,所在空间均存在与导轨所在平面垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量均为m、电阻均为R的金属棒ab、cd垂直放在水平、倾斜导轨上且与导轨接触良好。起初cd棒恰好静止,ab棒在水平向右的恒力F作用下从静止开始向右加速,当ab棒达到最大速度时,cd棒又恰好静止。导轨的电阻不计,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g,下列说法正确的是(　　)
A.cd棒与倾斜导轨间的动摩擦因数为sin θ
B.ab棒的最大加速度为4gsin θ
C.ab棒的最大速度为
D.恒力F的最大功率为
解析　起初cd棒恰好静止,根据平衡条件得mgsin θ=μmgcos θ,解得μ=tan θ,A错误;当ab棒达到最大速度时,cd棒受到的安培力大小为F安=mgsin θ+μmgcos θ=2mgsin θ,所以ab棒所受恒力F=F安=2mgsin θ,开始运动时ab棒的加速度最大,则最大加速度为2gsin θ,B错误;根据平衡条件得2mgsin θ=,解得vm=,C正确;恒力F的最大功率为P=Fvm=,D正确。
9.(2026·广东惠州高三期末)如图所示,固定在地面上的足够长的粗糙绝缘斜面与水平面所成夹角θ=30°,在斜面下方虚线aa'、bb'围成的区域内有垂直斜面向上的有界匀强磁场,虚线aa'和bb'与斜面底边平行。斜面上方平行放置n=25匝的正方形金属线框MNPQ,使其PQ边与斜面底边平行,从静止释放,线框向下运动x=5 m进入磁场区域,刚好能够匀速穿过整个磁场区域,已知线框的质量为m=1 kg、边长d=0.1 m、电阻R=0.5 Ω,线框与斜面间的动摩擦因数为μ=,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)线框进入磁场区域时的速度大小;
(2)有界匀强磁场的磁感应强度大小;
(3)整个线框穿过磁场的过程中,线框上产生的焦耳热。
答案　(1)5 m/s　(2)0.2 T　(3)0.5 J
解析　(1)对金属线框从静止释放到刚进入磁场区域的过程中,由动能定理得
mgxsin θ-μmgcos θ·x=m-0
解得线框进入磁场区域时的速度大小v0=5 m/s。
(2)线框匀速穿过整个磁场区域,有
mgsin θ=μmgcos θ+nIdB
感应电动势E=nBdv0
感应电流I=
联立解得有界匀强磁场的磁感应强度大小B=0.2 T。
(3)因刚好能够匀速穿过整个磁场区域,则磁场宽度也为d,位移为2d
由功能关系,有Q=nBId·2d
联立解得Q=0.5 J。
10.(2024·北京卷,18)如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中,两根相距L的平行长直金属导轨水平放置,左端接电容为C的电容器,一导体棒放置在导轨上,与导轨垂直且接触良好,不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B,导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。
(1)求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I;
(2)求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a;
(3)在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。
C级　培优加强练
答案　(1)　(2)　(3)见解析图
解析　(1)开关闭合前电容器的电荷量为Q,则电容器两极板间电压为U=
闭合开关瞬间,通过导体棒的电流为I=
联立解得I=。
(2)闭合开关瞬间,对导体棒由牛顿第二定律有
ILB=ma
结合(1)问解得a=。
(3)由(2)中结论可知,随着电容器放电,电容器所带电荷量不断减少,导体棒的加速度不断减小,当电容器两极板间的电压与导体棒产生的感应电动势相等,即回路中电流减为0时,导体棒不受安培力作用,加速度为0,此后导体棒做匀速运动,其v-t图线如图所示。
本节内容结束
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