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第1讲　交变电流的产生和描述
学习目标　1.理解正弦式交变电流的产生过程,能正确书写交变电流的函数表达式。 2.理解并掌握交变电流图像的意义。 3.理解描述交变电流的几个物理量,会计算交变电流的有效值。 4.正确理解交变电流的四值,并能进行有关计算。
1.
2.
1.思考判断
(1)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时,一定会产生正弦式交变电流。(×)
(2)线圈在磁场中转动的过程中穿过线圈的磁通量最大时,产生的感应电动势也最大。(×)
(3)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动经过中性面时,线圈中的感应电动势为零,电流方向发生改变。(√)
(4)交流电器设备上所标的电压和电流值是交变电流的有效值。(√)
(5)交变电流的峰值总是有效值的倍。(×)
(6)我国使用的交变电流周期是0.02 s,电流方向每秒改变100次。(√)
2.某交流发电机的线圈在匀强磁场中匀速转动时,穿过线圈的磁通量Φ随时间t变化的关系如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.t=0时刻,线圈平面与中性面平行
B.1 s内线圈中感应电流方向改变50次
C.t=0.015 s时刻,线圈中的感应电流最大
D.t=0.01 s时刻,图像的切线斜率为40π Wb/s
答案　D
考点一　正弦式交变电流的产生及变化规律
交变电流的变化规律(线圈从中性面位置开始计时)
　　规律 物理量　　 函数表达式 图像
磁通量 Φ=Φmcos ωt =BScos ωt
电动势 e=Emsin ωt =nωBSsin ωt
电压 u=Umsin ωt =sin ωt
电流 i=Imsin ωt =sin ωt
角度　正弦式交变电流的产生
例1 (多选)(2026·河北保定高三期末)某自行车安装有发电照明系统,发电装置示意图如图所示。车轮带动线圈沿逆时针方向匀速转动从而产生交变电流,t=0时刻线圈与磁场方向平行。两磁极间的磁场可视为匀强磁场,则下列说法正确的是(　　)
A.t=0时刻线圈中的电流最大
B.转过90°时线圈中的电流最大
C.t=0时刻线圈中的电流方向由C指向D
D.t=0时刻线圈中的电流方向由D指向C
答案　AD
解析　t=0时刻,线圈位于与中性面垂直的位置,通过线圈的磁通量最小,磁通量变化率最大,感应电动势最大,此时电流最大,故A正确;线圈转过90°后位于中性面位置,通过线圈的磁通量最大,磁通量变化率最小,感应电动势为零,此时线圈中没有感应电流,故B错误;t=0时刻,AB边的速度方向竖直向下,CD边的速度方向竖直向上,由右手定则知此时电流的方向为D→C→B→A→D,故C错误,D正确。
角度　正弦式交变电流的变化规律
例2 (2026·天津河西高三月考)如图甲所示,匝数为N的闭合矩形线圈abcd处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中,绕着与磁场垂直且与线圈共面的固定轴OO'以角速度ω匀速转动。线圈的ad边长为L1,ab边长为L2。线圈经过某位置时开始计时,通过线圈的磁通量Φ随时间t的变化规律如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.时刻,线圈中产生的感应电动势的瞬时值大小为NωBL1L2
B.t1时刻,穿过线圈的磁通量的变化率大小为ωBL1L2
C.t2时刻,线圈平面与中性面垂直
D.t4时刻,穿过线圈的磁通量大小为NBL1L2
答案　B
解析　线圈经过中性面时磁通量最大,由题图乙可知,线圈经过中性面时开始计时,线圈中产生的感应电动势的瞬时值表达式e=Emsin ωt,其中Em=NωBL1L2,ω=,解得e=NωBL1L2sint,由题图乙可知=,所以时刻,线圈中产生的感应电动势的瞬时值大小为e=NωBL1L2,故A错误;t1时刻,Φ=0,线圈平面与磁场平行,t=,有e=NBωL1L2,又e=N,联立解得=ωBL1L2,故B正确;t2时刻,穿过线圈的磁通量最大,线圈平面与中性面重合,故C错误;t4时刻,穿过线圈的磁通量大小为Φ=BL1L2,故D错误。
书写交变电流瞬时值表达式的技巧
(1)确定正弦式交变电流的峰值,根据已知图像读出或由公式Em=nωBS、Im=求出相应峰值。
(2)明确线圈的初始位置,找出对应的函数关系式
①线圈从中性面位置开始计时,则i-t图像为正弦函数图像,函数表达式为i=Imsin ωt。
②线圈从垂直于中性面的位置开始计时,则i-t图像为余弦函数图像,函数表达式为i=Imcos ωt。
考点二　交变电流的有效值的计算
1.正弦式交变电流的有效值的计算
I=,U=,E=。
2.非正弦式交变电流的有效值的计算
(1)根据电流的热效应,抓住“三同”:“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”,利用公式Q=I2Rt和Q=t可分别求出一个周期内产生的热量,即得电流和电压的有效值。
(2)若交变电流的图像部分是正弦(或余弦)图线,其中的周期(必须是从零至最大值或从最大值至零)和周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I=、U=求解。
例3 (2025·山东卷,7)如图为一种交流发电装置的示意图,长度为2L、间距为L的两平行金属电极固定在同一水平面内,两电极之间的区域Ⅰ和区域Ⅱ有竖直方向的磁场,磁感应强度大小均为B、方向相反,区域Ⅰ边界是边长为L的正方形,区域Ⅱ边界是长为L、宽为0.5L的矩形。传送带从两电极之间以速度v匀速通过,传送带上每隔2L固定一根垂直运动方向、长度为L的导体棒,导体棒通过磁场区域过程中与电极接触良好。该装置产生电动势的有效值为(　　)
A.BLv B.
C. D.
答案　D
解析　根据题意可知,该装置产生的交流电的周期为T=,由于导体棒间距均为2L,则每个周期内均为单棒切割磁感线,以导体棒刚进入区域Ⅱ时为计时起点,则0~时间内该装置产生的电动势为EⅡ=,~时间内该装置产生的电动势为EⅠ=BLv,设导体棒电阻为R,该装置产生电动势的有效值E满足·=·+·,解得E=,D正确。
跟踪训练
1.(2024·河北卷,4)R1、R2为两个完全相同的定值电阻,R1两端的电压随时间周期性变化的规律如图甲所示(三角形脉冲交流电压的峰值是有效值的倍),R2两端的电压随时间按正弦规律变化如图乙所示,则两电阻在一个周期T内产生的热量之比Q1∶Q2为(　　)
A.2∶3 B.4∶3
C.2∶ D.5∶4
答案　B
解析　设R1、R2的阻值均为R,根据题中所给信息,结合题给图像可得Q1=·+·=T,Q2=T=T,所以=,B正确。
考点三　交变电流“四值”的理解与计算
物理量 物理含义 表达式 适用情况及说明
瞬时值 交变电流某一时刻的值 e=Emsin ωt,u=Umsin ωt,i=Imsin ωt 计算线圈某时刻的受力情况
最大值(峰值) 最大的瞬时值 Em=nωBS,Im=(纯电阻电路) 讨论电容器的击穿电压
有效值 跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值 对正弦式交变电流有: E=　U=　I= (1)交流电表的示数。 (2)电气设备“铭牌”上所标的值(如额定电压、额定电流等)。 (3)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热、保险丝的熔断电流等)
平均值 交变电流图像与时间轴所围的面积与时间的比值 =BL,=n, =(纯电阻电路) 计算通过电路横截面的电荷量
例4 (多选)(2025·黑、吉、辽、内蒙古卷,9)如图,“”形导线框置于磁感应强度大小为B、水平向右的匀强磁场中。线框相邻两边均互相垂直,各边长均为l。线框绕b、e所在直线以角速度ω顺时针匀速转动。be与磁场方向垂直。t=0时,abef与水平面平行,则(　　)
A.t=0时,电流方向为abcdefa
B.t=0时,感应电动势为Bl2ω
C.t=时,感应电动势为0
D.t=0到t=过程中,感应电动势平均值为0
答案　AB
解析　t=0时,线框中能切割磁感线的边只有af边,由右手定则可知af边的电流方向为f到a,则线框中的电流方向为abcdefa,A正确;t=0时,af边的速度方向与磁场方向垂直,速度大小为v=ωl,感应电动势的大小为E=Blv,解得E=Bl2ω,B正确;线框的转动周期为T=,则t=时,线框转动了180°,此时线框中能切割磁感线的边仍只有af边,且af边的速度方向与磁场方向垂直,所以线框中产生的感应电动势的大小仍为Bl2ω,C错误;从t=0到t=过程中,穿过线框abef的磁通量变化量为零,穿过线框bcde的磁通量的变化量ΔΦ=2BS=2Bl2,由法拉第电磁感应定律知感应电动势平均值为==,D错误。
跟踪训练
2.(多选)(2025·天津武清模拟)如图甲所示,交流发电机的矩形金属线圈abcd的匝数n=100,线圈的总电阻r=5.0 Ω,线圈位于匀强磁场中,且线圈平面与磁场方向平行。线圈的两端分别与两个彼此绝缘的铜环E、F(集流环)焊接在一起,并通过电刷与阻值R=95 Ω的定值电阻连接。现使线圈绕过bc和ad边中点、且垂直于磁场的转轴OO'以一定的角速度匀速转动。穿过线圈的磁通量Φ随时间t变化的图像如图乙所示。若电路其他部分的电阻以及线圈的自感系数均可忽略不计。则下列说法正确的是(　　)
A.线圈匀速转动的角速度为100 rad/s
B.线圈中产生感应电动势的最大值为200 V
C.线圈由图甲处转过周,通过电阻R的电荷量为0.01 C
D.线圈由图甲处转过周,电阻R上产生的热量为 J
答案　BC
解析　由题图乙知,线圈转动周期T=π×10-2 s,根据角速度公式有ω==200 rad/s,A错误;感应电动势的最大值Em=nωBS,而BS=Φm=1.0×10-2 Wb,代入数据得Em=200 V,B正确;通过电阻R的电荷量q=·Δt=·Δt=,线圈转过周,ΔΦ=Φm=1.0×10-2 Wb,则q=0.01 C,C正确;感应电动势有效值E==100 V,电路中电流有效值I== A,转过周的所用时间t==×10-2 s,电阻R上产生的热量Q=I2Rt= J,D错误。
A级　基础对点练
对点练1　正弦式交变电流的产生及变化规律
1.(多选)(2024·新课标卷,20)电动汽车制动时可利用车轮转动将其动能转换成电能储存起来。车轮转动时带动磁极绕固定的线圈旋转,在线圈中产生电流。磁极匀速转动的某瞬间,磁场方向恰与线圈平面垂直,如图所示。将两磁极间的磁场视为匀强磁场,则磁极再转过90°时,线圈中(　　)
A.电流最小
B.电流最大
C.电流方向由P指向Q
D.电流方向由Q指向P
答案　BD
解析　初始时刻,线圈处于中性面位置,磁极再转过90°时,穿过线圈的磁通量为零,感应电动势最大,电流最大,A错误,B正确;磁极顺时针转过90°时,根据右手定则可判断,电流方向由Q指向P,C错误,D正确。
2.(2025·福建厦门模拟)如图甲所示,在匀强磁场中,一闭合矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴OO'匀速转动,图乙是金属线框的电动势e与时间t的关系图像,则(　　)
A.t=0时线框处于中性面位置
B.t=0.5×10-2 s时线框的磁通量变化率最大
C.线框的电动势有效值为220 V
D.线框中的电流方向每秒变化100次
答案　D
解析　t=0时感应电动势最大,则线框处于与中性面垂直的位置;t=0.5×10-2 s时感应电动势为零,则此时线框的磁通量变化率为零,故A、B错误;线框的电动势有效值为E= V=220 V,故C错误;交变电流的周期为0.02 s,一个周期内电流方向改变2次,可知线框中的电流方向每秒变化100次,故D正确。
3.(多选)(2026·广东汕头模拟)半径为a、电阻为r=1 Ω的单匝圆形导体环,在磁感应强度为B的匀强磁场中绕着虚线轴匀速转动,角速度为ω。在导体环外接一阻值为R=1 Ω的电阻,电阻两端并联一电压表。若t=0时刻导体环面与磁场垂直(即图示位置),则(　　)
A.电路中电压表示数做周期性变化
B.电路中电压表示数为ωBπa2
C.t=时,圆形导体环中电流方向改变
D.穿过导体环的磁通量瞬时值表达式Φ=Bπa2cos ωt
答案　BD
解析　电路中产生的感应电动势为e=ωBSsin ωt=ωBπa2sin ωt,电动势的峰值为Em=ωBS,有效值为E==,电路中电压表示数为U=E=ωBπa2,故A错误,B正确;t=时,圆形导体环转过90°,此时导体环处于与中性面垂直的位置,电流方向不改变,故C错误;穿过导体环的磁通量瞬时值表达式Φ=Bπa2cos ωt,故D正确。
对点练2　交变电流的有效值的计算
4.一电阻R接到如图甲所示的正弦式交流电源上,两端电压的有效值为U1,消耗的电功率为P1;若该电阻接到如图乙所示的方波交流电源上,两端电压的有效值为U2,消耗的电功率为P2。若甲、乙两图中的U0、T所表示的电压、周期是相同的,则下列说法正确的是(　　)
A.U1=U0 B.U2=U0
C.P1= D.P1∶P2=1∶2
答案　C
解析　电阻接到正弦式交流电源上,两端电压的有效值为U1=,功率P1==,故A错误,C正确;电阻接到方波交流电源上,设两端电压的有效值为U2,则有·+·=T,解得U2=U0,功率P2==,则P1∶P2=1∶5,故B、D错误。
5.如图所示,以虚线MN为边界,上侧空间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。正方形单匝金属线框abcd的边长为L,图示时刻线框平面与磁场垂直,线框转动轴与ab边平行且相距。转动轴与MN重合。线框从图示位置开始绕轴匀速转动,角速度为ω。则感应电动势的有效值为(　　)
A. B.
C.ωBL2 D.ωBL2
答案　C
解析　根据法拉第电磁感应定律可知,线框ab边在磁场中运动的过程中,回路中感应电动势的最大值为Em1=BLv=B·ω,线框dc边在磁场中运动的过程中,回路中感应电动势的最大值为Em2=BLv'=B·ω,设感应电动势的有效值为E,根据交变电流有效值定义可得·+·=T,解得E=ωBL2,故A、B、D错误,C正确。
对点练3　交变电流“四值”的理解与计算
6.(2024·广东卷,1) 将阻值为50 Ω的电阻接在正弦式交流电源上。电阻两端电压随时间的变化规律如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.该交流电的频率为100 Hz
B.通过电阻电流的峰值为0.2 A
C.电阻在1 s内消耗的电能为1 J
D.电阻两端电压表达式为u=10sin(100πt) V
答案　D
解析　由题图可知交流电的周期为0.02 s,则频率为f==50 Hz,故A错误;根据题图可知电压的峰值为10 V,根据欧姆定律可知通过电阻电流的峰值Im== A=0.2 A,故B错误;电流的有效值为I==0.2 A,所以电阻在1 s内消耗的电能为W=I2Rt=0.22×50×1 J=2 J,故C错误;根据题图可知电阻两端电压表达式为u=Umsin ωt=10sin(100πt)V,故D正确。
7.(2026·山东淄博高三调研)如图甲所示为一交流电压随时间变化的图像,每个周期内,前二分之一周期电压按正弦规律变化,后二分之一周期电压恒定。若将此交变电流连接在如图乙所示的电路中,电阻R的阻值为50 Ω,则(　　)
A.理想电压表读数为50 V
B.理想电流表读数为0.8 A
C.电阻R消耗的电功率为45 W
D.电阻R在50 s内产生的热量为2 025 J
答案　D
解析　设交流电压有效值为U,根据有效值定义可得·+·=T,解得U=45 V,则理想电压表读数为45 V,故A错误;根据欧姆定律可得理想电流表读数为I== A=0.9 A,故B错误;电阻R消耗的电功率为P=I2R=0.92×50 W=40.5 W,故C错误;电阻R在50 s内产生的热量为Q=I2Rt=0.92×50×50 J=2 025 J,故D正确。
B级　综合提升练
8.(多选)(2026·山东青岛一中月考)小型发电机线圈共n匝,每匝可简化为矩形线圈abcd,磁极间的磁场视为匀强磁场,方向垂直于线圈中心轴OO',线圈绕OO'匀速转动,如图所示(图示位置线圈平面与磁场垂直)。矩形线圈ab边和cd边产生的感应电动势的最大值都为E0,则下列说法正确的是(　　)
A.图示位置线圈内的磁通量变化率为2E0
B.图示位置线圈内的感应电流方向即将发生改变
C.线圈产生的交变电流的电动势的有效值是nE0
D.线圈从图示位置转动90°的时间内,感应电动势的平均值是nE0
答案　BD
解析　题图所示位置穿过线圈的磁通量最大,磁通量变化率为零,故A错误;题图所示位置ab边和cd边切割磁感线的方向即将发生变化,则线圈内的感应电流方向即将发生改变,故B正确;线圈产生的交变电流的电动势的最大值为Em=2nE0,则有效值是E==nE0,故C错误;线圈从题图所示位置转动90°的时间内,感应电动势的平均值是=n====nE0,故D正确。
9.(多选)(2025·陕西宝鸡模拟)现用某磁体作为匀强磁场用来发电,用外力使n=100匝的矩形闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴OO'以恒定的角速度转动,转动一周的时间为T=0.4 s,线圈电阻为R=0.1 Ω,从如图所示的位置(线圈平面与磁场方向平行)开始计时,线圈平面转过60°时线圈中的感应电动势的大小为E=0.2 V,则下列说法正确的是(　　)
A.线圈产生的电动势有效值为 V
B.线圈转过90°的过程中通过线圈截面的电荷量为π C
C.一个周期内线圈中产生的热量为0.32 J
D.若线圈外接一个额定电压为 V的电容器,此电容器能正常工作
答案　AC
解析　t=0时刻,线圈平面与中性面垂直,线圈产生的电动势的瞬时值表达式为e=Emcos t,线圈平面转过60°时的感应电动势的大小为E,有E=Emcos ,可得Em=2E=0.4 V,故电动势的有效值为E== V,A正确;线圈转过90°的时间内,电荷量q=·,感应电流=,平均感应电动势=,感应电动势最大值Em=nBSω=,联立可得q==== C,B错误;在一个周期内线圈中产生的热量Q=T=0.32 J,C正确;电容器的额定电压应小于电动势的最大值,故此电容器接在电路中可能会被击穿,D错误。
10.(多选)(2025·湖南长沙模拟)如图所示的正方形线圈abcd边长为L,每边电阻均为r,在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中绕cd轴以角速度ω匀速转动,c、d两点与一阻值为r的电阻相连,各表均可视为理想电表,导线电阻不计,则下列说法正确的是(　　)
A.图示位置线圈的感应电动势最大
B.当S断开时,电压表的示数为
C.当S闭合时,线圈从图示位置旋转180°,通过电阻r的电荷量为q=
D.当S闭合时,电流表的示数为
答案　CD
解析　题图示位置线圈的磁通量最大,感应电动势为0,故A错误;产生的交变电流的电动势最大值为Em=BL2ω,有效值为E=,当S断开时,电压表测量的电压为c、d间的电压,故U=E=BL2ω,故B错误;当S闭合时,电路总电阻为R=3r+=,线圈从图示位置旋转180°,磁通量的变化量为ΔΦ=2BL2,所以通过线圈的总电荷量为q总===,通过电阻r的电荷量q==,故C正确;当S闭合时,ab中电流为I==BL2ω,电流表读数为=,故D正确。
C级　培优加强练
11.(2026·江苏无锡高三阶段考)如图甲所示,半径为r1的圆形单匝线圈中央有半径为r2的有界匀强磁场,磁感应强度大小B随时间t变化规律如图乙所示,磁场正方向为垂直于纸面向里,线圈电阻为R。
(1)写出穿过线圈的磁通量Φ随时间变化的表达式,并求出线圈中感应电动势的最大值Em;
(2)求T~T时间内通过线圈截面的电荷量q及线圈中产生的焦耳热Q。
答案　(1)Φ=πB0sin t　 (2)　
解析　(1)由题图乙得磁感应强度B随时间变化的表达式B=B0sin t
穿过线圈磁通量为Φ=BS=B·π
所以穿过线圈的磁通量Φ随时间t变化的表达式为Φ=πB0sin t
线圈中感应电动势的最大值
Em=πB0·=。
(2)由法拉第电磁感应定律得=
由闭合电路欧姆定律得=
T~T时间内通过线圈截面的电荷量q=Δt
解得q===
感应电动势的有效值E=
T~T时间内线圈中产生的焦耳热
Q=·
即Q=。(共52张PPT)
第1讲　交变电流的产生和描述
第十二章　交变电流　电磁波　传感器
1.理解正弦式交变电流的产生过程,能正确书写交变电流的函数表达式。 2.理解并掌握交变电流图像的意义。 3.理解描述交变电流的几个物理量,会计算交变电流的有效值。 4.正确理解交变电流的四值,并能进行有关计算。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
垂直
1.
最大
发生改变
最大
不改变
两
nωBSsin ωt
时间
2.
nωBS
相
同
热量
1.思考判断
(1)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时,一定会产生正弦式交变电流。( )
(2)线圈在磁场中转动的过程中穿过线圈的磁通量最大时,产生的感应电动势也最大。( )
(3)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动经过中性面时,线圈中的感应电动势为零,电流方向发生改变。( )
(4)交流电器设备上所标的电压和电流值是交变电流的有效值。( )
(5)交变电流的峰值总是有效值的倍。( )
(6)我国使用的交变电流周期是0.02 s,电流方向每秒改变100次。( )
×
×
√
√
×
√
D
2.某交流发电机的线圈在匀强磁场中匀速转动时,穿过线圈的磁通量Φ随时间t变化的关系如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.t=0时刻,线圈平面与中性面平行
B.1 s内线圈中感应电流方向改变50次
C.t=0.015 s时刻,线圈中的感应电流最大
D.t=0.01 s时刻,图像的切线斜率为40π Wb/s
研透核心考点
2
考点二　交变电流的有效值的计算
考点一　正弦式交变电流的产生及变化规律
考点三　交变电流“四值”的理解与计算
考点一　正弦式交变电流的产生及变化规律
交变电流的变化规律(线圈从中性面位置开始计时)
　　规律 物理量　　 函数表达式 图像
磁通量 Φ=Φmcos ωt =BScos ωt
电动势 e=Emsin ωt =nωBSsin ωt
　　规律 物理量　　 函数表达式 图像
电压 u=Umsin ωt =sin ωt
电流 i=Imsin ωt =sin ωt
角度　　正弦式交变电流的产生
例1 (多选)(2026·河北保定高三期末)某自行车安装有发电照明系统,发电装置示意图如图所示。车轮带动线圈沿逆时针方向匀速转动从而产生交变电流,t=0时刻线圈与磁场方向平行。两磁极间的磁场可视为匀强磁场,则下列说法正确的是(　　)
A.t=0时刻线圈中的电流最大
B.转过90°时线圈中的电流最大
C.t=0时刻线圈中的电流方向由C指向D
D.t=0时刻线圈中的电流方向由D指向C
AD
解析　t=0时刻,线圈位于与中性面垂直的位置,通过线圈的磁通量最小,磁通量变化率最大,感应电动势最大,此时电流最大,故A正确;线圈转过90°后位于中性面位置,通过线圈的磁通量最大,磁通量变化率最小,感应电动势为零,此时线圈中没有感应电流,故B错误;t=0时刻,AB边的速度方向竖直向下,CD边的速度方向竖直向上,由右手定则知此时电流的方向为D→C→B→A→D,故C错误,D正确。
角度　　正弦式交变电流的变化规律
例2 (2026·天津河西高三月考)如图甲所示,匝数为N的闭合矩形线圈abcd处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中,绕着与磁场垂直且与线圈共面的固定轴OO'以角速度ω匀速转动。线圈的ad边长为L1,ab边长为L2。线圈经过某位置时开始计时,通过线圈的磁通量Φ随时间t的变化规律如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.时刻,线圈中产生的感应电动势的瞬时值大小
为NωBL1L2
B.t1时刻,穿过线圈的磁通量的变化率大小为ωBL1L2
C.t2时刻,线圈平面与中性面垂直
D.t4时刻,穿过线圈的磁通量大小为NBL1L2
B
解析　线圈经过中性面时磁通量最大,由题图乙可知,线圈经过中性面时开始计时,线圈中产生的感应电动势的瞬时值表达式e=Emsin ωt,其中Em=NωBL1L2,ω=,解得e=NωBL1L2sint,由题图乙可知=,所以时刻,线圈中产生的感应电动势的瞬时值大小为e=NωBL1L2,故A错误;t1时刻,Φ=0,线圈平面与磁场平行,t=,有e=NBωL1L2,又e=N,联立解得=ωBL1L2,故B正
确;t2时刻,穿过线圈的磁通量最大,线圈平面与中
性面重合,故C错误;t4时刻,穿过线圈的磁通量大
小为Φ=BL1L2,故D错误。
书写交变电流瞬时值表达式的技巧
(1)确定正弦式交变电流的峰值,根据已知图像读出或由公式Em=nωBS、Im=求出相应峰值。
(2)明确线圈的初始位置,找出对应的函数关系式
①线圈从中性面位置开始计时,则i-t图像为正弦函数图像,函数表达式为i=Imsin ωt。
②线圈从垂直于中性面的位置开始计时,则i-t图像为余弦函数图像,函数表达式为i=Imcos ωt。
考点二　交变电流的有效值的计算
1.正弦式交变电流的有效值的计算
I=,U=,E=。
2.非正弦式交变电流的有效值的计算
(1)根据电流的热效应,抓住“三同”:“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”,利用公式Q=I2Rt和Q=t可分别求出一个周期内产生的热量,即得电流和电压的有效值。
(2)若交变电流的图像部分是正弦(或余弦)图线,其中的周期(必须是从零至最大值或从最大值至零)和周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I=、U=求解。
例3 (2025·山东卷,7)如图为一种交流发电装置的示意图,长度为2L、间距为L的两平行金属电极固定在同一水平面内,两电极之间的区域Ⅰ和区域Ⅱ有竖直方向的磁场,磁感应强度大小均为B、方向相反,区域Ⅰ边界是边长为L的正方形,区域Ⅱ边界是长为L、宽为0.5L的矩形。传送带从两电极之间以速度v匀速通过,传送带上每隔2L固定一根垂直运动方向、长度为L的导体棒,导体棒通过磁场区域过程中与电极接触良好。该装置产生电动势的有效值为(　　)
A.BLv B.
C. D.
D
解析　根据题意可知,该装置产生的交流电的周期为T=,由于导体棒间距均为2L,则每个周期内均为单棒切割磁感线,以导体棒刚进入区域Ⅱ时为计时起点,则0~时间内该装置产生的电动势为EⅡ=,~时间内该装置产生的电动势为EⅠ=BLv,设导体棒电阻为R,该装置产生电动势的有效值E满足·=·+·,解得E=,D正确。
1.(2024·河北卷,4)R1、R2为两个完全相同的定值电阻,R1两端的电压随时间周期性变化的规律如图甲所示(三角形脉冲交流电压的峰值是有效值的倍),R2两端的电压随时间按正弦规律变化如图乙所示,则两电阻在一个周期T内产生的热量之比Q1∶Q2为(　　)
跟踪训练
A.2∶3 B.4∶3
C.2∶ D.5∶4
B
解析　设R1、R2的阻值均为R,根据题中所给信息,结合题给图像可得Q1=·+·=T,Q2=T=T,所以=,B正确。
考点三　交变电流“四值”的理解与计算
物理量 物理含义 表达式 适用情况及说明
瞬时值 交变电流某一时刻的值 e=Emsin ωt, u=Umsin ωt,i=Imsin ωt 计算线圈某时刻的受力情况
最大值 (峰值) 最大的瞬时值 Em=nωBS,Im=(纯电阻电路) 讨论电容器的击穿电压
物理量 物理含义 表达式 适用情况及说明
有效值 跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值 对正弦式交变电流有: E=　U=　I= (1)交流电表的示数。
(2)电气设备“铭牌”上所标的值(如额定电压、额定电流等)。
(3)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热、保险丝的熔断电流等)
平均值 交变电流图像与时间轴所围的面积与时间的比值 =BL,=n,= (纯电阻电路) 计算通过电路横截面的电荷量
A.t=0时,电流方向为abcdefa
B.t=0时,感应电动势为Bl2ω
C.t=时,感应电动势为0
D.t=0到t=过程中,感应电动势平均值为0
AB
解析　t=0时,线框中能切割磁感线的边只有af边,由右手定则可知af边的电流方向为f到a,则线框中的电流方向为abcdefa,A正确;t=0时,af边的速度方向与磁场方向垂直,速度大小为v=ωl,感应电动势的大小为E=Blv,解得E=Bl2ω,B正确;线框的转动周期为T=,则t=时,线框转动了180°,此时线框中能切割磁感线的边仍只有af边,且af边的速度方向与磁场方向垂直,所以线框中产生的感
应电动势的大小仍为Bl2ω,C错误;从t=0到t=过程中,穿过线
框abef的磁通量变化量为零,穿过线框bcde的磁通量的变化量
ΔΦ=2BS=2Bl2,由法拉第电磁感应定律知感应电动势平均值为
==,D错误。
2.(多选)(2025·天津武清模拟)如图甲所示,交流发电机的矩形金属线圈abcd的匝数n=100,线圈的总电阻r=5.0 Ω,线圈位于匀强磁场中,且线圈平面与磁场方向平行。线圈的两端分别与两个彼此绝缘的铜环E、F(集流环)焊接在一起,并通过电刷与阻值R=95 Ω的定值电阻连接。现使线圈绕过bc和ad边中点、且垂直于磁场的转轴OO'以一定的角速度匀速转动。穿过线圈的磁通量Φ随时间t变化的图像如图乙所示。若电路其他部分的电阻以及线圈的自感系数均可忽略不计。则下列说法正确的是(　　)
跟踪训练
A.线圈匀速转动的角速度为100 rad/s
B.线圈中产生感应电动势的最大值为200 V
C.线圈由图甲处转过周,通过电阻R的电荷量为0.01 C
D.线圈由图甲处转过周,电阻R上产生的热量为 J
BC
解析　由题图乙知,线圈转动周期T=π×10-2 s,根据
角速度公式有ω==200 rad/s,A错误;感应电动势的
最大值Em=nωBS,而BS=Φm=1.0×10-2 Wb,代入数据
得Em=200 V,B正确;通过电阻R的电荷量q=·Δt=·
Δt=,线圈转过周,ΔΦ=Φm=1.0×10-2 Wb,则q=0.01 C,C正确;感应电动势有效值E==100 V,电路中电流有效值I== A,转过周的所用时间t==×10-2 s,电阻R上产生的热量Q=I2Rt= J,D错误。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
BD
对点练1　正弦式交变电流的产生及变化规律
1.(多选)(2024·新课标卷,20)电动汽车制动时可利用车轮转动将其动能转换成电能储存起来。车轮转动时带动磁极绕固定的线圈旋转,在线圈中产生电流。磁极匀速转动的某瞬间,磁场方向恰与线圈平面垂直,如图所示。将两磁极间的磁场视为匀强磁场,则磁极再转过90°时,线圈中(　　)
A.电流最小 B.电流最大
C.电流方向由P指向Q D.电流方向由Q指向P
解析　初始时刻,线圈处于中性面位置,磁极再转过90°时,穿过线圈的磁通量为零,感应电动势最大,电流最大,A错误,B正确;磁极顺时针转过90°时,根据右手定则可判断,电流方向由Q指向P,C错误,D正确。
D
2.(2025·福建厦门模拟)如图甲所示,在匀强磁场中,一闭合矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴OO'匀速转动,图乙是金属线框的电动势e与时间t的关系图像,则(　　)
A.t=0时线框处于中性面位置
B.t=0.5×10-2 s时线框的磁通
量变化率最大
C.线框的电动势有效值为220 V
D.线框中的电流方向每秒变化100次
解析　t=0时感应电动势最大,则线框处于与中性面垂直的位置;t=0.5×10-2 s时感应电动势为零,则此时线框的磁通量变化率为零,故A、B错误;线框的电动势有效值为E= V=220 V,故C错误;交变电流的周期为0.02 s,一个周期内电流方向改变2次,可知线框中的电流方向每秒变化100次,故D正确。
BD
3.(多选)(2026·广东汕头模拟)半径为a、电阻为r=1 Ω的单匝圆形导体环,在磁感应强度为B的匀强磁场中绕着虚线轴匀速转动,角速度为ω。在导体环外接一阻值为R=1 Ω的电阻,电阻两端并联一电压表。若t=0时刻导体环面与磁场垂直(即图示位置),则(　　)
A.电路中电压表示数做周期性变化
B.电路中电压表示数为ωBπa2
C.t=时,圆形导体环中电流方向改变
D.穿过导体环的磁通量瞬时值表达式Φ=Bπa2cos ωt
解析　电路中产生的感应电动势为e=ωBSsin ωt=ωBπa2sin ωt,电动势的峰值为Em=ωBS,有效值为E==,电路中电压表示数为U=E=ωBπa2,故A错误,B正确;t=时,圆形导体环转过90°,此时导体环处于与中性面垂直的位置,电流方向不改变,故C错误;穿过导体环的磁通量瞬时值表达式Φ=Bπa2cos ωt,故D正确。
C
对点练2　交变电流的有效值的计算
4.一电阻R接到如图甲所示的正弦式交流电源上,两端电压的有效值为U1,消耗的电功率为P1;若该电阻接到如图乙所示的方波交流电源上,两端电压的有效值为U2,消耗的电功率为P2。若甲、乙两图中的U0、T所表示的电压、周期是相同的,则下列说法正确的是(　　)
A.U1=U0 B.U2=U0
C.P1= D.P1∶P2=1∶2
解析　电阻接到正弦式交流电源上,两端电压的有效值为U1=,功率P1=
=,故A错误,C正确;电阻接到方波交流电源上,设两端电压的有效值为U2,则有·+·=T,解得U2=U0,功率P2==,则P1∶P2=1∶5,故B、D错误。
C
5.如图所示,以虚线MN为边界,上侧空间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。正方形单匝金属线框abcd的边长为L,图示时刻线框平面与磁场垂直,线框转动轴与ab边平行且相距。转动轴与MN重合。线框从图示位置开始绕轴匀速转动,角速度为ω。则感应电动势的有效值为(　　)
A. B.
C.ωBL2 D.ωBL2
解析　根据法拉第电磁感应定律可知,线框ab边在磁场中运动的过程中,回路中感应电动势的最大值为Em1=BLv=B·ω,线框dc边在磁场中运动的过程中,回路中感应电动势的最大值为Em2=BLv'=B·ω,设感应电动势的有效值为E,根据交变电流有效值定义可得·+·=T,解得E=ωBL2,
故A、B、D错误,C正确。
D
对点练3　交变电流“四值”的理解与计算
6.(2024·广东卷,1) 将阻值为50 Ω的电阻接在正弦式交流电源上。电阻两端电压随时间的变化规律如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.该交流电的频率为100 Hz
B.通过电阻电流的峰值为0.2 A
C.电阻在1 s内消耗的电能为1 J
D.电阻两端电压表达式为u=10sin(100πt) V
解析　由题图可知交流电的周期为0.02 s,则频率为f==50 Hz,故A错误;根据题图可知电压的峰值为10 V,根据欧姆定律可知通过电阻电流的峰值Im== A
=0.2 A,故B错误;电流的有效值为I==0.2 A,所以电阻在1 s内消耗的电能为W=I2Rt=0.22×50×1 J=2 J,故C错误;根据题图可知电阻两端电压表达式为u=
Umsin ωt=10sin(100πt)V,故D正确。
D
7.(2026·山东淄博高三调研)如图甲所示为一交流电压随时间变化的图像,每个周期内,前二分之一周期电压按正弦规律变化,后二分之一周期电压恒定。若将此交变电流连接在如图乙所示的电路中,电阻R的阻值为50 Ω,则(　　)
A.理想电压表读数为50 V
B.理想电流表读数为0.8 A
C.电阻R消耗的电功率为45 W
D.电阻R在50 s内产生的热量为2 025 J
解析　设交流电压有效值为U,根据有效值定义可得·+·=T,解得U=45 V,
则理想电压表读数为45 V,故A错误;根据欧姆定律可得理想电流表读数为I== A
=0.9 A,故B错误;电阻R消耗的电功率为P=I2R=0.92×50 W=40.5 W,故C错误;电阻R在50 s内产生的热量为Q=I2Rt=0.92×50×50 J=2 025 J,故D正确。
BD
8.(多选)(2026·山东青岛一中月考)小型发电机线圈共n匝,每匝可简化为矩形线圈abcd,磁极间的磁场视为匀强磁场,方向垂直于线圈中心轴OO',线圈绕OO'匀速转动,如图所示(图示位置线圈平面与磁场垂直)。矩形线圈ab边和cd边产生的感应电动势的最大值都为E0,则下列说法正确的是(　　)
A.图示位置线圈内的磁通量变化率为2E0
B.图示位置线圈内的感应电流方向即将发生改变
C.线圈产生的交变电流的电动势的有效值是nE0
D.线圈从图示位置转动90°的时间内,感应电动势的平均值是nE0
B级　综合提升练
解析　题图所示位置穿过线圈的磁通量最大,磁通量变化率为零,故A错误;题图所示位置ab边和cd边切割磁感线的方向即将发生变化,则线圈内的感应电流方向即将发生改变,故B正确;线圈产生的交变电流的电动势的最大值为Em=2nE0,则有效值是E==nE0,故C错误;线圈从题图所示位置转动90°的时间内,感应电动势的平均值是=n====nE0,故D正确。
AC
9.(多选)(2025·陕西宝鸡模拟)现用某磁体作为匀强磁场用来发电,用外力使n=100匝的矩形闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴OO'以恒定的角速度转动,转动一周的时间为T=0.4 s,线圈电阻为R=0.1 Ω,从如图所示的位置(线圈平面与磁场方向平行)开始计时,线圈平面转过60°时线圈中的感应电动势的大小为E=0.2 V,则下列说法正确的是(　　)
A.线圈产生的电动势有效值为 V
B.线圈转过90°的过程中通过线圈截面的电荷量为π C
C.一个周期内线圈中产生的热量为0.32 J
D.若线圈外接一个额定电压为 V的电容器,此电容器能正常工作
解析　t=0时刻,线圈平面与中性面垂直,线圈产生的电动势的
瞬时值表达式为e=Emcos t,线圈平面转过60°时的感应电动
势的大小为E,有E=Emcos ,可得Em=2E=0.4 V,故电动势的有
效值为E== V,A正确;线圈转过90°的时间内,电荷量q=·,
感应电流=,平均感应电动势=,感应电动势最大值Em=nBSω=,联立可得q==== C,B错误;在一个周期内线圈中产生的热量Q=T=0.32 J,C正确;电容器的额定电压应小于电动势的最大值,故此电容器接在电路中可能会被击穿,D错误。
CD
10.(多选)(2025·湖南长沙模拟)如图所示的正方形线圈abcd边长为L,每边电阻均为r,在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中绕cd轴以角速度ω匀速转动,c、d两点与一阻值为r的电阻相连,各表均可视为理想电表,导线电阻不计,则下列说法正确的是(　　)
A.图示位置线圈的感应电动势最大
B.当S断开时,电压表的示数为
C.当S闭合时,线圈从图示位置旋转180°,通过电阻r的电荷量为q=
D.当S闭合时,电流表的示数为
解析　题图示位置线圈的磁通量最大,感应电动势为0,故A错误;产生的交变电流的电动势最大值为Em=BL2ω,有效值为E=,当S断开时,电压表测量的电压为c、d间的电压,故U=E=BL2ω,故B错误;当S闭合时,电路总电阻为R=3r+=,线圈从图示位置旋转180°,磁通量的变化量为ΔΦ=2BL2,所以通过线圈的总电荷量为q总===,通过电阻r的电荷量q==,故C正确;
当S闭合时,ab中电流为I==BL2ω,电流表读数为=,
故D正确。
11.(2026·江苏无锡高三阶段考)如图甲所示,半径为r1的圆形单匝线圈中央有半径为r2的有界匀强磁场,磁感应强度大小B随时间t变化规律如图乙所示,磁场正方向为垂直于纸面向里,线圈电阻为R。
(1)写出穿过线圈的磁通量Φ随时间变化的表
达式,并求出线圈中感应电动势的最大值Em;
(2)求T~T时间内通过线圈截面的电荷量q及
线圈中产生的焦耳热Q。
C级　培优加强练
答案　(1)Φ=πB0sin t　 (2)　
解析　(1)由题图乙得磁感应强度B随时间变化的表达式B=B0sin t
穿过线圈磁通量为Φ=BS=B·π
所以穿过线圈的磁通量Φ随时间t变化的表达式为Φ=πB0sin t
线圈中感应电动势的最大值
Em=πB0·=。
(2)由法拉第电磁感应定律得=
由闭合电路欧姆定律得=
T~T时间内通过线圈截面的电荷量q=Δt
解得q===
感应电动势的有效值E=
T~T时间内线圈中产生的焦耳热
Q=·
即Q=。
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