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25.1 一元二次方程的概念
1.理解一元二次方程的概念.
2.掌握一元二次方程的一般式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项．
3. 理解一元二次方程根的概念，并能解决有关问题.
在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长
A
C
B
5 m
如图，雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC应有如下关系：
AC∶BC = BC∶5，即 BC 2 = 5AC.
设雕像腰部以下的身长 BC为 x m，
可得方程 x2 = 5(5-x)，
整理得：x2+5x-25＝0.
A
C
B
5 m
这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2. 如何解这类方程？如何用这类方程解决一些实际问题？这就是本章要学习的主要内容.
解：设剪去的正方形边长为x m，则矩形塑料薄膜的长为 (10 - 2x) m，宽为 (6 - 2x) m. 根据花圃的面积为32 m2，得
问题1：公园花匠打算用一张长10 m，宽6 m的矩形塑料薄膜为公园花圃刚种下的花制作暖棚，若把暖棚看做一个长方体，花圃面积为32 m2，将塑料薄膜的四个角各剪去一个同样的正方形，将四周向下折叠即可(损耗不计)刚好能够完全覆盖花圃，那么薄膜各角应剪去多大的正方形？
(10 - 2x) (6 - 2x) ＝ 32
(10 - 2x) (6 - 2x) ＝ 32
整理，得
4x2 - 32x + 28 ＝ 0
化简，得
x2 - 8x + 7 ＝ 0
由此方程可以得出所剪正方形的具体尺寸.
方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2：为了方便居民欣赏园林风景，在公园内一片长度为20 m，宽度为10 m的矩形花圃内计划修建三条宽度相等的小道，每条道路的两边互相平行(图中黄色区域)，剩余部分为花圃. 若要使花圃的面积为120 m2，则小道的宽度应为多少米？
解：设小道的宽度为 x m，则剩余种花的长为(20 - 2x) m，宽为(10 - x) m，
根据花圃的面积为120 m2，得
(20 - 2x)(10 - x)＝120.
(20 - 2x)(10 - x) ＝ 120
整理，得
2x2 - 40x + 80 ＝ 0.
化简，得
x2 - 20x + 40 ＝ 0.
由此方程可以得出小道的宽度.
方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题3：现打算建造一个矩形花圃种植两种不同的花卉. 用长为24 m的篱笆将花圃围起来并有一面靠着墙(墙的最大可用长度是10 m)，且用篱笆将两种不同的花卉隔离开. 如果要围成面积为40 m2的花圃，AB的长是多少米？
解：设花圃的宽 AB 为 x m，则花圃的长BC 为(24 - 3x) m，
根据花圃面积为40 m2，得x (24 - 3x) ＝ 40.
整理得 - 3x2 + 24x ＝ 40.
由此方程可以得出 AB 的长.
10 m
思考1：上述问题中的方程有什么共同特点？
x2 - 8x + 7 ＝ 0
x2 - 20x + 40 ＝ 0
1. 等号的两边都是整式；
2. 只含有一个未知数；
3. 未知数的最高次数是2.
- 3x2 + 24x ＝ 40
x2 + 5x - 25 ＝ 0
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0 (a，b，c为常数，a≠0)
ax2
称为二次项， a 称为二次项系数；
bx
称为一次项， b 称为一次项系数；
c
称为常数项.
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
试着说一说以上我们列出的方程的二次项系数、一次项系数和常数项！
思考2：为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b，c 可以为任意实数.
不是一元二次方程
三种形式
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点 不同点
思考3：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b (a≠0)
ax2+bx+c=0 (a≠0)
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
例 将方程 3x ( x - 1 ) = 5 ( x + 2 )化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x - 8x - 10 = 0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
1.若 (m-1) x＋1＋2mx＋2=0是关于x的一元二次方程，求m的值为多少？
解：由题意得：
解①得m ≠ 1；
解②得=1，m = ±1，
又m ≠ 1，故m= -1.
判别一个方程是否为一元二次方程的步骤：
①先判断等号两边是否都为整式；
②化：化简，去括号；
③移：将所有项移到等号左边，等号右边为0；
④合：合并同类项；
⑤看：看是否只含有一个未知数，未知数的最高次数是否为2.
思考4：结合一元一次方程的学习，你知道什么是一元二次方程的解吗？
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0,
点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程会得到一个关于这个字母的一元一次方程，求解即可得到字母的值.
解得
①等号左右两边都是整式
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2
常见
形式
解(根)
概念
一元二
次方程
一般形式：ax2+bx+c=0
其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0
注意：a，b，c为常数，且a ≠0
使方程左右两边相等的未知数的值
1.下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0
C．x3 +1=3 D．x﹣5y=6
B
2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）2x2=1-3x （2）5x（x-2）=4x2-3x．
解：（1）2x2=1-3x 一般形式为2x2+3x-1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1；
（2）5x（x-2）=4x2-3x 一般形式为 x2-7x=0，二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为0．
3.若关于 x 的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.
解：将 x=0 代入方程得：m2-4=0，
解得m= ±2.
∵ m+2 ≠0，
∴ m ≠-2，
综上所述：m =2.
(1)若公园绿化带被划为四个同等矩形，长比宽多2，面积为100，求矩形的宽 x；
4.根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是一元二次方程请指出二次项系数，一次项系数和常数项.
解：根据题意列方程为 4x ( x + 2 ) = 100，
去括号化为一般式为 x2 + 2x - 25 = 0.
该方程是一元二次方程.
二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25.
(2)若一块矩形公园的长比宽多2，周长为100，求公园的宽 x；
解：根据题意列方程为2x + 2(x + 2)=100 ，
去括号得4x - 96=0.
该方程不是一元二次方程.
(3)若一块矩形公园的面积为64平方米，它的长与宽共12米，求长 x．
解：根据题意列方程为x(12 - x)=64，
去括号化为一般式为 -x2 + 12x - 64=0 .
该方程是一元二次方程.
二次项系数为-1，一次项系数为12，常数项为-64.

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