资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 平行线的判定与性质【六大题型】
【题型1 平行线的判定】
1．（2025 东城区校级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DF∥BC的是（　　）
A．∠4+∠2＝180° B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠1 D．∠3＝∠B
2．（2025 房山区期末）下面各图中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 西城区校级期末）如图，已知AD∥BC，增加以下的一个条件后能得到AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠D+∠DCB＝180°
C．∠D＝∠B D．∠1＝∠3
4．（2025 通州区校级期末）如图，下列条件中能判断BC∥EF的是（　　）
①∠1＝∠E
②∠2＝∠E
③∠B＝∠1
④∠E+∠EGC＝180°
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
5．（2025 房山区期末）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB∥CD，那么可以添加的条件是　 　（写出一个即可）．
6．（2025 延庆区期末）如图，点D在BM上，任意添加一个条件，使得AB∥CE，则这个条件可以是　 　．
【题型2 利用平行线的性质求角度】
7．（2025 朝阳区期末）如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，若∠A＝35°，则∠1的度数为（　　）
A．35° B．55° C．145° D．150°
8．（2025 西城区校级期末）如图，直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝26°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．72° C．74° D．77°
9．（2025 西城区期末）如图，直线AB∥CD，EF分别交AB，CD于点E，F，GE⊥EF于点E．若∠1＝25°，则∠2的大小为（　　）
A．65° B．75° C．50° D．25°
10．（2025 西城区校级期末）如图，AB∥CD，∠FEN＝2∠BEN，∠FGH＝2∠CGH，则∠F与∠H的数量关系是（　　）
A．∠F+∠H＝90° B．∠H＝2∠F
C．2∠H﹣∠F＝180° D．3∠H﹣∠F＝180°
11．（2025 门头沟区期末）为了保护视力，某公司推出了护眼灯，如图所示，右侧示意图中（台灯底座高度忽略不计）BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝114°时，光线最佳．则此时∠DCB＝　 　°．
12．（2025 海淀区校级期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，∠ODC＝30°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为　 　°．
13．（2025 朝阳区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠DFE＝135°，求∠ABE的度数．
14．（2025 门头沟区期末）如图，已知：CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠BOF的度数．
【题型3 利用平行线的性质解决三角尺问题】
15．（2025 西城区校级期末）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝105°，则∠β等于（　　）
A．105° B．115° C．125° D．135°
16．（2025 门头沟区期末）如图，三角形板的直角顶点落在直尺的一边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）
A．55° B．45° C．35° D．65°
17．（2025 西城区校级期末）一副直角三角板的摆放方式如图所示（两三角板不重叠）．若AB∥CD，∠GFE＝30°，∠NMP＝45°，则下列不正确的是（　　）
A．GE∥MP B．∠DNF＝135° C．∠BEF＝60° D．∠AEG＝45°
18．（2025 延庆区期末）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，∠CAD＝∠EBF＝90°，∠C＝45°，∠F＝30°，点A，E，D，F在同一条直线上，当CD∥AB时，则∠ABE的度数为（　　）
A．45° B．35° C．25° D．15°
19．（2025 平谷区期末）如图，直线m∥n，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝15°，则∠2的度数是　 　°．
20．（2025 通州区期末）如图，直尺和含30°角的三角板叠放在一起，三角板的顶点A恰好落在直尺的下沿上，如果∠1＝140°，则∠2的度数为 　 　 °．
【题型4 利用平行线的性质解决折叠问题】
21．（2025 海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（　　）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝90°
C．∠1﹣∠2＝30° D．2∠1﹣3∠2＝30°
22．（2025 朝阳区校级期末）如图把一张长方形纸条沿OG折叠后，点B、C分别落到点B'、C′处，若∠AOB'＝70°，则∠OGC的度数为（　　）
A．70° B．55° C．125° D．110°
23．（2025 海淀区校级期末）如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B′，D′处．若∠1＝80°，则∠2的度数是　 　．
24．（2025 西城区校级期末）如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D'，C′的位置，D′E与BC交于点G．若∠1＝50°，则∠FGD'等于　 　°．
【题型5 利用平行线的性质进行计算与证明】
25．（2025 东城区期末）如图，∠ABC＝45°，点D在边BA上，过点D作直线DE⊥AB，交BC于点F，DG平分∠BDE．
（1）求证：DG∥BC；
（2）求∠CFD的度数．
26．（2025 海淀区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC∥EF，∠AME＝∠EFN．
（1）判断ME，FN的位置关系，并说明理由；
（2）若EF平分∠MEB，∠FNB＝74°，求∠NFB的度数．
27．（2025 西城区校级期末）如图，在三角形ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，连接BD，DE，F是BD上一点，连接EF．已知∠1+∠2＝180°，∠C＝∠DEF．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠2的度数．
28．（2025 朝阳区校级期末）如图，已知∠BAC＝90°，DE⊥AC于点H，∠ABD+∠CED＝180°．
（1）求证：BD∥EC；
（2）连接BE，若∠BDE＝30°，且∠DBE＝∠ABE+50°，求∠CEB的度数．
【题型6 利用平行线的性质探究角度之间的关系】
29．（2025 海淀区校级期末）已知，如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O．点P为射线OC上一点，从点P引两条射线分别交直线AB于点D，E（点D在点O左侧，点E在点O右侧），过点O作OF∥PD交PE于点F，G为线段PD上一点，过G作GM⊥AB于点M．
（1）①依题意补全图形；
②若∠DPO＝62°，求∠EOF的度数；
（2）写出表示∠EOF与∠PGM的数量关系的等式，并说明理由．
30．（2025 东城区期末）在四边形ABCD中，BC∥AD，BP平分∠ABC交AD于点P，延长PB，DC交于点O．点E为线段AB上的动点，连接PE，过点P作PF⊥PE交OD于点F．
（1）当点E与点B重合时，
①依题意补全图1；
②若∠ABC＝120°，则∠DPF＝ 　 　 °；
（2）当点E运动到某个位置时，恰好使得PF⊥OD．
①猜想PE与OD的位置关系，并证明；
②BH平分∠ABP交PE于点H．用等式表示∠APB，∠BHE，∠D的数量关系，并证明．
31．（2025 房山区校级期末）如图，点M是线段AB上一动点，点C是线段AB外一点，连接BC，∠B＝120°．将线段BC沿BA平移得到线段AD，连接DM，CM．
（1）依题意补全图1，并证明：∠CMD＝∠C+∠D；
（2）过点C作直线l∥MD，在直线l上取点N，使∠NDC＝∠CDM．
①如图2，当点N在直线CD上方时，用等式表示∠DNC与∠ADM的数量关系，并证明；
②当点N在直线CD下方时，直接用等式表示出∠DNC与∠ADM的数量关系．
32．（2025 门头沟区期末）直线MN与直线AB，CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P．
（1）依题意补全图形；
（2）直接写出EP与FP的位置关系；
（3）EQ，FQ分别平分∠PEF和∠CFN，用等式表示∠AEP与∠EQF的数量关系，并证明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 平行线的判定与性质【六大题型】
【题型1 平行线的判定】
1．（2025 东城区校级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DF∥BC的是（　　）
A．∠4+∠2＝180° B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠1 D．∠3＝∠B
解：∵∠4+∠2＝180°，
∴DF∥BC，
故A不符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴DF∥BC，
故B不符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴DF∥BC，
故C不符合题意；
∵∠3＝∠B，
∴AB∥EF，
故D符合题意．
答案：D．
2．（2025 房山区期末）下面各图中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、由内错角相等，两直线平行判定AC∥BD，不能判定AB∥CD，故A不符合题意；
B、∠1和∠2是对顶角，∠1＝∠2，不能判定AB∥CD，故B不符合题意；
C、∠2的对顶角和∠1相等，由同位角相等，两直线平行判定AB∥CD，故C符合题意；
D、∠1和∠2是同旁内角，∠1+∠2＝180°能判定AB∥CD，∠1＝∠2不能判定AB∥CD，故D不符合题意．
答案：C．
3．（2025 西城区校级期末）如图，已知AD∥BC，增加以下的一个条件后能得到AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠D+∠DCB＝180°
C．∠D＝∠B D．∠1＝∠3
解：根据平行线的判定和性质逐项推理判断如下：
A、∠1＝∠2，根据“内错角相等，两直线平行”可判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意；
B、∠D+∠DCB＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
又∵∠D＝∠B，
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD，符合题意；
D、∠1＝∠3，不能判定AB∥CD，不符合题意，
答案：C．
4．（2025 通州区校级期末）如图，下列条件中能判断BC∥EF的是（　　）
①∠1＝∠E
②∠2＝∠E
③∠B＝∠1
④∠E+∠EGC＝180°
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
解：①∠1与∠E是同位角，可判定BC∥EF，故①正确，
②∠2与∠E是内错角，能判断BC∥EF，故②正确，
③∠B与∠1是同位角，可判定AB∥DE，故③错误，
④∠E与∠EGC是同旁内角，且∠E+∠EGC＝180°，可判定BC∥EF，故④正确．
答案：D．
5．（2025 房山区期末）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB∥CD，那么可以添加的条件是　∠A+∠D＝180°　（写出一个即可）．
解：当∠A+∠D＝180°时，则AB∥CD．
答案：∠A+∠D＝180°（答案不唯一）．
6．（2025 延庆区期末）如图，点D在BM上，任意添加一个条件，使得AB∥CE，则这个条件可以是　∠B＝∠CDM．
解：∵同位角相等，两直线平行，
∴使得AB∥CE，这个条件可以是∠B＝∠CDM，
答案：∠B＝∠CDM．
【题型2 利用平行线的性质求角度】
7．（2025 朝阳区期末）如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，若∠A＝35°，则∠1的度数为（　　）
A．35° B．55° C．145° D．150°
解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠2＝35°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣35°＝145°，
答案：C．
8．（2025 西城区校级期末）如图，直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝26°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．72° C．74° D．77°
解：∵∠1＝26°，
∴∠BEF＝180°﹣26°＝154°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠FEG＝∠BEG＝77°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEG＝77°（两直线平行，内错角相等），
答案：D．
9．（2025 西城区期末）如图，直线AB∥CD，EF分别交AB，CD于点E，F，GE⊥EF于点E．若∠1＝25°，则∠2的大小为（　　）
A．65° B．75° C．50° D．25°
解：∵GE⊥EF，
∴∠FEG＝90°，
∴∠1+∠FEA＝90°，
∴∠FEA＝90°﹣∠1＝90°﹣25°＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠FEA＝65°，
答案：A．
10．（2025 西城区校级期末）如图，AB∥CD，∠FEN＝2∠BEN，∠FGH＝2∠CGH，则∠F与∠H的数量关系是（　　）
A．∠F+∠H＝90° B．∠H＝2∠F
C．2∠H﹣∠F＝180° D．3∠H﹣∠F＝180°
解：设∠BEN＝x，∠CGH＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y，
∵∠H＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∴∠F＝∠FEB﹣∠FGD＝∠FEB﹣（180°﹣∠FGC）＝3x﹣（180°﹣3y）＝3（x+y）﹣180°＝3∠H﹣180°，
∴3∠H﹣∠F＝180°．
答案：D．
11．（2025 门头沟区期末）为了保护视力，某公司推出了护眼灯，如图所示，右侧示意图中（台灯底座高度忽略不计）BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝114°时，光线最佳．则此时∠DCB＝　156　°．
解：过C作CK∥AB，则CK∥AB∥DE，
∵DE∥AB，
∴CK∥AB∥DE，
∴∠BCK＝180°﹣∠CBA，∠DCK＝180°﹣∠CDE＝66°，
∵BC⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∴∠BCK＝90°，
∴∠DCB＝∠BCK+∠DCK＝156°．
答案：156．
12．（2025 海淀区校级期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，∠ODC＝30°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为120°．
解：根据题意可得AB∥CD，
∴∠DOB＝∠ODC＝30°，
∵OE∥DM，
∴∠ODB＝∠EOF＝90°，
∴∠ANM＝∠DOB+∠ODB＝30°+90°＝120°，
答案：120．
13．（2025 朝阳区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠DFE＝135°，求∠ABE的度数．
解：∵∠DFE＝135°，
∴∠CFE＝180°﹣∠DFE＝180°﹣135°＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CFE＝45°，
∴∠ABE的度数为45°．
14．（2025 门头沟区期末）如图，已知：CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠BOF的度数．
解：如图，∵CD∥AB，
∴∠AOD＝180°﹣∠D＝180°﹣50°＝130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠AOD＝×130°＝65°，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣90°﹣65°＝25°．
【题型3 利用平行线的性质解决三角尺问题】
15．（2025 西城区校级期末）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝105°，则∠β等于（　　）
A．105° B．115° C．125° D．135°
解：∵将一块直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，如图：
，
∴l∥n，∠1＝60°，
∵∠α＝105°，l∥n，
∴∠1+∠2＝105°，
解得：∠2＝45°，
∴∠2+∠β＝180°，
解得：∠β＝135°，
答案：D．
16．（2025 门头沟区期末）如图，三角形板的直角顶点落在直尺的一边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）
A．55° B．45° C．35° D．65°
解：∵∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝55°，
答案：A．
17．（2025 西城区校级期末）一副直角三角板的摆放方式如图所示（两三角板不重叠）．若AB∥CD，∠GFE＝30°，∠NMP＝45°，则下列不正确的是（　　）
A．GE∥MP B．∠DNF＝135° C．∠BEF＝60° D．∠AEG＝45°
解：根据题意得，∠EGF＝∠MPN＝90°，∠MNP＝45°，∠GEF＝60°，
∴GE∥MP，
故A不符合题意；
∵∠NMP＝45°，∠NMP+∠MPN＝∠DNF，
∴∠DNF＝135°，
故B不符合题意；
如图，过点G作GM∥AB，过点P作PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GM∥PN∥CD，
∴∠AEP＝∠MGE，∠GPN＝∠MGP，∠GPN＝∠MNP＝45°，
∴∠MGP＝45°，
∴∠MGE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AEG＝45°，
故D不符合题意；
∴∠BEF＝180°﹣∠AEG﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故C符合题意；
答案：C．
18．（2025 延庆区期末）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，∠CAD＝∠EBF＝90°，∠C＝45°，∠F＝30°，点A，E，D，F在同一条直线上，当CD∥AB时，则∠ABE的度数为（　　）
A．45° B．35° C．25° D．15°
解：
根据题意得，∠ADC＝45°，∠BED＝60°，
∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ADC＝45°，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，
∴∠ABE＝15°，
答案：D．
19．（2025 平谷区期末）如图，直线m∥n，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝15°，则∠2的度数是　30　°．
解：过B作BE∥直线l，
因为直线m∥n，
所以直线m∥n∥BE，
所以∠2＝∠ABE，∠1＝∠CBE＝15°，
因为∠ABC＝45°，
所以∠2＝∠ABE＝45°﹣15°＝30°，
答案：30．
20．（2025 通州区期末）如图，直尺和含30°角的三角板叠放在一起，三角板的顶点A恰好落在直尺的下沿上，如果∠1＝140°，则∠2的度数为　70　°．
解：
∵∠1＝140°，
∴∠CDA＝180°﹣140°＝40°，
∵CD∥AB，
∴∠BAD＝∠CDA＝40°，∠2＝∠BAC，
∵∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝30°+40°＝70°，
∴∠2＝70°．
答案：70．
【题型4 利用平行线的性质解决折叠问题】
21．（2025 海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（　　）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝90°
C．∠1﹣∠2＝30° D．2∠1﹣3∠2＝30°
解：如图所示，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA＝180°，
∵∠BAC＝180°﹣2∠1，∠DCA＝180°﹣2∠2，
∴180°﹣2∠1+180°﹣2∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
答案：B．
22．（2025 朝阳区校级期末）如图把一张长方形纸条沿OG折叠后，点B、C分别落到点B'、C′处，若∠AOB'＝70°，则∠OGC的度数为（　　）
A．70° B．55° C．125° D．110°
解：∵∠AOB'+∠BOB'＝180°，∠AOB′＝70°，
∴∠BOB'＝180°﹣70°＝110°，
∵四边形 OB'C'G 由四边形 OBCG 折叠而成，
∴∠BOG＝∠BOB'＝×110°＝55°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴∠BOG+∠OGC＝180°，
∴∠OGC＝180°﹣55°＝125°．
答案：C．
23．（2025 海淀区校级期末）如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B′，D′处．若∠1＝80°，则∠2的度数是　50°　．
解：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AEB′＝80°，
∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°，
由折叠得：
∠2＝∠FEB′＝∠BEB′＝50°，
答案：50°．
24．（2025 西城区校级期末）如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D'，C′的位置，D′E与BC交于点G．若∠1＝50°，则∠FGD'等于　130　 °．
解：∵AD∥BC，∠1＝50°，
∴∠EGF＝∠1＝50°（两直线平行，内错角相等），
∴∠FGD′＝180°﹣∠EGF＝180°﹣50°＝130°．
则∠FGD'等于130°．
答案：130．
【题型5 利用平行线的性质进行计算与证明】
25．（2025 东城区期末）如图，∠ABC＝45°，点D在边BA上，过点D作直线DE⊥AB，交BC于点F，DG平分∠BDE．
（1）求证：DG∥BC；
（2）求∠CFD的度数．
（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠BDE＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BDG＝∠ABC，
∴DG∥BC；
（2）解：∵DE⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠CFD＝∠BDF+∠ABC＝135°．
26．（2025 海淀区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC∥EF，∠AME＝∠EFN．
（1）判断ME，FN的位置关系，并说明理由；
（2）若EF平分∠MEB，∠FNB＝74°，求∠NFB的度数．
解：（1）ME∥FN，理由如下：
∵AC∥EF，
∴∠AME＝∠MEF，
∵∠AME＝∠EFN，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴ME∥FN；
（2）由（1）知ME∥FN，
∴∠MEF＝∠EFN，∠MEB＝∠FNB，
∵EF平分∠MEB，
∴，
∵∠FNB＝74°，
∴∠MEF＝37°，
∵AC∥EF，∠C＝90°，
∴∠EFB＝∠C＝90°，
∴∠NFB＝90°﹣∠EFN＝53°．
27．（2025 西城区校级期末）如图，在三角形ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，连接BD，DE，F是BD上一点，连接EF．已知∠1+∠2＝180°，∠C＝∠DEF．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠2的度数．
（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠DFE+∠2＝180°，
∴∠1＝∠DFE，
∴FE∥AC，
∴∠ADE＝∠DEF，
∵∠C＝∠DEF，
∴∠ADE＝∠C，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠DEB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠DEB＝∠DEF+∠FEB＝110°，
∵∠DEF＝∠FEB﹣10°，
∴∠DEF+10°＝∠FEB，
∴∠DEF+10°+∠DEF＝110°，
∴∠DEF＝50°＝∠ADE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB＝35°，
∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝85°，
∵FE∥AC，
∴∠2＝∠ADB＝85°．
28．（2025 朝阳区校级期末）如图，已知∠BAC＝90°，DE⊥AC于点H，∠ABD+∠CED＝180°．
（1）求证：BD∥EC；
（2）连接BE，若∠BDE＝30°，且∠DBE＝∠ABE+50°，求∠CEB的度数．
（1）证明：∵DE⊥AC，
∴∠AHE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠AHE＝90°，
∴BA∥DE，
∴∠ABD+∠BDE＝180°，
∵∠ABD+∠CED＝180°，
∴∠BDE＝∠CED，
∴BD∥EC；
（2）解：如图，
由（1）可得，∠ABD+∠BDE＝180°，
∵∠BDE＝30°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BDE＝180°﹣30°＝150°，
∵∠DBE＝∠ABE+50°，
∴∠ABD＝∠ABE+∠DBE＝∠ABE+∠ABE+50°＝2∠ABE+50°＝150°，
∴∠ABE＝50°，
∴∠DBE＝∠ABE+50°＝50°+50°＝100°，
∵BD∥EC，
∴∠DBE+∠CEB＝180°，
∴∠CEB＝180°﹣∠DBE＝180°﹣100°＝80°．
【题型6 利用平行线的性质探究角度之间的关系】
29．（2025 海淀区校级期末）已知，如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O．点P为射线OC上一点，从点P引两条射线分别交直线AB于点D，E（点D在点O左侧，点E在点O右侧），过点O作OF∥PD交PE于点F，G为线段PD上一点，过G作GM⊥AB于点M．
（1）①依题意补全图形；
②若∠DPO＝62°，求∠EOF的度数；
（2）写出表示∠EOF与∠PGM的数量关系的等式，并说明理由．
解：（1）①图形如图所示，
②∵OF∥PD，∠DPO＝62°，
∴∠POF＝∠DPO＝62°．
∵OC⊥AB，
∴∠POE＝90°，
∴∠EOF＝∠POE﹣∠POF＝90°﹣62°＝28°；
（2）∠PGM﹣∠EOF＝90°，理由如下：
∵OC⊥AB，
∴∠POF＝90°﹣∠EOF．
∵OF∥PD，
∴∠GPO＝∠POF＝90°﹣∠EOF．
∵GM⊥AB，
∴∠GMD＝∠POD＝90°，
∴GM∥PO，
∴∠PGM+∠GPO＝180°，
则∠PGM+90°﹣∠EOF＝180°，
∴∠PGM﹣∠EOF＝90°．
30．（2025 东城区期末）在四边形ABCD中，BC∥AD，BP平分∠ABC交AD于点P，延长PB，DC交于点O．点E为线段AB上的动点，连接PE，过点P作PF⊥PE交OD于点F．
（1）当点E与点B重合时，
①依题意补全图1；
②若∠ABC＝120°，则∠DPF＝ 　30　 °；
（2）当点E运动到某个位置时，恰好使得PF⊥OD．
①猜想PE与OD的位置关系，并证明；
②BH平分∠ABP交PE于点H．用等式表示∠APB，∠BHE，∠D的数量关系，并证明．
解：（1）①补图如下：
②∵BP平分∠ABC，∠ABC＝120°，
∴，
∵BC∥AD，
∴∠BPD＝180°﹣∠CBP＝180°﹣60°＝120°，
∵PF⊥PE，
∴∠BPF＝90°．
∴∠DPF＝∠BPD﹣∠BPF＝120°﹣90°＝30°，
答案：30；
（2）①PE∥OD．
证明：如图，
∵PF⊥OD，PF⊥PE，
∴∠PFD＝∠EPF＝90°，
∴PE∥OD；
②，
证明：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，BC∥AD，
∴∠APB＝∠CBP，
∴∠ABP＝∠APB，BH平分∠ABP，
∴，
∵PE∥OD，
∴∠APE＝∠D，
∴∠BPH＝∠ABP﹣APE＝∠APB﹣∠D，
∴∠BHE＝∠BPH+∠PBH＝∠APB﹣∠D+2∠APB＝2∠APB﹣∠D．
即．
31．（2025 房山区校级期末）如图，点M是线段AB上一动点，点C是线段AB外一点，连接BC，∠B＝120°．将线段BC沿BA平移得到线段AD，连接DM，CM．
（1）依题意补全图1，并证明：∠CMD＝∠C+∠D；
（2）过点C作直线l∥MD，在直线l上取点N，使∠NDC＝∠CDM．
①如图2，当点N在直线CD上方时，用等式表示∠DNC与∠ADM的数量关系，并证明；
②当点N在直线CD下方时，直接用等式表示出∠DNC与∠ADM的数量关系．
解：（1）补全图如图所示，
作MH∥BC，
∴∠HMC＝∠C，
∵将线段BC沿BA平移得到线段AD，
∴AD∥BC，
∴MH∥AD，
∴∠HMD＝∠D，
∴∠CMD＝∠HMC+∠HMD＝∠C+∠D；
（2）①3∠ADM＝2∠DNC，证明如下：
∵将线段BC沿BA平移得到线段AD，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B＝180°，∠A+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝∠B＝120°，
设∠NDC＝α，
∵，
∴∠CDM＝2α，∠NDM＝∠NDC+∠CDM＝α+2α＝3α，
∴∠ADM＝∠ADC﹣∠CDM＝120°﹣2α，
∵直线l∥MD，
∴∠DNC+∠NDM＝180°，
∴∠DNC＝180°﹣∠NDM＝180°﹣3α，
∵3∠ADM＝360°﹣6α，2∠DNC＝360°﹣6α，
∴3∠ADM＝2∠DNC；
②∠ADM+2∠DNC＝120°，理由如下：
如图，
设∠NDC＝α，
∵，
∴∠CDM＝2α，
∴∠NDM＝∠CDM﹣∠NDC＝2α﹣α＝α，
由①可知，∠ADC＝∠B＝120°，
∴∠ADM＝∠ADC﹣∠CDM＝120°﹣2α，
∵直线l∥MD，
∴∠DNC＝∠NDM＝α，
∴∠ADM＝120°﹣2∠DNC，即∠ADM+2∠DNC＝120°．
32．（2025 门头沟区期末）直线MN与直线AB，CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P．
（1）依题意补全图形；
（2）直接写出EP与FP的位置关系；
（3）EQ，FQ分别平分∠PEF和∠CFN，用等式表示∠AEP与∠EQF的数量关系，并证明．
解：（1）如图，即为所求作；
（2）EP⊥FP，
∵∠1与∠2互补，∠2+∠CFE＝180°，
∴∠1＝∠CFE，
∴AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P．
∴，，
∴，
∴∠EPF＝90°，
即EP⊥FP．
（3）∠AEP＝2∠EQF，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CFE，∠2＝∠AEF，
∵EP平分∠AEF，
∴，
∵EQ，FQ分别平分∠PEF和∠CFN，
∴，，
∴，
∵∠NFQ是△EFQ的外角，
∴，
∴，即∠AEP＝2∠EQF．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑