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第17课时　曲线运动　运动的合成与分解
目标要求　1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
考点一　曲线运动的条件和特征
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
(1)a恒定：匀变速曲线运动；
(2)a变化：非匀变速曲线运动。
3.做曲线运动的条件：
4.速率变化的判断
例1　(来自教材改编)在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁，第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小钢球的运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是(　　)
A.第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动
B.第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其运动轨迹是一条抛物线
C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上
答案　D
解析　第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸引力作用，做直线运动，并且随着两者之间距离的减小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球做非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小钢球的运动不是类平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，选项C错误，D正确。
例2　(2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是(　　)
答案　D
解析　小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，故A、B错误；小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力方向与运动方向的夹角始终为锐角，C错误，D正确。
　速度方向、合力方向与轨迹的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
考点二　运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
3.运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。
4.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
例3　(多选)(2024·安徽卷·9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图甲所示。从t=0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则(　　)
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t=1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C.t=1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2
D.t=2 s时，物块的速度大小为10 m/s
答案　BD
解析　根据题图乙可得F1=4-t(N)，F2=3t(N)，故两力的合力为Fx=4+2t(N)
物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向受到的力Fx在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误；
沿y轴方向物块做匀加速直线运动，加速度为
ay==gsin 30°=5 m/s2
故t=1 s时，物块的y坐标值为
y=ayt2=2.5 m，故B正确；
t=1 s时，Fx=6 N，故ax==5 m/s2
则a==5 m/s2，故C错误；
沿x轴正方向，对物块根据动量定理得
Fxt=mvx-0
由于Fx与时间t成线性关系，故可得
×2=1.2vx
解得vx=10 m/s
此时y轴方向速度大小为
vy=gsin 30°·t=5×2 m/s=10 m/s
故此时物块的速度大小为
v==10 m/s，故D正确。
思考
1.如何判断两个直线运动合运动的性质？
答案　把两个直线运动的初速度和加速度合成，若a合恒定，则为匀变速运动，若a合变化，则为变加速运动，若a合与v0合共线，则为直线运动；若a合与v0合不共线，则为曲线运动。
2.完成下列表格。
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
[变式]　(来自教材改编)(2025·辽宁丹东市二模)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。关于小圆柱体R的运动轨迹可能正确的是(　　)
A.① B.② C.③ D.④
答案　A
解析　小圆柱体R竖直方向做匀速直线运动，沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，合外力沿x轴正方向，小圆柱体做曲线运动，且合外力方向指向曲线的凹侧，故小圆柱体R的运动轨迹只可能是①。故选A。
考点三　小船渡河和关联速度
例4　(多选)(2025·山东威海市检测)如图，小船以大小为5 m/s、船头与上游河岸成θ=60°角的速度v1(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d=180 m，则下列说法中正确的是(　　)
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
答案　BD
解析　如图，河中水流速度为v2=v1cos 60°=2.5 m/s，选项A错误；小船以最短位移渡河的时间为t== s=24 s，选项B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin== s=36 s，选项C错误；小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x=v2tmin=2.5×36 m=90 m，则总位移大小s==90 m，选项D正确。
拓展
1.若船头正对河岸渡河时，河水速度突然增大，渡河时间变化吗？
答案　渡河时间不变，渡河时间与河水速度无关。
2.若在A处下游180 m后为危险水段，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
答案　设船到达对岸时恰好到达危险水域边缘，图示方向船速最小，v1'=v2sin α，tan α==，得α=30°，所以船的最小速度为v1'=v2sin 30°=1.25 m/s。
　小船渡河的两类情况
最短时间 最短航程
v船>v水 v船tmin= lmin=d，cos θ= lmin=d·，cos θ=
例5　(2025·黑吉辽蒙卷·6)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v(　　)
A.一直减小 B.一直增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
答案　B
解析　设两边绳与竖直方向的夹角为θ，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块，将v块沿绳方向和垂直绳方向分解，将v沿绳方向和垂直绳方向分解，可得v块cos θ=vsin θ，解得v=，由于塔块匀速下落时θ在减小，故可知v一直增大。故选B。
例6　(2025·江苏泰州市调研)汽车发动机的曲柄连杆机构其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点沿逆时针方向做匀速圆周运动，速率为12 m/s，OA=15 cm，AB=20 cm。下列说法正确的是(　　)
A.活塞在水平方向上做匀速直线运动
B.当OA竖直时，活塞的速度为8 m/s
C.当OA与AB共线时，活塞的速度为12 m/s
D.当OA与AB垂直时，活塞的速度为15 m/s
答案　D
解析　根据题意，活塞沿水平方向往复运动，则活塞的运动不是匀速直线运动，故A错误；已知A点的线速度大小为vA=12 m/s，当OA竖直时，将A点和活塞的速度沿杆方向和垂直杆方向分解，如图所示
由几何关系可知vAcos θ=v杆1=vB1cos θ，可得vA=vB1=12 m/s，故B错误；当OA和OB共线时，A点在沿杆方向的分速度是0，则活塞的实际速度沿杆也为0，故C错误；当OA与AB垂直时，A点的速度沿杆方向，设AB与OB的夹角为α，有vA=v杆2=vB2cos α，其中cos α===，解得vB2=15 m/s，故D正确。
1.题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2.明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3.解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。
课时精练
[分值：58分]
　[1~6题，每题4分]
1.关于曲线运动，下列说法正确的是(　　)
A.曲线运动一定是匀变速运动
B.物体做曲线运动时，加速度一定不为零
C.物体做曲线运动时，不可能受恒力的作用
D.物体做曲线运动时，加速度方向与速度方向可能在同一直线上
答案　B
解析　曲线运动加速度可以恒定，也可以不恒定，A错误；物体做曲线运动时，速度方向时刻改变，速度的变化量一定不为零，则加速度一定不为零，B正确；物体做曲线运动时，可能受恒力的作用，例如平抛运动，C错误；物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向不在同一直线上，D错误。
2.(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
答案　A
解析　篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故选A。
3.(2025·黑龙江省龙东联盟二模)一支探险队乘坐小木船过一条宽阔的河流。若探险队采用渡河时间最短的方式渡河，小木船相对静水的速度大小不变，越靠近河道中央水流速度越快，则小木船从P到Q渡河的轨迹可能是(　　)
答案　C
解析　由题意可知，小木船船头方向指向正对岸渡河，此时小木船沿船头方向做匀速直线运动，沿水流方向先做加速直线运动，后做减速直线运动，则小木船所受合力方向先水平向右，后水平向左，曲线运动合力方向指向轨迹凹的一侧。故选C。
4.(多选)(2025·云南曲靖市一模)某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是(　　)
A.质点的运动轨迹是直线
B.t=2 s时，质点的合速度方向与水平方向的夹角为45°
C.t=3 s时，质点的合速度大小为 m/s
D.t=4 s时，质点的合位移大小为16 m
答案　BC
解析　由于质点水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，质点合速度方向与合力方向不在同一直线上，质点做曲线运动，A错误；t=2 s时，质点竖直方向上的速度vy=at=2 m/s，质点的合速度方向与水平方向的夹角满足tan θ==1，故质点的合速度方向与水平方向的夹角为45°，B正确；t=3 s时，竖直方向上的速度vy=at=3 m/s，质点合速度的大小为v== m/s，C正确；t=4 s时，质点水平方向位移为x=vxt=8 m，质点竖直方向上的位移y=at2=8 m，故质点的合位移大小为s==8 m，D错误。
5.(2025·湖南卷·2)如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是(　　)
答案　C
解析　根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为v0，加速度大小为a，斜面倾角为θ，物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为v0x=v0cos θ，加速度大小为ax=acos θ，则有-=-2axx，整理可得vx=，可知，vx-x图像为类似抛物线的一部分，故A、B错误；物块在竖直方向上做匀减速直线运动，初速度为v0y=v0sin θ，加速度大小为ay=asin θ，则有-=-2ayy，整理可得vy=，可知，vy-y图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误。
6.(2025·河南信阳市检测)如图所示，半径均为r的两光滑圆柱体A、B叠放在墙角，若用力推动水平地面上的圆柱体A向右运动，圆柱体B会沿竖直墙面向上运动。当圆柱体A的中心轴与竖直墙面的距离为2r时，圆柱体A的速度大小为v，此时圆柱体B的速度大小为(　　)
A.v B.v C.v D.v
答案　D
解析　接触面两侧圆柱体的速度在垂直于接触面的速度分量相等，如图，根据几何关系有vcos 60°=vBcos 30°，解得vB=v，故选D。
　[7~9题，每题6分]
7.(多选)(2025·山东枣庄市检测)如图，光滑水平面上的物体受五个沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做匀速直线运动，速度方向与恒力F5的方向相反，与F1的方向垂直，速度v0方向与恒力F3的方向夹角为α(α<90°)。若撤去其中某个力(其他力不变)，则在以后的运动中，下列说法正确的是(　　)
A.若撤去的是F1，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
B.若撤去的是F2，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
C.若撤去的是F4，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
D.若撤去的是F3，则经过一段时间后物体的最小速率是v0sin α
答案　BD
解析　若撤去的是F1，则其余四个力的合力与F1大小相等，方向相反，即合力与v0方向垂直，故物体沿v0方向做匀速直线运动，垂直v0方向做匀加速直线运动，所以之后物体的速率都比v0大，故A错误；若撤去的是F2，则其余四个力的合力与F2大小相等，方向相反，即合力与v0方向成钝角，所以物体的速率先减小后增大，经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0，故B正确；若撤去的是F4，则其余四个力的合力与F4大小相等，方向相反，即合力与v0方向成锐角，所以之后物体的速率都比v0大，故C错误；若撤去的是F3，则其余四个力的合力与F3大小相等，方向相反，即合力与v0方向成钝角，所以物体的速率先减小后增大，当速度方向与合力方向垂直时，速率最小，为v0沿垂直于合力方向的分速度，则最小速率为v0sin α，故D正确。
8.(2025·湖北省圆创联盟二模)现代航天服自带推力系统，航天员进行太空出舱活动离开飞船，即使没有安全绳，也能通过航天服的自带推力系统喷射气体获得1~4 m/s的反冲速度，使航天员回到飞船。如图所示，某航天员通过航天服的推力系统以v0=3 m/s的初速度平行于舱壁匀速运动。舱门在舱壁上A点，初速度方向上B点离A点最近，A、B两点间距离d=5 m。航天员在平行舱壁匀速运动到某位置再通过航天服的推力系统获得大小为u的反冲速度后，运动位移x回到舱门A点。将航天员视为质点。下列说法正确的是(　　)
A.航天员在B点向下喷气，能到达A点
B.航天员获得反冲速度后最快能1 s回到舱门
C.当反冲速度大小u1=3 m/s时，x的最小值为5 m
D.当反冲速度大小u2=1.5 m/s时，x的最小值为10 m
答案　D
解析　由分析可知航天员在B点向下喷气获得向上的分速度，同时还有平行于舱壁的速度，故合速度方向不沿BA方向，所以不能到达A点，故A错误；回到舱门的时间由垂直舱壁方向的运动决定，设反冲速度方向与初速度方向夹角为α，则回到舱门的时间为t=，所以当u=4 m/s，α=90°时，航天员回到舱门时间最短，最短时间为tmin== s=1.25 s，故B错误；当u1=3 m/s时，由于u1=v0=3 m/s，此时航天员无法垂直舱壁运动到达舱门A点，所以位移最小值应大于d，即x的最小值应大于5 m，故C错误；当u2=1.5 m/s时，由分析可知当v合与u2垂直时，位移x有最小值。如图所示，根据三角函数关系有sin α==，所以位移的最小值为xmin==10 m，故D正确。
9.(2025·湖南长沙市模拟)如图所示为我国空间站利用机械臂转运飞船的示意图，机械臂可近似视为由两根长度分别为l1和l2的轻杆AB和BC以及三个含内置电机的关节组成，机械臂控制飞船、空间站对接的过程中，飞船的中心始终沿空间站的轴线并以恒定的速度v靠近空间站。当两杆与轴线方向的夹角分别为α=75°和β=60°时，AB杆绕A处关节转动的角速度ω为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　沿杆方向的速度大小相等，由几何关系可得vcos β=ωl1sin(π-α-β)，代入数据可得ω=，故选C。
10.(10分)(2025·广东深圳市检测)图(a)是我国传统农具——风鼓车，图(b)是其工作原理示意图，转动摇柄，联动风箱内的风叶，向车斗内送风，入料仓漏口H漏出的谷物经过车斗，质量大于2.0×10-5 kg的谷粒为饱粒，落入第一出料口A1B；质量为1.2×10-5~2.0×10-5 kg的谷粒为瘪粒，落入第二出料口A2B；质量小于1.2×10-5 kg的草屑被吹出出风口。已知A1、B、A2三点在同一水平线上，A1B的宽度为0.12 m；A1在H正下方，A1H的高度为0.4 m；质量为2.0×10-5 kg的谷粒从H漏出，恰好经B点落入A2B，设谷物从H漏出时速度竖直向下，大小为1 m/s；谷粒在车斗内所受水平风力恒定且相等，只考虑其所受重力和水平风力作用，重力加速度g取10 m/s2。
(1)(2分)求谷粒从H落到出料口所经历的时间；
(2)(4分)求谷粒所受水平风力的大小；
(3)(4分)若瘪粒恰好能全部落入A2B，求A2B的宽度。
答案　(1)0.2 s　(2)1.2×10-4 N　(3)0.08 m
解析　(1)谷粒从H落到出料口的过程，竖直方向是初速度为1 m/s的匀加速直线运动，
竖直方向上有h=v0t+gt2，
将h=0.4 m代入可得t=0.2 s
(2)对质量为2.0×10-5 kg的谷粒，从H漏出恰好经B点落入A2B，
水平方向有x1=at2
设风力大小为F，由牛顿第二定律F=ma
将x1=0.12 m、t=0.2 s、m=2.0×10-5 kg代入，联立可解得F=1.2×10-4 N
(3)质量等于1.2×10-5 kg的瘪粒，恰好落到A2点，设A2B宽度为x2，
则有x1+x2=a't2，F=m'a'，
联立可得x2=0.08 m。
　[6分]
11.(2025·浙江湖州市三模)如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑轻质定滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B的质量分别为m和2m，滑块A与细杆间的动摩擦因数为。则(　　)
A.若A做匀速运动，则B也做匀速运动
B.若B做匀速运动，则A做加速运动
C.若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F有最小值
D.若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F一直在增大
答案　D
解析　A、B两滑块速度关系如图甲所示，设细线与细杆间的夹角为θ，由几何关系有vB=vAcos θ，若A做匀速运动，A向右运动的过程中，θ逐渐减小，cos θ逐渐增大，则B的速度逐渐增大；若B做匀速运动，A向右运动的过程中，θ逐渐减小，cos θ逐渐增大，则A的速度逐渐减小，故A、B错误；
滑块A从题图所示(最初是竖直的)位置开始缓慢向右移动至θ=30°过程中，对滑块B有FT=2mg，对滑块A受力分析如图乙所示，可知FTsin θ=2mgsin θ≥mg，则在竖直方向上有FTsin θ=mg+FN，在水平方向有F=μFN+FTcos θ，
联立解得F=2mgcos θ+2μmgsin θ-μmg=2mgcos θ+sin θ)-μmg，假设sin α==，cos α==，解得α=60°，则可求得F=2mgsin(60°+θ)-μmg，滑块A从题图所示位置开始缓慢向右移动至细线与细杆间的夹角为30°的过程中，θ从90°减小至30°，可知F逐渐增大，当θ=30°时，拉力F有最大值Fmax=mg，故C错误，D正确。(共69张PPT)
第四章
曲线运动
考情分析
生活实践类 生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探究类 小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型
试题情境
曲线运动　运动的
合成与分解
第17课时
1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。
2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。
3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
目标要求
考点一　曲线运动的条件和特征
考点二　运动的合成与分解
内容索引
课时精练
考点三　小船渡河和关联速度
曲线运动的条件和特征
考点一
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的　　　　 。
2.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是　　　运动。
(1)a恒定：　　　　　　运动；
(2)a变化：非匀变速曲线运动。
切线方向
变速
匀变速曲线
3.做曲线运动的条件：
4.速率变化的判断
　　　(来自教材改编)在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁，第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小钢球的运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是
A.第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动
B.第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，
　其运动轨迹是一条抛物线
C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方
　向不在同一直线上
√
　　 第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸引力作用，做直线运动，并且随着两者之间距离的减小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球做非匀变速直线运动，选项A错误；
第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小钢球的运动不是类平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；
该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，选项C错误，D正确。
(2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是
√
　　 小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，故A、B错误；
小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力方向与运动方向的夹角始终为锐角，C错误，D正确。
速度方向、合力方向与轨迹的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
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运动的合成与分解
考点二
1.基本概念
(1)运动的合成：已知　　　　求合运动。
(2)运动的分解：已知　　　　求分运动。
2.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循__________
。
3.运动分解的原则
根据运动的　　　　　分解，也可采用正交分解法。
分运动
合运动
平行四边形
定则
实际效果
4.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的　　　相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动　　　　　，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的　　 。
时间
独立进行
效果
　　　(多选)(2024·安徽卷·9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图甲所示。从t=0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t=1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C.t=1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2
D.t=2 s时，物块的速度大小为10 m/s
√
√
　　 根据题图乙可得F1=4-t(N)，F2=3t(N)，故两力的合力为Fx=4+2t(N)
物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向受到的力Fx在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误；
沿y轴方向物块做匀加速直线运动，加速度为
ay==gsin 30°=5 m/s2
故t=1 s时，物块的y坐标值为
y=ayt2=2.5 m，故B正确；
　　 t=1 s时，Fx=6 N，故ax==5 m/s2
则a==5 m/s2，故C错误；
沿x轴正方向，对物块根据动量定理得
Fxt=mvx-0
由于Fx与时间t成线性关系，故可得
×2=1.2vx
解得vx=10 m/s
　　 此时y轴方向速度大小为
vy=gsin 30°·t=5×2 m/s=10 m/s
故此时物块的速度大小为
v==10 m/s，故D正确。
思考
1.如何判断两个直线运动合运动的性质？
答案　把两个直线运动的初速度和加速度合成，若a合恒定，则为匀变速运动，若a合变化，则为变加速运动，若a合与v0合共线，则为直线运动；若a合与v0合不共线，则为曲线运动。
2.完成下列表格。
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 　　　　　运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 　　　　　　运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 　　　　　　运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为_____________
运动
如果v合与a合不共线，为___________运动
匀速直线
匀变速曲线
匀加速直线
匀变速直线
匀变速曲线
[变式]　(来自教材改编)(2025·辽宁丹东市二模)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。关于小圆柱体R的运动
轨迹可能正确的是
A.① B.②
C.③ D.④
√
　　小圆柱体R竖直方向做匀速直线运动，沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，合外力沿x轴正方向，小圆柱体做曲线运动，且合外力方向指向曲线的凹侧，故小圆柱体R的运动轨迹只可能是①。故选A。
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小船渡河和关联速度
考点三
　　　(多选)(2025·山东威海市检测)如图，小船以大小为5 m/s、船头与上游河岸成θ=60°角的速度v1(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d=180 m，则下列说法中正确的是
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
√
√
　　如图，河中水流速度为v2=v1cos 60°=2.5 m/s，选项A错误；
小船以最短位移渡河的时间为t== s=24 s，
选项B正确；
当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin=
= s=36 s，选项C错误；
小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x=v2tmin=2.5×
36 m=90 m，则总位移大小s==90 m，选项D正确。
拓展
1.若船头正对河岸渡河时，河水速度突然增大，渡河时间变化吗？
答案　渡河时间不变，渡河时间与河水速度无关。
2.若在A处下游180 m后为危险水段，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
答案　设船到达对岸时恰好到达危险水域边缘，图示方
向船速最小，v1'=v2sin α，tan α==，得α=30°，所以
船的最小速度为v1'=v2sin 30°=1.25 m/s。
小船渡河的两类情况
最短时间 最短航程 v船>v水 v船
tmin= lmin=d，cos θ= lmin=d·，cos θ=
(2025·黑吉辽蒙卷·6)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v
A.一直减小 B.一直增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
√
　　 设两边绳与竖直方向的夹角为θ，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块，将v块沿绳方向和垂直绳方向分解，将v沿绳方向和垂直绳方向分解，可得v块cos θ=vsin θ，解
得v=，由于塔块匀速下落时θ在减小，故可知v一直增
大。故选B。
　　　(2025·江苏泰州市调研)汽车发动机的曲柄连杆机构其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点沿逆时针方向做匀速圆周运动，速率为12 m/s，OA=15 cm，AB=20 cm。下列说法正确的是
A.活塞在水平方向上做匀速直线运动
B.当OA竖直时，活塞的速度为8 m/s
C.当OA与AB共线时，活塞的速度为12 m/s
D.当OA与AB垂直时，活塞的速度为15 m/s
√
　　 根据题意，活塞沿水平方向往复运动，则活塞的运动不是匀速直线运动，故A错误；
已知A点的线速度大小为vA=12 m/s，当OA竖直时，将A点和活塞的速度沿杆方向和垂直杆方向分解，如图所示
由几何关系可知vAcos θ=v杆1=vB1cos θ，可得vA=vB1=12 m/s，故B错误；
　　当OA和OB共线时，A点在沿杆方向的分速度是0，则活塞的实际速度沿杆也为0，故C错误；
当OA与AB垂直时，A点的速度沿杆方向，设AB与OB的夹角为α，有vA= v杆2=vB2cos α，其中cos α===，解得vB2=15 m/s，故D正确。
1.题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2.明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3.解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C BC C D BD D
题号 9 10 11
答案 C (1)0.2 s　(2)1.2×10-4 N　(3)0.08 m D
答案
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1.关于曲线运动，下列说法正确的是
A.曲线运动一定是匀变速运动
B.物体做曲线运动时，加速度一定不为零
C.物体做曲线运动时，不可能受恒力的作用
D.物体做曲线运动时，加速度方向与速度方向可能在同一直线上
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答案
基础落实练
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答案
　　　曲线运动加速度可以恒定，也可以不恒定，A错误；
物体做曲线运动时，速度方向时刻改变，速度的变化量一定不为零，则加速度一定不为零，B正确；
物体做曲线运动时，可能受恒力的作用，例如平抛运动，C错误；
物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向不在同一直线上，D错误。
2.(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是
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答案
　　篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故选A。
√
3.(2025·黑龙江省龙东联盟二模)一支探险队乘坐小木船过一条宽阔的河流。若探险队采用渡河时间最短的方式渡河，小木船相对静水的速度大小不变，越靠近河道中央水流速度越快，则小木船从P到Q渡河的轨迹可能是
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答案
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答案
　　　由题意可知，小木船船头方向指向正对岸渡河，此时小木船沿船头方向做匀速直线运动，沿水流方向先做加速直线运动，后做减速直线运动，则小木船所受合力方向先水平向右，后水平向左，曲线运动合力方向指向轨迹凹的一侧。故选C。
4.(多选)(2025·云南曲靖市一模)某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是
A.质点的运动轨迹是直线
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答案
B.t=2 s时，质点的合速度方向与水平
　方向的夹角为45°
C.t=3 s时，质点的合速度大小为 m/s
D.t=4 s时，质点的合位移大小为16 m
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答案
　　　由于质点水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，质点合速度方向与合力方向不在同一直线上，质点做曲线运动，A错误；
t=2 s时，质点竖直方向上的速度vy=at=2 m/s，质点的合速度方向与水平方向的
夹角满足tan θ==1，故质点的合速度方向与水平方向的夹角为45°，B正确；
t=3 s时，竖直方向上的速度vy=at=3 m/s，质点合速度的大小为v==
m/s，C正确；
t=4 s时，质点水平方向位移为x=vxt=8 m，质点竖直方向上的位移y=at2=8 m，
故质点的合位移大小为s==8 m，D错误。
5.(2025·湖南卷·2)如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是
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答案
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答案
　　 根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为v0，加速度大小为a，斜面倾角为θ，物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为v0x=v0cos θ，加速度大小为ax=acos θ，则有-=-2axx，整理可得vx=，可知，vx-x图像为类似抛物线的一部分，故A、B错误；
物块在竖直方向上做匀减速直线运动，初速度为v0y=v0sin θ，加速度大小为ay=asin θ，则有-=-2ayy，整理可得vy=，可知，vy-y图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误。
6.(2025·河南信阳市检测)如图所示，半径均为r的两光滑圆柱体A、B叠放在墙角，若用力推动水平地面上的圆柱体A向右运动，圆柱体B会沿竖直墙面向上运动。当圆柱体A的中心轴与竖直墙面的距离为2r时，圆柱体A的速度大小为v，此时圆柱体B的速度大小为
A.v B.v
C.v D.v
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答案
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答案
　　　接触面两侧圆柱体的速度在垂直于接触面的速度分量相等，如图，根据几何关系有vcos 60°=vBcos 30°，解得vB=v，故选D。
7.(多选)(2025·山东枣庄市检测)如图，光滑水平面上的物体受五个沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做匀速直线运动，速度方向与恒力F5的方向相反，与F1的方向垂直，速度v0方向与恒力F3的方向夹角为α(α<90°)。若撤去其中某个力(其他力不变)，则在以后的运动中，下列说法正确的是
A.若撤去的是F1，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
B.若撤去的是F2，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
C.若撤去的是F4，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
D.若撤去的是F3，则经过一段时间后物体的最小速率是v0sin α
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能力综合练
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答案
　　　若撤去的是F1，则其余四个力的合力与F1大小相等，方向相反，即合力与v0方向垂直，故物体沿v0方向做匀速直线运动，垂直v0方向做匀加速直线运动，所以之后物体的速率都比v0大，故A错误；
若撤去的是F2，则其余四个力的合力与F2大小相等，方向相反，即合力与v0方向成钝角，所以物体的速率先减小后增大，经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0，故B正确；
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答案
　　　若撤去的是F4，则其余四个力的合力与F4大小相等，方向相反，即合力与v0方向成锐角，所以之后物体的速率都比v0大，故C错误；
若撤去的是F3，则其余四个力的合力与F3大小相等，方向相反，即合力与v0方向成钝角，所以物体的速率先减小后增大，当速度方向与合力方向垂直时，速率最小，为v0沿垂直于合力方向的分速度，则最小速率为v0sin α，故D正确。
8.(2025·湖北省圆创联盟二模)现代航天服自带推力系统，航天员进行太空出舱活动离开飞船，即使没有安全绳，也能通过航天服的自带推力系统喷射气体获得1~4 m/s的反冲速度，使航天员回到飞船。如图所示，某航天员通过航天服的推力系统以v0=3 m/s的初速度平行于舱壁匀速运动。舱门在舱壁上A点，初速度方向上B点离A点最近，A、B两点间距离d=5 m。航天员在平行舱壁匀速运动到某位置再通过航天服的推力系统获得大小为u的反冲速度后，运动位移x回到舱门A点。将航天员视为质点。
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答案
下列说法正确的是
A.航天员在B点向下喷气，能到达A点
B.航天员获得反冲速度后最快能1 s回到舱门
C.当反冲速度大小u1=3 m/s时，x的最小值为5 m
D.当反冲速度大小u2=1.5 m/s时，x的最小值为10 m
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答案
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答案
　　　由分析可知航天员在B点向下喷气获得向上的分速度，同时还有平行于舱壁的速度，故合速度方向不沿BA方向，所以不能到达A点，故A错误；
回到舱门的时间由垂直舱壁方向的运动决定，设反冲速度方向与初速度
方向夹角为α，则回到舱门的时间为t=，所以当u=4 m/s，α=90°时，航天员回到舱门时间最短，最短时间为tmin== s=1.25 s，故B错误；
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答案
　　　当u1=3 m/s时，由于u1=v0=3 m/s，此时航天员无法垂直舱壁运动到达舱门A点，所以位移最小值应大于d，即x的最小值应大于5 m，故C错误；
当u2=1.5 m/s时，由分析可知当v合与u2垂直时，位移x有最小值。如图所
示，根据三角函数关系有sin α==，所以位移的最小
值为xmin==10 m，故D正确。
9.(2025·湖南长沙市模拟)如图所示为我国空间站利用机械臂转运飞船的示意图，机械臂可近似视为由两根长度分别为l1和l2的轻杆AB和BC以及三个含内置电机的关节组成，机械臂控制飞船、空间站对接的过程中，飞船的中心始终沿空间站的轴线并以恒定的速度v靠近空间站。当两杆与轴线方向的夹角分别为α=75°和β=60°时，AB杆绕A处关节转动的角速度ω为
A. B.
C. D.
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答案
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答案
　　　沿杆方向的速度大小相等，由几何关系可得vcos β=ωl1sin(π-α-β)，
代入数据可得ω=，故选C。
10.(2025·广东深圳市检测)图(a)是我国传统农具——风鼓车，图(b)是其工作原理示意图，转动摇柄，联动风箱内的风叶，向车斗内送风，入料仓漏口H漏出的谷物经过车斗，质量大于2.0×10-5 kg的谷粒为饱粒，落入第一出料口A1B；质量为1.2×10-5~2.0×10-5 kg的谷粒为瘪粒，落入第二出料口A2B；质量小于1.2×10-5 kg的草屑被吹出出风口。已知A1、B、A2三点在同一水平线上，A1B的宽度为0.12 m；A1在H正下方，A1H的高度为0.4 m；质量为2.0×10-5 kg的谷粒从H漏出，恰好经B点落入A2B，设谷物从H漏出时速度竖直向下，大小为1 m/s；
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答案
谷粒在车斗内所受水平风力恒定且相等，只考虑其所受重力和水平风力作用，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求谷粒从H落到出料口所经历的时间；
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答案
答案　0.2 s
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答案
　　　谷粒从H落到出料口的过程，竖直方向是初速度为1 m/s的匀加速直线运动，
竖直方向上有h=v0t+gt2，
将h=0.4 m代入可得t=0.2 s
(2)求谷粒所受水平风力的大小；
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答案
答案　1.2×10-4 N
　　　对质量为2.0×10-5 kg的谷粒，从H漏出恰好经B点落入A2B，
水平方向有x1=at2
设风力大小为F，由牛顿第二定律F=ma
将x1=0.12 m、t=0.2 s、m=2.0×10-5 kg代入，联立可解得F=1.2×10-4 N
(3)若瘪粒恰好能全部落入A2B，求A2B的宽度。
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答案
答案　0.08 m
　　　质量等于1.2×10-5 kg的瘪粒，恰好落到A2点，设A2B宽度为x2，
则有x1+x2=a't2，F=m'a'，
联立可得x2=0.08 m。
11.(2025·浙江湖州市三模)如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑轻质定滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B的质量分别
为m和2m，滑块A与细杆间的动摩擦因数为。则
A.若A做匀速运动，则B也做匀速运动
B.若B做匀速运动，则A做加速运动
C.若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F有最小值
D.若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F一直在增大
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尖子生选练
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答案
　　　A、B两滑块速度关系如图甲所示，设细线与细杆间的夹角为θ，由几何关系有vB=vAcos θ，若A做匀速运动，A向右运动的过程中，θ逐渐减小，cos θ逐渐增大，则B的速度逐渐增大；若B做匀速运动，A向右运动的过
程中，θ逐渐减小，cos θ逐渐增大，则A的速度逐渐减小，故A、B错误；
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答案
　　 滑块A从题图所示(最初是竖直的)位置开始缓慢向右移动至θ=30°过程中，对滑块B有FT=2mg，对滑块A受力分析如图乙所示，可知FTsin θ=2mgsin θ≥mg，则在竖直方向上有FTsin θ=mg+FN，在水平方向有F=μFN+FTcos θ，
联立解得F=2mgcos θ+2μmgsin θ-μmg=2mgcos θ+sin θ)-μmg，假设sin α==，cos α==，解得α=60°，则可求得F=2mgsin(60°
+θ)-μmg，滑块A从题图所示位置开始缓慢向右移动至细线与细杆间的夹角为30°的过程中，θ从90°减小至30°，可知F逐渐增大，当θ=30°时，拉力F有最大值Fmax=mg，故C错误，D正确。
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本课结束
THANKS
第四章

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