资源简介

第18课时　抛体运动的规律及应用
目标要求　1.掌握平抛运动的规律，会分析解决生活中的平抛运动问题。2.会处理平抛运动中的临界、极值问题。3.学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。
考点一　平抛运动
1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.研究方法：化曲为直
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动。
4.规律
(1)基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。
(2)四个基本特点
飞行 时间 由t=知，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平 射程 x=v0t=v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地 速度 v==，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度 变化量 任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv=gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。 注意：平抛运动中任意相等时间间隔Δt内的速率变化量一定不相等
(3)两个推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ=2tan α。
例1　(2025·云南卷·3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A.两颗鸟食同时抛出
B.在N点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
答案　D
解析　鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有h=gt2，由于hM例2　(2025·江西卷·4)如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率v1(未知)水平向右抛球，小孩以速率v2水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为l时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则v1为(　　)
A.l-v2 B.l-v2
C.l-v2 D.l-v2
答案　B
解析　若小孩能接到球，则有H-h=gt2，l=v1t+v2t，联立解得v1=l-v2，故选B。
例3　(2025·四川南充市检测)如图，窗子上、下边沿间的高度H=1.6 m，墙的厚度d=0.4 m，某人在离墙壁距离L=1.4 m、距窗子上沿h=0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2。则v的取值范围是(　　)
A.3 m/sB.2.3 m/sC.v>7 m/s
D.v<2.3 m/s
答案　A
解析　小物件做平抛运动，恰好擦着窗口上沿右侧穿过时v最大，此时水平方向L=vmaxt，竖直方向h=gt2，解得vmax=7 m/s，小物件恰好擦着窗口下沿左侧穿出时速度v最小，则有水平方向L+d=vmint'，竖直方向H+h=gt'2，解得vmin=3 m/s，故v的取值范围是3 m/s　求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)确定临界状态，若有必要，画出临界轨迹。
(2)找出临界状态对应的临界条件。
(3)根据平抛运动的规律列方程求解。
例4　某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型固定到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略摩擦力和空气阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为(　　)
A.0 B.0.1 m C.0.2 m D.0.3 m
答案　C
解析　小球从最高点到右端出口，根据机械能守恒定律，有mg(H-h)=mv2，从右端出口飞出后，小球做平抛运动，有x=vt，h=gt2，联立解得x=2，根据数学知识可知，当H-h=h时，x最大，即h=1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh=1 m-0.8 m=0.2 m，故C正确。
　处理平抛运动的极值问题的关键
此类问题通常为位置关系的限制或速度关系的限制，可利用平抛运动规律列出水平方向与竖直方向的方程，若有必要，可结合功能关系等知识列出方程，得出相关函数关系式，利用数学方法得出最大值或最小值。
考点二　斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4.基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)初速度可以分解为v0x=v0cos θ，v0y=v0sin θ
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x=v0xt=(v0cos θ)t，vx=v0x=v0cos θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y=v0yt-gt2=(v0sin θ)t-gt2
vy=v0y-gt=v0sin θ-gt
(2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时
①射高：h==。
②斜抛运动的飞行时间：t==。
③射程：s=v0cos θ·t==，
对于给定的v0，当θ=45°时，射程达到最大值，smax=。
5.逆向思维法的应用
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
例5　(2026·山东泰安市新泰中学检测)铅球运动员为了寻求最佳效果，训练时会尝试用不同质量的铅球分别以不同夹角抛球。如图，在某次训练中运动员将质量m=6 kg的铅球斜向上抛出，铅球离开手的瞬间速度大小v0=10 m/s，方向与水平方向夹角θ=37°，铅球离开手时离水平地面的高度h=2.25 m。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，不计空气阻力。求：
(1)铅球离开手瞬间的水平分速度大小v0x和竖直分速度大小v0y；
(2)铅球上升到最高点的时间t和离地面的最大高度H；
(3)运动员抛出的铅球飞出的水平距离。
答案　(1)8 m/s　6 m/s　(2)0.6 s　4.05 m　(3)12 m
解析　(1)初速度v0的水平分速度大小
v0x=v0cos 37°=8 m/s
初速度v0的竖直分速度大小
v0y=v0sin 37°=6 m/s
(2)由逆向思维，铅球上升到最高点的过程的逆过程为平抛运动，由平抛运动竖直方向速度与时间的关系可得铅球上升到最高点的时间t==0.6 s，
设铅球抛出点到最高点的高度为h1，则根据竖直方向的运动有h1=
则铅球离地的最大高度H=h+h1=4.05 m。
(3)方法一　设铅球从最高点到落地的时间为t'
有H=gt'2
解得t'=0.9 s
铅球飞行总时间t总=t+t'=1.5 s
铅球的水平位移x=v0x·t总=12 m
方法二　选向上为正方向，铅球从离开手到落地的竖直位移为-h
有-h=v0yt总-g
解得t总=1.5 s
铅球的水平位移x=v0xt总=12 m。
例6　(多选)(2022·山东卷·11)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为(　　)
A.v=5 m/s B.v=3 m/s
C.d=3.6 m D.d=3.9 m
答案　BD
解析　根据运动情景，以击球点为坐标原点，以平行于墙面方向、垂直于墙面方向和竖直方向建立三维直角坐标系，如图所示。结合题中条件有：
z轴方向：
z=H-y=7.2 m，az=-g(方向竖直向下)
v0z==12 m/s
上升时间t==1.2 s
y轴方向：
y=4.8 m，ay=0，
碰前：v0y==4 m/s
碰后：v0y'=0.75v0y=3 m/s
x轴方向：
ax=0，v0x=v0x'==3 m/s
故碰撞后的网球速度v==3 m/s
落地过程中，分别在z轴和y轴方向研究：
z轴：t'==1.3 s
y轴：着地点到墙壁的距离d=v0y't'=3.9 m，故选B、D。
　分析空间中的抛体运动的思路
(1)明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓；
(2)以抛出点为坐标原点，根据运动情景建立三维直角坐标系；
(3)确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质；
(4)依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、加速度大小；
(5)利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。
课时精练
[分值：60分]
　[1~5题，每题4分]
1.(多选)如图，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则(　　)
A.a的飞行时间比b长
B.b和c的飞行时间相等
C.a的水平速度比b的小
D.b的初速度比c的大
答案　BD
解析　平抛运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，因y=gt2，yaxb>xc，tavb>vc，C错误，D正确。
2.(2025·浙江6月选考·3)如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，重力加速度为g，则(　　)
A.钢球平抛初速度为x
B.钢球在空中飞行时间为
C.增大h，钢球撞击木板的速度方向不变
D.减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变
答案　B
解析　根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为t=，钢球平抛初速度为v0==x，A错误，B正确；钢球撞击木板时，速度方向与水平方向的夹角满足tan θ==，增大h，钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，C错误；根据x=v0可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x减小，D错误。
3.(2025·云南普洱市联考)如图，在排球训练中，排球以速度v0被水平击出，做平抛运动。A、B为排球运动轨迹上的两点，速度方向与水平方向的夹角分别为30°、45°。重力加速度大小为g，排球看作质点，不计空气阻力，则排球从A点运动到B点的时间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　排球在A点的竖直速度vAy=v0tan 30°，在B点的竖直速度vBy=v0tan 45°，vBy=vAy+gt，解得t=，故选D。
4.(2025·四川宜宾市三模)消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则(　　)
A.甲、乙水枪喷出的水初速度相等
B.乙水枪喷出的水初速度较大
C.乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长
D.甲水枪喷出的水在最高点的速度较大
答案　B
解析　设水枪喷出水的初速度v0与水平方向夹角为θ，到达最高点过程，竖直方向做竖直上抛运动，利用逆向思维有(v0sin θ)2=2gh，解得v0=，根据题图可知，竖直方向高度相等，甲喷出的水初速度与水平方向夹角较大，则乙水枪喷出的水初速度较大，故A错误，B正确；根据题图可知，甲、乙水枪喷出的水上升和下降的高度都相等，利用逆向思维可知，甲、乙水枪喷出的水在空中运动的时间相等，故C错误；斜抛运动水平方向做匀速直线运动，则水在最高点的速度vx=v0cos θ，结合上述可知，甲水枪喷的水的初速度小于乙水枪喷的水的初速度，甲喷出水的初速度与水平方向夹角较大，则甲水枪喷出的水在最高点的速度较小，故D错误。
5.(2025·陕西渭南市一模)在一次网球比赛中，某同学接住对方网球后从A点水平击出，网球恰好通过球网上端B点，最终落在水平地面上的C点。已知A、C两点与B点之间的水平距离相等，球网高度h为0.9 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则A点高度为(　　)
A.1.2 m B.1.5 m
C.1.7 m D.2.0 m
答案　A
解析　由于A、C两点与B点之间的水平距离相等，故这两段运动时间相等。网球在竖直方向上做自由落体运动，则=，解得A点高度为H==×0.9 m=1.2 m，故选A。
　[6~9题，每题6分]
6.(2025·湖北武汉市模拟)如图所示，长为L的水平板AB的B端固定在竖直墙面上，板离水平地面高为2L，某人在离地面高为0.5L、离墙面的距离为1.5L的C点斜向上抛出一个小球(大小忽略不计)，小球恰好经过板的边缘A落在板的B端，不计空气阻力，则小球在空中运动过程中的最高点离AB板的高度为(　　)
A.L B.L
C.L D.L
答案　C
解析　小球做斜抛运动，其逆过程可视为平抛运动，设小球运动到最高点时的速度大小为v0，最高点离板的高度为h，从A点到最高点：L=v0t1，h=g，从C点到最高点：h+L=g，L=v0t2，联立解得h=，故选C。
7.(2025·湖北卷·6)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tan θ的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设网球离开球拍瞬间的速度大小为v0，球网高度为h，则网球两次运动过程沿水平方向均做匀速直线运动，有L=v0cos θ·t，斜向上将球击出后，沿竖直方向有h-=v0sin θ·t-gt2，斜向下将球击出后，沿竖直方向有L-h=v0sin θ·t+gt2，解得tan θ=，故选C。
8.(2025·湖北襄阳市三模)如图所示，将小球甲、乙先后水平抛出，小球甲、乙将会在空中的P点相遇，相遇时两小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的抛出点到水平地面的高度h1比小球乙的抛出点到水平地面的高度h2大，小球甲、乙的抛出点水平距离为L=25 m，小球甲、乙抛出时的速度大小均为v0=10 m/s。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是(　　)
A.小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为1.25 s
B.小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同
C.小球甲在相遇前运动的时间为t1=0.5 s
D.小球甲、乙抛出点的高度差Δh=18.75 m
答案　D
解析　设小球甲、乙从抛出到相遇运动的时间分别为t1、t2，两球在P点相遇，则在水平方向上有L=v0t1+v0t2，代入数据解得t1+t2=2.5 s，故A错误；由题知，在相遇时两小球的速度方向相互垂直，设小球甲落在P点时速度与竖直方向的夹角为θ，如图所示。由图根据几何关系可得tan θ==，可得t1t2=1 s，又t1+t2=2.5 s，且甲球下落的高度更高，则有t1>t2，联立解得t1=2 s，t2=0.5 s，小球甲、乙在相遇时速度偏转角不相同，故B、C错误；根据题意，可得小球甲、乙抛出点的高度差Δh=g(-)=18.75 m，故D正确。
9.(2025·河南郑州市三模)如图甲，某景观喷泉正以喷头为中心，在同一竖直面内向各个方向以相同大小的初速度将水喷出，落到水平湖面上，空气阻力忽略不计。以喷头为坐标原点O，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，如图乙所示。已知图乙中实曲线为部分水流的轨迹，虚曲线为水流的包络线(与所有水流的轨迹均相切的曲线)，虚曲线的方程为y=-x2+(m)。重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A.水喷出时速度大小为3 m/s
B.水喷出后在空中飞行的最长时间为0.3 s
C.水流飞行的最大水平位移为0.45 m
D.水平位移最大的水流在空中的时间为 s
答案　D
解析　由题可知，当x=0时，则有y= m，此时水流喷出时的速度竖直向上，结合竖直上抛运动规律y=，联立解得v0==3 m/s，A错误；此种情况下水在空中飞行时间最长，根据y=gt2，可知竖直向上喷出的水流向上运动的时间t上==0.3 s，根据对称性可得，水喷出后在空中飞行的最长时间为tm=2t上=0.6 s，B错误；当y=0时，水平位移最大，则-x2+(m)=0，解得x=0.9 m，C错误；设水流喷出时，速度方向与水平方向的夹角为θ，根据运动的分解可得水平位移x=v0cos θ·T，竖直方向上则有t=，根据运动的对称性可得T=2t=，联立可得x=sin 2θ，由数学知识可知，当θ=45°时水平位移最大，故水平位移最大的水流在空中的时间为T=2t== s，D正确。
10.(10分)(2026·新疆大联考一模)投掷垒球是一种常见的体育活动，投掷成绩以落点到投掷点的水平距离为准。某同学在练习投掷垒球时，想比较一下垒球平抛和以倾角为45°斜抛两种情况下的成绩。已知在这两种情况下垒球离手时距离地面的高度均为h，初速度大小均为v0=12 m/s。垒球离手处即为投掷点，其中以45°斜抛时的投掷成绩为x1=30.72 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，取=1.414。求：
(1)(3分)垒球离手时距离地面的高度h；
(2)(3分)斜抛情况下垒球落地时速度与水平方向夹角的正切值(结果保留两位小数)；
(3)(4分)平抛情况下垒球的投掷成绩x2(结果保留两位小数)。
答案　(1)2.048 m　(2)1.13　(3)10.86 m
解析　(1)以45°斜抛时的初速度大小为v0=12 m/s，
水平初速度为vx=v0cos 45°=12 m/s
竖直初速度为v0y=v0sin 45°=12 m/s
水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，则水平方向有x1=vxt1
解得垒球运动时间为t1=2.56 s
以竖直向下为正方向，竖直方向有h=-v0yt1+g
解得垒球离手时距离地面的高度h=2.048 m
(2)斜抛情况下垒球落地时速度的竖直分量为vy=-v0y+gt1=13.6 m/s
落地时速度与水平方向夹角的正切值tan θ==≈1.13
(3)平抛情况下，竖直方向有h=gt2
可知平抛的运动时间为t=0.64 s
则x2=v0t=12×0.64 m=12×1.414×0.64 m≈10.86 m。
　[6分]
11.(多选)如图所示，一宽阔的斜面体，倾角θ=30°，高为h，上表面ADBC为光滑正方形。现有一小球甲在斜面顶端A处沿斜面以水平速度v1射出，从斜面B处离开。另有一小球乙从A点以水平速度v2射出(图中未画出)，从空中恰好击中B处，途中未与斜面接触。不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两小球初速度大小之比v1∶v2=1∶2
B.甲、乙两小球初速度大小之比v1∶v2=1∶
C.两小球初速度之间的夹角的正弦值为
D.两小球初速度之间的夹角的正弦值为
答案　BD
解析　对甲球，受到重力和支持力两个力的作用，合力沿斜面向下，与初速度垂直，小球做类平抛运动，所受合力为重力沿斜面向下的分力，根据牛顿第二定律得mgsin θ=ma，解得a=gsin θ
根据类平抛运动规律可知到达B点时，有
y1==gsin θ·
x1=v1t1
对乙球，有
y2=h=g，x2=v2t2
又根据几何关系有
=+()2，x1=y1
联立解得v1∶v2=1∶，故A错误，B正确；
甲、乙两小球初速度之间的夹角的正弦值为
sin α==，故C错误，D正确。(共63张PPT)
第四章
曲线运动
抛体运动的规律及应用
第18课时
1.掌握平抛运动的规律，会分析解决生活中的平抛运动问题。
2.会处理平抛运动中的临界、极值问题。
3.学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。
目标要求
课时精练
考点一　平抛运动
考点二　斜抛运动
内容索引
平抛运动
考点一
1.定义：将物体以一定的初速度沿　　　方向抛出，物体只在　　　作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g的　　　 曲线运动，运动轨迹是　　 　 。
3.研究方法：化曲为直
(1)水平方向：　　　　　运动；
(2)竖直方向：　　　　　运动。
水平
重力
匀变速
抛物线
匀速直线
自由落体
4.规律
(1)基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。
(2)四个基本特点
飞行 时间 由t=知，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平 射程 x=v0t=v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与
其他因素无关
落地 速度 v==，落地速度也只与初速度v0和下落高
度h有关
速度 变化量 任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv=gΔt
相同，方向恒为竖直向下，如图所示。
注意：平抛运动中任意相等时间间隔Δt内的
速率变化量一定不相等
(3)两个推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ=2tan α。
　　　(2025·云南卷·3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则
A.两颗鸟食同时抛出
B.在N点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
√
　　 鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有h=gt2，由于hM在水平方向有x=v0t=v0，过M点作一水平面，如图所
示。可看出在相同高度处，在M点接到的鸟食水平位
移大，则在M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错
误，D正确。
(2025·江西卷·4)如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率v1(未知)水平向右抛球，小孩以速率v2水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为l时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则v1为
A.l-v2 B.l-v2
C.l-v2 D.l-v2
√
　　 若小孩能接到球，则有H-h=gt2，l=v1t+v2t，联立解得v1=l-v2，故选B。
　　　(2025·四川南充市检测)如图，窗子上、下边沿间的高度H=1.6 m，墙的厚度d=0.4 m，某人在离墙壁距离L=1.4 m、距窗子上沿h=0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2。则v的取值范围是
A.3 m/sB.2.3 m/sC.v>7 m/s
D.v<2.3 m/s
√
　　 小物件做平抛运动，恰好擦着窗口上沿右侧穿过时v最大，此时水平方向L=vmaxt，竖直方向h=gt2，解得vmax=7 m/s，小物件恰好擦着窗口下沿左侧穿出时速度v最小，则有水平方向L+d=vmint'，竖直方向H+h=gt'2，解得vmin=3 m/s，故v的取值范围是3 m/s求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)确定临界状态，若有必要，画出临界轨迹。
(2)找出临界状态对应的临界条件。
(3)根据平抛运动的规律列方程求解。
　　　某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型固定到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略摩擦力和空气阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为
A.0 B.0.1 m
C.0.2 m D.0.3 m
√
　　 小球从最高点到右端出口，根据机械能守恒定律，有mg(H-h)=mv2，从右端出口飞出后，小球做平抛运动，有x=vt，h=gt2，联立解得x=
2，根据数学知识可知，当H-h=h时，x最大，即h=1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh=1 m-0.8 m=0.2 m，故C正确。
处理平抛运动的极值问题的关键
此类问题通常为位置关系的限制或速度关系的限制，可利用平抛运动规律列出水平方向与竖直方向的方程，若有必要，可结合功能关系等知识列出方程，得出相关函数关系式，利用数学方法得出最大值或最小值。
返回
斜抛运动
考点二
1.定义：将物体以初速度v0　　　　　或斜向下方抛出，物体只在_____
作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的　　　 曲线运动，运动轨迹是 　　　。
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：　　　直线运动；
(2)竖直方向：　　　　直线运动。
斜向上方
重力
匀变速
抛物线
匀速
匀变速
4.基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)初速度可以分解为v0x=　　　　，v0y=_______
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x=v0xt=(v0cos θ)t，vx=v0x=v0cos θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y=v0yt-gt2=(v0sin θ)t-gt2
vy=v0y-gt=v0sin θ-gt
v0cos θ
v0sin θ
(2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时
①射高：h==________。
②斜抛运动的飞行时间：t==_______。
③射程：s=v0cos θ·t==________，
对于给定的v0，当θ=45°时，射程达到最大值，smax=____。
5.逆向思维法的应用
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
　　　(2026·山东泰安市新泰中学检测)铅球运动员为了寻求最佳效果，训练时会尝试用不同质量的铅球分别以不同夹角抛球。如图，在某次训练中运动员将质量m=6 kg的铅球斜向上抛出，铅球离开手的瞬间速度大小v0=10 m/s，方向与水平方向夹角θ=37°，铅球离开手时离水平地面的高度h=2.25 m。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，不计空气阻力。求：
(1)铅球离开手瞬间的水平分速度大小v0x和竖直分速度大小v0y；
答案　8 m/s　6 m/s
　　初速度v0的水平分速度大小
v0x=v0cos 37°=8 m/s
初速度v0的竖直分速度大小
v0y=v0sin 37°=6 m/s
(2)铅球上升到最高点的时间t和离地面的最大高度H；
答案　0.6 s　4.05 m
　　 由逆向思维，铅球上升到最高点的过程的逆过程为平抛运动，由平
抛运动竖直方向速度与时间的关系可得铅球上升到最高点的时间t==
0.6 s，
设铅球抛出点到最高点的高度为h1，则根据竖直方向的运动有h1=
则铅球离地的最大高度H=h+h1=4.05 m。
(3)运动员抛出的铅球飞出的水平距离。
答案　12 m
　　方法一　设铅球从最高点到落地的时间为t'
有H=gt'2
解得t'=0.9 s
铅球飞行总时间t总=t+t'=1.5 s
铅球的水平位移x=v0x·t总=12 m
方法二　选向上为正方向，铅球从离开手到落地的竖直位移为-h
有-h=v0yt总-g
解得t总=1.5 s
铅球的水平位移x=v0xt总=12 m。
(多选)(2022·山东卷·11)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为
A.v=5 m/s B.v=3 m/s
C.d=3.6 m D.d=3.9 m
√
√
　　根据运动情景，以击球点为坐标原点，以平行于墙面方向、垂直于墙面方向和竖直方向建立三维直角坐标系，如图所示。结合题中条件有：
z轴方向：
z=H-y=7.2 m，az=-g(方向竖直向下)
v0z==12 m/s
上升时间t==1.2 s
y轴方向：
y=4.8 m，ay=0，
碰前：v0y==4 m/s
　　碰后：v0y'=0.75v0y=3 m/s
x轴方向：
ax=0，v0x=v0x'==3 m/s
故碰撞后的网球速度v==3 m/s
落地过程中，分别在z轴和y轴方向研究：
z轴：t'==1.3 s
y轴：着地点到墙壁的距离d=v0y't'=3.9 m，故选B、D。
分析空间中的抛体运动的思路
(1)明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓；
(2)以抛出点为坐标原点，根据运动情景建立三维直角坐标系；
(3)确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质；
(4)依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、加速度大小；
(5)利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。
返回
课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 BD B D B A C C D
题号 9 10 11
答案 D (1)2.048 m　(2)1.13　(3)10.86 m BD
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1.(多选)如图，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则
A.a的飞行时间比b长
B.b和c的飞行时间相等
C.a的水平速度比b的小
D.b的初速度比c的大
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
基础落实练
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　平抛运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，因y=gt2，ya因x=vt，xa>xb>xc，tavb>vc，C错误，D正确。
2.(2025·浙江6月选考·3)如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，重力加速度为g，则
A.钢球平抛初速度为x
B.钢球在空中飞行时间为
C.增大h，钢球撞击木板的速度方向不变
D.减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为t=，钢球平抛初速度为v0==x，A错误，B正确；
钢球撞击木板时，速度方向与水平方向的夹角满足tan θ==，增大h，
钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，C错误；
根据x=v0可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x减小，D错误。
3.(2025·云南普洱市联考)如图，在排球训练中，排球以速度v0被水平击出，做平抛运动。A、B为排球运动轨迹上的两点，速度方向与水平方向的夹角分别为30°、45°。重力加速度大小为g，排球看作质点，不计空气阻力，则排球从A点运动到B点的时间为
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　排球在A点的竖直速度vAy=v0tan 30°，在B点的竖直速度vBy=v0tan 45°，vBy=vAy+gt，解得t=，故选D。
4.(2025·四川宜宾市三模)消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则
A.甲、乙水枪喷出的水初速度相等
B.乙水枪喷出的水初速度较大
C.乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长
D.甲水枪喷出的水在最高点的速度较大
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　设水枪喷出水的初速度v0与水平方向夹角为θ，到达最高点过程，
竖直方向做竖直上抛运动，利用逆向思维有(v0sin θ)2=2gh，解得v0=，
根据题图可知，竖直方向高度相等，甲喷出的水初速度与水平方向夹角较大，则乙水枪喷出的水初速度较大，故A错误，B正确；
根据题图可知，甲、乙水枪喷出的水上升和下降的高度都相等，利用逆向思维可知，甲、乙水枪喷出的水在空中运动的时间相等，故C错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　斜抛运动水平方向做匀速直线运动，则水在最高点的速度vx=v0cos θ，结合上述可知，甲水枪喷的水的初速度小于乙水枪喷的水的初速度，甲喷出水的初速度与水平方向夹角较大，则甲水枪喷出的水在最高点的速度较小，故D错误。
5.(2025·陕西渭南市一模)在一次网球比赛中，某同学接住对方网球后从A点水平击出，网球恰好通过球网上端B点，最终落在水平地面上的C点。已知A、C两点与B点之间的水平距离相等，球网高度h为0.9 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则A点高度为
A.1.2 m B.1.5 m
C.1.7 m D.2.0 m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　由于A、C两点与B点之间的水平距离相等，故这两段运动时间相
等。网球在竖直方向上做自由落体运动，则=，解得A点高度为H=
=×0.9 m=1.2 m，故选A。
6.(2025·湖北武汉市模拟)如图所示，长为L的水平板AB的B端固定在竖直墙面上，板离水平地面高为2L，某人在离地面高为0.5L、离墙面的距离为1.5L的C点斜向上抛出一个小球(大小忽略不计)，小球恰好经过板的边缘A落在板的B端，不计空气阻力，则小球在空中运动过程中的最高点离AB板的高度为
A.L B.L
C.L D.L
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
√
能力综合练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　小球做斜抛运动，其逆过程可视为平抛运动，设小球运动到最高点时的速度大小为v0，最高点离板的高度为h，从A点到最高点：L=v0t1，h=g，从C点到最高点：h+L=g，L=v0t2，联立解得h=，故选C。
7.(2025·湖北卷·6)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tan θ的值为
A. B. C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　设网球离开球拍瞬间的速度大小为v0，球网高度为h，则网球两次运动过程沿水平方向均做匀速直线运动，有L=v0cos θ·t，斜向上将球击
出后，沿竖直方向有h-=v0sin θ·t-gt2，斜向下将球击出后，沿竖直方向有L-h=v0sin θ·t+gt2，解得tan θ=，故选C。
8.(2025·湖北襄阳市三模)如图所示，将小球甲、乙先后水平抛出，小球甲、乙将会在空中的P点相遇，相遇时两小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的抛出点到水平地面的高度h1比小球乙的抛出点到水平地面的高度h2大，小球甲、乙的抛出点水平距离为L=25 m，小球甲、乙抛出时的速度大小均为v0=10 m/s。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是
A.小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为1.25 s
B.小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同
C.小球甲在相遇前运动的时间为t1=0.5 s
D.小球甲、乙抛出点的高度差Δh=18.75 m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　设小球甲、乙从抛出到相遇运动的时间分别为t1、t2，两球在P点相遇，则在水平方向上有L=v0t1+v0t2，代入数据解得t1+t2=2.5 s，故A错误；
由题知，在相遇时两小球的速度方向相互垂直，设小球甲落在P点时速度与竖
直方向的夹角为θ，如图所示。由图根据几何关系可得tan θ==，可得t1t2=
1 s，又t1+t2=2.5 s，且甲球下落的高度更高，则有t1>t2，联立解得t1=2 s，t2=0.5 s，小球甲、乙在相遇时速度偏转角不相同，故B、C错误；
根据题意，可得小球甲、乙抛出点的高度差Δh=g(-)
=18.75 m，故D正确。
9.(2025·河南郑州市三模)如图甲，某景观喷泉正以喷头为中心，在同一竖直面内向各个方向以相同大小的初速度将水喷出，落到水平湖面上，空气阻力忽略不计。以喷头为坐标原点O，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，如图乙所示。已知图乙中实曲线为部分水流的轨迹，虚曲线为水流的包络线
(与所有水流的轨迹均相切的曲线)，虚曲线的方程为y=-x2+(m)。重力加速
度g取10 m/s2，则
A.水喷出时速度大小为3 m/s
B.水喷出后在空中飞行的最长时间为0.3 s
C.水流飞行的最大水平位移为0.45 m
D.水平位移最大的水流在空中的时间为 s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　由题可知，当x=0时，则有y= m，此时水流喷出时的速度竖直向上，结合竖直上抛运动规律y=，联立解得v0==3 m/s，A错误；
此种情况下水在空中飞行时间最长，根据y=gt2，可知竖直向上喷出的水流向上运动的时间t上==0.3 s，根据对称性可得，水喷出后在空中飞
行的最长时间为tm=2t上=0.6 s，B错误；
当y=0时，水平位移最大，则-x2+(m)=0，解得x=0.9 m，C错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　设水流喷出时，速度方向与水平方向的夹角为θ，根据运动的分解
可得水平位移x=v0cos θ·T，竖直方向上则有t=，根据运动的对称性可得T=2t=，联立可得x=sin 2θ，由数学知识可知，当θ=45°时水平位移最大，故水平位移最大的水流在空中的时间为T=2t== s，
D正确。
10.(2026·新疆大联考一模)投掷垒球是一种常见的体育活动，投掷成绩以落点到投掷点的水平距离为准。某同学在练习投掷垒球时，想比较一下垒球平抛和以倾角为45°斜抛两种情况下的成绩。已知在这两种情况下垒球离手时距离地面的高度均为h，初速度大小均为v0=12 m/s。垒球离手处即为投掷点，其中以45°斜抛时的投掷成绩为x1=30.72 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，取=1.414。求：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
(1)垒球离手时距离地面的高度h；
答案　2.048 m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　以45°斜抛时的初速度大小为v0=12 m/s，
水平初速度为vx=v0cos 45°=12 m/s
竖直初速度为v0y=v0sin 45°=12 m/s
水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，则水平方向有x1=vxt1
解得垒球运动时间为t1=2.56 s
以竖直向下为正方向，竖直方向有h=-v0yt1+g
解得垒球离手时距离地面的高度h=2.048 m
(2)斜抛情况下垒球落地时速度与水平方向夹角的正切值(结果保留两位小数)；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
答案　1.13
　　　斜抛情况下垒球落地时速度的竖直分量为vy=-v0y+gt1=13.6 m/s
落地时速度与水平方向夹角的正切值tan θ==≈1.13
(3)平抛情况下垒球的投掷成绩x2(结果保留两位小数)。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
答案　10.86 m
　　　平抛情况下，竖直方向有h=gt2
可知平抛的运动时间为t=0.64 s
则x2=v0t=12×0.64 m=12×1.414×0.64 m≈10.86 m。
11.(多选)如图所示，一宽阔的斜面体，倾角θ=30°，高为h，上表面ADBC为光滑正方形。现有一小球甲在斜面顶端A处沿斜面以水平速度v1射出，从斜面B处离开。另有一小球乙从A点以水平速度v2射出(图中未画出)，从空中恰好击中B处，途中未与斜面接触。不计空气阻力，下列说法正确的是
A.甲、乙两小球初速度大小之比v1∶v2=1∶2
B.甲、乙两小球初速度大小之比v1∶v2=1∶
C.两小球初速度之间的夹角的正弦值为
D.两小球初速度之间的夹角的正弦值为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
√
尖子生选练
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　对甲球，受到重力和支持力两个力的作用，合力沿斜面向下，与初速度垂直，小球做类平抛运动，所受合力为重力沿斜面向下的分力，根据牛顿第二定律得mgsin θ=ma，解得a=gsin θ
根据类平抛运动规律可知到达B点时，有
y1==gsin θ·
x1=v1t1
对乙球，有
y2=h=g，x2=v2t2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
　　　又根据几何关系有
=+()2，x1=y1
联立解得v1∶v2=1∶，故A错误，B正确；
甲、乙两小球初速度之间的夹角的正弦值为
sin α==，故C错误，D正确。
返回
本课结束
THANKS
第四章

展开更多......

收起↑