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第19课时　专题强化：约束条件下的抛体运动
目标要求　1.会处理斜面约束下的抛体运动。2.会处理圆弧面约束下的抛体运动。
考点一　斜面约束的抛体运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示 已知速度的方向垂直于斜面，分解速度tan θ==
从斜面外斜抛，垂直落在斜面上，如图所示 已知速度的方向垂直于斜面，分解速度tan θ==
已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示 已知位移的方向沿斜面向下，分解位移tan θ===
从斜面上斜抛又落到斜面上，如图所示 已知位移的方向沿斜面向下，分解位移tan θ==
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示 已知位移的方向垂直斜面，分解位移tan θ===
例1　(来自教材改编)跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以大小为20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2)，求：
(1)运动员在空中飞行的时间；
(2)运动员落在B处时的速度大小；
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
答案　(1)3 s　(2)10 m/s　(3)9 m
解析　(1)运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为t，则有x=v0t，y=gt2，由题图可知tan θ=
联立解得t=tan θ=3 s
(2)运动员落在B处时有vx=v0，vy=gt
所以vB==10 m/s
(3)取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上的初速度为vy'=v0sin θ=12 m/s
加速度为ay=-gcos θ=-8 m/s2
当垂直于斜坡方向上的速度为0时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有d==9 m。
拓展
1.AB的距离l为多少？
答案　由x=v0t得x=60 m，l==75 m。
2.若运动员从跳台A处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行时间变为原来的多少倍？在斜面上飞行距离变为原来的多少倍？
答案　由(1)问知t=tan θ，可知t∝v0，故在空中飞行时间变为原来的。由l===可知l∝，故在斜面上飞行距离变为原来的。
3.初速度大小改变后，仍落在斜面上，速度方向与斜面夹角变化吗？
答案　落在斜面上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，故速度方向与斜面夹角不变。
例2　(2025·江西鹰潭市一模)2025年2月10日，我国运动员在哈尔滨亚冬会单板滑雪男子大跳台决赛勇夺金牌。如图为简化后的跳台滑雪雪道示意图，AO段为助滑道和起跳区(倾角为α)，OB段为倾角为β的着陆坡，BD段为停止区。运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑，到达起跳点O时，借助设备和技巧，以与水平方向成α角(起跳角)的方向起跳，最后落在着陆坡面上的C点。已知运动员在O点以v0的速率起跳，轨迹如图虚线所示，不计一切阻力，重力加速度为g。求：
(1)运动员在空中运动的最小速度的大小；
(2)运动员离开着陆坡面OB的最大距离；
(3)若α=β=30°，运动员所到达的C点与起跳点O的距离。
答案　(1)v0cos α　(2)　(3)
解析　(1)建立水平和竖直坐标轴，不计阻力的情况下，运动员在空中做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，当竖直方向速度减到零的时候，速度最小，此时有vmin=v0cos α
(2)沿斜面和垂直于斜面建立x、y轴，
速度分解有vx=v0cos(α+β)，vy=v0sin(α+β)
加速度分解有ax=gsin β，ay=gcos β
当vy减到零时，运动员离着陆坡面OB最远，有2ayHmax=
联立解得Hmax=
(3)解法一　当运动员垂直于斜面OB的位移为零时落到C点，
有H=vyt-ayt2=0
解得t=0(舍去)，t==，
所以运动员所到达的C点与起跳点O的距离L=vxt+axt2=。
解法二　把运动员的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
因α=β=30°，由图可知v0t=gt2
解得t=，
由几何关系知，两分运动的合位移即OC之间的距离L=v0t=。
　与斜面结合的抛体运动的分解方法
(1)正交分解法(两种情况)
①水平方向：匀速直线运动，vx=v0cos θ，x=vxt
竖直方向：匀变速直线运动vy=v0sin θ-gt，y=v0sin θ·t-gt2(θ为v0与水平方向的夹角)
②沿斜面方向：加速度为ax=gsin α的匀变速直线运动(α为斜面与水平方向的夹角——斜面倾角)
垂直斜面方向：加速度为ay=gcos α的匀变速直线运动(类竖直上抛运动)
(2)斜交分解法
沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动，如图所示。
例3　(2025·山东青岛市期中)如图所示，将一斜面体固定在水平地面上，两个小球P、Q分别从图示位置以大小相同的速度水平抛出，两个小球落到斜面上时，其速度方向均与斜面垂直。不计空气阻力，sin 37°=0.6，sin 53°=0.8，下列说法正确的是(　　)
A.P、Q两球在空中运动的时间之比为3∶4
B.P、Q两球在空中运动的时间之比为4∶3
C.P、Q两球在水平方向通过的距离之比为9∶16
D.P、Q两球在竖直方向下落的距离之比为9∶16
答案　C
解析　设两球水平初速度为v，末速度与水平方向的夹角为θ，则tan θ==，即tan θ与t成正比，故==，故A、B错误；水平方向通过的距离为x=vt，可知水平位移与时间成正比，故==，故C正确；竖直方向下落的距离为h=gt2，竖直方向下落的距离与时间的平方成正比，故==，故D错误。
考点二　圆弧面约束的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速度方向 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向　 分解速度tan θ==
利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示 已知位移大小等于半径R　　
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示
已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方　　
例4　(2025·内蒙古赤峰市期中)水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具。图甲为赤峰市道须沟风景区内的一架水车，图乙为水车工作时的示意图。高处的水从水槽中以速度大小v0沿水平方向流出，水流出后垂直落在与水平面夹角为θ的水轮叶面上，冲击轮叶使水车转动。水在空中的运动可视为平抛运动。重力加速度为g。求：
(1)水流落在水轮叶面前瞬间的速度大小v；
(2)槽口和冲击点的高度差h；
(3)槽口和冲击点的水平距离x。
答案　(1)　(2)　　(3)
解析　(1)如题图乙，水流落在轮叶上的速度v沿水车切线方向，速度v与竖直方向的夹角为θ，有vsin θ=v0
可得v=
(2)竖直方向有vy==gt
槽口至冲击点高度为h=gt2
得h=
(3)槽口和冲击点的水平距离即为平抛运动的水平位移，由于平抛运动的等时性，水在水平方向的运动时间也为t，则有x=v0t
解得x=。
例5　(2025·福建厦门市检测)固定的半圆形竖直轨道如图所示，AB为水平直径，O为圆心，质量不等的甲、乙两个小球同时从A点水平抛出，速度分别为v1、v2，经时间t1、t2分别落在等高的C、D两点，OC、OD与竖直方向的夹角均为53°(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.v1∶v2=1∶9
B.t1∶t2=1∶4
C.甲球的速度变化量小于乙球的速度变化量
D.落在D点的小球垂直打在圆弧上
答案　A
解析　设半圆形竖直轨道半径为R，根据两小球的轨迹，由数学知识可知x1=R-Rsin 53°=R，y1=Rcos 53°=R，x2=R+Rsin 53°=R，y2=Rcos 53°=R，两小球竖直方向的位移相同，两小球下落的时间相同，即t1=t2，水平位移之比为1∶9，所以水平速度之比为1∶9，故A正确，B错误；在竖直方向上两球下落时间相同，加速度相同，则甲球的速度变化量等于乙球的速度变化量，故C错误；假设落在D点的小球垂直打在圆弧上，此时速度方向沿半径，则速度的反向延长线交水平位移的中点，应在圆心处，因为水平位移小于2R，所以速度的反向延长线不可能交于圆心，故D错误。
例6　(2025·海南省创新中学协作体联考)如图所示，AB是半径为R的竖直面内的四分之一圆弧，A点与圆心O在同一水平面上，在A点以水平速度v1向右抛出小球甲的同时在O点以水平速度v2向左抛出小球乙，v1∶v2=2∶3，两球同时落到圆弧面上，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则(　　)
A.乙球末速度方向与水平方向的夹角更大
B.甲球做平抛运动的时间为
C.甲球做平抛运动的初速度大小为
D.若甲球做平抛运动的初速度加倍，甲球不能落在圆弧面上
答案　C
解析　由于两球同时抛出、同时落在圆弧面上，因此两球平抛运动的时间相等，下落的高度相同，因此两球末速度的竖直分量vy相同，设末速度方向与水平方向的夹角为θ，由tan θ=，v1∶v2=2∶3，可知甲球末速度方向与水平方向的夹角更大，故A错误；由平抛运动的水平方向位移x=v0t，可知甲、乙两球做平抛运动的水平位移之比为x1∶x2=2∶3，由x1+x2=R得甲球做平抛运动的水平位移为x1=R，根据几何关系，两球做平抛运动下落的高度h==R，由h=gt2，联立解得t=2，故B错误；甲球做平抛运动的初速度大小为v1==，故C正确；若甲球做平抛运动的初速度大小为2，由于甲球下落R高度时的水平位移x=2·=R，小于R，因此甲仍能落在圆弧面上，故D错误。
课时精练
[分值：60分]
　[1~5题，每题4分]
1.(2025·云南德宏州检测)如图所示，一小猴在树上将摘取的果实沿水平方向抛出，果实落在水平地面上且落地点相距小猴水平方向的距离为12 m，从落地点到小猴位置的连线与水平方向的夹角为53°。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，不计空气阻力。则果实抛出时的速度大小约为(　　)
A.5.5 m/s B.6.0 m/s
C.6.7 m/s D.8.9 m/s
答案　C
解析　果实抛出后做平抛运动，有x=v0t，xtan 53°=gt2，解得v0=3 m/s≈6.7 m/s，故选C。
2.(2025·安徽马鞍山市期中)如图所示，若质点以初速度v0水平抛出后，落在倾角为θ=30°的斜面上，要求质点从抛出点到达斜面的位移最小，重力加速度为g，不计空气阻力，则质点的飞行时间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　要求质点从抛出点到达斜面的位移最小，则质点的位移与斜面垂直，根据几何知识有tan θ=，根据平抛运动规律有x=v0t，y=gt2，联立可得t=，故选D。
3.(2026·东北三省重点高中联合体模拟)如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α=60°，一小球(可视为质点)在圆轨道左侧的A点以速度v0=5 m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　)
A. m B.5 m C. m D. m
答案　A
解析　由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α。由tan α=，x=v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x= m，故选A。
4.(2025·山东烟台市期中)如图甲所示，维修工人给屋顶进行加固维修，维修过程中，一位工人将材料从屋顶斜坡的底处A点斜向上抛出，另一位工人在斜坡顶部接住，简化图如图乙所示。把材料看作质点，屋顶看作倾角为30°的斜面，忽略空气阻力，工人以大小为v0、方向与斜面成30°的初速度将材料抛出，另一位工人恰好接住，已知重力加速度为g，则材料在空中运动的时间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　将材料的运动沿斜面方向和垂直斜面方向分解，垂直斜面方向的初速度为v⊥=v0sin 30°=，垂直斜面方向的加速度为a⊥=gcos 30°=g，小球运动的时间为t=2=，故选B。
5.(2025·山东烟台市三模)如图所示，倾角为θ=30°的斜面固定在水平地面上，小球(可视为质点)从斜面上M点的正上方h处由静止释放，在M点与斜面碰撞，之后落到斜面上的N点。已知小球在碰撞前、后瞬间，速度沿斜面方向的分量不变，沿垂直于斜面方向的分量大小不变、方向相反，忽略空气阻力，则M、N之间的距离为(　　)
A.4h B.h
C.h D.h
答案　A
解析　解法一：设小球落到斜面上M点时的速度大小为v，则有v2=2gh，根据题意可知，小球离开斜面时速度大小仍为v，方向与斜面成60°，小球从离开斜面到再次落回斜面过程的运动可分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿竖直方向上的自由落体运动，如图所示，设小球由M运动到N所用时间为t，根据角度关系可知，△MPN为等边三角形，故有x=vt=gt2，解得x=4h，故选A。
解法二：沿斜面方向和垂直斜面方向分解，由M→N的运动过程y=vsin 60°·t-gcos 30°·t2=0，x=vcos 60°·t+gsin 30°·t2，解得x=，又v2=2gh，知x=4h，故选A。
6.(8分)(2025·河北保定市期中)如图所示，某人从平台上水平抛出一弹性球，与平台右侧固定的四分之一圆形轨道的A点发生碰撞，碰撞后弹性球恰能原路返回至此人手中。已知圆形轨道半径为5R，圆心O与A点连线跟竖直方向夹角为37°，弹性球抛出时离地高度为R，忽略空气阻力，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
(1)(5分)弹性球抛出后运动到A点所用的时间；
(2)(3分)弹性球水平抛出时的速度大小。
答案　(1)　(2)
解析　(1)碰撞后弹性球恰能原路返回至此人手中，说明到达A点时速度方向沿半径方向，在A点时的竖直速度为vy==
则所用时间为t==
(2)弹性球水平抛出时的速度大小
v0=vytan 37°=。
　[7~9题，每题6分]
7.(多选)(2025·广东深圳市三模)北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名运动员a、b(可视为质点)从雪道末端先后沿水平方向向左飞出，初速度之比va∶vb=1∶4，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到雪坡(可视为斜面)上的整个过程中，下列说法正确的是(　　)
A.他们飞行时间之比为1∶4
B.他们飞行的水平位移大小之比为1∶8
C.他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1∶16
D.他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同
答案　AC
解析　设运动员的初速度为v0时，飞行时间为t，水平方向的位移大小为x、竖直方向的位移大小为y，如图所示。运动员在水平方向上做匀速直线运动，有x=v0t，在竖直方向上做自由落体运动，有y=gt2，运动员落在坡面上时，有tan θ=，联立解得t=，则可知运动员飞行的时间t与v0成正比，则他们飞行时间之比为==，故A正确；水平位移x=v0t=，运动员飞行的水平位移大小x与初速度的平方成正比，则他们飞行的水平位移大小之比为1∶16，故B错误；将运动员的运动分解为沿坡面和垂直于坡面的两个方向上，建立直角坐标系，在沿坡面方向做匀加速直线运动，垂直于坡面方向做匀减速直线运动，当垂直坡面的速度为零时，运动员离坡面最远，则运动员在空中离雪坡面的最大高度为hmax=∝，所以他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1∶16，故C正确；落到雪坡上时，设运动员的速度方向与竖直方向夹角为α，则有tan α====，则他们落到雪坡上的瞬时速度方向一定相同，故D错误。
8.(多选)(2025·吉林松原市模拟)如图，一倾角为30°的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q(可视为质点)同时由斜面顶端以相等的初速度大小v0向左、向右水平抛出，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.若初速度v0=，两球将同时撞到斜面和圆弧上
B.若初速度v0=，P球将落到斜面的底端
C.若P球恰好落到斜面的底部，则Q球在圆弧上的落点距地面高度高于
D.在小球能落到斜面的条件下，P球落到斜面的动能总是大于Q球落到圆弧上的动能
答案　AC
解析　如图所示，与斜面对称的斜边交圆弧于M点，两球只有落到高度相同的M、M'点，两球才可同时撞在斜面与圆弧上，此时有x=R=v0t，y=R=gt2，解得v0=，故A正确；若P球落到斜面底端有R=g，R=v0t1，解得v0=，故B错误；当P球恰好落到斜面底端时，Q球轨迹如图中的抛物线所示，由图可知Q在圆弧上的落点距地面高度高于，故C正确；当v0<时，P球在斜面上的落点高于Q在圆弧的落点，即重力对Q球做的功更多，由机械能守恒可知此情况下P球落到斜面的动能小于Q球落到圆弧上的动能，故D错误。
9.(多选)(2026·河北保定市检测)跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员(可视为质点)两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方斜面上的M、N两点，落在M、N两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为θ1、θ2，落到斜面上时的速度大小分别为vM、vN，在空中运动的时间分别为tM、tN，在空中下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为ΔvM、ΔvN。不计空气阻力，下列关系式正确的是(　　)
A.tMC.vM>vN D.θ1>θ2
答案　AD
解析　运动员做平抛运动，运动时间满足h=gt2，解得t=，运动员落到N点时竖直高度大，所以在空中的运动时间tMvMx，又vMy=gtM，vNy=gtN，比较可得vM如图乙所示，连接P点到落点构造斜面，根据平抛运动推论：速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，则2tan θ3=tan (α+θ1)，2tan θ4=tan (α+θ2)，因为θ3>θ4，所以tan (α+θ1)>tan (α+θ2)，可知θ1>θ2，故D正确。
10.(14分)如图，BD为斜面顶端的水平边沿，子弹从斜面最低点A处以一定速度射出，经过一段时间恰好水平击中D点，不计空气阻力，已知斜面的倾角为30°，重力加速度为g，AB长度xAB=a，BD长度xBD=a。(v0未知)
(1)(4分)求子弹从射出到击中D点经历的时间；
(2)(10分)求枪口瞄准点C距离D点的高度(C点在D点的正上方)。
答案　(1)　(2)
解析　根据运动情景，画出如图甲所示的立体图，以射出点为原点，建立三维直角坐标系，如图乙所示，
(1)z轴：az=-g，z=xABsin 30°=a
v0z==，t==
(2)y轴：ay=0，y=xABcos 30°=a
vy==
x轴：ax=0，x=xBD=a，
vx==
利用运动的合成，分别求出合初速度及xOy平面上的合初速度
v0==
v'==2
设初速度方向与水平面的夹角为θ，
则cos θ==
进而求得tan θ=
由几何关系知：OA=2a，OC=OAtan θ=a，
CD=OC-OD=。(共67张PPT)
第四章
曲线运动
专题强化：约束条件
下的抛体运动
第19课时
1.会处理斜面约束下的抛体运动。
2.会处理圆弧面约束下的抛体运动。
目标要求
课时精练
考点一　斜面约束的抛体运动
考点二　圆弧面约束的平抛运动
内容索引
斜面约束的抛体运动
考点一
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平 抛，垂直落 在斜面上，如图所示 已知速度的方向垂直于斜面，
分解速度tan θ==
从斜面外斜抛， 垂直落在斜面 上，如图所示 已知速度的方向垂直于斜面，
分解速度tan θ==
已知条件 情景示例 解题策略
已知位 移方向 从斜面上平抛 又落到斜面上， 如图所示 已知位移的方向沿斜面向下，
分解位移tan θ===
从斜面上斜抛又 落到斜面上，如 图所示 已知位移的方向沿斜面向下，
分解位移tan θ==
已知条件 情景示例 解题策略
已知位 移方向 在斜面外平 抛，落在斜 面上位移最小，如图所示 已知位移的方向垂直斜面，分
解位移tan θ===
　　　(来自教材改编)跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以大小为20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2)，求：
(1)运动员在空中飞行的时间；
答案　3 s
　　 运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为t，则有x=v0t，y=gt2，由题图可知tan θ=
联立解得t=tan θ=3 s
(2)运动员落在B处时的速度大小；
答案　10 m/s
　　运动员落在B处时有vx=v0，vy=gt
所以vB==10 m/s
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
答案　9 m
　　 取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上的初速度为vy'=v0sin θ=12 m/s
加速度为ay=-gcos θ=-8 m/s2
当垂直于斜坡方向上的速度为0时，运动员在空中离坡面的距离最大，则
有d==9 m。
拓展
1.AB的距离l为多少？
答案　由x=v0t得x=60 m，l==75 m。
2.若运动员从跳台A处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行时间变为原来的多少倍？在斜面上飞行距离变为原来的多少倍？
答案　由(1)问知t=tan θ，可知t∝v0，故在空中飞行时间变为原来的。由l===可知l∝，故在斜面上飞行距离变为原来的。
3.初速度大小改变后，仍落在斜面上，速度方向与斜面夹角变化吗？
答案　落在斜面上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，故速度方向与斜面夹角不变。
(2025·江西鹰潭市一模)2025年2月10日，我国运动员在哈尔滨亚冬会单板滑雪男子大跳台决赛勇夺金牌。如图为简化后的跳台滑雪雪道示意图，AO段为助滑道和起跳区(倾角为α)，OB段为倾角为β的着陆坡，BD段为停止区。运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑，到达起跳点O时，借助设备和技巧，以与水平方向成α角(起跳角)的方向起跳，最后落在着陆坡面上的C点。已知运动员在O点以v0的速率起跳，轨迹如图虚线所示，不计一切阻力，重力加速度为g。求：
(1)运动员在空中运动的最小速度的大小；
答案　v0cos α
　　 建立水平和竖直坐标轴，不计阻力的情况下，运动员在空中做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，当竖直方向速度减到零的时候，速度最小，此时有vmin=v0cos α
(2)运动员离开着陆坡面OB的最大距离；
答案　
　　沿斜面和垂直于斜面建立x、y轴，
速度分解有vx=v0cos(α+β)，vy=v0sin(α+β)
加速度分解有ax=gsin β，ay=gcos β
当vy减到零时，运动员离着陆坡面OB最远，有2ayHmax=
联立解得Hmax=
(3)若α=β=30°，运动员所到达的C点与起跳点O的距离。
答案　
　　 解法一　当运动员垂直于斜面OB的位移为零时落
到C点，
有H=vyt-ayt2=0
解得t=0(舍去)，t==，
所以运动员所到达的C点与起跳点O的距离L=vxt+axt2=。
解法二　把运动员的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
因α=β=30°，由图可知v0t=gt2
解得t=，
由几何关系知，两分运动的合位移即OC之间的距离L=v0t=。
与斜面结合的抛体运动的分解方法
(1)正交分解法(两种情况)
①水平方向：匀速直线运动，vx=v0cos θ，x=vxt
竖直方向：匀变速直线运动vy=v0sin θ-gt，y=v0sin θ·t-gt2(θ为v0与水平方向的夹角)
②沿斜面方向：加速度为ax=gsin α的匀变速直线运动(α为斜面与水平方向的夹角——斜面倾角)
垂直斜面方向：加速度为ay=gcos α的匀变速直线运动(类竖直上抛运动)
(2)斜交分解法
沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动，如图所示。
　　　(2025·山东青岛市期中)如图所示，将一斜面体固定在水平地面上，两个小球P、Q分别从图示位置以大小相同的速度水平抛出，两个小球落到斜面上时，其速度方向均与斜面垂直。不计空气阻力，sin 37°=0.6，sin 53°=0.8，下列说法正确的是
A.P、Q两球在空中运动的时间之比为3∶4
B.P、Q两球在空中运动的时间之比为4∶3
C.P、Q两球在水平方向通过的距离之比为9∶16
D.P、Q两球在竖直方向下落的距离之比为9∶16
√
　　设两球水平初速度为v，末速度与水平方向的夹角为θ，则tan θ==
，即tan θ与t成正比，故==，故A、B错误；
水平方向通过的距离为x=vt，可知水平位移与时间成正比，故==，
故C正确；
竖直方向下落的距离为h=gt2，竖直方向下落的距离与时间的平方成正比，故==，故D错误。
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圆弧面约束的平抛运动
考点二
已知 条件 情景示例 解题策略
已知 速度 方向 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ==
已知 条件 情景示例 解题策略
利用 位移 关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示 已知位移大小等于半径R　　 　
已知 条件 情景示例 解题策略
利用 位移 关系 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示
已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
　　　(2025·内蒙古赤峰市期中)水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具。图甲为赤峰市道须沟风景区内的一架水车，图乙为水车工作时的示意图。高处的水从水槽中以速度大小v0沿水平方向流出，水流出后垂直落在与水平面夹角为θ的水轮叶面上，冲击轮叶使水车转动。水在空中的运动可视为平抛运动。重力加速度为g。求：
(1)水流落在水轮叶面前瞬间的速度大小v；
答案　
　　 如题图乙，水流落在轮叶上的速度v沿水车切线方向，速度v与竖直方向的夹角为θ，有vsin θ=v0
可得v=
(2)槽口和冲击点的高度差h；
答案　
　　竖直方向有vy==gt
槽口至冲击点高度为h=gt2
得h=
(3)槽口和冲击点的水平距离x。
答案　
　　 槽口和冲击点的水平距离即为平抛运动的水平位移，由于平抛运动的等时性，水在水平方向的运动时间也为t，则有x=v0t
解得x=。
(2025·福建厦门市检测)固定的半圆形竖直轨道如图所示，AB为水平直径，O为圆心，质量不等的甲、乙两个小球同时从A点水平抛出，速度分别为v1、v2，经时间t1、t2分别落在等高的C、D两点，OC、OD与竖直方向的夹角均为53°(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)，不计空气阻力，下列说法正确的是
A.v1∶v2=1∶9
B.t1∶t2=1∶4
C.甲球的速度变化量小于乙球的速度变化量
D.落在D点的小球垂直打在圆弧上
√
　　设半圆形竖直轨道半径为R，根据两小球的轨迹，由数学知识可知
x1=R-Rsin 53°=R，y1=Rcos 53°=R，x2=R+Rsin 53°=R，y2=Rcos 53°=R，
两小球竖直方向的位移相同，两小球下落的时间相同，即t1=t2，水平位移之比为1∶9，所以水平速度之比为1∶9，故A正确，B错误；
在竖直方向上两球下落时间相同，加速度相同，则甲球的速度变化量等于乙球的速度变化量，故C错误；
假设落在D点的小球垂直打在圆弧上，此时速度方向沿半径，则速度的反向延长线交水平位移的中点，应在圆心处，因为水平位移小于2R，所以速度的反向延长线不可能交于圆心，故D错误。
　　　(2025·海南省创新中学协作体联考)如图所示，AB是半径为R的竖直面内的四分之一圆弧，A点与圆心O在同一水平面上，在A点以水平速度v1向右抛出小球甲的同时在O点以水平速度v2向左抛出小球乙，v1∶v2=2∶3，两球同时落到圆弧面上，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则
A.乙球末速度方向与水平方向的夹角更大
B.甲球做平抛运动的时间为
C.甲球做平抛运动的初速度大小为
D.若甲球做平抛运动的初速度加倍，甲球不能落在圆弧面上
√
　　 由于两球同时抛出、同时落在圆弧面上，因此两球平抛运动的时间相等，下落的高度相同，因此两球末速度的竖直分量vy相同，设末速度
方向与水平方向的夹角为θ，由tan θ=，v1∶v2=2∶3，可知甲球末速度
方向与水平方向的夹角更大，故A错误；
由平抛运动的水平方向位移x=v0t，可知甲、乙两球做平抛运动的水平位
移之比为x1∶x2=2∶3，由x1+x2=R得甲球做平抛运动的水平位移为x1=R，根据几何关系，两球做平抛运动下落的高度h==R，由h=gt2，联立解得t=2，故B错误；
　　甲球做平抛运动的初速度大小为v1==，故C正确；
若甲球做平抛运动的初速度大小为2，由于甲球下落R高度时的水平位移x=2·=R，小于R，因此甲仍能落在圆弧面上，故D错误。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D A B A (1)　(2) 题号 7 8 9 10
答案 AC AC AD (1)　(2)
答案
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1.(2025·云南德宏州检测)如图所示，一小猴在树上将摘取的果实沿水平方向抛出，果实落在水平地面上且落地点相距小猴水平方向的距离为12 m，从落地点到小猴位置的连线与水平方向的夹角为53°。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，不计空气阻力。则果实抛出时的速度大小约为
A.5.5 m/s B.6.0 m/s
C.6.7 m/s D.8.9 m/s
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基础落实练
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答案
　　　果实抛出后做平抛运动，有x=v0t，xtan 53°=gt2，解得v0=3 m/s≈
6.7 m/s，故选C。
2.(2025·安徽马鞍山市期中)如图所示，若质点以初速度v0水平抛出后，落在倾角为θ=30°的斜面上，要求质点从抛出点到达斜面的位移最小，重力加速度为g，不计空气阻力，则质点的飞行时间为
A. B.
C. D.
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答案
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答案
　　　要求质点从抛出点到达斜面的位移最小，则质点的位移与斜面垂
直，根据几何知识有tan θ=，根据平抛运动规律有x=v0t，y=gt2，联立可得t=，故选D。
3.(2026·东北三省重点高中联合体模拟)如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α=60°，一小球(可视为质点)在圆轨道左侧的A点以速度v0=5 m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为
A. m B.5 m
C. m D. m
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答案
　　　由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速
度方向与水平方向的夹角为α。由tan α=，x=v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x= m，故选A。
4.(2025·山东烟台市期中)如图甲所示，维修工人给屋顶进行加固维修，维修过程中，一位工人将材料从屋顶斜坡的底处A点斜向上抛出，另一位工人在斜坡顶部接住，简化图如图乙所示。把材料看作质点，屋顶看作倾角为30°的斜面，忽略空气阻力，工人以大小为v0、方向与斜面成30°的初速度将材料抛出，另一位工人恰好接住，已知重力加速度为g，则材料在空中运动的时间为
A. B.
C. D.
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　　　将材料的运动沿斜面方向和垂直斜面方向分解，垂直斜面方向的
初速度为v⊥=v0sin 30°=，垂直斜面方向的加速度为a⊥=gcos 30°=g，小球运动的时间为t=2=，故选B。
5.(2025·山东烟台市三模)如图所示，倾角为θ=30°的斜面固定在水平地面上，小球(可视为质点)从斜面上M点的正上方h处由静止释放，在M点与斜面碰撞，之后落到斜面上的N点。已知小球在碰撞前、后瞬间，速度沿斜面方向的分量不变，沿垂直于斜面方向的分量大小不变、方向相反，忽略空气阻力，则M、N之间的距离为
A.4h B.h
C.h D.h
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　　　解法一：设小球落到斜面上M点时的速度大小为v，则有v2=2gh，根据题意可知，小球离开斜面时速度大小仍为v，方向与斜面成60°，小球从离开斜面到再次落回斜面过程的运动可分解为沿初速度方向的匀速
直线运动和沿竖直方向上的自由落体运动，如图所示，设小球由M运动到N所用时间为t，根据角度关系可知，
△MPN为等边三角形，故有x=vt=gt2，解得x=4h，故选A。
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答案
　　解法二：沿斜面方向和垂直斜面方向分解，由M→
N的运动过程y=vsin 60°·t-gcos 30°·t2=0，x=vcos 60°·t+
gsin 30°·t2，解得x=，
又v2=2gh，知x=4h，故选A。
6.(2025·河北保定市期中)如图所示，某人从平台上水平抛出一弹性球，与平台右侧固定的四分之一圆形轨道的A点发生碰撞，碰撞后弹性球恰能原路返回至此人手中。已知圆形轨道半径为5R，圆心O与A点连线跟竖直方向夹角为37°，弹性球抛出时离地高度为R，忽略空气阻力，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
(1)弹性球抛出后运动到A点所用的时间；
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答案
答案　
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答案
　　　碰撞后弹性球恰能原路返回至此人手中，说明到达A点时速度方
向沿半径方向，在A点时的竖直速度为vy==
则所用时间为t==
(2)弹性球水平抛出时的速度大小。
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答案
答案　
　　　弹性球水平抛出时的速度大小
v0=vytan 37°=。
7.(多选)(2025·广东深圳市三模)北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名运动员a、b(可视为质点)从雪道末端先后沿水平方向向左飞出，初速度之比va∶vb=1∶4，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到雪坡(可视为斜面)上的整个过程中，下列说法正确的是
A.他们飞行时间之比为1∶4
B.他们飞行的水平位移大小之比为1∶8
C.他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1∶16
D.他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同
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能力综合练
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答案
　　　设运动员的初速度为v0时，飞行时间为t，水平方向的位移大小为x、竖直方向的位移大小为y，如图所示。运动员在水平方向上做匀速直线运
动，有x=v0t，在竖直方向上做自由落体运动，有y=gt2，运动员落在坡面上时，有tan θ=，联立解得t=，则可知运动员飞行的时间t与v0成正比，则他们飞行时间之比为==，故A正确；
水平位移x=v0t=，运动员飞行的水平位移大小x与
初速度的平方成正比，则他们飞行的水平位移大小之比
为1∶16，故B错误；
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答案
　　　将运动员的运动分解为沿坡面和垂直于坡面的两个方向上，建立直角坐标系，在沿坡面方向做匀加速直线运动，垂直于坡面方向做匀减速直线运动，当垂直坡面的速度为零时，运动员离坡面最远，则运动员在空中
离雪坡面的最大高度为hmax=∝，所以他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1∶16，故C正确；
落到雪坡上时，设运动员的速度方向与竖直方向夹角为α，则有tan α==
==，则他们落到雪坡上的瞬时速度方向一定相同，故D错误。
8.(多选)(2025·吉林松原市模拟)如图，一倾角为30°的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q(可视为质点)同时由斜面顶端以相等的初速度大小v0向左、向右水平抛出，重力加速度为g，下列说法正确的是
A.若初速度v0=，两球将同时撞到斜面和圆弧上
B.若初速度v0=，P球将落到斜面的底端
C.若P球恰好落到斜面的底部，则Q球在圆弧上的落点距地面高度高于
D.在小球能落到斜面的条件下，P球落到斜面的动能总是大于Q球落到圆弧上
　的动能
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答案
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答案
　　　如图所示，与斜面对称的斜边交圆弧于M点，两球只有落到高度相同的M、M'点，两球才
可同时撞在斜面与圆弧上，此时有x=R=v0t，
y=R=gt2，解得v0=，故A正确；
若P球落到斜面底端有R=g，R=v0t1，解得v0=，故B错误；
当P球恰好落到斜面底端时，Q球轨迹如图中的抛物线所示，由图可知Q在圆弧上的落点距地面高度高于，故C正确；
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　　　当v0<时，P球在斜面上的落点高于Q
在圆弧的落点，即重力对Q球做的功更多，由机械能守恒可知此情况下P球落到斜面的动能小于Q球落到圆弧上的动能，故D错误。
9.(多选)(2026·河北保定市检测)跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员(可视为质点)两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方斜面上的M、N两点，落在M、N两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为θ1、θ2，落到斜面上时的速度大小分别为vM、vN，在空中运动的时间分别为tM、tN，在空中下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为ΔvM、ΔvN。不计空气阻力，下列关系式正确的是
A.tMC.vM>vN D.θ1>θ2
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　　　运动员做平抛运动，运动时间满足h=gt2，解得t=，运动员落到N点时竖直高度大，所以在空中的运动时间tM平抛运动只受重力作用，加速度为重力加速度，根据Δv=gΔt，可知两次平抛的速度变化量ΔvM<ΔvN，故B错误；
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答案
　　　如图甲所示，当竖直位移为h0时，运动时间相同，根据x=v0t可知落在斜面上N点时对应的平抛的初速度较大，运动员落在平台下方斜面上的M点时速度大小为
vM=，落在平台下方斜面上的N点时速度
大小为vN=，有vNx>vMx，又vMy=gtM，vNy=gtN，比较可得vM<
vN，故C错误；
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答案
　　　如图乙所示，连接P点到落点构造斜面，根据平抛运动推论：速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，则2tan θ3=tan (α+
θ1)，2tan θ4=tan (α+θ2)，因为θ3>θ4，所以tan (α+θ1)
>tan (α+θ2)，可知θ1>θ2，故D正确。
10.如图，BD为斜面顶端的水平边沿，子弹从斜面最低点A处以一定速度射出，经过一段时间恰好水平击中D点，不计空气阻力，已知斜面的倾
角为30°，重力加速度为g，AB长度xAB=a，BD长度xBD=a。(v0未知)
(1)求子弹从射出到击中D点经历的时间；
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答案
尖子生选练
答案　
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答案
　　　根据运动情景，画出如图甲所示的立体图，以射出点为原点，建立三维直角坐标系，如图乙所示，
z轴：az=-g，z=xABsin 30°=a
v0z==，t==
(2)求枪口瞄准点C距离D点的高度(C点在D点的正上方)。
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答案
答案　
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答案
　　　y轴：ay=0，y=xABcos 30°=a
vy==
x轴：ax=0，x=xBD=a，
vx==
利用运动的合成，分别求出合初速度及xOy平面上的合初速度
v0==
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答案
　　 v'==2
设初速度方向与水平面的夹角为θ，
则cos θ==
进而求得tan θ=
由几何关系知：OA=2a，OC=OAtan θ=a，
CD=OC-OD=。
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本课结束
THANKS
第四章

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