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2025-2026学年高一下学期期末数学复习卷02
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
2．（本题5分）若函数则（ ）
A． B． C． D．
3．（本题5分）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题5分）已知，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（本题5分）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）已知，与的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题5分）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为，则下列说法不正确的是（ ）
A．母线长为 B．表面积为 C．高为 D．体积为
8．（本题5分）若定义在上的奇函数满足，对任意，有，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的图象关于直线轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．在区间上的最大值为2
D．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
10．（本题6分）已知，，为实数，则（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，，则
11．（本题6分）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．为周期函数 B．的图象关于点对称
C．当时， D．
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）在中，，，，若满足条件的有两个，则的取值范围是________.
13．（本题5分）在中，点在线段上，且，则的最小值为__________.
14．（本题5分）已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________．
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）已知平面向量，．
(1)求和；
(2)求向量与的夹角．
16．（本题15分）已知向量.设.
(1)求函数的最小正周期；
(2)记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长.
17．（本题15分）如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点．
(1)证明：平面；
(2)在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（本题17分）某工业安全检测系统发现，正常设备与故障设备在运行温度上有明显差异，经过长期监测统计，得到两类设备运行温度的频率分布直方图：

系统要设定一个报警阈值，当设备运行温度大于时判定为故障，发出警报，否则判定为正常.漏报率指实际设备故障但是未发出警报的概率，用表示；误报率指实际设备正常但是发出警报的概率，用表示.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.例如当报警阈值时，漏报率为故障设备运行温度在区间上的频率，故漏报率为.
(1)求的值，并求出当报警阈值时误报率的值；
(2)现从故障设备运行温度在与两个区间段内，按分层抽样的方式抽取5台设备，再从这5台设备中随机抽取2台设备，求这2台设备的运行温度在同一个区间段内的概率；
(3)设，当时，求的解析式，并求在区间上的最小值.
19．（本题17分）已知函数，
(1)若，当时，求的最小值；
(2)若，当时，
（ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围；
（ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围．
《2025-2026学年高一下学期期末数学复习卷02》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C C A D D ABD ACD
题号 11
答案 AC
12．
13．
14．
15．【详解】（1）因为，，所以，
，所以.
（2，，， 设向量与的夹角为，则，又因为，所以.
16．【详解】（1）由题意，
，所以函数的最小正周期；
（2）由得，因为，所以，解得，
因为，所以，由余弦定理得，所以.
17．(1)由正三棱柱的定义可知是等边三角形，
因为D为AB的中点，所以．
又平面ABC，平面ABC，所以．
因为，平面，且，
所以平面
（2）存在．在中，作，垂足为E，连接BE．由（1）知平面，所以．因为AB，平面，且，所以平面．
因为平面BCE，所以平面平面．设，则，，故．因为，所以，
则，，所以．
故在上存在点E，使得平面平面，此时．
18．【详解】（1）依题意可得：，解得.
误报率为；
（2）故障设备运行温度在与两个区间段内的数量之比为，
所以按分层抽样的方式抽取5台设备中，各自有3台和2台.
故这2台设备的运行温度在同一个区间段内的概率；
（3）当时，，
，∴.
所以当时，.
19．【详解】（1）当时，，
当时，，当且仅当时取等，
故当时，最小值为2．
（2）（ⅰ）由，或，即，
，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为2，所以当时，方程有解，
即方程，或有解，即或有解，当有解时，，当有解，，所以；
（ⅱ）由题意得当时，，，
①当时，在上单调递增，
，即，化简，得，
去分母，得，
解得，；
②当时，在上单调递减，单调递增．
，设表示中最大的数，
， 且，即，
解得，；
③当时，在上单调递增，
，即，化简，得，
去分母，得，
；
④当时， ，符合题意；⑤当时，在上单调递增，，即，化简，得，
去分母，得，
解得，．综上所述：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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