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25.2.1 配方法
课时1 直接开平方法
第二十五章 一元二次方程
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.运用直接开平方法解形如?????=????或(????+????)?=????(????≥????)的方程.
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【问题】请同学们回想，二元一次方程组、三元一次方程组是采用什么方法来求解的呢？
通过消元转化成一元一次方程
平方根
±8
±????
?
是否可以形如上面的方式，将二元一次方程降为一元一次方程?
1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
3.如果 x2=64 ,则x= .
填空：
先来看一个简单的一元二次方程
?????=4
解：根据平方根的意义，得
????=±2
即
?????=2，?????=-2.
?
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) ?????=0
(2) ?????+1=0
?
用直接开平方法解一元二次方程
解：根据平方根的意义，得????? =????? =0.
?
解：移项，得????? =-1，
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
?
一般地，对于方程????????= ????
?
(1)当????>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根
?????????= -????， ?????????= ????;
?
(2)当????=0时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根
?????????= ?????????= 0;
?
(3)当?????<0时，因为任何实数?????，都有????2?≥0，所以方程无实数根.
?
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法
对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(????+3)?=5？
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由方程 (x+3)2=5
得
????+????=±????
?
即 ????+????=????或????+????=?????
?
于是，方程(x+3)2=5的两个根为
????????=?????+????或????????=??????????
?
①
②
在解方程????2=4时，由方程????2=4得????=±2. 由此想到：
?
上面的解法中，由方程①得到② ，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.
(x+3)2=5
????+????=????或????+????=?????
?
①
②
【例】解下列方程：
(1) 4x2-3=0 (2) (x+2)2－9=0
解：移项，并将二次项系数化为1，得 x2=????????
由此可得 x2 =±????????
即 x1= ????????, x2=－ ????????
?
解：移项，得(x+2)2=9
由此可得 x+2=±3
x+2=3或x+2=－3
即 x1= ????, x2=－ ????
?
【练习】根据平方根的意义解方程
(1)x2=36； (2) 2x2-4=0； (3) 3x2-4=8.
解：x=±6
x1=6，x2=-6
解：
x2=4
x=±2
x1=2，x2=-2
解：
【思考】能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点?
如果一个一元二次方程具有?????=????或(????+????)?=????(????≥????)的形式，那么就可以用直接开平方法求解
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直接开平方法
一般形式
????????=?????
?
把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程
定义
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法
当????>0时，?????????= -????， ?????????= -????;
?
当????=0时，?????????= ?????????= 0;
?
当?????<0时，无实数根
?
实质
1.方程 x2－9＝0的解是(　　)
A．x1＝3，x2＝－3 B．x＝0
C．x1＝x2＝3 D．x1＝x2＝－3
A 　
2.下列方程能用直接开平方法求解的是( )
A．5x2＋2＝0 B．4x2－2x＋1＝0
C．x2－2＝4 D．3x2＋4＝2
C 　
3.解下列方程：
(1)12????2?18=0
?
(2)(2-????)2?8=0
?
解：移项，得 ?????????????????=????????
整理，得 ????????=????????
根据平方根的意义，得
????=±???????? ，即x1= ????????, x2=－ ????????
?
解：整理，得 (2-????)????=????
由此可得2-????=±????????
根据平方根的意义，得
x1= ????? ????????, x2=2+ ????????
?
4.自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h＝4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？
注意：解决问题时，答案需要考虑问题的实际意义.
解：当h＝19.6时，4.9t2＝19.6.
∴t1＝2，t2＝－2(不合题意，舍去).
∴t＝2.
答：到达地面需要2秒.

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