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25.2.1 配方法
课时2 配方法
1.理解并掌握配方法的一般步骤.
2.能根据方程的结构特点，熟练、灵活地运用配方法解一元二次方程.
a2+2ab+b2 =_______；a2–2ab+b2 =_______.
直接开平方法的基本思路：
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
完全平方公式：
(a+b)2
(a – b)2
x2 +mx+9是完全平方式，m =_________.
±6
4x2 +12x+a是完全平方式，a =_________.
9
观察：等式左边的常数项和一次项系数有什么关系？对于形如 x2 + ax的式子，如何配成完全平方式？
(1) x2 + 2 x+___= ( )2； (2) x2 + 8 x + ___ = ( x + ____ )2.
1 2
4 2
4
x+1
一半
一半
通过观察可以发现，对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式.
x2 + ax + ( )2 = ( x + )2
对于形如 x2 + ax的式子，不妨猜测： .
x2 + 6x = - 4
x2+6x+9=-4+9
( x+3)2=5
降次(直接开平方法)
解：
x2+6x+4=0
移项
两边加9
二次项系数是1
即 使左边配成
x2+2bx+b2的形式
左边写成完全平方形式
配一次项系数一半的平方
x+3=
x+3= ，或 x+3=
解一次方程
可以验证，-3± 是方程x2+6x+4 =0的两个根.
探究：尝试用你发现的规律解方程x2+6x+4 =0.
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.
基本思路：将一般式 ax +bx+c=0 (a≠0) 转化为(x+n)2 = p 的形式，再通过直接开平方法(降次)，转化为一元一次方程求解．
核心思想：配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程.
例1：用配方法解下列方程，并与同伴交流你的解题思路.
(1)x2－8x＋1＝0；(2)2x2＋1＝3x；(3)3x2－6x＋4＝0.
分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.
(3)与(2)类似，方程两边都除以3后再配方.
解： (1) 移项，得
　　　　　x2－8x＝－1.
　　 　配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42，
　　　　　　　 (x－4)2＝15.
　　　 由此可得　　　　　
常数项移到“＝”右边
两边同时加上一次项系数一半的平方
(1)x2－8x＋1＝0；
(2) 移项，得 2x2－3x＝ －1.
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得　　　　　　　　　　
常数项移到“＝”右边
两边同时除以2
两边同时加上一次项系数一半的平方
(2)2x2＋1＝3x；
（3）移项，得 3x2－6x＝－4
二次项系数化为1，得
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以 x取任何实数时， (x－1)2 都是非负数， 上式都不成立， 即原方程无实数根．　　　　
x2－2x＝ .
x2－2x ＋ 12 ＝ ＋ 12.
(x－1)2＝ .
常数项移到“＝”右边
两边同时除以3
两边同时加上一次项系数一半的平方
(3)3x2－6x＋4＝0.
变式：应用配方法求最值：
(1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 6x -7的最大值.
解：原式 = 2(x2 - 2x) +5
= 2(x2 - 2x + 1 ) -2 + 5
= 2(x - 1)2 +3
当x =1时，有最小值3.
解：原式= - 3 (x2 - 2x) - 7
= -3(x2 - 2x + 1 )+3 - 7
= -3(x - 1)2 - 4
当x =1时，有最大值-4.
思考：将一元二次方程通过配方法转化成(x+n)2 = p 形式后，它的根和 p 有什么关系？
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n) =p的形式，那么就有：
p＞0
P=0
P＜0
根的个数
两个不等的实数根：
两个相等的实数根：
p的范围
x1=x2= 0
无实数根
形如(x+n)2=p的方程的根的情况
配方法解一元二次方程的步骤：
一移，化成一般式，把常数项移到等号右边；
二化，二次项系数化为1(等式两边同时除以二次项系数)；
三配，等式两边同时加上一次项系数一半的平方；
四写，方程写成(x+n)2=p的形式；
五开，将等式两边直接开平方；
六解，解一元一次方程；
七定，写出原方程的根.
注意：移项要改变符号
注意：p≥0，才有根.
配方法
定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
1.用配方法解一元二次方程x2-6x+8 = 0配方后得到的方程是( )
A. (x + 6)2 = 28
B. (x - 6)2 = 28
C. (x + 3)2 = 1
D. (x - 3)2 = 1
D
2.解下列方程：
(1)x2+10x+9=0；
(2)x2-x-=0；
解：(x+5)2=16.
x1=－1，x2=-9.
解：(x-)2=2.
x-=.
x1=，x2=.
(3)3x2+6x-4=0.
解：
x1=，x2=-.
（5）x2+4x-9=2x-11； （6）x(x+4)=8x+12；
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无实数根；
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6，x2=-2；
（4）4x2-6x-3=0；
3.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=(k－2)2＋1
因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
4.若a，b，c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为直角三角形.

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