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第二十五章 一元二次方程
25.2.2 公式法
1.经历一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.
2.会用根的判别式判断一元二次方程根的情况.
3.会熟练应用公式法解一元二次方程.
探究:能否用配方法得出 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的解？
我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题.
将ax 2 + bx + c = 0 移项，得：ax 2 + bx = - c
二次项系数化为1，得：
配方，得：
即： ①
因为a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 式子b2-4ac 的值有以下三种情况：
(1) b2-4ac > 0
这时 ，由①得
方程有两个不等的实数根
因为a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 式子b2-4ac 的值有以下三种情况：
(2) b2-4ac = 0
这时 ，由①得，方程有两个相等的实数根
(3) b2-4ac＜0
这时 ，由①可知 ，而 x 取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根.
ax2 + bx + c = 0(a≠0)
Δ＞ 0
Δ= 0
Δ＜ 0
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
无实数根
问题：不难发现，我们是通过式子 b2 - 4ac来判断ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的解，是如何通过b2 - 4ac来判断的呢？
一般地，式子 b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即 Δ= b2-4ac.
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，当Δ ≥ 0时，它的实数根可写为 .
求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
求根公式
注意：①首先要将方程化为一般式；
②判定b2 - 4ac ≥ 0后，才可以用求根公式求解.
小试牛刀：你能用公式法解方程x2－3x＝1吗？
解：移项，得x2－3x－1＝0．
a＝1，b＝－3，c＝－1．
Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－1)＝13＞0．
∵Δ＞0，∴x＝ ，
∴原方程的根是x1＝ ，x2＝ ．
解：(1)a = 1， b= - 4，c = - 7 .
Δ= b2 - 4ac= ( - 4 )2 - 4 × 1 × ( - 7 ) = 44 ＞ 0 ，
方程有两个不等的实数根
即
例1：用公式法解下列方程：
（1）x2－4x－7＝0； （2）2x2－2 x＋1＝0；
（3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x．
解：(2)a = 2， b= ，c = 1 .
Δ = b2 - 4ac= - 4×2×1 = 0 ，
方程有两个相等的实数根
例1：用公式法解下列方程：
（1）x2－4x－7＝0； （2）2x2－2 x＋1＝0；
（3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x．
解：(3)方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ = b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36 > 0.
方程有两个不等的实数根
即
例1：用公式法解下列方程：
（1）x2－4x－7＝0； （2）2x2－2 x＋1＝0；
（3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x．
解：(4)方程化为x2－8x＋17＝0.
a ＝ 1，b＝-8，c＝17.
Δ = b2－4ac＝(-8)2－4×1×17
＝ - 4 < 0.
方程无实数根．
你能总结公式法解一元二次方程的一般步骤吗？
例1：用公式法解下列方程：
（1）x2－4x－7＝0； （2）2x2－2 x＋1＝0；
（3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x．
公式法解一元二次方程的一般步骤
1.把方程化成一般式，并写出a，b，c的值；
2.求出 的值；
若 ≥0
3.代入求根公式；
4.写出方程的根.
若 ＜0
方程无实数根
回顾本章引言：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长
C
B
腰部以上的身长与腰部以下的身长满足如下等量关系式：
即
设雕像腰部以下身长 为 m，依题意得
整理，得
C
B
用公式法解这个方程，得
即
如果结果保留小数点后两位，那么,
关于这两个根，只有 符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为m.
一般地，式子 b2－4 ac 叫作一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)根的判别式.
判别式与一元
二次方程根的
情况的关系
公式法
一元二次方程根
的判别式
求根公式
1. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　)
A. x2－6x＝0 B. x2－9＝0
C. x2－6x＋6＝0 D. x2－6x＋9＝0
D
2. 若一元二次方程x －2x＋c = 0无实数根，则实数c的取值范围为 ______.
c＞1
3.已知关于x的一元二次方程x －2x＋k = 0有两个不相等的实数根. 请写出一个满足题意的k的值： ．
k = -1(答案不唯一)
4.解下列方程：
(1) x2+x-6=0 (2) x2- (3) 3x2-6x-2=0
(4) 4x2-6x=0 (5) x2+4x+8=4x+11 (6) x(2x-4)=5-8x
解：(1)x1=2，x2=-3.
5.在等腰△ABC 中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
由配方法解得b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5，
其周长为4+4+5=13.

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