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第二十五章 一元二次方程
25.2.3 因式分解法
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一元二次方程.
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
①配方法：把常数项移到方程的右边，得x2－3x＝－2．
两边都加上2，得x2－3x＋2＝－2＋2．
即2＝．
两边开平方，得x－＝±．
即x－＝，或x－＝－．
∴x1＝2，x2＝1．
问题 请用两种不同方法解一元二次方程：x2－3x＋2＝0．
②公式法：这里a＝1，b＝－3，c＝2．
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝2，x2＝1．
还有其他解法吗？
问题 请用两种不同方法解一元二次方程：x2－3x＋2＝0．
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 x s离地面的高度(单位：m)为
10x - 5x2 .
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面
分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m ，即
10x - 5x2 = 0 ①
思考1：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
解：方程①的右边为0，左边可以因式分解，得
x (10 - 5x) = 0
10x - 5x2 = 0 ①
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0. 我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
如果a·b=0，
那么a = 0，或b = 0.
x (10 - 5x) = 0
所以 x = 0，或(10 - 5x) = 0 ②
所以，方程①的两个根是 x1 = 0，x2 = 2.
对于这两个根，x1 = 0 表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而 x2 = 2表示物体在抛离地面 2 s时落回地面.
思考2：解方程①时，二次方程是如何降为一次的？
10x - 5x2 = 0 x (10 - 5x) = 0
通过因式分解
归纳：可以发现上述解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
　　因式分解法的理论依据：若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0．
　　实质：将一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程．
　　适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点：方程一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式．
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0．
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0．
x1＝2，x2＝－1．
例1：解下列方程：
（1）x(x－2)＋x－2＝0；（2）5x2－2x－ ＝x2－2x＋ ．
解：（2）移项、合并同类项，得
4x2－1＝0．
因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0．
于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1＝－，x2＝．
例1：解下列方程：
（1）x(x－2)＋x－2＝0；（2）5x2－2x－ ＝x2－2x＋ ．
讨论：你能根据例 1 的解题过程，总结出用因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？
第1步：移项，将方程的右边化为 0；
第2步：将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；
第3步：令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程；
第4步：解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的根．
简记为一移二分三化四解．
想一想: 学习了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？
思路：都是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程解决.
方法 适用方程 关键步骤 主要特点
直接开 平方法 ( mx ＋ n )2＝ p ( m ≠0， p ≥0) 开平方 求解迅速，但只适用于一些特殊的方程
配方法 所有的一元二次方程 配方 当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可优先用此法
公式法 所有的一元二次方程 代入求 根公式 计算量大，易出现符号错误
因式分 解法 适用于等号左边是两个一次因式的积，右边是0的方程 分解因式 求解迅速，但适用范围较小
例2：将下列序号填到对应的横线上.
① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t 2 + t = 0 ； ④ x2-4x=2 ；
⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0；
⑨ (x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
②
⑥
③
⑤
⑨
①
⑦
⑧
④
因式分解法解一元二次方程
定义
方法
步骤
利用因式分解来解一元二次方程的方法
一移二分三化四解
提公因式法，逆用平方差公式和完全平方公式
1. 一元二次方程 x2 - 2x＝0的解是(　　)
A. x1＝3，x2＝1 B. x1＝2，x2＝0
C. x1＝3，x2＝-2 D. x1＝ - 2，x2＝ - 1
B
2. 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0有两个根6和－2，那么二次三项式x2＋px＋q可分解因式为(　　)
A. (x＋6)(x＋2) B. (x＋6)(x－2)
C. (x－6)(x－2) D. (x－6)(x＋2)
D
解：化为一般式为
因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
( x－1 ) 2 = 0.
有 x － 1 = 0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
3.解方程：
(3)(x+1)2=5x+5；
∴x1=4，x2=-1．
(4)x2-6x+9=(5-2x)2．
解：∵(x+1)2=5(x+1)，
∴(x+1)2-5(x+1)=0，
则(x+1)(x-4)=0，
∴x+1=0，或x-4=0，
解：方程整理得(x-3)2-(5-2x)2=0，
则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0，
∴-x+2=0，或3x-8=0，
x1=2，x2= .
4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，
根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径为
(2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2-13x+40=0的根，则此三角形的周长为________;
5.(1)已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是________;
(3) 已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是________.
11或12
13
12
与三角形结合时，要考虑三角形的三边关系！

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