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第二十五章 一元二次方程
25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1.了解一元二次方程的根与系数的关系.
2.能利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
想一想：一元二次方程的一般形式是怎样的？
你知道它的求根公式是什么吗？
ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )
适用的条件：
Δ = b2-4ac ≥ 0
想一想：当Δ＞0，Δ=0，Δ＜0 根的情况如何？
Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
Δ< 0 时，方程没有实数根.
活动：请选择自己喜欢的方法解下列方程，并完成下表：
(1) x2-2x+1=0； (2) x2 - x-1=0； (3) 2x2-3x +1=0.
方程 a b c x1 x2 x1+x2 x1x2
x2-2x+1=0
x2 - x-1=0
2x2-3x +1=0
1
1
2
1
-1
1
1
-2
1
1
-1
2
-3
1
观察上述表格，回答下列问题：
(1)每个方程的两根之和与它的系数a、b、c有什么关系？
(2)每个方程的两根之积与它的系数a、b、c有什么关系？
思考：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0 时，有两个根分别为x1，x2，那么：
你能试着证明吗？
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0 时有两个根：
根与系数关系
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，
那么
x1+x2 = ，
x1x2 =
前提条件为：
b2-4ac≥0 ．
韦达定理
()
,
上述关系还可以用如下方法得出.
即 =
由此可得
,
由此
，
例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； (3) 5x - 1 = 4x2.
解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
　　　　　
变式：已知x1，x2 是 一元二次方程 x ＋ax＋16 = 0的两个根， ，求 a 的值.
解：由方程有两个实数根，得
Δ = a2 - 4×1×16 ≥ 0，即 a ≥ 8或a ≤ -8.
由根与系数的关系得
x1 + x2 = - a，x1 x2 = 16.
所以 ，
解得 a = -16.
运用根与系数的关系需注意前提条件：
(1)方程必须是一元二次方程；
(2)一定要将方程化为一般形式；
(3)方程必须有实数根，即 b2－4 ac ≥0.
内容
变形
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，
那么
一元二次方程的根与系数的关系
1.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是( )
A. x2 + 6x + 5 ＝ 0 B. x2 - 7x + 10 ＝ 0
C. x2 - 5x + 2 ＝ 0 D. x2 - 6x - 10 ＝ 0
B
解：(1)这里 a = 1，b = -3，c = -1.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×1×(-1) = 9+4 = 13＞0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
x1+x2=3 ，x1x2 = -1.
2.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1) x2-3x-1=0； (2) 3x2+2x-5=0.
解：(2)这里 a = 3，b = 2，c = -5.
Δ =b2-4ac = 22-4×3×(-5) = 4+60 = 64＞0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
x1+x2= ，x1x2 = .
2.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1) x2-3x-1=0； (2) 3x2+2x-5=0.
3.小明和小华分别求出了方程 9x2+6x-1=0 的根.
小明：x1 = x2 = ；小华：x1 = ，x2 = .
他们的答案正确吗？说说你的判断方法.
x1+x2= ，
x1x2 = .
解：由题意，可得
小明和小华求得的根与算式都不符合，
∴小明和小华的答案都不正确.
4.已知方程 5x2+kx-6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
x1+x2= ，
x1x2 = .
解：根据根与系数的关系，得
所以另一个根为 ，k的值为-7.
∵其中一个根为2，因此可以设 x1= 2，

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