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25.3 实际问题与一元二次方程
课时1 几何问题
1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程.
2.会运用一元二次方程解决与几何图形相关的实际问题.
想一想：列方程解应用题的一般步骤是什么？
①审
②设
③列
④解
⑤验
⑥答
审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种；
根据题中的等量关系列方程；
求出所列方程的解；
“检验”，即验证是否符合题意；
回答题目中要解决的问题.
问题1：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 , 其中 为正整数.
由勾股定理，得
解方程，得 (不符合题意，舍去)
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长为 .
一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24. 求这两条直角边的长.
解：设直角三角形的一边长为 ，那么另一直角边的长为
根据题意，得
解方程，得
因此，这两条直角边的长分别为 ，.
问题2：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
分析：假设细绳能围成面积为 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形的一边长为 , 由周长为，可用含 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.
解：设矩形的一边长为 ，由矩形的周长为，可得此边的邻边长为 ；再由矩形的面积为 ，得
解方程，得
因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，.
方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？
问题2：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
思考：对于问题2，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如：
（1）可设一边长为 ，那么其邻边长为
（2）可设一边长为 , 那么其邻边长为
能根据以上设两邻边长的方法列方程求解问题2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点.
问题2：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
（1）可设一边长为 ，那么其邻边长为
根据题意，得
解方程，得
因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，.
从面积出发
问题2：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
（2）可设一边长为 , 那么其邻边长为
根据题意，得
解方程，得
当=2 时,=12,=8；当=2 时,=8,=12.
因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，.
利用对称性
问题2：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
设法 设元思路 方程形式 特点
从周长出发
从面积出发
利用对称性
利用半周长关系设元，面积关系列一元二次方程，思路最直接，最通用
利用面积关系设元，周长关系列方程，方程含有分式，需先转化为整式方程；需强调的隐含条件
利用长宽和为定值设元，面积关系列方程，可直接用平方差公式化简运算，计算最简便，也能直观体现解的对称性
例1：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？
分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m.
解：设水渠的宽应挖 x m .
( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885.
解得 x1=105(舍去），x2=1.
注意：结果应符合实际意义
变式训练：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
1m
住房墙
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
由题意得 x(25-2x+1)=80
解得 x1=5 , x2=8
当x=5时，26-2x=16>12 (舍去）
当x=8时，26-2x=10<12
答：所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
1m
住房墙
12m
利用一元二次方程解决问题
列方程步骤：
应用类型
几何问题
数字问题
审
设
列
解
检
答
1.有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于 20，积等于 96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？
解: 设较多的钱为 x，则较少的为(20-x).
由题意，可得 x(20- x)＝96.
解得 x1＝12，x2＝8 (舍去)．
所以，赛义德得到的钱数为12.
2.有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为 (x－2)，这个两位数字是 10 (x－2) + x.
根据题意，得10 (x－2) +x=3x (x－2)，
整理，得3x2－17x + 20=0，
解得， x1=4，x2= (不合题意，舍去)，
当 x=4时，x－2=2，∴这个两位数是24.
3.如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，
则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x) m，
根据题意，得 x(72－2x)＝640，
化简，得 x2－36x＋320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
3.如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈.
(2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
(2)不能. 理由如下：
由题意，得 x(72－2x)＝650.
化简，得 x2－36x＋325＝0.
∵Δ＝(－36)2－4×325＝－4 < 0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到650 m2.

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