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25.3 实际问题与一元二次方程
课时2 传播问题与平均增长率问题
1.能正确分析实际问题中的数量关系，并列出一元二次方程解决相关实际问题.
2.通过解决“传播问题”，“平均增长率问题”，体验建立方程模型解决问题的一般过程.
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作A，其传染示意图如下：
问题1：某种传染病的传播速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
探究1：传播问题
第2轮
???
A
1
2
x
第1轮
第1轮传染后人数
x+1
A
第2轮传染后人数
x(x+1)+x+1
注意：不要忽视A的二次传染
x1= , x2= .
根据示意图，列表如下：
解方程，得
答：平均一个人传染了________个人.
10
-12
(不合题意,舍去)
10
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
(1+x)2=121
注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.
传染源人数
第1轮传染后的人数
第2轮传染后的人数
1

1+x=(1+x)1
1+x+x(1+x)=(1+x)2
根据题意，得
第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源，传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331人.
第一轮传染后的人数
第二轮传染后的人数
第三轮传染后的人数
(1+x)1
(1+x)2

第1种做法 以1人为传染源，3轮传染后的人数是：
(1+x)3=(1+10)3=1331人.
(1+x)3
思考1：按照这样的传染速度, 经过三轮传染后共有多少个人被传染?由此体会阻断病毒传播的必要性.
思考2：观察上面的式子你发现了什么？并回答n轮传染后有多少人被传染?
发现了是第几轮传染后的人数就是(1+x)的几次方，
所以第n轮传染后的人数就是(1+x)n人.
问题2：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
只有1个主干
1个主干产生 x个支干
1个支干产生x个小分支，所以x个支干会产生(x· x)个小分支
解：设每个支干长出x个小分支.
列方程 1 + x + x · x=91.
解方程，得x1 = 9，x2 = -10 (不合题意，舍去).
答：每个支干长出9个小分支.
问题：两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
分析：甲种食品成本的年平均下降额为 (10000?6000)÷2＝2000 (元)，
乙种食品成本的年平均下降额为 (12000?7200)÷2＝2400 (元).
显然，乙种食品成本的年平均下降额较大.
但年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）.
?
探究2：平均变化率问题
设甲种食品成本的年平均下降率为 ????
?
两年前甲种食品成本
10?000
?
一年后甲种食品成本10?000(1?????)
?
两年后甲种食品成本
10?000(1?????)2
?
第一次下降率是????
?
第二次下降率是????
?
问题：两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
设甲种食品成本的年平均下降率为 ????，则一年后甲种食品成本为?????????????????????(?????????)元, 两年后甲种食品成本为?????????????????????(?????????)????元，于是有
?????????????????????(?????????)????=6000
解方程，得 ????????≈????.????????????,???????????≈????.????????????
根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为????????.????%.
?
0＜下降率＜ 1
问题：两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
设乙种食品成本的年平均下降率为 ????，则一年后乙种食品成本为?????????????????????(?????????)元, 两年后乙种食品成本为?????????????????????(?????????)????元，于是有
?????????????????????(?????????)????=7200
解方程，得 ????????≈????.????????????,???????????≈????.????????????
根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为????????.????%.
综上所述，甲乙两种食品成本的年平均下降率相同，都是????????.????%.
?
问题：两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
甲乙两种食品的平均下降率相同；成本下降额较大的食品， 它的成本下降率不一定较大. 不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
年平均下降额
年平均下降率
甲
乙
若平均增长(或降低)百分率为 x ，
增长(或降低)前的量是 a ，
增长(或降低) n 次后的量是 b ，
则它们的数量关系可表示为: .
其中增长用“+”表示，降低用“－”表示.
例1 ：小明同学在2024年秋季升入七年级时的身高是140 cm，小林同学在2024年秋季升入七年级时的身高是145 cm；在2026年秋季升入九年级时小明同学的身高是169.4 cm，小林同学的身高是170 cm，小明和小林谁身高的年平均增长率更大呢？
解：设小明同学身高的年平均增长率为 x ，小林同学身高的年平均增长率为 y ，则可列得方程：140(1 + x)2 = 169.4 ①，145(1 + y)2 = 170 ②.
解方程①，得 x1 = 0.1 = 10%，x2 = - 2.1 (不符合题意，舍去).
解方程②，得 y1 ≈ 0.08 = 8%，y2 ≈ - 2.08 (不符合题意，舍去).
因为10% ＞ 8%，所以小明同学身高的年平均增长率更大.
传播、平均变化率问题
平均变化率问题
下降率问题：基数为 ????, 下降率为????
?
传播问题
传染传播问题：如果最初有1个人感染，每轮传染中平均一个人了????? 个人，那么 ???? 轮传染后有(1+????)???? 被传染
?
树干分支问题：如果主干长出 ???? 个支干，每个支干又长出????个小分支，那么主干、支干和小分支总共有1＋????＋????2个.
?
第????次下降
?
????(1?????)????
?
0＜下降率＜ 1
增长率问题：基数为 ????, 增长率为????
?
????次增长
?
????(1+????)????
?
增长率 ＞ 0
1.有一株月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是 73，设每个支干长出 x 个小分支，根据题意可列方程为( )
B
A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73
C.1+x2 =73 D.(1+x)2=73
2.电脑病毒感染的传播非常快，如果开始有 6 台电脑被感染，经过两轮感染后共有 2 400 台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.
解得x1=19 或 x2= -21 (舍去)
依题意得 6+6x+6x (1+x) =2 400
6 (1+x)2 =2 400
解：设该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为????. 根据题意，得
????????????(?????????????%)(????+????)????=????????????
整理，得 ????????????????+?????????????????????=????
解得 ????????=????.????，????????=?????.????
????????=?????.???? 不合题意，所以 ?????=????.????=????????%
答：该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为20%.
?
3.某磷肥厂去年4月份生产磷肥500 t；因管理不善，5月份的磷肥产量减少了10%；从6月份起强化了管理，产量逐月上升，7月份产量达到648 t.求该厂6月份、7月份产量的月平均增长率.
4.某商场以每件25元的进价购进一批商品，售价定为每件40元，3月份销售250件，4月份、5月份该商品的销售量持续降低，在售价不变的前提下，5月份的销售量为160件.
（1）求????????? 月份该商品销售量的月平均下降率.
?
解：(1)设?????????月份该商品销售量的月平均下降率为???? .
根据题意，得 ????????????(?????????)????=????????????.
解得????????=????.????=????????%，????????=????.???? （不合题意，舍去）.
答：?????????月份该商品销售量的月平均下降率为????????% .
?
（2）从6月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客.经调查发现，基于5月份该商品的销售情况，当每件售价每降低1元时，月销售量就增加5件. 当该商品每件降价多少元时，商场销售该商品的月利润能达到2 100元?
(2)设当商品每件降价???? 元时，商场销售该商品的月利润能达到2100元. 根据题意，得(??????????????????????)(????????????+????????)=?????????????????.
解得????????=???? ，????????=????????? （不合题意，舍去）.
答：当该商品每件降价3元时，商场销售该商品的月利润能达到2100元.

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