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25.3 实际问题与一元二次方程
课时3 循环问题
1.能正确分析“循环问题”中的数量关系.
2.能根据实际问题中的等量关系，列出
一元二次方程解决相关实际问题.
问题1：学校组织了一次篮球单循环比赛(每两队之间都进行了一次比赛)，共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？
第1队
···
其他(n-1)个参赛队
第2队
第3队
第n队
分析：每个队要和其他(n - 1)个队比赛一场.
两个队之间只需要比赛一场，
所以n个队共有 场比赛.
解：设有n个球队参加了这次比赛.
由题意，得 =15.
解得n1=6，n2= - 5(不合题意，舍去)
答：有6个球队参加了这次比赛.
单循环问题
问题1：学校组织了一次篮球单循环比赛(每两队之间都进行了一次比赛)，共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？
回顾（本章第一节中的排球邀请赛问题）：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循坏形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛
设应邀请支球队参赛，每支球队要与其他支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行 场，所以可列得方程
整理并化简，得
x2-x-56=0.
解方程，得x1=8，x2=-7（不合题意，舍去）
因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛.
问题2：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算的对吗？为什么？
分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如果有支球队参赛，那么比赛的总场数为
假设这个算得对，即支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么
解方程，得
由于1201不是完全平方数，所以不可能为整数.
因此，总场数不可能为300，这个人算的不对.
双循环问题
循环问题包括单循环问题和双循环问题，以比赛背景为例：
设比赛场数为N，队伍数量为n，则：
单循环比赛：N＝ .
双循环比赛：N＝ n (n-1) .
解：设共有 人参加聚会，根据题意得
解方程，得 （不合题意，舍去）
答：共有 个人参加聚会．
1.聚会上，每两人都握 次手，所有人共握手 次，共有多少人
2.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡 张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有 名学生，那么所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
D
问题3：一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形 是否存在有18条对角线的多边形 如果存在，它是几边形 如果不存在，说明理由.
A1
A2
A3
An–1
An
边形一共可以作 条对角线.
解：设这个凸多边形为 边形，根据题意得
解方程，得 （不合题意，舍去）
答：这个凸多边形为 边形．
解：假设存在有18条对角线的凸多边形，即 边形共有18条对角线，那么
解方程，得
由于不是完全平方数，所以 不可能为整数.
因此，不存在有18条对角线的凸多边形．
问题3：一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形 是否存在有18条对角线的多边形 如果存在，它是几边形 如果不存在，说明理由.
A1
A2
A3
An–1
An
类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数
单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、 签合同问题、照相问题
双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡
多边形对角线 每两个元素之间算一次 凸 n 边形对角线条数问题
n(n – 1)
1.中秋节到了，班上某个小组的每位同学都互赠了礼物，共送出了30份礼物，这个小组的人数为( )
C
A．4人 B．5人
C．6人 D．7人
2. 已知一个凸多边形的对角线条数是 14，那么这个多边形的边数是________.
7
A1
A2
A3
An–1
An
3.某公司举办产品鉴定会，在专家到达时，经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离开时，经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家之间都握了一次手. 所有参加会议的人共握手 20 次，参加这次会议的专家有多少人？
解：设参加这次会议的专家有 x 人，根据题意，得
解方程，得 x1 = 5，x2 = – 8.
x2 = – 8 不合题意，所以 x = 5.
答：参加这次会议的专家有 5 人.
4. 2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛. 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛．
(1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了_______场比赛．
(2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 的值．
10
解：根据题意得
解方程，得 （不合题意，舍去）
答：如果北区第一阶段比赛总场数为20场， 的值为5．
4. 2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛. 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛．
(2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 的值．

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