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25.2.1 配方法
第二十五章 一元二次方程
课时1 直接开平方法
01
会用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程.
02
理解一元二次方程“降次”的转化思想.
平方根
1.如果 x2=a，则x叫做a的 .
2.如果 x2=a(a ≥0)，则x= .
3.如果 x2=64，则x= .
±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
任务：用直接开平方法解一元二次方程.
活动1：列方程解决下列情景问题.
一桶油漆可刷的面积为1 500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2. 根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
整理，得
x2 =25. ①
10×6x2 =1 500.
用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义.
根据平方根的意义，得
可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm.
x=±5，
即 x1=5，x2=－5.
利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法.
x2 =25. ①
问题：解下列方程，并与同伴交流，方程 x2=p 的解是什么？
(1) x2=4
(2) x2=0
(3) x2+1=0
解：根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.
解：根据平方根的意义，得x1=x2=0.
解：根据平方根的意义，得x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
一般地，对于方程 x2=p ，
（1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根
（2）当p= 0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=0；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程没有实数根.
1.用直接开平方法解方程
x2=36； 2x2-4=0； 3x2-4=8.
x=±6
x1=6，x2=-6
x2=4
x=±2
x1=2，x2=-2
解：
解：原方程整理得，(x－2)2=9
根据平方根的意义，得，
(x－2)=±3
即
x－2=3
或 x－2=－3，
于是，原方程的两个根为：
x1=5，x2=－1.
降次
将一元二次方程转化为两个一元一次方程
②
③
上述解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
活动2：对照上面解方程的过程，你认为应该怎样解方程 (x－2)2－9=0呢？
2.解下列方程：
（1）(y-5)2-36=0； （2） 2(x-1)2-32=0
解：方程整理得：(x-1)2=16，
开方得： x-1=4或x-1=-4，
解得：x1=5或x2=-3
解：移项，得：(y-5)2=36
开方得：y-5=6 或 y-5=-6
解得：y1=11 或 y2=-1
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
针对本节课的关键词“直接开平方法”，你能说说学到了哪些知识吗？
直接开平方法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成 x2=p 或 (x+n)2=p.
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
1. 如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入 x 的值为( )
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣3
C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝1
C
2.对于一元二次方程x2＝m－1.
(1)若方程有两个不相等的实数根，则m________；
(2)若方程有两个相等的实数根，则m________；
(3)若方程无实数根，则m________．
m－1＞0
＞1
m－1= 0
＝1
m－1＜ 0
＜1
3. 解下列方程：
(1)x2-144＝0； (2)2x2＝200；
(3)(x＋1)2=4 .
解：x1＝12, x2＝－12；
解：x1＝10, x2＝－10；
解：x1＝1, x2＝－3.

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