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课时2 配方法
第二十五章 一元二次方程
25.2.1 配方法
1.理解配方法的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
回忆的解法：
由方程 (x+3)2=5
得
即 或
于是，方程(x+3)2=5的两个根为
或
①
②
【思考】解方程时，因为它的左边是含有的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？
下列方程能用直接开平方法来解吗
(1) x2+6x+9 =5；
(2) x2+6x+4=0.
方程左边与什么类似？
完全平方公式
填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2+4x+ = ( x + )2
（2）x2 6x+ = ( x )2
（3）x2+8x+ = ( x+ )2
（4）x2 x+ = ( x )2
22
2
32
3
42
4
2
有什么规律？
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
x2+px+( )2=(x+ )2
【探索】通过上面的方法，该怎样解方程x2+6x+4=0？
要把方程x2+6x+4=0转化为像(x+3) =5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式.为此，对方程x2+6x+4=0移项，得
x2+6x= 4
由 a2+2ab+b2 =(a+b) ，将上述方程两边同时加2，即9，方程左边就可以配成形式的完全平方式，即
x2+6x+9= 4+9
左边写成完全平方形式，得 (x+3)2=5
解这个方程，得
可以验证， 3±是方程x2+6x= 4的两个根.
x2+6x+4=0
x2+6x= 4
移项
x2+6x+9= 4+9
两边都加上9
(x+3)2=5
左边写成完全平方形式
直接开平方法解方程
像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
把方程化为的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.
配方法解方程的基本思路：
①先化成一般形式；
②将常数项移到等式右边；
③两边除以二次项系数；
④方程两边都加上一次项系数一半的平方；
⑤将等式左边化成完全平方形式；
⑥两边开方，并求出方程的解．
配方法解方程的步骤
【例】解下列方程：
(1)
分析：
(1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法.
(2)方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2.
(3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方.
解：(1)移项，得 x2 8x= 1
配方，得 x2 8x+42= 1+42
(x 4)2=15，
由此可得 x 4=±
【例1】解下列方程：
(1)
解：(2)移项，得 2x23x=1
二次项系数化为1，得 x2x=
配方，得 x2x+() 2= +() 2 ，
(x) 2=
由此可得 x =±
【例1】解下列方程：
(1)
解：(3)移项，得 3x2x=
二次项系数化为1，得 x2x=
配方，得 x2x+12= +12 ，
(x) 2= -
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时， (x) 2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根.
【例1】解下列方程：
(1)
一般地，一元二次方程可以通过配方转化为
(x＋n)2＝p
的形式. 那么就有：
①当p>0时, 方程有两个不相等的实数根
x1＝, x2＝;
②当p＝0时, 方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n;
③当p<0时, 方程无实数根.
【例2】试用配方法说明：不论取何实数，多项式245的值必定大于零
解： 245 = 24
=(2) +1
因为(2) ≥0，所以(2) +1≥1
所以245的值必定大于零.
配方法
一般形式
定义
当>0时， x1＝, x2＝;
当=0时， x1＝x2＝－n;
当<0时，无实数根
配方法的应用
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4
2.方程3x2+9=0的根为（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根
D
D
3.用配方法解下列方程.
（1）x2+10x+9=0； （2）x2+4x-9=2x-11;
解：移项， x2+10x=-9
配方， x2+10x+25=16
(x+5) 2=16
x+5=±4
方程的两个根为x1=-1，x2=-9
解：移项, x2+2x=-2
配方, x2+2x+1=-1
(x+1)2=-1
方程没有实数根.
4. △ABC中的边分别为a, b, c, 已知a2 6a＋b2 8b＋25＝0, 且c＝5, 判断△ABC的形状.
解: △ABC是直角三角形.
∵(a2 6a＋9－9)＋(b2 8b＋16－16)＋25＝0,
即 (a－3)2＋(b－4)2＝0，
(a－3)2≥0，(b－4)2 ≥0,
∴a－3＝0，b－4＝0，解得a＝3，b＝4,
∵32＋42＝52
∴△ABC是直角三角形.

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