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25.2.2 公式法
第二十五章 一元二次方程
01
会推导一元二次方程的求根公式.
02
会用根的判别式判别根的情况，能熟练地运用公式法求解一元二次方程.
回顾旧知
用配方法解方程 3x2+6x-9=0 .
方程两边都除以3，得
即
开平方得
解得
配成了(x+n)2=p形式!
解：移项，得 3x2 + 6x = 9.
配方，得
任务一：推导一元二次方程的求根公式.
活动：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：
ax2＋bx＋c = 0(a≠0) ①.
(1)尝试按照上述思路将①配成 (x+n)2=p 的形式.
(2)思考 p 的符号与方程的解的关系，求出①的解.
ax2＋bx＋c = 0(a≠0) ①.
方程两边都除以a，得
解：(1) 移项，得 ax2 + bx = -c
配方，得
即
(1)尝试按照上述思路将①配成 (x+n)2=p 的形式.
因为 a≠0，所以 4a2>0. 式子 b2－4ac 的值有以下三种情况：
这时，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个不等的实数根：
这时，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实数根：
这时，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 无实数根．
(2)思考 p 的符号与方程的解的关系，求出①的解.
一般地，式子 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2－4ac.
当Δ＞0时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个不等的实数根；
当Δ= 0时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 无实数根.
一元二次方程的求根公式：
当Δ≥0时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式.
2x2-3x-5=0 -3x2+2x-8=0
Δ的值
根的情况
按要求完成下列表格：
49
0
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
-92
任务二：理解公式法的概念，用公式法求解一元二次方程.
活动：观察方程，解答下列问题.
a = 2，b = –5，c = 3 .
解：Δ=b2－4ac = (–5)2 – 4×2×3 = 1 > 0 ,
(1)上式中 a、b、c的值分别是多少？
(2)方程根的情况如何？你能求出方程的根吗？
即
解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
解：化简为一般式：x2- +3=0
a=1，b= ，c=3.
Δ= b2-4ac=
= 0
方程有两个相等的实数根
(3)用公式法解下列方程，并与同伴交流总结解题步骤.
利用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将一元二次方程整理成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)；
（2）确定公式中a、b、c的值(注意它们的符号)；
（3）求出△= b2-4ac的值；
（4）当△>0时，一元二次方程的根：
当△=0时，一元二次方程的根：
当△<0时，方程无实数根.
针对本节课的关键词“公式法”，你能说说学到了哪些知识吗？
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
Δ= b2-4ac.
根的判别式
1.以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　)
A. x2－6x＝0 B. x2－9＝0
C. x2－6x＋6＝0 D. x2－6x＋9＝0
D
2.若一元二次方程x －2x＋c = 0无实数根，则实数c的取值范围为 ______.
c＞1
3.已知关于x的一元二次方程x －2x＋k = 0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
k = -1(答案不唯一)
4. 用公式法解下列方程：
( 1 ) x2-10x + 25 = 0；
( 2 ) 3x2 + 8x - 4 = 0.
解：
方程有两个不等的实根
即
Δ= b2－4ac＝82－4×3×(-4) = 112＞0，
解：
Δ =
即
5.已知关于x的方程 (m+1) x2 - 2mx + m - 3 = 0 有实数根，求m的取值范围.
解：①当m+1=0 ，即m = -1 时，一元一次方程为2x-4=0，此时方程有实数根；
②当m+1 ≠ 0 ，即m ≠ -1时，
若一元二次方程 (m+1) x2 - 2mx + m - 3 = 0有实数根，
则b2－4ac＝(-2m)2 - 4×( m + 1 ) × ( m - 3 ) = 8m + 12 ≥ 0 ，
解得 m ≥ 且m ≠ -1.
6. 小海同学解一元二次方程 的过程如下：
解：a ＝ 4，b＝ ，c＝
Δ = b2－4ac＝
(1)小海的求解过程是从________步开始出现错误.
①
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根.
解：a ＝ 4，b＝ ，c ＝ .
Δ = b2－4ac＝

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