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25.3 实际问题与一元二次方程
课时1 几何问题
第二十五章 一元二次方程
1.能够正确分析几何问题中的数量关系并会列一元二次方程.
2.能够找出几何问题中的等量关系并建模解决问题.
同学们，前面我们已经熟练掌握一元二次方程的解法，今天开始学习一元二次方程在生活中的实际应用. 生活中围菜园、修小路等都可以用一元二次方程解决，本节课我们系统梳理几何类实际问题解题思路.
【例1】是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为，+1，2，其中为正整数.
由勾股定理，得.
解方程，得1=3，2=-1（不符合题意，舍去).
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.
【例2】用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
分析：假设细绳能围成面积为96m 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度．设矩形一边长为 m，由周长为40m，可用含的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.
解：设矩形的一边长为 m，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20)m；再由矩形的面积为96m ，得
解方程，得1=12，2=8.
因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96 m 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12 m.
【例2】用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
【思考】方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？
不能，二者只是长和宽互换位置，形状大小完全相同，只能围成一种符合条件的矩形. 即如下图所示：
1=12，2=8
12
8
12
8
①审题画图：标出图形边长、已知长度、面积
②合理设元：优先设较短边、统一单位
③找准等量：利用周长、边长、面积关系列一元二次方程
④正确解方程：优先因式分解法，其次公式法
⑤检验作答：舍去负根、不符合实际长度的根，辨析两根实际意义，规范写答案
一元二次方程解几何问题的基本步骤：
【思考】对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如：
（1）可设一边长为m，那么其邻边长为m；
（2）可设一边长为(10+m，那么其邻边长为(10m.
你能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点.
（1）可设一边长为m，那么其邻边长为m；
利用面积关系设元
解：设矩形一边长为c m，由面积为 96 m ，得邻边长为m.
根据周长为 40 m，列方程：2(+ )=40
化为一般形式： -20
解方程，得1=12，2=8.
（2）可设一边长为(10+m，那么其邻边长为(10m.
利用和差关系设元
解：设矩形一边长为(10+m，由周长为 40 m，得两邻边和为 20 m，因此邻边长为(10－)m.
根据面积为 96m ，列方程: ( )( )=96
利用平方差公式化为一般形式： 100-
解方程，得1=12，2=8.
通过以上三种方法列方程求解例2的方法，比较这些设法，说说它们各自的特点.
方法一：最贴合周长的已知条件，思路最直接，整式方程计算门槛低，是最通用的基础方法；
方法二：逻辑上双向利用了周长、面积两个条件，列方程的路径灵活；
方法三：方程可直接用平方差公式展开，消去一次项，计算量最小，求解最快，技巧性强.
【练习1】如图, 一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米 ？
1m
12m
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
由题意得 x(25-2x+1)=80
解得 x1=5 , x2=8
当x=5时，26-2x=16>12 (舍去）
当x=8时，26-2x=10<12
答：所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
解题关键：靠墙问题必须检验平行墙边长墙的最大长度
1m
12m
【练习2】如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？
分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m.
解：设水渠的宽应挖 x m .
(92 - 2x)(60 - x) = 6×885.
解得 x1=105（舍去），x2=1.
x1的大小明显不符合实际情况，应舍去
通过利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
几何问题
基本步骤
①审题画图；②合理设元；③找准等量；④正确解方程；⑤检验作答.
类型
矩形面积问题
围栏边框问题
小路宽度问题
1.如图, 某校课外生物小组的试验园是长35米、宽20米的矩形.为便于管理, 要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道, 使种植面积为600平方米, 则小道的宽为多少米 若设小道的宽为x米, 则根据题意可列方程为( ).
A. 35×20 35x 20x＋2x2＝600;
B. 35×20 35x 2×20x＝600;
C. (35 2x)(20 x)＝600;
D. (35 x)(20 2x)＝600.
C
2.客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行,将一批物品送达客轮,两船若同时起航，并同时到达折线A-B-C上的某点E处,已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍. 两船相遇之处E点( )
A.在线段AB上;
B.在线段BC上;
C.在线段AC上;
D.可在线段AB上,也可以在线段BC上;
D
3.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm
5(2x-10)(x-10)=3000
解得 x1=25 x2=-10(舍去）
所以 2x=50
答：铁板的长50cm,宽为25cm.

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