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25.3 实际问题与一元二次方程
第二十五章 一元二次方程
课时1 数字、几何问题
01
能找出等量关系，列一元二次方程解决数字问题和面积问题.
任务一：找等量关系，列一元二次方程解决数字问题.
活动：独立思考，再与同伴交流解决下列问题.
问题1：有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为 (x－2)，这个两位数字是 10 (x－2) + x.
根据题意，得 10 (x－2) +x=3x (x－2)，
整理，得 3x2－17x + 20=0，
解得 x1=4，x2= (不合题意，舍去)，
当 x=4时，x－2=2，∴这个两位数是24.
问题2：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 , 其中 为正整数.
由勾股定理，得
解方程，得 (不符合题意，舍去)
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长为 .
整数的常用表示方法：
①两位数=十位上的数字×10 + 个位上的数字；
②三位数=百位上的数字×100 + 十位上的数字×10 + 个位上的数字；
③三个连续的整数，令最小的数为x，则中间的数为x＋1，最大的数为x＋2.
1.如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出2×2 个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为_________.
解：设最小数为，则另外三个数为(＋1)，(＋7)，(＋8)，根据题意可得：
(＋8)＝153 ，
解得， (不符合题意，舍去)，
∴当 时，＋1=10 ，＋7=16 ，＋8=17，
∴四个数分别为9，10，16，17，
∵ 9＋10 ＋ 16 ＋ 17＝52.
52
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
结果要符合问题的实际意义
思考：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
活动1：要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽.请设计出四周边衬的宽度(精确到0.1cm).
任务二：列一元二次方程解决面积问题.
S四周的边衬= S封面，则S中央矩形=____S封面.
封面的长宽之比为 : (即： )，
则正中央的矩形长宽之比为______，
故上下边衬与左右边衬的宽度之比为______.
27
21
9:7
9:7
(1)完成下列填空.
9:7
(2)根据面积等量关系设未知数列方程，并求解.
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解方程，得
解：设上、下边衬的宽均为 9x cm，左、右边衬宽均为 7x cm，
依题意得
整理，得：16x 2 - 48x + 9 = 0.
(27-18x)(21-14x)= ×27×21，
答：应设计上下边衬宽为1.8cm，左右边衬宽为1.4cm.
①
②
(不合题意，舍去)
上下边衬的宽度之和不能超过封面的长度，故舍去.
27
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解：设正中央的矩形长宽分别为9x cm，7x cm.
依题意得： 整理，得
开平方，得 (舍去).
此时上下边衬宽为：0.5(27-9x)≈1.8(cm)，
左右边衬宽为：0.5(21-7x)≈1.4(cm).
答：设计上下边衬宽为1.8cm，左右边衬宽为1.4cm.
思考：尝试换一种设未知数的方法，更简便地解决上面的问题.
巧妙地设置未知数，可简化问题的解决.
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21
7x
9x
设未知数的方法
直接设元法：题中问什么就设什么，即直接设待求量为未知数，如探究中的第一种设法.
间接设元法：设待求量之外的量为未知数，将待求量用含未知数的代数式表示，如探究中的第二种设法.
活动2：用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
问题1：你能想到多少种设未知数的方法？
(1)设矩形的一边长为 x m，
由矩形的周长为，可得此边的邻边长为_____________；
由矩形的面积为，可得此边的邻边长为_____________；
(2)设矩形的一边长为 (10+x) m，
根据对称性，可得此边的邻边长为_____________.
问题2：根据不同的设法列方程，并求解.
(1)设矩形的一边长为 x m，
由矩形的周长为，可得此边的邻边长为_____________；
由矩形的面积为，可得此边的邻边长为___________ _；
解：设矩形的一边长为 ，由矩形的周长为，可得此边的邻边长为 ；再由矩形的面积为 ，得
解方程，得
因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，.
(1)设矩形的一边长为 x m，
由矩形的周长为，可得此边的邻边长为_____________；
由矩形的面积为，可得此边的邻边长为___________ _；
解：设矩形的一边长为 ，由矩形的面积为 ，可得此边的邻边长为 ；再由矩形的周长为，得
解方程，得
因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，.
解：设矩形的一边长为，根据对称性，可得此边的邻边长为 ；再由矩形的面积为 ，得
(2)设矩形的一边长为 (10+x) m，
根据对称性，可得此边的邻边长为_____________.
解方程，得
当=2时，=12，=8；当=2时，=8，=12.
因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，.
2.如图，某中学准备围建一个矩形面积为72m2的苗圖园，其中一边墙(全长20m)，另外三边用长为30m的篱笆围成，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m，则x的值为 .
12
注意：平行于墙的那一边的长度不大于20m.
例 在宽为 28 m，长为 30 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 675 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
点拨：利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使图形变成规则的，列方程就容易些.
解得 x1=3，x2=55，
当 x = 55 时，30 – x = -25，不合题意，舍去.
∴取 x = 3.
答：道路的宽为3米.
解：设道路的宽为 x 米.
整理，得 x2 – 58x +165 = 0，
(30 – x)(28 – x)=675，
可列方程为
针对本节课的关键词“一元二次方程的应用”，你能说说学到了哪些知识吗？
关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.
一元二次方程的应用
数字问题
面积问题
1.巧妙地设置未知数，可简化问题的解决;
2.把不规则图形通过平移转化为规则图形.
1.淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a = ( )
C
A．1 B．
C． D．
2. 有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数.
解：设两位数的个位数字为x，则十位数字为(x＋3).
根据题意，得2x(x + 3) + 5 = 10(x + 3) + x，
解得 x＝5或 x＝-2.5(舍去),
∴x＋3＝8.
答:这个两位数为85.
3.如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x) m，
根据题意，得 x(72－2x)＝640，化简，得 x2－36x＋320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈.
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
(2)不能. 理由如下：
由题意，得 x(72－2x)＝650.
化简，得 x2－36x＋325＝0.
∵Δ＝(－36)2－4×325＝－4 < 0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到650 m2.

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