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25.3 实际问题与一元二次方程
第二十五章 一元二次方程
课时2 传播问题与平均变化率问题
01
会根据传播问题和平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解.
02
能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理.
任务一：列一元二次方程解决传播问题．
活动：小A患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感. 小组交流解决下列问题.
问题1：“两轮传染”是什么意思？
问题2：每轮传染中平均一个人传染了几个人 找出等量关系并列方程求解.
（2）初始人数+第一轮新增加人数+第二轮新增加人数=第二轮后总人数
（1）1人是传染源，经一轮传染后，这些人都是传染源；这些传染源再经一轮传染导致更多人患病.
第二轮后患流感者总人数为 人
如果开始有1个人患流感，平均传染给3个人，第二轮传染中一共有 人每人又传染给3个人
1个人
4个人
4
讨 论
设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
第二轮共传染x(1+x)个人
1个人
传x个人
第一轮共传染x个人
每人传x个人
第一轮后共有(1+x)个人感染
第二轮后共有(1+x)+x(1+x) 个人患了流感
讨 论
解方程： (x+1)2=121.
解得 x1=10，x2=-12
因此每轮传染中平均一个人传染了10个人.
(不合题意，舍去).
传播人数不可能为负值，故舍去.
问题3：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染 由此体会阻断病毒传播的必要性.
两轮传染后共有121个人
平均一个人传10个人
共传染1210个人
第三轮后患流感总人数为：
121+121×10=121+1210=1331（人）
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
问题4：若某人感染流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，填空：
起始人数 此轮传播人数 传播后总人数
第一轮 1 x
第二轮
第三轮
… … … …
第n轮
x+1
x+1
x(x+1)
x(x+1)+x+1=
x
x+=
解决“传播问题”的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数.
例 某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
解：(1)由题意可知：第一轮传染后患病的人数人，
(2)设在每轮传染中一人将平均传给人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
任务二：列一元二次方程解决平均变化率问题.
活动：两年前生产1吨甲种药品的成本是10000元，生产1吨乙种药品的成本是12000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是6000元，生产1吨乙种药品的成本是7200元. 解决下列问题：
问题2：找等量关系，列方程求出甲种药品成本的年平均下降率.
问题1：甲、乙两种药品成本的年平均下降额分别是多少？
问题3：乙种药品成本的年平均下降率是多少？哪种药品成本的年平均下降率较大
解：（1）甲种药品成本的年平均下降额：(10000-6000)÷2=2000(元)
乙种药品成本的年平均下降额：(12000-7200)÷2=2400(元)
（2）设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为10000(1-x)元，两年后甲种药品成本为10000(1-x)2元．依题意，得
10000(1-x)2=6000.
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）.
答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
（3）设乙种药品成本的平均下降率为 y，则
12000(1-y)2=7200.
答：两种药品成本的年平均下降率一样大，均为22.5%.
解得：y1≈0.225，y2≈1.775（不合题意，舍去）
问题4：怎样理解下降额和下降率的关系？成本下降额大的药品，它的成本下降率也一定大吗？与同伴交流.
下降额表示绝对变化量，是定量的数字；下降率表示相对变化量，用百分数表示.下降率是依据下降额计算出来的.
因此，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大. 两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
设平均增长(下降)百分率为 x，增长(下降)前的量是 a，增长(下降) n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为：a(1±x)n＝b.
(增长取＋，下降取－)．
问题5：尝试归纳出平均变化率问题的计算公式.
菜农李明种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
求平均每次下调的百分率.
解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）
答：平均每次下调的百分率为20%.
由题意，得 5(1－x)2=3.2，
针对本节课的关键词“列一元二次方程解应用题”，你能说说学到了哪些知识吗？
列一元二次方程解应用题
若基数是 a，每次增长(下降)的百分率 x 相同，经过 n 次后的值是a(1±x)n.
传播问题
如果一开始是1个人，每轮传染中平均一个人传染 x 个人.
第 n 轮，一共有 (1+x)n 个人被传染.
变长率问题
1.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为( )
A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73
C.1+x2 =73 D.(1+x)2=73
B
2.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程( 　　)
A. 500(1+2x)=720 B. 500(1+x)2=720
C. 500 (1+x2)=720 D. 720(1+x)2=500
B
3.某生物实验室需培养一群有益菌. 现有60个活体样本，经过两轮培养后，总和达24000个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌. 按照这样的分裂速度，经过三轮培养后共有多少个有益菌？
解：设每轮分裂中平均每个有益菌分裂出 x 个有益菌,
第一轮后共有有益菌：60+60x = 60(1+x) 个,
第二轮后共有有益菌：60(1+x)+60(1+x)x = 60(1+x) 个,
依题意得：60(1+x) =24000，解得： x1=19 ，x2= -21 (不合题意，舍去).
第三轮后共有有益菌：60(1+x) =60×(1+19) =480000个.
答：三轮培养后共有480000个有益菌.
4.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意得：
，
解得：
∴；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意得：
，
解得： ；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
4.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？

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