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课时2 传播问题与平均增长率问题
第二十五章 一元二次方程
25.3 实际问题与一元二次方程
1.能够正确分析传播问题、平均增长率问题中的数量关系并会列一元二次方程.
2.能够找出传播问题、平均增长率问题中的等量关系并建模解决问题.
上一节课我们学习了一元二次方程在几何面积中的实际应用，接下来，我们进一步探究如何运用一元二次方程解决现实生活中的问题.
1.假设每轮每人传染2人
第1轮传染结束后患病人数是
_______________________人
第2轮传染后结束患病人数是
________________________________人
2. 那每轮传染中平均一个人传染了个人，又该如何分析呢？
【探究1】某种传染病的待染速度很快. 如果开始有1个人被传染,经过两轮传染后共有121个人被传染,那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
分析：
注意：不要忽视病源的二次传染.
分析：设每轮传染中平均1个人传染了个人.
开始有1个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示，第一轮后共有______个人被传染；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，用代数式表示，第二轮后共有_________________________个人被传染.
+
初始病原数
1
+
第一轮新增患者数
+
第二轮新增患者数
(1+
【探究1】某种传染病的待染速度很快. 如果开始有1个人被传染,经过两轮传染后共有121个人被传染,那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了个人
1++(1+ )=121 即(1+)2=121
解方程，得
=10，x2=-12(不合题意，舍去)
答：平均一个人传染了10个人.
注意：计算结果要符合问题的实际意义
设
列
解
检
答
【探究1】某种传染病的待染速度很快. 如果开始有1个人被传染,经过两轮传染后共有121个人被传染,那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
初始病原数
1
+
第一轮新增患者数
+
第二轮新增患者数
(1+
=
两轮患者总数
121
【思考1】按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此体会阻断病毒传播的必要性.
(1+x)2+(1+x)2 x =121+121×10=1331（人）
传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数
第一轮 1 1 = 1+
第二轮 1+ (1+x) 1++(1+)= .
第三轮
第n轮
【思考2】如果按这样的传染速度， n轮后传染后又会有多少人被传染
经过n轮传染后，共有(1+x)n人被传染. 若最终有b人被传染，则(1+x)n=b.
(1+x)n
(1+x)2+(1+x)2 x =(1+x)3
(1+x)2
(1+x)2
(1+x)2 x
或 (1+x)3=(1+10)3=1331（人）
传染类型关键问题
1.患者 (传染源)只参与一轮的传染还是每轮都一直在传染
2.每一轮有多少人 (传染源)在传染
3.每轮新增多少患者
4.累计患者总数是多少
【练习】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支
分析：与上一个例题的传染源参加每一轮的传染不同，本题每个支干只长一次即传染源只参加一轮的传染，因此第二轮传染不需要考虑上一轮分化的支干.
【练习】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支
解：设主干长出x个支干，则每个支干长也出 x个小分支.
1+x+x2=91
整理得，
x2+x-90=0
x1=9，x2=-10（不合题意，舍去）
解得，
答：每个支干长出9个小分支.
【探究2】两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成本是12000元. 随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？
分析：
甲种食品成本的年平均下降额为(10000－6000)÷2=2000（元），
乙种食品成本的年平均下降额为(12000－7200)÷2=2400（元)．
显然，乙种食品成本的年平均下降额较大. 但年平均下降额（元）不等同于年平均下降率 (百分数).
下降率=
解：设甲种药品下降率为x，则一年后甲种食品成本为10000(1－x)，两年后甲种食材成本为10000(1－x) 元，于是有
10 000(1－x)2＝6000
解方程，得 x1≈0.225, x2 ≈1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%
为什么要舍去1.775
下降率范围一般在0%到100%.
【探究2】两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成本是12000元. 随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？
解：设乙种药品下降率为，则一年后乙种食品成本为12000(1－)，两年后甲种食材成本为12000(1－) 元，于是有
12000(1－)2＝7200
解方程，得 1≈0.225, 2 ≈1.775
根据问题的实际意义，种药品成本的年平均下降率约为22.5%
【探究2】两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成本是12000元. 随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？
【思考】经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？
结论：成本下降额大的食品未必成本下降率就大.
甲乙两种药的平均下降率相同；成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大. 不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率.
传播问题与增长率问题
传播问题
要点：清楚传染源只参加一轮传染，还是每一轮传染.
增长率问题
，其中为增长前的量，为增长率，n为增长次数，为增长后的量.
1.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有 2 人同时患上甲肝. 在一天内，一人平均能传染 x 人，经过两天传染后 128 人患上甲肝，则 x 的值为________.
7
2.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨，平均每月增长率是x，可列方程为( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
B
3.电脑病毒感染的传播非常快，如果开始有 6 台电脑被感染，经过两轮感染后共有 2 400 台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.
解得x1=19 或 x2= -21 (舍去)
依题意得 6+6x+6x (1+x) =2 400
6 (1+x)2 =2 400
4.某商店以每件16元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件25元上涨到每件36元，此时每月可售出160件商品．
（1）求该商品价格的平均每月增长率；
解：（1）设该商品价格的平均每月增长率为x，
依题意得：25(1+x)2＝36，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）.
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）因某些原因商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降0.5元，每个月多卖出1件，当降价多少元时，商品每月的利润可达到1800元．
依题意得：(36-y-16)(2y+160)＝1800，
整理得：y2+60y-700＝0，
解得：y1＝10，y2＝-70（不合题意，舍去）．
答：当降价10元时商品每月的利润可达到1800元．
（2）设售价降低y元，则每件的销售利润为(36-y-16)元，每月可售出

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