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25.3 实际问题与一元二次方程
第二十五章 一元二次方程
课时3 循环问题
01
会根据循环问题中的数量关系列一元二次方程并求解.
02
能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理.
任务：找数量关系，列一元二次方程解决循环问题.
活动1：独立思考，再与同伴交流解决下列问题.
问题1：某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送出1190张照片，则全班共有多少名同学？
(1)若互送照片共3人，每人需送___张照片，3人共需要送出照片___张；
(2)若互送照片共4人，每人需送___张照片，4人共需要送出照片____张；
(3)若互送照片共5人，每人需送___张照片，5人共需要送出照片____张；
(4)若互送照片共n人，每人需送______张照片，n人共需要送出照片_______张.
6
12
20
n(n－1)
2
3
4
(n－1)
问题1：某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送出1190张照片，则全班共有多少名同学？
解：设全班共有名同学，依题意，得
，
解得， （舍去），
故全班共有35名同学.
问题2：2026年江西省城市足球超级联赛（赣超）于5—9 月举行，某市以此为契机举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场.
(1)这和互送照片问题是相同的问题吗？如果不同，有什么区别？
(2)如果有4支球队参加比赛，那么共需进行_______场比赛？
(3)如果全市共需进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
(1)互送照片问题和比赛问题不是相同的问题，甲给乙送照片和乙给甲送照片是不一样的，而甲与乙比赛和乙与甲比赛是同一场比赛，表现在列方程上互送照片问题不需要乘，而比赛问题需要乘 .
6
问题2：2026年江西省城市足球超级联赛（赣超）于5—9 月举行，某市以此为契机举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场.
(3)如果全市共需进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
解：设有 支球队参加比赛，根据题意，得
,
解得， （不合题意，舍去）.
答：有9支球队参加比赛.
以比赛背景为例：
设比赛场数为N，队伍数量为n，则：
单循环比赛：N＝ .
双循环比赛：N＝ n (n-1) .
循环问题包括单循环问题和双循环问题.
例 【问题提出】科技改变生活，某中学响应教育局“打造数字化教学”的号召，鼓励学生进行周末劳动实践经验线上交流，九年级一班的全体同学在家务劳动的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，互相交流，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班50名同学共通过多少次电话呢？
【模型构建】用点，，， ，分别表示第1，2，3， ，50名同学，把该班级人数与视频通话次数 之间的关系用如图模型表示：
【问题解决】
（1）如图中第5个图中 的值为________；
15
（2）通过探索发现，视频通话次数与该班级人数 之间的关系式为__________，则当时，对应的 _______；
1 225
（3）若该班全体女生相互之间共通话190次，求该班共有多少名女生；
解：设该班共有女生名，根据题意，得
,
解得， （不符合题意,舍去）.
答：该班共有20名女生．
（3）若该班全体女生相互之间共通话190次，求该班共有多少名女生；
【问题拓展】
（4）若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信，小明统计全组共发送微信110条，求该班数学兴趣小组有多少人.
解： 设该班数学兴趣小组有 人，根据题意，得
,
解方程得， （不符合题意,舍去）.
答：该班数学兴趣小组有11人．
活动2：我们知道，多边形的对角线是指连接多边形任意两个不相邻顶点的线段. 请与同伴交流解决下列问题.
(1)一个凸多边形共有35条对角线，它是几边形？这和前面的问题有什么不一样？
这个问题类似单循环问题.
n边形从每个顶点出发，可连接除自身和相邻2个顶点外的 (n 3) 个顶点形成对角线，每条对角线只计数一次.
边形一共可以作 条对角线.
(1)一个凸多边形共有35条对角线，它是几边形？这和前面的问题有什么不一样？
解：设这个凸多边形为 边形，根据题意得
解方程，得 （不合题意，舍去）
答：这个凸多边形为 边形．
(2)是否存在有18条对角线的多边形 如果存在，它是几边形 如果不存在，说明理由.
解：假设存在有18条对角线的凸多边形，即 边形共有18条对角线,那么
解方程，得
由于 不是完全平方数，所以 不可能为整数.
因此，不存在有18条对角线的凸多边形．
已知一个凸多边形的对角线条数是 14，那么这个多边形的边数是________.
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A1
A2
A3
An–1
An
针对本节课的关键词“列一元二次方程解循环问题”，你能说说学到了哪些知识吗？
列一元二次方程解应用题
甲 乙
互赠贺卡......
甲→乙
握手问题、照相问题......
单循环问题
双循环问题
循环问题
n(n – 1)
多边形对角线
1.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解：设比赛组织者应邀请x个队参赛．
依题意，得＝4×7，
解得x1＝8，x2＝－7(不符合题意，舍去)．
答：比赛组织者应邀请8个队参赛．
2.北京与上海的铁路沿线沿途有多个火车停靠站(包括北京站、上海站)，至少能产生30种不同行程的火车票，求共有多少个停靠站．
解：设共有n个停靠站，则每个停靠站可以开出(n－1)种行程的火车票．
依题意，得 n(n－1)＝30，
解得n1＝6，n2＝－5(不符合题意，舍去)．
答：共有6个停靠站．
3.如图，同一平面内两条直线相交最多有一个交点，三条直线两两相交最多有三个交点．
(1)四条直线两两相交最多有________个交点；
6　
(2)多少条直线两两相交最多有28个交点？
解：n条直线两两相交，最多有个交点(n为正整数，且n≥2)．
依题意，得＝28，
解得n＝8或n＝－7(不符合题意，舍去)．
答：8条直线两两相交最多有28个交点．

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