资源简介 沈阳二中 28 届 2025-2026 学年度下学期阶段能力测试数学试题说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上第 I 卷(58 分)一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 关于下列命题正确的是( )①用任意一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分为棱台;②有两个面平行且相似,其他各个面都是梯形的多面体是棱台;③直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积;④有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①③ 2. 已知平面向量 a 1, 2 ,b 3,4 ,则 a在b上的投影向量为( ) 3 , 4 3 4 1A. B. , C. ,1 1 D. ,1 5 5 5 5 4 3 4 3 23.在复平面内,O为坐标原点,复数 1 i 对应的点为A,复数3 4i对应的点为B,复数 1 mi 对应的点为 C,若 AB OC,则 的值为( )1 1 3 3A. B. C. D. 2 2 2 24.瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的,其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制,瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体,如图所示,该瓷器的体积为( )A.556π B.900πC.732π D.588π5.如图,公路北侧有一幢楼,高为 60 米,公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走,在点 A处测得楼顶的仰角为 45°,行走 80 米到点 B 处,测得仰角为 30°,再行走80 米到点 C处,测得仰角为 ,则 tan ( )1 7A. B.3 73 77 2C. D.77 46. 在 ABC中,角 A,B,C所对应的边分别为 a,b,c, sinC sin(A B) 3sin 2B .若C a ,则 ( )3 b1 1 1 1A. 3 或 B. 3 或 C. D.2 4 4 27.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早 1000 多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马,将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图在堑堵ABC A1B1C1中, ⊥ ,CC1 BC 2,D,E分别为棱 AA1, B1C1 的中点,则下列结论正确的是( )A.四面体C1 ABC不是鳖臑B.DE 与平面 ABC1相交C.若 AB 6 3,则 AB 与 DE 所成角的余弦值为4D.平面 DEC 截该三棱柱所得截面为梯形 π 8. 已知 a,b,e是平面向量,e是单位向量,若非零向量a与 e的夹角为 ,向量b满足 2 3 6 + 8 2 = 0,则 a b 的最小值是( )3 3A. 3 1 B. 3 1 C. 3 1 D.2 2 32二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分.9.下列说法正确的是( )A.若 z1, z2 C则 z1z2 z1 z2B.若 z1, z2 C ,则 1 2 = 1 2C.若 z1, z2 C且 z1 z2 ,则z 2 z 21 2 2 2D.若 | a | | b |,则 a b10. 如图,三棱锥P OAB中,PO 平面OAB,AB 20,则下列条件中可使三棱锥P OAB体积唯一确定的是( )A. PAO 30 , PBO 45 , AOB 60 B. AO 20 3, AOB 30 , PBO 45 C. AB BO, PAO 30 , PAB 45 D. AO 10 6, BO 20, PAO 45 11. 已知圆锥的顶点为 1,底面的圆心为 2, 1 2 = 2,该圆锥的侧面展开图是中心角为3 的扇形,点 , , 是底面圆周上三个不同的动点,则下列结论正确的是( )A. 该圆锥的侧面积为8 3πB. 过顶点O1的该圆锥截面面积的最大值为4 32C. 当MN 2 3时,二面角O1 MN O2的正切值为 3D. 若 PM PN且PM PN, 为线段 上动点,则 1 + 的最小值为 40 8 15第 II 卷(92 分)三、填空题:本题共 3 小题,每题 5 分,共 15 分.12. 函数 f x tan 2x 的对称中心为_____. 3 13. 若在斜二测画法得到的直观图中,m,n分别是 x , y 上的单位向量,定义:若 O M xm yn ,则点M在直观图的坐标系 x O y 中的坐标为 x, y .已知在直观图的坐标系x O y 中的点 A坐标为 3, 2 ,则 O A 可以是_____.14. 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中,底面边长为 3,侧棱长为 4, 为平面 A1D1C内一动点,且满足 = 0,则所有满足条件的点 所围成平面区域的面积是_____.四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.15.(13 分)已知函数 f (x) 3sin2x 2cos2x 1.(1)求函数 f (x)的单调递增区间及在[0,π]上的值域;22(2)若 为锐角且 f ( ) ,求 cos2 的值.516.(15 分)如图所示,已知四边形 ABCD是正方形,四边形 ACEF是矩形,M是线段 EF的中点.(1)求证: AM / /平面 BDE;(2)若平面 ADM 平面 BDE l,平面 ABM 平面 BDE m,试分析 与 的位置关系,并证明你的结论. 17.(15 分)在 中, BC 3BE,若 AB 1, AC 2, AE BC1 3(1)求 BAC的大小;(2)若以 为底面的直三棱柱 ABC A1B1C1的所有顶点均在半径为 3的球的球面上,求直三棱柱 ABC A1B1C1的体积.18.(17 分)如图,在 中,∠ = , = 3, =1,点 、 是线段 上(包括端点)2的动点,( 在 , 之间),∠ = 不变.6 (1) 若∠ = ,求 的长;6 (2) 求 AE AF的取值范围;(3) 求 的最小值.19.(17 分)如图,已知三棱柱 ABC A1B1C1中,AA1 AC 2AB, ABC ,侧面 A1ABB2 12 为矩形, A1AC ,将 A1B1C1绕 A1C1翻折至 A1B2C1,使得 B2 在平面 A1ACC1内.3(1)求证: AB 平面CBB1C1;(2)试判断 BC1与平面 A1B2B1的位置关系并说明理由;(3)求直线 A1C与平面 A1ABB1所成角的余弦值.沈阳二中 28 届 2025-2026 学年度下学期阶段能力测试数学试题说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上第 I 卷(58 分)一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 关于下列命题正确的是( C )①用任意一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分为棱台;②有两个面平行且相似,其他各个面都是梯形的多面体是棱台;③直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积;④有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①③【解】C对于①,用平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分为棱台,①错误;对于②,根据棱台的定义,棱台的侧棱延伸后必须交于同一点,故②错;对于③,因为直三棱柱的侧面都是矩形,则侧面积为底乘高,而高相等,由于三棱柱的底面上任意两边的和大于第三边,所以任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积,故③正确对于④,由棱柱定义④正确. 故选:C. 2. 已知平面向量 a 1, 2 ,b 3,4 ,则 a在b上的投影向量为( A ) 3 , 4 3 , 4 1 1 1 1 A. B. C. , D. , 5 5 5 5 4 3 4 3 【解】A 由题意可得 b 9 16 5, a b 3 8 5, a b 则a在b上的投影向量 2 b 3 4 , b 5 5 . 故选:A.3.在复平面内,O为坐标原点,复数 1 i 2 对应的点为A,复数3 4i对应的点为B,复数 1 mi 对应的点为 C,若 AB OC,则 的值为( C )1 1 3 3A. B. C. D. 2 2 2 2【解】C2复数 1 i 2i,则 A 0,2 ,复数3 4i,则 B 3,4 , 故 AB OB OA 3,2 ,复数 1 mi对应的点为 C,则OC 1,m , 3因为 AB OC,所以 3 2m 0,解得m .故选:C.24.瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的,其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制,瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体,如图所示,该瓷器的体积为( D )A.556π B.900πC.732π D.588π【解】D由题图可知,半球和圆柱的半径为 6,圆柱的高为 8,圆台的上底面半径为 2,下底面半径1 4 π 63 π 62 8 π 2 2 2 2为 6,高为 9,所以该瓷器的体积为 6 2 6 2 9 588π ,2 3 3故选:D5.如图,公路北侧有一幢楼,高为 60 米,公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走,在点 A处测得楼顶的仰角为 45°,行走 80 米到点 B 处,测得仰角为 30°,再行走80 米到点 C处,测得仰角为 ,则 tan ( C )1 7A. B.3 73 77 2C. D.77 4【解】C由O为楼脚,OP长为楼高,则OP 60,易得OA 60,OB 60 3.由OA2 AB2 OB2 2AB OB cos ABO,OC 2 BC 2 OB2 2BC OB cos OBC,又 AB BC 80,cos ABO cos OBC 0 2,两式相加得OA OC2 2 AB2 OB2 ,OP 60 3 77所以OC 2 30800,则OC 20 77,故 tan .故选:COC 20 77 776. 在 ABC中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c, sinC sin(A B) 3sin 2B .若C a ,则 ( A )3 b1 1 1 1A. 3 或 B. 3 或 C. D.2 4 4 2【解】A由 sinC sin(A B) 3sin 2B得sin A B sin A B 6sin BcosB ,2sin AcosB 6sin BcosB .πcosB 0 B π C π A a sin A 1当 时, ,由于 ,所以 ,所以 .2 3 6 b sin B 2当 cosB 0时, sin A 3sin B a,所以 a 3b, 3 . 综上所述,本小题选 A.b7.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早 1000 多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马,将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图在堑堵ABC A1B1C1中, AB AC,CC1 BC 2,D,E 分别为棱 AA1, B1C1的中点,则下列结论正确的是( C )A.四面体C1 ABC不是鳖臑B.DE 与平面 ABC1相交C.若 AB 3 6,则 AB 与 DE 所成角的余弦值为4D.平面 DEC 截该三棱柱所得截面为梯形【解】C对于 A,在堑堵 ABC A1B1C1中,CC1 平面 ABC, AC、BC、AB 平面 ABC,所以CC1⊥AC,CC1 BC,CC1 AB,所以 C1AC、△C1CB均为直角三角形,因为 AB AC,所以 ABC为直角三角形,且CC1 AC C ,CC1、AC 平面 ACC1,所以 AB 平面 ACC1,AC1 平面 ACC1,所以 AB AC1,所以 ABC1为直角三角形,所以四面体C1 ABC为鳖臑,故 A 错误;对于B,如图,连接 B1C、C1B相交于点O,所以点O为C1B的中点,连接 EO、AO1所以 EO / /B1B,EO B1B,因为 AD//B B AD=11 , B1B,所以 AD//EO,AD=EO2 2所以四边形 ADEO为平行四边形,所以DE / /AO,因为DE 平面 ABC1,AO 平面 ABC1,所以DE / /平面 ABC1,故 B 错误;对于 C, AB 3,由 B 选项知,DE //AO,所以 AB与DE所成角即 AB与 AO所成角 BAC或其补角,CC BC 2 BO 1因为 1 ,所以 BC1 2,连接 A1E,21所以 A1E B1C 1,2 1所以DE A1E2 AD 21 2 ,所以 AO=DE 2 ,2 2 2在 ABO中,由余弦定理得 cos BAO AO AB BO 2 3 2 6 ,故 C 正确;2AO AB 2 2 3 4对于 D,一般四边形不是梯形. 故选:C π 8. 已知 a,b,e是平面向量, e是单位向量,若非零向量a与 e的夹角为 ,向量b满足3 2b 6b e 8 0,则 a b 的最小值是( A )3 3A. 3 1 B. 3 1 C. 3 1 D.2 2 32【解】A 2 设 a,b共起点,由b 6b e 8 0,可得 b 4e b 2e 0, 所以b 4e与b 2e垂直,如图,由向量减法的几何意义可知,向量b的终点落在图中的 圆上,由题意可知 a的终点在图中所示的射线上, 所以 a b 是从圆上的点到射线上的点形成的向量, 要求 a b 的最小值,只需求圆心到射线的距离减去圆的半径, 故 a b π 3的最小值为3sin 1 3 1. 故选:A.3 2二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分.9.下列说法正确的是( ABD )A.若 z1, z2 C则 z1z2 z1 z2B.若 z1, z2 C , z1 z2 0,则z1 0或z2 0C.若 z1, z C且 z z ,则z 2 z 22 1 2 1 2 2 2D.若 | a | | b |,则 a b【解】ABD10. 如图,三棱锥P OAB中,PO 平面OAB,AB 20,则下列条件中可使三棱锥P OAB体积唯一确定的是( ACD )A. PAO 30 , PBO 45 , AOB 60 B. AO 20 3, AOB 30 , PBO 45 C. AB BO, PAO 30 , PAB 45 D. AO 10 6, BO 20, PAO 45 【解】ACD设 PO h,对于 A,由 PAO 30 , PBO 45 可得 AO 3h, BO h,OAB 23h h2 202 400 4 3 在△ 中,由余弦定理得 cos AOB 1 ,解得 h2 ,2 3h h 2 13所以 h唯一确定,故三棱锥P OAB的体积唯一确定,A正确;AO AB 20 3 20 对于 B,在△OAB中,由正弦定理得 ,即 ,sin OBA sin AOB sin OBA 12解得 sin OBA 3 ,所以 OBA 60 或120 ,故 B 错误;2对于 C,因为 PO 平面OAB,所以 PO AB,又 AB BO, PO BO=O,所以 AB 平面POB,则 AB PB.设 PO h,则 AB PB 2h 20, h 10 2,故三棱锥 P OAB的体积唯一确定,C 正确;对于 D,由△OAB的三边已知,故三棱锥的底面积确定,又 PAO 45 ,所以 PO 10 6,所以三棱锥P OAB体积唯一确定,D正确.故选:ACD.11. 已知圆锥的顶点为 1,底面的圆心为 2, 1 2 = 2,该圆锥的侧面展开图是中心角为3 的扇形,点 , , 是底面圆周上三个不同的动点,则下列结论正确的是( AC )A. 该圆锥的侧面积为8 3πB. 过顶点O1的该圆锥截面面积的最大值为4 32C. 当MN 2 3时,二面角O1 MN O2的正切值为 3D. 若 PM PN且PM PN ,E为线段 MP上动点,则O1E+NE的最小为 40 3 3【解】AC第 II 卷(92 分)三、填空题:本题共 3小题,每题 5分,共 15分.f x tan 2x 12. 函数 的对称中心为______. 3 k 【解】 ,0 k Z 4 6 2x k k 令 k Z ,解得 x k Z ,3 2 4 6 k k 所以函数 y f x 的对称中心为 ,0 k Z .故答案为: ,0 k Z . 4 6 4 6 13. 若在斜二测画法得到的直观图中,m,n分别是 x , y 上的单位向量,定义:若 O M xm yn ,则点M 在直观图的坐标系 x O y 中的坐标为 x, y .已知在直观图的坐标系x O y 中的点 A坐标为 3, 2 ,则 O A 可以是_____.【解】 5 (或 17 )任意写一个都算对.如下图所示,根据斜二测画法得到直观图,2当坐标轴夹角为 45 时,运用余弦定理可知 O A 32 2 2 3 2 cos135 17 .2当坐标轴夹角为135 时,运用余弦定理可知 O A 32 2 2 3 2 cos135 5 .故答案为: 5 (或 17 ),任意写一个都算对.14. 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中,底面边长为 3,侧棱长为 4, 为平面 A1D1C内一动点, 且满足DM MB 0,则所有满足条件的点 所围成平面区域的面积是 .【解】153 50四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.15.(13 分)已知函数 f (x) 3sin2x 2cos2x 1.π(1)求函数 f (x)的单调递增区间及在[0, ]上的值域;22(2)若 为锐角且 f ( ) ,求 cos2 的值.5π【解】(1)[ kπ,π kπ](k Z),[ 1,2];(2)3 6 6 2+1 .10π(1)依题意,函数 f (x) 3sin2x cos2x 2sin(2x )6π由 2kππ π π π 2x 2kπ,k Z ,解得 kπ x kπ,k Z ,2 6 2 3 6π所以函数 f (x)的单调递增区间为[ kπ,π kπ](k Z); ------------------(3 分)3 6由0 xπ π 2x π 7 ,得 π, f (x)min 2sin7π 1, f (x) π2 6 6 6 6 max 2sin 2,2π所以当 x [0, ], f (x)的值域为 [ 1,2]. ------------------(6 分)2π 2 π 1(2)由(1)知, f (x) 2sin(2x ),由 f ( ) ,得 sin(2 ) 0,--(7 分)6 5 6 5π π π 7π π 7π由 (0, ),得 2 ( , ),所以 2 (π, ),2 6 6 6 6 6cos(2 π 1 2 6 ) 1 ( )2 , ------------------(9 分)6 5 5所以 cos2 cos[(2 π π ) ] π cos(2 )cos π sin(2 π )sin π6 6 6 6 6 62 6 3 ( 1) 1 6 2 1 . ---------------(13 分)5 2 5 2 1016.(15 分)如图所示,已知四边形 ABCD是正方形,四边形 ACEF是矩形,M是线段 EF的中点.(1)求证: AM / /平面 BDE;(2)若平面 ADM 平面 BDE l,平面 ABM 平面 BDE m,试分析 与 的位置关系,并证明你的结论.【解】(1)令 AC BD O,连OE,如图,四边形 ABCD是正方形,即 O是 AC中点,而 M是矩形 ACEF边 EF的1中点,则有 AO AC1 FE ME,且 AO / /ME,于是得四边形 AOEM2 2为平行四边形,则 AM / /OE,又OE 平面 BDE, AM 平面 BDE,所以 AM / /平面 BDE . ------------------(7 分)(2) l //m, ------------------(9 分)由(1)知,AM / /平面 BDE,又 AM 平面 ADM ,平面 ADM 平面 BDE l,因此,l // AM,AM / /平面 BDE,又 AM 平面 ABM ,平面 ABM 平面 BDE m,因此,m / /AM ,所以l //m . ------------------(15 分) 117.(15 分)在 ABC中, BC 3BE,若 AB 1, AC 2, AE BC 3(1)求 BAC的大小;(2)若以 ABC为底面的直三棱柱 ABC A1B1C1的所有顶点均在半径为 3的球的球面上,求直三棱柱 ABC A1B1C1的体积.【解】 1 1 2 1 (1)因为 BC 3BE,所以 AE AB BE AB BC AB (AC AB) AB AC.3 3 3 3 2 1 2 2 1 2 1 AE BC AB AC ( AC AB) AB AC AB AC 3 3 3 3 32 4 2 cos BAC 1 , ------------------(6 分)3 3 3 3解得 cos1 BAC ,又 BAC (0, π)2π,所以 BAC ; ------------------(7 分)2 3(2)在△ ABC中,由余弦定理,2 1得到 BC AB2 AC2 2AB AC cos BAC 1 4 4 7,解得 BC 7,----(9 分)22r BC 7 2 21ABC 2π r 21所以△ 外接圆的直径为 sin A 3 ,解得 = ,----------(11 分)sin3 3设直三棱柱 ABC A1B1C1的高为 h,其外接球的半径为 R,2 22 2 h ( 3)2 21 h 2R r 2 6则 ,即2 3 ,解得 h , 2 31 2π 3又△ ABC的面积为 = × 1 × 2 × sin = ,2 3 2ABC ABC = = 3 × 2 6所以直三棱柱 1 1 1的体积为 = 2.----------------(15 分)2 3 18.(17 分)如图,在△ABC 中,∠BAC= AB= 3,AC=1,点 E、F 是线段 BC 上(包括端2 , 点)的动点,(E 在 B,F 之间),∠EAF= 不变.6 (1) 若∠BAE= ,求 EF 的长;6 (2) 求 AE AF的取值范围;(3) 求 EF 的最小值.【解】(1) = 1 ; ------------------(3 分)2(2) 设∠FAC= , 由正弦定理, = , = .sin∠ sin∠ sin∠ sin∠ 1 3 1所以 = 3 , =2 cos 2 sin ( + ) . ------------------(6 分)31因此 = 3 3 1 . ------------------(8 分)8 2 sin ( 2 +3)+4 ∈ (0, ), ∈ [3 3 93 ,3 ]. -----------------(10 分)2 2(3)当|AE||AF|最小时, △ 最小. 又 =1△ | | =3 | | , ---------(12 分)2 4