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2026春华师版八下数学阶段测试
第17章学业质量评价
考试时间：120分钟　　满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.在 ABCD中，下列结论错误的是(D)
A.BC∥AD B.∠B＝∠D
C.∠C＋∠D＝180° D.AC＝BD
2.如图，在 ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则 ABCD的周长为(D)
A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm第2题图　　第4题图　　第6题图
3.在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是(A)
A.2∶3∶2∶3 B.2∶3∶3∶2
C.2∶2∶1∶1 D.1∶2∶3∶4
4.如图，直线l1∥l2，点A，C，F在直线l1上，点B，D，E，G在直线l2上，且AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是(D)
A.AB＝CD
B.A，B两点的距离就是线段AB的长
C.EC＝FG
D.直线l1与直线l2的距离就是线段CD的长
5.某平行四边形的一边长为14，对角线分别为a和b，则a和b的值可能是(C)
A.8和4 B.14和14 C.18和20 D.10和38
6.如图，在 ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF∥AE，交AD于点F，则∠1的度数为(B)
A.40° B.50° C.60° D.80°
7.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8，分别作DE∥AC，CE∥BD，则四边形OCED的周长为(B)
A.16 B.14 C.12 D.7第7题图　　第8题图　　第9题图
8.如图，若 AFPE， BGPF， EPHD的面积分别是15，6，25，则阴影部分的面积是(B)
A.20 B.15.5 C.23 D.25
9.如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH，连接EH，FH，GF，EG，则下列结论中不正确的是(A)
A.GF⊥FH B.GF＝EH
C.EF与AC互相平分 D.EG＝FH
10.如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为(C)
A.3 B.4 C.5 D.6第10题图　　第11题图　　第12题图
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝CD，添加条件　AB∥CD(答案不唯一)　，可使四边形ABCD为平行四边形.(只需添加一个条件)
12.如图，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，若∠A＝65°，∠E＝33°，则∠BGC的度数为　82°　.
13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则EF的长为　7　.第13题图　第14题图　第15题图
14.如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成　4　个平行四边形.
15.如图，在△ABC中，BC＝a，作BC的三等分点C1，使得CC1∶BC1＝1∶2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1；作BC1的三等分点C2，使得C1C2∶BC2＝1∶2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长为a　.
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(8分)如图，在 ABCD中，F是边BC的中点，连结DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E.
∵F是BC的中点，
∴CF＝BF，
∴△DCF≌△EBF(AAS)，
∴BE＝CD，∴AB＝BE.
17.(8分)如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E，F分别是OC，OD的中点.求证：四边形AFBE是平行四边形.
证明：∵AC∥DB，
∴∠C＝∠D，∠CAO＝∠DBO.
∵OA＝OB，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴OC＝OD.
∵E，F分别是OC，OD的中点，
∴OE＝OC，OF＝OD，
∴OE＝OF，
∴四边形AFBE是平行四边形.
18.(9分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连结AE.
(1)求证：AE＝BC；
(2)若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积.
(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠C＋∠B＝180°，
∴∠C＝180°－∠B＝135°.
∵DE＝DA，AD⊥CD，∴∠E＝45°，
∴∠E＋∠C＝180°，∴AE∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，∴AE＝BC.
(2)解：∵四边形ABCE是平行四边形，
∴CE＝AB＝3，
∴DA＝DE＝CE－CD＝2，
∴S ABCE＝CE·AD＝6.
19.(9分)如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝2，连结BN.若BN平分∠DBC，求CN的长.
(1)证明：∵∠A＝∠F，
∴DE∥BC.
∵∠1＝∠2，∠1＝∠DMF，
∴∠DMF＝∠2，
∴DB∥EC，
∴四边形BCED是平行四边形.
(2)解：由(1)知四边形BCED是平行四边形，
∴BC＝DE＝2.
∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN.
由(1)知DB∥EC，
∴∠CNB＝∠DBN，
∴∠CNB＝∠CBN，
∴CN＝BC＝2.
20.(9分)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD和等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连结DF.
(1)求证：AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.
证明：(1)∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，∠EAB＝60°.
∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°＝∠ACB.
∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°＝∠EAB，
∴△ABC≌△EAF(AAS)，∴AC＝EF.
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EFA，∴AD∥EF.
由(1)知AC＝EF，∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形.
21.(10分)如图，BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长.
(1)证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB＝BC，AD＝DC.
在△ADB与△CDB中，
∴△ADB≌△CDB，∴∠BCD＝∠BAD.
∵∠BCD＝∠ADF，∴∠BAD＝∠ADF，∴AB∥FD.
∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD，∴四边形ABDF是平行四边形.
(2)解：∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF＝BD，AB＝DF.
∵AF＝DF＝5，∴AB＝BD＝5.
设BE＝x，则DE＝5－x.
∵BD垂直平分AC，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴AB2－BE2＝AD2－DE2，
即52－x2＝62－(5－x)2，解得x＝，
∴AE＝＝，∴AC＝2AE＝.
22.(10分)如图，在 ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连结CE，CF，EF，且CF＝EF.
(1)若∠CFD＝55°，求∠BCD的度数；
(2)求证：∠EFC＝2∠CFD.
(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠BCF＝∠CFD＝55°.
∵AD＝2AB，∴AD＝2CD.
∵F为AD的中点，∴AF＝DF＝AD，
∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠CFD＝55°，
∴∠BCD＝∠BCF＋∠DCF＝110°.
(2)证明：延长EF，CD交于点M.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠A＝∠FDM.
由(1)知AF＝DF.∵∠AFE＝∠DFM，
∴△EAF≌△MDF(ASA)，∴EF＝MF.
∵EF＝CF，∴CF＝MF，∴∠DCF＝∠M.
由(1)知∠CFD＝∠DCF，
∴∠M＝∠DCF＝∠CFD，
∴∠EFC＝∠M＋∠DCF＝2∠CFD.
23.(12分)在△ABC中，AB＝AC，P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.
(1)如图1，若点P在BC上，此时PD＝0，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(2)如图2，若点P在△ABC内，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(3)如图3，若点P在△ABC外，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系.(不用说明理由)
图1　 　图2　 　图3
解：(1)结论是PD＋PE＋PF＝AB.
证明如下：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF＝AE.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵PE∥AC，
∴∠EPB＝∠C，
∴∠B＝∠EPB，
∴PE＝BE.
∵AE＋BE＝AB，
∴PE＋PF＝AB.
∵PD＝0，
∴PD＋PE＋PF＝AB.
(2)结论是PD＋PE＋PF＝AB.
证明如下：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点.
由(1)得PE＋PF＝AM.
∵四边形BDPM是平行四边形，
∴MB＝PD，
∴PD＋PE＋PF＝AM＋MB＝AB.
(3)结论是PE＋PF－PD＝AB.
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【原创】八下数学阶段测试 讲解课件
第17章学业质量评价
2026春华师版八下数学阶段测试
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.在 ABCD中，下列结论错误的是( )
A.BC∥AD B.∠B＝∠D
C.∠C＋∠D＝180° D.AC＝BD
D
2.如图，在 ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则 ABCD的周长为( )
A.26 cm B.24 cm
C.20 cm D.18 cm
第2题图
D
3.在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是( )
A.2∶3∶2∶3 B.2∶3∶3∶2
C.2∶2∶1∶1 D.1∶2∶3∶4
A
4.如图，直线l1∥l2，点A，C，F在直线l1上，点B，D，E，G在直线l2上，且AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是( )
A.AB＝CD
B.A，B两点的距离就是线段AB的长
C.EC＝FG
D.直线l1与直线l2的距离就是线段CD的长
第4题图
D
5.某平行四边形的一边长为14，对角线分别为a和b，则a和b的值可能是( )
A.8和4 B.14和14
C.18和20 D.10和38
6.如图，在 ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF∥AE，交AD于点F，则∠1的度数为( )
A.40° B.50°
C.60° D.80°
第6题图
C
B
7.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8，分别作DE∥AC，CE∥BD，则四边形OCED的周长为( )
A.16 B.14
C.12 D.7
第7题图
B
8.如图，若 AFPE， BGPF， EPHD的面积分别是15，6，25，则阴影部分的面积是( )
A.20 B.15.5
C.23 D.25
第8题图
B
9.如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH，连接EH，FH，GF，EG，则下列结论中不正确的是( )
A.GF⊥FH B.GF＝EH
C.EF与AC互相平分 D.EG＝FH
第9题图
A
10.如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
第10题图
C
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝CD，添加条件________________________，可使四边形ABCD为平行四边形.(只需添加一个条件)
第11题图
AB∥CD(答案不唯一)
12.如图，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，若∠A＝65°，∠E＝33°，则∠BGC的度数为______.
第12题图
82°
13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则EF的长为____.
第13题图
7
14.如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成____个平行四边形.
第14题图
4
15.如图，在△ABC中，BC＝a，作BC的三等分点C1，使得CC1∶BC1＝1∶2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1；作BC1的三等分点C2，使得C1C2∶BC2＝1∶2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长为_________.
第15题图
a
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(8分)如图，在 ABCD中，F是边BC的中点，连结DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E.
∵F是BC的中点，
∴CF＝BF，
∴△DCF △EBF(AAS)，
∴BE＝CD，∴AB＝BE.
17.(8分)如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E，F分别是OC，OD的中点.求证：四边形AFBE是平行四边形.
证明：∵AC∥DB，
∴∠C＝∠D，∠CAO＝∠DBO.
∵OA＝OB，
∴△AOC △BOD(AAS)，
∴OC＝OD.
∵E，F分别是OC，OD的中点，
∴OE＝OC，OF＝OD，
∴OE＝OF，
∴四边形AFBE是平行四边形.
18.(9分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连结AE.
(1)求证：AE＝BC；
证明：∵AB∥CD，
∴∠C＋∠B＝180°，
∴∠C＝180°－∠B＝135°.
∵DE＝DA，AD⊥CD，∴∠E＝45°，
∴∠E＋∠C＝180°，∴AE∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，∴AE＝BC.
(2)若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积.
解：∵四边形ABCE是平行四边形，
∴CE＝AB＝3，
∴DA＝DE＝CE－CD＝2，
∴S ABCE＝CE·AD＝6.
19.(9分)如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
证明：∵∠A＝∠F，
∴DE∥BC.
∵∠1＝∠2，∠1＝∠DMF，
∴∠DMF＝∠2，
∴DB∥EC，
∴四边形BCED是平行四边形.
(2)已知DE＝2，连结BN.若BN平分∠DBC，求CN的长.
解：由(1)知四边形BCED是平行四边形，
∴BC＝DE＝2.
∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN.
由(1)知DB∥EC，
∴∠CNB＝∠DBN，
∴∠CNB＝∠CBN，
∴CN＝BC＝2.
20.(9分)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD和等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连结DF.
(1)求证：AC＝EF；
证明：∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，∠EAB＝60°.
∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°＝∠ACB.
∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°＝∠EAB，
∴△ABC △EAF(AAS)，∴AC＝EF.
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.
证明：∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EFA，∴AD∥EF.
由(1)知AC＝EF，∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形.
21.(10分)如图，BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB＝BC，AD＝DC.
在△ADB与△CDB中，
∴△ADB △CDB，∴∠BCD＝∠BAD.
∵∠BCD＝∠ADF，∴∠BAD＝∠ADF，∴AB∥FD.
∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD，∴四边形ABDF是平行四边形.
(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长.
解：∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF＝BD，AB＝DF.
∵AF＝DF＝5，∴AB＝BD＝5.
设BE＝x，则DE＝5－x.
∵BD垂直平分AC，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴AB2－BE2＝AD2－DE2，
即52－x2＝62－(5－x)2，解得x＝，
∴AE＝＝，∴AC＝2AE＝.
22.(10分)如图，在 ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连结CE，CF，EF，且CF＝EF.
(1)若∠CFD＝55°，求∠BCD的度数；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠BCF＝∠CFD＝55°.
∵AD＝2AB，∴AD＝2CD.
∵F为AD的中点，∴AF＝DF＝AD，
∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠CFD＝55°，
∴∠BCD＝∠BCF＋∠DCF＝110°.
(2)求证：∠EFC＝2∠CFD.
证明：延长EF，CD交于点M.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠A＝∠FDM.
由(1)知AF＝DF.∵∠AFE＝∠DFM，
∴△EAF △MDF(ASA)，∴EF＝MF.
∵EF＝CF，∴CF＝MF，∴∠DCF＝∠M.
由(1)知∠CFD＝∠DCF，
∴∠M＝∠DCF＝∠CFD，
∴∠EFC＝∠M＋∠DCF＝2∠CFD.
23.(12分)在△ABC中，AB＝AC，P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.
(1)如图1，若点P在BC上，此时PD＝0，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
解：结论是PD＋PE＋PF＝AB.
证明如下：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF＝AE.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵PE∥AC，
∴∠EPB＝∠C，
∴∠B＝∠EPB，
∴PE＝BE.
∵AE＋BE＝AB，
∴PE＋PF＝AB.
∵PD＝0，
∴PD＋PE＋PF＝AB.
(2)如图2，若点P在△ABC内，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
解：结论是PD＋PE＋PF＝AB.
证明如下：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点.
由(1)得PE＋PF＝AM.
∵四边形BDPM是平行四边形，
∴MB＝PD，
∴PD＋PE＋PF＝AM＋MB＝AB.
(3)如图3，若点P在△ABC外，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系.(不用说明理由)
解：结论是PE＋PF－PD＝AB.
Thanks!
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2026春华师版八下数学阶段测试
第17章学业质量评价
考试时间：120分钟　　满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.在 ABCD中，下列结论错误的是(D)
A.BC∥AD B.∠B＝∠D
C.∠C＋∠D＝180° D.AC＝BD
2.如图，在 ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则 ABCD的周长为(D)
A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm第2题图　　第4题图　　第6题图
3.在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是(A)
A.2∶3∶2∶3 B.2∶3∶3∶2
C.2∶2∶1∶1 D.1∶2∶3∶4
4.如图，直线l1∥l2，点A，C，F在直线l1上，点B，D，E，G在直线l2上，且AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是(D)
A.AB＝CD
B.A，B两点的距离就是线段AB的长
C.EC＝FG
D.直线l1与直线l2的距离就是线段CD的长
5.某平行四边形的一边长为14，对角线分别为a和b，则a和b的值可能是(C)
A.8和4 B.14和14 C.18和20 D.10和38
6.如图，在 ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF∥AE，交AD于点F，则∠1的度数为(B)
A.40° B.50° C.60° D.80°
7.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8，分别作DE∥AC，CE∥BD，则四边形OCED的周长为(B)
A.16 B.14 C.12 D.7第7题图　　第8题图　　第9题图
8.如图，若 AFPE， BGPF， EPHD的面积分别是15，6，25，则阴影部分的面积是(B)
A.20 B.15.5 C.23 D.25
9.如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH，连接EH，FH，GF，EG，则下列结论中不正确的是(A)
A.GF⊥FH B.GF＝EH
C.EF与AC互相平分 D.EG＝FH
10.如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为(C)
A.3 B.4 C.5 D.6第10题图　　第11题图　　第12题图
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝CD，添加条件　AB∥CD(答案不唯一)　，可使四边形ABCD为平行四边形.(只需添加一个条件)
12.如图，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，若∠A＝65°，∠E＝33°，则∠BGC的度数为　82°　.
13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则EF的长为　7　.第13题图　第14题图　第15题图
14.如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成　4　个平行四边形.
15.如图，在△ABC中，BC＝a，作BC的三等分点C1，使得CC1∶BC1＝1∶2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1；作BC1的三等分点C2，使得C1C2∶BC2＝1∶2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长为a　.
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(8分)如图，在 ABCD中，F是边BC的中点，连结DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E.
∵F是BC的中点，
∴CF＝BF，
∴△DCF≌△EBF(AAS)，
∴BE＝CD，∴AB＝BE.
17.(8分)如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E，F分别是OC，OD的中点.求证：四边形AFBE是平行四边形.
证明：∵AC∥DB，
∴∠C＝∠D，∠CAO＝∠DBO.
∵OA＝OB，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴OC＝OD.
∵E，F分别是OC，OD的中点，
∴OE＝OC，OF＝OD，
∴OE＝OF，
∴四边形AFBE是平行四边形.
18.(9分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连结AE.
(1)求证：AE＝BC；
(2)若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积.
(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠C＋∠B＝180°，
∴∠C＝180°－∠B＝135°.
∵DE＝DA，AD⊥CD，∴∠E＝45°，
∴∠E＋∠C＝180°，∴AE∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，∴AE＝BC.
(2)解：∵四边形ABCE是平行四边形，
∴CE＝AB＝3，
∴DA＝DE＝CE－CD＝2，
∴S ABCE＝CE·AD＝6.
19.(9分)如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝2，连结BN.若BN平分∠DBC，求CN的长.
(1)证明：∵∠A＝∠F，
∴DE∥BC.
∵∠1＝∠2，∠1＝∠DMF，
∴∠DMF＝∠2，
∴DB∥EC，
∴四边形BCED是平行四边形.
(2)解：由(1)知四边形BCED是平行四边形，
∴BC＝DE＝2.
∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN.
由(1)知DB∥EC，
∴∠CNB＝∠DBN，
∴∠CNB＝∠CBN，
∴CN＝BC＝2.
20.(9分)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD和等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连结DF.
(1)求证：AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.
证明：(1)∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，∠EAB＝60°.
∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°＝∠ACB.
∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°＝∠EAB，
∴△ABC≌△EAF(AAS)，∴AC＝EF.
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EFA，∴AD∥EF.
由(1)知AC＝EF，∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形.
21.(10分)如图，BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长.
(1)证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB＝BC，AD＝DC.
在△ADB与△CDB中，
∴△ADB≌△CDB，∴∠BCD＝∠BAD.
∵∠BCD＝∠ADF，∴∠BAD＝∠ADF，∴AB∥FD.
∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD，∴四边形ABDF是平行四边形.
(2)解：∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF＝BD，AB＝DF.
∵AF＝DF＝5，∴AB＝BD＝5.
设BE＝x，则DE＝5－x.
∵BD垂直平分AC，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴AB2－BE2＝AD2－DE2，
即52－x2＝62－(5－x)2，解得x＝，
∴AE＝＝，∴AC＝2AE＝.
22.(10分)如图，在 ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连结CE，CF，EF，且CF＝EF.
(1)若∠CFD＝55°，求∠BCD的度数；
(2)求证：∠EFC＝2∠CFD.
(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠BCF＝∠CFD＝55°.
∵AD＝2AB，∴AD＝2CD.
∵F为AD的中点，∴AF＝DF＝AD，
∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠CFD＝55°，
∴∠BCD＝∠BCF＋∠DCF＝110°.
(2)证明：延长EF，CD交于点M.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠A＝∠FDM.
由(1)知AF＝DF.∵∠AFE＝∠DFM，
∴△EAF≌△MDF(ASA)，∴EF＝MF.
∵EF＝CF，∴CF＝MF，∴∠DCF＝∠M.
由(1)知∠CFD＝∠DCF，
∴∠M＝∠DCF＝∠CFD，
∴∠EFC＝∠M＋∠DCF＝2∠CFD.
23.(12分)在△ABC中，AB＝AC，P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.
(1)如图1，若点P在BC上，此时PD＝0，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(2)如图2，若点P在△ABC内，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(3)如图3，若点P在△ABC外，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系.(不用说明理由)
图1　 　图2　 　图3
解：(1)结论是PD＋PE＋PF＝AB.
证明如下：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF＝AE.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵PE∥AC，
∴∠EPB＝∠C，
∴∠B＝∠EPB，
∴PE＝BE.
∵AE＋BE＝AB，
∴PE＋PF＝AB.
∵PD＝0，
∴PD＋PE＋PF＝AB.
(2)结论是PD＋PE＋PF＝AB.
证明如下：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点.
由(1)得PE＋PF＝AM.
∵四边形BDPM是平行四边形，
∴MB＝PD，
∴PD＋PE＋PF＝AM＋MB＝AB.
(3)结论是PE＋PF－PD＝AB.
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