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第23课时　开普勒行星运动定律　万有引力定律及应用
目标要求　1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。
考点一　开普勒三大定律
开普勒三大定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 =k，k是一个与行星无关的常量
注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。
1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。
(1)v1与v2大小什么关系？
(2)试证明=。
答案　(1)v1>v2
(2)证明：由开普勒第二定律可得Δl1·r1=Δl2·r2，则有v1Δt·r1=v2Δt·r2，
可得=。
2.把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求k值。
答案　由=mr得：=，即k=。
例1　(2025·广东卷·5)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是(　　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
答案　D
解析　根据题意，设地球与太阳间距离为R，则小行星公转轨道的半长轴为=6R，由开普勒第三定律有=，解得T==6年，故A错误；从远日点到近日点，小行星与太阳间距离逐渐减小，由万有引力定律F=可知，小行星所受太阳引力逐渐增大，故B错误；由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C错误；由牛顿第二定律有=ma，解得a=，可知==，即小行星在近日点的加速度大小约为地球公转加速度的，故D正确。
　开普勒定律的适用范围
(1)开普勒第二定律及其引出的推论，不仅适用于绕太阳运转的所有行星，也适用于以行星为中心的卫星，还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。但需要注意的是，不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。
(2)开普勒第三定律不仅适用于太阳系，它对具有中心天体的引力系统(如行星—卫星系统)和双星系统[=，L为双星间的距离]都成立。
考点二　万有引力定律及其应用
1.万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F=G，G为引力常量，通常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：由mg=G，得g=。
(2)地球上空的重力加速度大小g'
地球上空距离地球中心r=R+h处由mg'=，得g'=。
例2　(2025·江苏高邮市调研)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
答案　B
解析　万有引力定律表达式为F=G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为==0.4，选项B正确。
例3　(2026·河南周口市检测)中国科学家提出一项通过太空望远镜开展的巡天计划，寻找距离地球30多光年外的宜居类地行星。假设某颗星球(视为质量分布均匀的球体)具有和地球一样的自转特征，如图所示，该星球绕AB轴自转，半径为R，A、B所在的位置为“南、北两极”，C、D所在的位置为“赤道”平面内，OM连线与“赤道”平面的夹角为60°。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.该星球的自转角速度大小为
B.该星球的自转周期为2π
C.该星球M位置的自转向心加速度大小为
D.该星球D位置的自转向心加速度大小为g
答案　C
解析　在A处，根据万有引力等于重力有G=mg，在D处根据牛顿第二定律有G=m·g+mω2R，联立可得该星球的自转角速度大小为ω=，A错误；该星球的自转周期为T==4π，B错误；由于OM与“赤道”平面夹角为60°，根据a=ω2r可知M处的自转向心加速度大小为aM=ω2Rcos 60°=g，C正确；该星球D位置的自转向心加速度大小为aD=ω2R=g，D错误。
[变式]　(2025·北京市海淀区期中)由于地球自转的影响，在地球表面不同的地方，物体的重力会随纬度的变化而有所不同。将地球视为质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。用弹簧测力计称量一个相对于地面静止的小物体的重力，设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F1；在赤道地面称量时，弹簧测力计的读数是F2。求：
(1)在赤道地面，小物体随地球自转的向心力大小F；
(2)在纬度为45°的地面称量时，弹簧测力计的读数F3。
答案　(1)F1-F2　(2)
解析　(1)设地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G，则在地球北极地面称量时，万有引力等于重力，则有G=mg1
根据平衡条件有mg1=F1
在赤道地面称量时有G=mg2+m
其中向心力F=m
根据平衡条件有mg2=F2，解得F=F1-F2
(2)在纬度为45°的地面，万有引力F万=G=F1
该位置所需向心力F向=m
该位置的重力大小等于弹簧测力计的读数F3，根据余弦定理有=+-2F万F向cos 45°
联立解得F3=。
　万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：
G=mg1+mω2R。
(2)在两极上：G=mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即=mg。
例4　已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为(　　)
A. B.()2
C. D.
答案　C
解析　设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有G=mg，由于地球的质量M=ρV=ρ·πR3，联立解得g=πGρR，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R-d)的球体表面的重力，“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度为g1=πGρ(R-d)，联立可得g1=g，卫星在高度h处受到的重力，即为该处受到的万有引力，即mg2=，解得加速度g2==g，所以=，故C正确。
　万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引=0。
推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F=G。
考点三　天体质量、密度的计算
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G=mg，得天体质量M=。
(2)天体密度ρ===。
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G=mr，得M=。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例5　(2025·河北保定市三模)某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3倍，不考虑自转的影响，则该星球质量约为地球质量的(　　)
A.10倍 B.30倍
C.100倍 D.300倍
答案　D
解析　设中心天体质量为M，在星球表面，万有引力近似等于重力，则有G=mg，解得M=，由于该星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，星球的半径约为地球半径的10倍，则有==300，即该星球质量约为地球质量的300倍。故选D。
例6　(多选)(2025·安徽卷·9)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则(　　)
A.r= B.r=+R
C.M= D.M=
答案　BC
解析　对于环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有=，可得r=+R，故A错误，B正确；对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得=m()2r，可得M=，故C正确，D错误。
针对训练　(2024·海南卷·6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A. B.
C. D.(1+k)3
答案　D
解析　设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
G=m·(k+1)R
月球的体积V=πR3
月球的平均密度ρ=
联立可得ρ=(1+k)3，故选D。
课时精练
[分值：54分]
　[1~6题，每题4分]
1.(2025·新课标卷·15)“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时(　　)
A.受月球的引力大小保持不变
B.相对月球的速度大小保持不变
C.离月球越近，其相对月球的速度越大
D.离月球越近，其所受月球的引力越小
答案　C
解析　“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，其与月球的距离不断发生变化，根据F=G可知“天都一号”离月球越近，其所受月球的引力越大，故A、D错误；根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时近月点速度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B错误，C正确。
2.(2025·贵州贵阳市二模)考虑到地球自转的影响，下列示意图中可以表示地球表面P点处重力加速度g方向的是(　　)
答案　D
解析　P点处万有引力指向地心，充当合力，是平行四边形对角线，随地球自转的向心力指向地轴，根据矢量三角形可得重力加速度g的方向在PO连线的左下方。故选D。
3.(2025·江西赣州市二模)节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，早在《淮南子》中就有记载。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气。如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。则下列说法正确的是(　　)
A.地球从芒种到夏至的时间间隔比从大雪到冬至的长
B.立夏时地球的公转速度比谷雨时大
C.夏至时地球受太阳的引力比冬至大
D.地球公转周期的三次方与轨道半长轴的平方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数
答案　A
解析　地球从芒种到夏至和从大雪到冬至均转过15°，因前者在远日点附近，角速度较小，后者在近日点附近，角速度较大，由t=可知地球从芒种到夏至的时间间隔比从大雪到冬至的长，故A正确；由开普勒第二定律可知立夏时地球的公转速度比谷雨时小，故B错误；因夏至时地球离太阳的距离r更大，由F=可知夏至时地球受太阳的引力比冬至小，故C错误；由开普勒第三定律可知，地球公转周期的平方与轨道半长轴的三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常量，故D错误。
4.(2025·云南卷·5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳公转的轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半 径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
答案　C
解析　根据开普勒第三定律可知=，其中r地=1 AU，T地=1年，T行=5.8年，代入解得r行≈3.23 AU，故该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。
5.(2026·河南新乡市检测)2025年5月29日，“天问二号”探测器踏上新征程，前往小行星2016HO3开展探测任务。若“天问二号”绕小行星2016HO3做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，小行星2016HO3的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A.小行星2016HO3的质量为
B.小行星2016HO3表面的重力加速度为
C.小行星2016HO3的密度为
D.小行星2016HO3的第一宇宙速度为
答案　B
解析　根据万有引力提供向心力G=mr，可得小行星2016HO3的质量M=，故A错误；根据G=mg'，结合A选项分析可得小行星2016HO3表面的重力加速度g'=，故B正确；小行星2016HO3的密度ρ=，又V=πR3，结合A选项分析可得小行星2016HO3的密度ρ=，故C错误；根据万有引力提供向心力G=m，结合A选项分析可得小行星2016HO3的第一宇宙速度v=，故D错误。
6.(2024·新课标卷·16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
答案　B
解析　设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，行星绕红矮星运行周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，地球到太阳距离为r2，地球公转周期为T2；根据万有引力提供向心力有
G=m1r1
G=m2r2
联立得=()3·()2
由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，得≈0.1，故选B。
　[7~10题，每题6分]
7.(2025·山西吕梁市三模)2024年科学家发现了一颗距离地球40光年的类地行星，这颗行星的发现引发了全球对“第二颗地球”的热议。该行星的体积和地球差不多，质量约为地球的4倍。将某物体分别在该行星表面与地球表面做平抛运动，若水平抛出的高度和初速度均相同，不考虑行星自转的影响，则物体第一次落地时水平距离之比约为(　　)
A.4∶1 B.2∶1
C.1∶2 D.1∶4
答案　C
解析　根据万有引力提供向心力，得G=mg，可得星体表面的重力加速度g=，该行星和地球的质量之比约为4∶1，半径之比约为1∶1，则该行星表面和地球表面的重力加速度大小之比约为4∶1，又根据h=gt2，可得物体在该行星表面和地球表面相同高度做平抛运动的时间之比为1∶2，根据x=v0t，可得物体第一次落地时水平距离之比为1∶2。故选C。
8.(多选)(2025·湖南邵阳市三模)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图)，近月点A距月心约为2.0×103 km，远月点B距月心约为1.8×104 km，CD为椭圆轨道的短轴，已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。下列说法正确的是(　　)
A.利用题中的条件可以估算月球的质量
B.鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h
C.鹊桥二号在A、B两点的速度大小之比约为1∶9
D.鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1
答案　AD
解析　假设有一圆轨道的卫星绕月球做匀速圆周运动，该圆轨道半径等于环月椭圆冻结轨道的半长轴，根据开普勒第三定律可知，该圆轨道的运行周期为24 h，根据万有引力提供向心力有=mr，可得月球的质量为M=，则利用题中的条件可以估算月球的质量，故A正确；鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12 h，故B错误；鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可得vAΔt·rA=vBΔt·rB，可得鹊桥二号在A、B两点的速度大小之比为vA∶vB=rB∶rA=1.8×104∶2.0×103=9∶1，故C错误；根据牛顿第二定律可得=ma，可知鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比为===，故D正确。
9.(2025·北京市东城区二模)质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小F等于(　　)
A.G B.mR
C.G-mR D.G+mR
答案　C
解析　对物块，由牛顿第二定律有-FN=mR，解得物块受到的支持力FN=-mR，根据牛顿第三定律，可知物块对桌面的压力大小F为-mR，故选C。
10.(2025·重庆市三模)卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，只考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示， 已知t2=t1。下列说法正确的是(　　)
A.P、Q绕行星公转的周期之比为2∶1
B.P、Q到行星中心距离的最小值之比为3∶2
C.P、Q的质量之比为32∶81
D.P、Q在离行星最近位置处的加速度之比为 8∶9
答案　C
解析　由题图可知P、Q的周期TP=t1，TQ=2t2，可知P、Q绕行星公转的周期之比为TP∶TQ=1∶2，选项A错误；设卫星P、Q的质量分别为m1和m2，卫星P到行星最近距离为r1，到行星最远距离为r2，卫星Q到行星最近距离为r1'，到行星最远距离为r2'，由题图可得8F=，2F=，9F=，F=，根据开普勒第三定律有=，联立解得=，=，故选项B错误，C正确；根据G=ma，a=，可得P、Q在离行星最近位置处的加速度之比为 ==，选项D错误。
　[6分]
11.(2024·黑吉辽·7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为(　　)
A.2n B. C. D.
答案　C
解析　设地球表面的重力加速度为g，该球状天体表面的重力加速度为g'，弹簧的劲度系数为k，小球质量为m，根据简谐运动的平衡位置合力为零有k·2A=mg，k·A=mg'，可得g=，g'=，可得=2，设该球状天体的半径为R，在地球和天体表面，分别有G=mg，G=mg'，联立可得=，故选C。(共62张PPT)
第五章
万有引力
与宇宙航行
考情分析
生活实践类 地球不同纬度重力加速度的比较
学习探究类 开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型
试题情境
开普勒行星运动定律　
万有引力定律及应用
第23课时
1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。
2.掌握计算天体质量和密度的方法。
目标要求
考点一　开普勒三大定律
考点二　万有引力定律及其应用
内容索引
课时精练
考点三　天体质量、密度的计算
开普勒三大定律
考点一
开普勒三大定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是 　　　，太阳处在　　　的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 　　　相等
椭圆
椭圆
面积
定律 内容 图示或公式
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的______ 跟它的公转周期的　　　　的比都相等 =k，k是一个与行星无关的常量
三次方
二次方
注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。
1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。
答案　v1>v2
讨论交流
(1)v1与v2大小什么关系？
答案　证明：由开普勒第二定律可得Δl1·r1=Δl2·r2，则有v1Δt·r1=v2Δt·r2，可得=。
(2)试证明=。
2.把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求k值。
答案　由=mr得：=，即k=。
　　　(2025·广东卷·5)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
√
　　 根据题意，设地球与太阳间距离为R，则小行星公转轨道的半长轴
为=6R，由开普勒第三定律有=，解得T==6年，
故A错误；
从远日点到近日点，小行星与太阳间距离逐渐减小，由万有引力定律F=
可知，小行星所受太阳引力逐渐增大，故B错误；
由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C错误；
由牛顿第二定律有=ma，解得a=，可知==，即小行星在近日点的加速度大小约为地球公转加速度的，故D正确。
开普勒定律的适用范围
(1)开普勒第二定律及其引出的推论，不仅适用于绕太阳运转的所有行星，也适用于以行星为中心的卫星，还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。但需要注意的是，不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。
(2)开普勒第三定律不仅适用于太阳系，它对具有中心天体的引力系统
(如行星—卫星系统)和双星系统[=，L为双星间的距离]都成立。
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万有引力定律及其应用
考点二
1.万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与　　　　　　　　　　　　成正比、与它们之间____________
成反比。即F=G，G为引力常量，通常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2，
由英国物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于　　　间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是　　　　间的距离。
物体的质量m1和m2的乘积
距离r的二次方
质点
两球心
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：由mg=G，得g=。
(2)地球上空的重力加速度大小g'
地球上空距离地球中心r=R+h处由mg'=，得g'=。
　　　(2025·江苏高邮市调研)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值
约为
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
　　 万有引力定律表达式为F=G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为==0.4，选项B正确。
√
　　　 (2026·河南周口市检测)中国科学家提出一项通过太空望远镜开展的巡天计划，寻找距离地球30多光年外的宜居类地行星。假设某颗星球(视为质量分布均匀的球体)具有和地球一样的自转特征，如图所示，该星球绕AB轴自转，半径为R，A、B所在的位置为“南、北两极”，C、D所在的位置为“赤道”平面内，OM连线与“赤道”平面的夹角为60°。经测定，A位置的重力加速
度为g，D位置的重力加速度为g，则下列说法正确的是
A.该星球的自转角速度大小为
B.该星球的自转周期为2π
C.该星球M位置的自转向心加速度大小为
D.该星球D位置的自转向心加速度大小为g
√
　　 在A处，根据万有引力等于重力有G=mg，在D处根据牛顿第二定律有G=m·g+mω2R，联立可得该星球的自转角速度大小为ω=，
A错误；
该星球的自转周期为T==4π，B错误；
由于OM与“赤道”平面夹角为60°，根据a=ω2r可知M处的自转向心加
速度大小为aM=ω2Rcos 60°=g，C正确；
该星球D位置的自转向心加速度大小为aD=ω2R=g，D错误。
[变式]　(2025·北京市海淀区期中)由于地球自转的影响，在地球表面不同的地方，物体的重力会随纬度的变化而有所不同。将地球视为质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。用弹簧测力计称量一个相对于地面静止的小物体的重力，设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F1；在赤道地面称量时，弹簧测力计的读数是F2。求：
(1)在赤道地面，小物体随地球自转的向心力大小F；
答案　F1-F2
　　 设地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G，则在地球北极地
面称量时，万有引力等于重力，则有G=mg1
根据平衡条件有mg1=F1
在赤道地面称量时有G=mg2+m
其中向心力F=m
根据平衡条件有mg2=F2，解得F=F1-F2
(2)在纬度为45°的地面称量时，弹簧测力计的读数F3。
答案　
　　在纬度为45°的地面，万有引力F万=G=F1
该位置所需向心力F向=m
该位置的重力大小等于弹簧测力计的读数F3，根据余弦定理有=+-2F万F向cos 45°
联立解得F3=。
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力
mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：
G=mg1+mω2R。
(2)在两极上：G=mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较
小，常认为万有引力近似等于重力，即=mg。
　　　已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为
A. B.()2
C. D.
√
　　 设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，
有G=mg，由于地球的质量M=ρV=ρ·πR3，联立解得g=πGρR，在深度
为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R-d)的球
体表面的重力，“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度为g1=πGρ(R-d)，联立可得g1=g，卫星在高度h处受到的重力，即为该处受到的万有引力，即mg2=，解得加速度g2==g，所以=，故C正确。
万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受
到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引=0。
推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受
到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F=G。
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天体质量、密度的计算
考点三
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G=mg，得天体质量M=。
(2)天体密度ρ===。
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G=mr，得M=。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
　　　(2025·河北保定市三模)某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3倍，不考虑自转的影响，则该星球质量约为地球质量的
A.10倍 B.30倍
C.100倍 D.300倍
√
　　设中心天体质量为M，在星球表面，万有引力近似等于重力，则有
G=mg，解得M=，由于该星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，星球的半径约为地球半径的10倍，则有==300，即该
星球质量约为地球质量的300倍。故选D。
(多选)(2025·安徽卷·9)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则
A.r= B.r=+R
C.M= D.M=
√
√
　　对于环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有=
，可得r=+R，故A错误，B正确；
对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得=m()2r，可得M=，故C正确，D错误。
针对训练　(2024·海南卷·6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为
A. B.
C. D.(1+k)3
√
　　 设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
G=m·(k+1)R
月球的体积V=πR3
月球的平均密度ρ=
联立可得ρ=(1+k)3，故选D。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A C B B C AD
题号 9 10 11
答案 C C C
答案
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1.(2025·新课标卷·15)“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时
A.受月球的引力大小保持不变
B.相对月球的速度大小保持不变
C.离月球越近，其相对月球的速度越大
D.离月球越近，其所受月球的引力越小
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答案
基础落实练
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答案
　　 “天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，其与月球的距离不断发生变化，根据F=G可知“天都一号”离月球越近，其所受月球的引力越大，故A、D错误；
根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时近月点速度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B错误，C正确。
2.(2025·贵州贵阳市二模)考虑到地球自转的影响，下列示意图中可以表示地球表面P点处重力加速度g方向的是
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答案
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答案
　　　P点处万有引力指向地心，充当合力，是平行四边形对角线，随地球自转的向心力指向地轴，根据矢量三角形可得重力加速度g的方向在PO连线的左下方。故选D。
3.(2025·江西赣州市二模)节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，早在《淮南子》中就有记载。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气。如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。则下列说法正确的是
1
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11
答案
A.地球从芒种到夏至的时间间隔比从大雪
　到冬至的长
B.立夏时地球的公转速度比谷雨时大
C.夏至时地球受太阳的引力比冬至大
D.地球公转周期的三次方与轨道半长轴的平
　方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数
√
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答案
　　　地球从芒种到夏至和从大雪到冬至均转过15°，因前者在远日点
附近，角速度较小，后者在近日点附近，角速度较大，由t=可知地球从
芒种到夏至的时间间隔比从大雪到冬至的长，故A正确；
由开普勒第二定律可知立夏时地球的公转速度比谷雨时小，故B错误；
因夏至时地球离太阳的距离r更大，由F=可知夏至时地球受太阳的引
力比冬至小，故C错误；
由开普勒第三定律可知，地球公转周期的平方与轨道半长轴的三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常量，故D错误。
4.(2025·云南卷·5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳公转的轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于
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答案
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半 径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间 　　B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间 　　D.天王星与海王星的公转轨道之间
√
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答案
　　　根据开普勒第三定律可知=，其中r地=1 AU，T地=1年，T行
=5.8年，代入解得r行≈3.23 AU，故该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。
5.(2026·河南新乡市检测)2025年5月29日，“天问二号”探测器踏上新征程，前往小行星2016HO3开展探测任务。若“天问二号”绕小行星2016HO3做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，小行星2016HO3的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是
A.小行星2016HO3的质量为
B.小行星2016HO3表面的重力加速度为
C.小行星2016HO3的密度为
D.小行星2016HO3的第一宇宙速度为
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答案
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答案
　　　根据万有引力提供向心力G=mr，可得小行星2016HO3的质量M=，故A错误；
根据G=mg'，结合A选项分析可得小行星2016HO3表面的重力加速度g'=，故B正确；
小行星2016HO3的密度ρ=，又V=πR3，结合A选项分析可得小行星2016HO3的密度ρ=，故C错误；
根据万有引力提供向心力G=m，结合A选项分析可得小行星2016HO3的第一宇宙速度v=，故D错误。
6.(2024·新课标卷·16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
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答案
　　　设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，行星绕红矮星运行周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，地球到太阳距离为r2，地球公转周期为T2；根据万有引力提供向心力有
G=m1r1
G=m2r2
联立得=()3·()2
由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，得≈0.1，故选B。
7.(2025·山西吕梁市三模)2024年科学家发现了一颗距离地球40光年的类地行星，这颗行星的发现引发了全球对“第二颗地球”的热议。该行星的体积和地球差不多，质量约为地球的4倍。将某物体分别在该行星表面与地球表面做平抛运动，若水平抛出的高度和初速度均相同，不考虑行星自转的影响，则物体第一次落地时水平距离之比约为
A.4∶1 B.2∶1
C.1∶2 D.1∶4
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答案
能力综合练
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答案
　　　根据万有引力提供向心力，得G=mg，可得星体表面的重力加速度g=，该行星和地球的质量之比约为4∶1，半径之比约为1∶1，则该行星表面和地球表面的重力加速度大小之比约为4∶1，又根据h=gt2，
可得物体在该行星表面和地球表面相同高度做平抛运动的时间之比为1∶2，根据x=v0t，可得物体第一次落地时水平距离之比为1∶2。故选C。
8.(多选)(2025·湖南邵阳市三模)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图)，近月点A距月心约为2.0×103 km，远月点B距月心约为1.8×104 km，CD为椭圆轨道的短轴，已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。下列说法正确的是
A.利用题中的条件可以估算月球的质量
B.鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h
C.鹊桥二号在A、B两点的速度大小之比约为1∶9
D.鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1
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答案
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答案
　　　假设有一圆轨道的卫星绕月球做匀速圆周运动，该圆轨道半径等于环月椭圆冻结轨道的半长轴，根据开普勒第三定律可知，该圆轨道的
运行周期为24 h，根据万有引力提供向心力有=mr，可得月球的质量为M=，则利用题中的条件可以估算月球的质量，故A正确；
鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12 h，故B错误；
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答案
　　　鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可得vAΔt·rA
=vBΔt·rB，可得鹊桥二号在A、B两点的速度大小之比为vA∶vB=rB∶rA=
1.8×104∶2.0×103=9∶1，故C错误；
根据牛顿第二定律可得=ma，可知鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比为===，故D正确。
9.(2025·北京市东城区二模)质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小F等于
A.G B.mR
C.G-mR D.G+mR
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　　　对物块，由牛顿第二定律有-FN=mR，解得物块受到的支持力FN=-mR，根据牛顿第三定律，可知物块对桌面的压力大小F为-mR，故选C。
10.(2025·重庆市三模)卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，只考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示，已知t2=t1。下列说法正确的是
A.P、Q绕行星公转的周期之比为2∶1
B.P、Q到行星中心距离的最小值之比为3∶2
C.P、Q的质量之比为32∶81
D.P、Q在离行星最近位置处的加速度之比为8∶9
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　　　由题图可知P、Q的周期TP=t1，TQ=2t2，可知P、Q绕行星公转的周期之比为TP∶TQ=1∶2，选项A错误；
设卫星P、Q的质量分别为m1和m2，卫星P到行星最近距离为r1，到行星最远距离为r2，卫星Q到行星最近距离为r1'，到行星最远距离为r2'，由题图可得8F=
，2F=，9F=，F=，根据开普勒第三定律有=，联立解得=，=，故选项B错误，C正确；
根据G=ma，a=，可得P、Q在离行星最近位置处的加速度之比为 ==，选项D错误。
11.(2024·黑吉辽·7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该
天体半径的n倍。的值为
A.2n B.
C. D.
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尖子生选练
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　　　设地球表面的重力加速度为g，该球状天体表面的重力加速度为g'，弹簧的劲度系数为k，小球质量为m，根据简谐运动的平衡位置合力为零
有k·2A=mg，k·A=mg'，可得g=，g'=，可得=2，设该球状天体的半径为R，在地球和天体表面，分别有G=mg，G=mg'，联立可得=，故选C。
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本课结束
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第五章

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