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第24课时　人造卫星　宇宙速度
目标要求　1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。3.了解同步卫星特点，会比较同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运行。4.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
考点一　天体运动参量的分析
1.基本公式
(1)线速度大小：由G=m得v=。
(2)角速度：由G=mω2r得ω=。
(3)周期：由G=m()2r得T=2π。
(4)向心加速度大小：由G=man得an=。
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。
2.“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg=G，整理可得GM=gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。
例1　(2025·湖北卷·2)甲、乙两行星绕某恒星做匀速圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是(　　)
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
答案　A
解析　恒星对行星的万有引力提供行星做匀速圆周运动所需的向心力，可知G=m=mω2r=mr=ma，解得T=2π，v=，ω=，a=，因r甲v乙，ω甲>ω乙，a甲>a乙，故选A。
例2　(2025·广东揭阳市一模)极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)。若某极地卫星从南极的正上方开始到第二次运行至北极正上方，所用时间为t，已知地球半径为R(地球可看作球体)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，由以上可知下列选项正确的是(　　)
A.卫星运行的角速度为
B.卫星运行的线速度大小为
C.地球的质量为
D.卫星距地面的高度为-R
答案　A
解析　某极地卫星从南极的正上方开始第二次运行至北极正上方，所用时间为t，即t=T，所以卫星运行的周期为T=t，卫星运行的角速度为ω==，故A正确；根据万有引力提供卫星运动的向心力有G=mω2r，地球表面的重力和万有引力相等有G=mg，联立两式解得r=，所以线速度大小v=ωr=，故B错误；由G=mg得地球的质量为M=，故C错误；卫星距地面的高度为h=r-R=-R，故D错误。
考点二　三个宇宙速度
三个宇宙速度
第一宇宙速度 (环绕速度) v1=7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度
第二宇宙速度 v2=11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 v3=16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
1.(1)试推导第一宇宙速度的两个表达式。
(2)近地卫星的运行周期大约是多长时间？
(已知地球质量为m地，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中R=6.4×103 km，g=9.8 m/s2)
答案　(1)由G=m得v=
由mg=m得v=
(2)近地卫星运行周期T=2π=2π s≈85 min。
2.已知引力势能的表达式为Ep=-，其中r为卫星到地心的距离。试推导地球第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系，并给出第二宇宙速度的估算值。(此关系对于其他天体也是正确的)
答案　卫星从发射到脱离地球至无穷远处的过程中机械能守恒，有
-+m=0
在地球表面附近环绕的卫星=
联立得v2=v1
又v1=7.9 km/s，故可得v2=11.2 km/s。
例3　(2025·福建宁德市模拟)火星为太阳系里四颗类地行星之一，火星的半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的十分之一，把地球和火星看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转，则火星与地球的第一宇宙速度大小之比约为(　　)
A.1∶ B.2∶5
C.3∶5 D.2∶3
答案　A
解析　根据万有引力提供向心力有G=m，可得==，故选A。
例4　(2025·甘肃卷·2)如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A.若v=，小星球做匀速圆周运动
B.若C.若v=，小星球做椭圆运动
D.若v>，小星球可能与恒星相撞
答案　A
解析　根据题意，若小星球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有=m，解得v=，故A正确；结合A分析可知，若，小星球将脱离恒星引力束缚，不可能与恒星相撞，故D错误。
　宇宙速度与运动轨迹的关系
1.v发=7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
2.7.9 km/s3.11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
4.v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
考点三　同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题
人造卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。
1.极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
2.同步卫星
(1)静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。
(2)周期与地球自转周期相等，T=24 h。
(3)高度固定不变，h=3.6×107 m。
(4)运行速率约为v=3.1 km/s。
3.近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r=R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v=7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。
(1)在同一轨道上质量大的卫星受到地球引力大，是否加速度就大，运行速度就快？
(2)随着我国航空航天科技的发展，将来可以发射定点到广州上空的静止卫星吗？
(3)赤道上放置一待发射卫星A，天空运行一同步卫星B，可以由v=得A卫星线速度大于B卫星线速度吗？
答案　(1)由a=及v=可得卫星运行加速度和速度与卫星质量无关，同一轨道上各卫星具有相同加速度大小和速度大小。
(2)由于静止卫星必须与地球自转同步，且转动中心必须在地心，故静止卫星只能定点在赤道正上方。
(3)赤道上放置的物体由万有引力的一个分力提供向心力，故不满足v=，又由v=ωr，A、B两卫星具有相同的角速度，故B卫星线速度大。
例5　(2025·天津市和平区期末)2025年4月11日0时47分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星十七号(以下简称十七号)发射升空，该卫星进入赤道上方高度约36 000 km处的静止轨道后绕地球做匀速圆周运动。以下说法正确的是(　　)
A.十七号的轨道半径约为36 000 km
B.十七号的运行速度比月球绕地球的速度小
C.十七号的向心加速度小于地球表面的重力加速度
D.十七号会在每天固定时间从北京的正上方经过
答案　C
解析　36 000 km是该卫星离地球的高度，不是其轨道半径，其轨道半径为36 000 km加上地球半径，故A错误；该卫星的轨道半径小于月球的轨道半径，根据万有引力提供向心力有G=m，可得v=，可知十七号的运行速度比月球绕地球的速度大，故B错误；根据牛顿第二定律G=ma可得a=，可知十七号的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C正确；该卫星的轨道平面与赤道平面共面，不会经过北京正上方，故D错误。
例6　(2025·贵州毕节市一模)两种卫星绕地球运行的轨道如图，设地球半径为R，地球赤道上的物体随地球自转的速度大小为v1，加速度大小为a1；近地卫星的轨道半径近似为R，运行速度大小为v2，加速度大小为a2；地球静止卫星的轨道半径为r，运行速度大小为v3，加速度大小为a3。下列选项正确的是(　　)
A.=1 B.=(
C.=()2 D.=
答案　B
解析　卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有=m=ma，可得v=，a=，则有==(，=，故B正确，D错误；地球赤道上的物体与静止卫星的角速度相等，根据v=ωr，a=ω2r可得=，=，则有=，故A、C错误。
　同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
比较项目 近地卫星a (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星b (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体c(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1=r3
角速度 ω1>ω2=ω3
线速度 v1>v2>v3
向心加速度 a1>a2>a3
考点四　星球“瓦解”问题　黑洞问题
1.星球的“瓦解”问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即=mω2R，得ω=。当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
例7　2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
答案　C
解析　毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G≥mr，又知M=ρ·πr3，
整理得密度ρ≥= kg/m3
≈5.2×1015 kg/m3，故选C。
例8　(2025·山东青岛市模拟)史瓦西半径是任何有质量的物质都存在的一个临界半径，该半径的含义是：该物质被压缩到此半径时，就成为一个黑洞，即它的逃逸速度等于光速c。已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍，该星球半径R=6 400 km，表面重力加速度g取10 m/s2，光速c=3×108 m/s，不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约为(　　)
A.6毫米 B.9毫米
C.6米 D.9米
答案　B
解析　对该星球，有=m，由黄金代换公式有GM=gR2，联立得史瓦西半径r=≈9×10-3 m，即9毫米。故选B。
课时精练
[分值：60分]
　[1~5题，每题4分]
1.(2025·贵州毕节市三模)2025年1月7日，实践二十五号卫星在西昌卫星发射中心发射成功，并在离地36 000 km高空的圆轨道为北斗G7卫星加注142公斤燃料，完成人类首次太空卫星燃料补加及延寿服务。若加注燃料前后G7卫星的轨道半径不变，则(　　)
A.加注燃料时，实践二十五号卫星的线速度大于7.9 km/s
B.加注燃料时，实践二十五号卫星与G7卫星处于平衡状态
C.加注燃料后，G7卫星质量增大，线速度大小不变
D.加注燃料后，G7卫星质量增大，加速度减小
答案　C
解析　第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，是最大环绕速度，所以实践二十五号卫星的线速度小于7.9 km/s，A错误；在加注燃料时，两卫星相对静止，处于失重状态，并非平衡状态，B错误；根据=ma=m，解得v=，a=，可知加注燃料后，质量增加，轨道半径不变，线速度和加速度大小均不变，C正确，D错误。
2.(多选)(2026·云南曲靖市检测)地球的同步卫星可以根据所在的轨道平面不同进行分类，其中轨道平面在地球赤道面上的叫静止卫星，倾斜轨道同步卫星的轨道平面与地球赤道平面成一定夹角，如图所示。两种同步卫星的绕行轨道都为圆轨道，运行周期都等于地球的自转周期。下列说法中正确的是(　　)
A.两种同步卫星的轨道半径大小相等
B.两种同步卫星的运行速度都小于第一宇宙速度
C.同步卫星的向心加速度可能大于地球表面的重力加速度
D.随着科技的发展，将来一定能发射定点于北京上空的地球同步卫星
答案　AB
解析　同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有G=mr，解得r=，同步卫星的周期与地球自转周期相同，所以同步卫星离地面的高度一定，即两种同步卫星的轨道半径大小相等，故A正确；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是做圆周运动的最大的环绕速度，所以地球同步卫星运行的线速度小于第一宇宙速度，故B正确；根据G=ma可得a=，同步卫星的轨道半径大于地球半径，可知同步卫星的向心加速度小于地球表面的重力加速度，C错误；同步卫星运行的轨道平面一定通过地心，即使随着科技的发展，将来不可能发射定点于北京上空的地球同步卫星，D错误。
3.(2025·河南卷·3)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为(　　)
A.13天 B.27天 C.64天 D.128天
答案　A
解析　地球绕太阳运行时，根据万有引力提供向心力得=m0r0，同理得类地行星绕其母恒星运行时有=mr，整理得=，将r=r0，M=M0，T0=365天，代入得T=T0≈13天，选项A正确。
4.(多选)(2025·福建厦门市三模)如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是(　　)
A.a、b、c三物体，都仅由万有引力提供向心力
B.周期关系为Ta=Tc>Tb
C.线速度的大小关系为vaD.向心加速度的大小关系为ab>ac>aa
答案　BD
解析　b、c围绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力。a为地球赤道上的物体，由万有引力和地面的支持力的合力提供向心力，故A错误；c为地球同步卫星，a为地球赤道上的物体，两者的周期与地球自转周期相等。对于b、c，根据开普勒第三定律，可得=k，由题图可知rbTb，故B正确；根据v=ωr，a、c角速度相等，a的轨道半径比c的轨道半径小，可得vaaa，对于b、c，根据牛顿第二定律，可得G=ma，解得a=G，由于c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的向心加速度小于b的向心加速度，所以有ab>ac>aa，故D正确。
5.(多选)(2024·湖南卷·7)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　)
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
答案　BD
解析　返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有
mg月=，得v月=①
由于地球第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，
同理可得v地= ②
由①②可得v月=v地，故A错误，B正确；
再根据线速度和周期的关系有
T=·R，=·=
得T月=T地，故C错误，D正确。
6.(10分)(2025·湖南邵阳市检测)假设航天员登上某一星球，该星球的半径为R=3×106 m。他在该星球表面将一小球从与水平面成θ=30°角的斜面上水平抛出，如图所示，抛出的初速度大小为v0=3 m/s，经过时间t=2 s小球又落在斜面上。忽略星球自转的影响，不计星球表面的大气阻力，求：
(1)(5分)该星球表面的自由落体加速度；
(2)(5分)该星球的第一宇宙速度。
答案　(1)3 m/s2　(2)3×103 m/s
解析　(1)设该星球表面的自由落体加速度为g，小球做平抛运动，有tan 30°==
解得g==3 m/s2
(2)设该星球的第一宇宙速度为v，由万有引力提供向心力可得=m
又=mg
可得v==3×103 m/s。
　[7~11题，每题6分]
7.(2025·重庆市三模)千帆星座卫星具有覆盖范围广以及传输延迟低等优点，已知千帆星座的某颗卫星运行在距地球表面高度约为600 km的圆轨道上，地球半径为R=6 400 km，地球质量为M=5.97×1024 kg，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。则(　　)
A.若轨道高度加倍，该卫星的线速度将变为原来的倍
B.该卫星的公转周期约为24小时
C.该卫星的公转速度大小约为3 km/s
D.该卫星的向心加速度大小约为8.1 m/s2
答案　D
解析　根据万有引力提供向心力有G=m，解得v=，可知轨道高度加倍，则线速度变小，故A错误；根据万有引力提供向心力有G=m()2r，解得T=2π，因其轨道半径比同步卫星的小，故其周期一定比同步卫星的24小时周期小，故B错误；由v=代入数据得v≈7.5 km/s，故C错误；根据牛顿第二定律有G=ma，代入数据解得向心加速度大小a≈8.1 m/s2，故D正确。
8.(2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是(　　)
A.周期为2t1-t0
B.半径为
C.角速度的大小为
D.加速度的大小为
答案　B
解析　由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T=t1-t0，则P的公转周期为t1-t0，故A错误；P绕Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得=mr，解得半径为r==，故B正确；P的角速度为ω==，故C错误；P的加速度大小为a=ω2r=()2·=·，故D错误。
9.(2025·广东清远市二模)卫星与地心连线同地球表面的交点称为星下点(即卫星的正投影位置)，通过星下点监测系统可实时追踪卫星运行状态。某卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道如图甲虚线所示。图乙为该卫星的监测示意图：底部数值表示经度，曲线为星下点轨迹的时空展开图，其中标注了第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ圈的轨迹，A、B、C三点分别为各圈轨迹与赤道的交点。已知地球自转周期为24小时，卫星运行方向如图甲箭头所示。下列判断正确的是(　　)
A.该卫星属于地球同步卫星中的静止卫星
B.该卫星的运行周期约1.5 h
C.该卫星运行过程中，线速度大小大于第一宇宙速度
D.根据A、B、C交点可判断，在卫星运行一圈时间内，地球大约自转30°
答案　B
解析　由题图甲可知，该卫星运行轨道与赤道平面不重合，不属于地球同步卫星中的静止卫星，A错误；第一宇宙速度为卫星运行的最大速度，该卫星运行过程中，线速度大小小于第一宇宙速度，C错误；根据赤道与星下点轨迹展开图的交点A、C可知，地球自转45°，此时该卫星刚好运行两圈。即在该卫星运行一圈时间内，地球大约自转22.5°，D错误；该卫星刚好运行两圈所用时间t=×24 h=3 h，可知该卫星的运行周期约1.5 h，B正确。
10.(2025·重庆卷·7)“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的(　　)
A.轨道半径之比为
B.周期之比为
C.线速度大小之比为
D.向心加速度大小之比为()2
答案　D
解析　根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为=，故A错误；根据万有引力提供向心力有=m()2r=m=ma，解得T=，v=，a=，故可得周期之比为=；线速度大小之比为=；向心加速度大小之比为=()2，故B、C错误，D正确。
11.(2025·北京市海淀区三模)第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即v'=，其中m为中心天体的质量，R为其半径。这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，中心天体m越大，R越小，其逃逸速度也就越大。宇宙中存在这种天体，以c=3×108 m/s的速度传播的光都不能逃逸。即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它，这种天体称为黑洞。科学家发现银河系中心天体是一颗质量为M的黑洞，它附近有一颗恒星S2环绕，其运动轨道是一个非常扁的椭圆(如图)。若S2在近星点P与黑洞中心的距离为r1，线速度大小为v1，在远星点Q与黑洞中心的距离为r2，线速度大小为v2。S2的椭圆轨道面积为A，运动周期为T，引力常量为G。不计其他天体的影响，以下说法错误的是(　　)
A.在近星点和远星点的速度满足v1>v2
B.S2在近星点的线速度大小v1也可以表示为
C.S2在P点和Q点的加速度大小之比为
D.中心天体黑洞的半径至多为
答案　B
解析　根据开普勒第二定律可知在近星点的速度大于在远星点的速度，即v1>v2，故A正确；根据开普勒第二定律r1v1Δt=r2v2Δt=Δt，可得v1=，故B错误；根据牛顿第二定律G=ma，可得a=，则S2在P点和Q点的加速度大小之比为，故C正确；因为光都不能逃逸，根据逃逸速度公式v'=，当v'=c时，可得c=，解得R=，所以中心天体黑洞的半径至多为，故D正确。(共65张PPT)
第五章
万有引力
与宇宙航行
人造卫星　宇宙速度
第24课时
1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。
2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。
3.了解同步卫星特点，会比较同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运行。
4.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
目标要求
考点一　天体运动参量的分析
考点二　三个宇宙速度
内容索引
考点三　同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动问题
考点四　星球“瓦解”问题　黑洞问题
课时精练
天体运动参量的分析
考点一
1.基本公式
(1)线速度大小：由G=m得v= 。
(2)角速度：由G=mω2r得ω= 。
(3)周期：由G=m()2r得T= 。
(4)向心加速度大小：由G=man得an= 。
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an　　　，T
　　　，即越高越　　。
2π
越小
越大
慢
2.“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg=G，整理可得　　　　 。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。
GM=gR2
　　　 (2025·湖北卷·2)甲、乙两行星绕某恒星做匀速圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
√
　　 恒星对行星的万有引力提供行星做匀速圆周运动所需的向心力，可
知G=m=mω2r=mr=ma，解得T=2π，v=，ω=，a=，
因r甲v乙，ω甲>ω乙，a甲>a乙，故选A。
　　　 (2025·广东揭阳市一模)极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)。若某极地卫星从南极的正上方开始到第二次运行至北极正上方，所用时间为t，已知地球半径为R(地球可看作球体)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，由以上可知下列选项正确的是
A.卫星运行的角速度为
B.卫星运行的线速度大小为
C.地球的质量为
D.卫星距地面的高度为-R
√
　　 某极地卫星从南极的正上方开始第二次运行至北极正上方，所用时
间为t，即t=T，所以卫星运行的周期为T=t，卫星运行的角速度为ω==，故A正确；
根据万有引力提供卫星运动的向心力有G=mω2r，地球表面的重力和万有引力相等有G=mg，联立两式解得r=，所以线速度大小v=ωr=，故B错误；
由G=mg得地球的质量为M=，故C错误；
卫星距地面的高度为h=r-R=-R，故D错误。
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三个宇宙速度
考点二
三个宇宙速度
第一宇宙速度 (环绕速度) v1= km/s，是人造地球卫星的　　　发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度
第二宇宙速度 v2=11.2 km/s，是物体挣脱　　　引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 v3=16.7 km/s，是物体挣脱　　　引力束缚的最小发射速度
7.9
最小
地球
太阳
1.(1)试推导第一宇宙速度的两个表达式。
答案　由G=m得v=
由mg=m得v=
讨论交流
(2)近地卫星的运行周期大约是多长时间？
(已知地球质量为m地，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中R=6.4×103 km，g=9.8 m/s2)
答案　近地卫星运行周期T=2π=2π s≈85 min。
2.已知引力势能的表达式为Ep=-，其中r为卫星到地心的距离。试推导地球第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系，并给出第二宇宙速度的估算值。(此关系对于其他天体也是正确的)
答案　卫星从发射到脱离地球至无穷远处的过程中机械能守恒，有
-+m=0
在地球表面附近环绕的卫星=
联立得v2=v1
又v1=7.9 km/s，故可得v2=11.2 km/s。
　　　(2025·福建宁德市模拟)火星为太阳系里四颗类地行星之一，火星的半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的十分之一，把地球和火星看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转，则火星与地球的第一宇宙速度大小之比约为
A.1∶ B.2∶5
C.3∶5 D.2∶3
√
　　 根据万有引力提供向心力有G=m，可得==，故选A。
　　　(2025·甘肃卷·2)如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是
A.若v=，小星球做匀速圆周运动
B.若C.若v=，小星球做椭圆运动
D.若v>，小星球可能与恒星相撞
√
根据题意，若小星球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有=m，解得v=，故A正确；
结合A分析可知，若周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故B错误；
若v=，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物
线运动，而不是椭圆运动，故C错误；
若v>，小星球将脱离恒星引力束缚，不可能与恒星相撞，故D错误。
宇宙速度与运动轨迹的关系
1.v发=7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
2.7.9 km/s3.11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
4.v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
返回
同步卫星、近地卫星及
赤道上物体的运动问题
考点三
人造卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。
1.极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球
自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
2.同步卫星
(1)静止卫星的轨道平面与　　　　　共面，且与地
球自转的方向相同。
(2)周期与地球自转周期相等，T=　　　。
(3)高度固定不变，h=3.6×107 m。
(4)运行速率约为v=3.1 km/s。
赤道平面
24 h
3.近地卫星：轨道在　　　　　附近的卫星，其轨道半径r=R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v=7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。
地球表面
(1)在同一轨道上质量大的卫星受到地球引力大，是否加速度就大，运行速度就快？
答案　由a=及v=可得卫星运行加速度和速度与卫星质量无关，同一轨道上各卫星具有相同加速度大小和速度大小。
讨论交流
(2)随着我国航空航天科技的发展，将来可以发射定点到广州上空的静止卫星吗？
答案　由于静止卫星必须与地球自转同步，且转动中心必须在地心，故静止卫星只能定点在赤道正上方。
(3)赤道上放置一待发射卫星A，天空运行一同步卫星B，可以由v=得A卫星线速度大于B卫星线速度吗？
答案　赤道上放置的物体由万有引力的一个分力提供向心力，故不满足
v=，又由v=ωr，A、B两卫星具有相同的角速度，故B卫星线速度大。
　　　(2025·天津市和平区期末)2025年4月11日0时47分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星十七号(以下简称十七号)发射升空，该卫星进入赤道上方高度约36 000 km处的静止轨道后绕地球做匀速圆周运动。以下说法正确的是
A.十七号的轨道半径约为36 000 km
B.十七号的运行速度比月球绕地球的速度小
C.十七号的向心加速度小于地球表面的重力加速度
D.十七号会在每天固定时间从北京的正上方经过
√
36 000 km是该卫星离地球的高度，不是其轨道半径，其轨道半径为36 000 km加上地球半径，故A错误；
该卫星的轨道半径小于月球的轨道半径，根据万有引力提供向心力有
G=m，可得v=，可知十七号的运行速度比月球绕地球的速度大，
故B错误；
根据牛顿第二定律G=ma可得a=，可知十七号的向心加速度小于地
球表面的重力加速度，故C正确；
该卫星的轨道平面与赤道平面共面，不会经过北京正上方，故D错误。
(2025·贵州毕节市一模)两种卫星绕地球运行的轨道如图，设地球半径为R，地球赤道上的物体随地球自转的速度大小为v1，加速度大小为a1；近地卫星的轨道半径近似为R，运行速度大小为v2，加速度大小为a2；地球静止卫星的轨道半径为r，运行速度大小为v3，加速度大小为a3。下列选项正确的是
A.=1 B.=(
C.=()2 D.=
√
　　 卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有=m=
ma，可得v=，a=，则有==(，=，故B正确，D错误；
地球赤道上的物体与静止卫星的角速度相等，根据v=ωr，a=ω2r可得=，=，则有=，故A、C错误。
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
返回
比较项目 近地卫星a (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星b (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体c(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1=r3 角速度 ω1>ω2=ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3
星球“瓦解”问题　
黑洞问题
考点四
1.星球的“瓦解”问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件
是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即=mω2R，得ω=。当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
　　　2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
√
　　 毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G≥mr，又知M=ρ·πr3，
整理得密度ρ≥= kg/m3
≈5.2×1015 kg/m3，故选C。
(2025·山东青岛市模拟)史瓦西半径是任何有质量的物质都存在的一个临界半径，该半径的含义是：该物质被压缩到此半径时，就成为一个黑洞，即它的逃逸速度等于光速c。已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍，该星球半径R=6 400 km，表面重力加速度g取10 m/s2，光速c=3×108 m/s，不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约为
A.6毫米 B.9毫米
C.6米 D.9米
√
　　 对该星球，有=m，由黄金代换公式有GM=gR2，联立得史瓦西半径r=≈9×10-3 m，即9毫米。故选B。
返回
课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C AB A BD BD (1)3 m/s2　(2)3×103 m/s
题号 7 8 9 10 11
答案 D B B D B
答案
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1.(2025·贵州毕节市三模)2025年1月7日，实践二十五号卫星在西昌卫星发射中心发射成功，并在离地36 000 km高空的圆轨道为北斗G7卫星加注142公斤燃料，完成人类首次太空卫星燃料补加及延寿服务。若加注燃料前后G7卫星的轨道半径不变，则
A.加注燃料时，实践二十五号卫星的线速度大于7.9 km/s
B.加注燃料时，实践二十五号卫星与G7卫星处于平衡状态
C.加注燃料后，G7卫星质量增大，线速度大小不变
D.加注燃料后，G7卫星质量增大，加速度减小
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答案
基础落实练
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答案
　　　第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，是最大环绕速度，所以实践二十五号卫星的线速度小于7.9 km/s，A错误；
在加注燃料时，两卫星相对静止，处于失重状态，并非平衡状态，B错误；
根据=ma=m，解得v=，a=，可知加注燃料后，质量增加，
轨道半径不变，线速度和加速度大小均不变，C正确，D错误。
2.(多选)(2026·云南曲靖市检测)地球的同步卫星可以根据所在的轨道平面不同进行分类，其中轨道平面在地球赤道面上的叫静止卫星，倾斜轨道同步卫星的轨道平面与地球赤道平面成一定夹角，如图所示。两种同步卫星的绕行轨道都为圆轨道，运行周期都等于地球的自转周期。下列说法中正确的是
A.两种同步卫星的轨道半径大小相等
B.两种同步卫星的运行速度都小于第一宇宙速度
C.同步卫星的向心加速度可能大于地球表面的重力加速度
D.随着科技的发展，将来一定能发射定点于北京上空的地球同步卫星
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答案
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答案
　　　同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有
G=mr，解得r=，同步卫星的周期与地球自转周期相同，所
以同步卫星离地面的高度一定，即两种同步卫星的轨道半径大小相等，故A正确；
第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是做圆周运动的最大的环绕速度，所以地球同步卫星运行的线速度小于第一宇宙速度，故B正确；
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答案
　　　根据G=ma可得a=，同步卫星的轨道半径大于地球半径，可
知同步卫星的向心加速度小于地球表面的重力加速度，C错误；
同步卫星运行的轨道平面一定通过地心，即使随着科技的发展，将来不可能发射定点于北京上空的地球同步卫星，D错误。
3.(2025·河南卷·3)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为
A.13天 B.27天 C.64天 D.128天
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答案
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答案
　　　地球绕太阳运行时，根据万有引力提供向心力得=m0r0，同理得类地行星绕其母恒星运行时有=mr，整理得=，将r=r0，M=M0，T0=365天，代入得T=T0≈13天，选项A正确。
4.(多选)(2025·福建厦门市三模)如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是
A.a、b、c三物体，都仅由万有引力提供向心力
B.周期关系为Ta=Tc>Tb
C.线速度的大小关系为vaD.向心加速度的大小关系为ab>ac>aa
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答案
　　　b、c围绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力。a为地球赤道上的物体，由万有引力和地面的支持力的合力提供向心力，故A错误；
c为地球同步卫星，a为地球赤道上的物体，两者的周期与地球自转周期
相等。对于b、c，根据开普勒第三定律，可得=k，由题图可知rb则得TbTb，故B正确；
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答案
　　　根据v=ωr，a、c角速度相等，a的轨道半径比c的轨道半径小，可
得vac的轨道半径大于b的轨道半径，则vc根据向心加速度公式a=ω2r，a、c角速度相等，a的轨道半径比c的轨道半
径小，则有ac>aa，对于b、c，根据牛顿第二定律，可得G=ma，解得a=G，由于c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的向心加速度小于b的向
心加速度，所以有ab>ac>aa，故D正确。
5.(多选)(2024·湖南卷·7)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似
为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
√
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答案
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答案
　　　返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有
mg月=，得v月= ①
由于地球第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，
同理可得v地= ②
由①②可得v月=v地，故A错误，B正确；
再根据线速度和周期的关系有T=·R，=·=
得T月=T地，故C错误，D正确。
6.(2025·湖南邵阳市检测)假设航天员登上某一星球，该星球的半径为R=3×106 m。他在该星球表面将一小球从与水平面成θ=30°角的斜面上水平抛出，如图所示，抛出的初速度大小为v0=3 m/s，经过时间t=2 s小球又落在斜面上。忽略星球自转的影响，不计星球表面的大气阻力，求：
(1)该星球表面的自由落体加速度；
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答案
答案　3 m/s2
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答案
　　　设该星球表面的自由落体加速度为g，小球做平抛运动，有tan 30°=
=
解得g==3 m/s2
(2)该星球的第一宇宙速度。
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答案
答案　3×103 m/s
　　　设该星球的第一宇宙速度为v，由万有引力提供向心力可得=m
又=mg
可得v==3×103 m/s。
7.(2025·重庆市三模)千帆星座卫星具有覆盖范围广以及传输延迟低等优点，已知千帆星座的某颗卫星运行在距地球表面高度约为600 km的圆轨道上，地球半径为R=6 400 km，地球质量为M=5.97×1024 kg，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。则
A.若轨道高度加倍，该卫星的线速度将变为原来
　的倍
B.该卫星的公转周期约为24小时
C.该卫星的公转速度大小约为3 km/s
D.该卫星的向心加速度大小约为8.1 m/s2
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答案
能力综合练
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答案
　　　根据万有引力提供向心力有G=m，解得v=，可知轨道高
度加倍，则线速度变小，故A错误；
根据万有引力提供向心力有G=m()2r，解得T=2π，因其轨道半径比
同步卫星的小，故其周期一定比同步卫星的24小时周期小，故B错误；
由v=代入数据得v≈7.5 km/s，故C错误；
根据牛顿第二定律有G=ma，代入数据解得向心加速度大小a≈8.1 m/s2，
故D正确。
8.(2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是
A.周期为2t1-t0
B.半径为
C.角速度的大小为
D.加速度的大小为
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答案
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答案
　　　由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T=t1-t0，则P的公转周期为t1-t0，故A错误；
P绕Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得=mr，解得半径为r==，故B正确；
P的角速度为ω==，故C错误；
P的加速度大小为a=ω2r=()2·=·，故D错误。
9.(2025·广东清远市二模)卫星与地心连线同地球表面的交点称为星下点(即卫星的正投影位置)，通过星下点监测系统可实时追踪卫星运行状态。某卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道如图甲虚线所示。图乙为该卫星的监测示意图：底部数值表示经度，曲线为星下点轨迹的时空展开图，其中标注了第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ圈的轨迹，A、B、C三点分别为各圈轨迹与赤道的交点。已知地球自转周期为24小时，卫星运行方向如图甲箭头所示。
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答案
下列判断正确的是
A.该卫星属于地球同步卫星中的静止卫星
B.该卫星的运行周期约1.5 h
C.该卫星运行过程中，线速度大小大于
　第一宇宙速度
D.根据A、B、C交点可判断，在卫星运
　行一圈时间内，地球大约自转30°
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答案
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答案
　　　由题图甲可知，该卫星运行轨道与赤道平面不重合，不属于地球同步卫星中的静止卫星，A错误；
第一宇宙速度为卫星运行的最大速度，该卫星运行过程中，线速度大小小于第一宇宙速度，C错误；
根据赤道与星下点轨迹展开图的交点A、C可知，地球自转45°，此时该卫星刚好运行两圈。即在该卫星运行一圈时间内，地球大约自转22.5°，D错误；
该卫星刚好运行两圈所用时间t=×24 h=3 h，可知该卫星的运行周期
约1.5 h，B正确。
10.(2025·重庆卷·7)“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的
A.轨道半径之比为
B.周期之比为
C.线速度大小之比为
D.向心加速度大小之比为()2
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答案
　　　根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之
比为=，故A错误；
根据万有引力提供向心力有=m()2r=m=ma，解得T=，v=，a=，故可得周期之比为=；线速度大小之比为=；向心加速度大小之比为=()2，故B、C错误，D正确。
11.(2025·北京市海淀区三模)第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃
逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即v'=，其中m为中心天
体的质量，R为其半径。这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，中心天体m越大，R越小，其逃逸速度也就越大。宇宙中存在这种天体，以c=3×108 m/s的速度传播的光都不能逃逸。即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到
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答案
它，这种天体称为黑洞。科学家发现银河系中心天体是一颗质量为M的黑洞，它附近有一颗恒星S2环绕，其运动轨道是一个非常扁的椭圆(如图)。若S2在近星点P与黑洞中心的距离为r1，线速度大小为v1，在远星点Q与黑洞中心的距离为r2，线速度大小为v2。S2的椭圆轨道面积为A，运动周期为T，引力常量为G。不计其他天体的影响，
以下说法错误的是
A.在近星点和远星点的速度满足v1>v2
B.S2在近星点的线速度大小v1也可以表示为
C.S2在P点和Q点的加速度大小之比为
D.中心天体黑洞的半径至多为
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答案
　　　根据开普勒第二定律可知在近星点的速度大于在远星点的速度，即v1>v2，故A正确；
根据开普勒第二定律r1v1Δt=r2v2Δt=Δt，可得v1=，故B错误；
根据牛顿第二定律G=ma，可得a=，则S2在P点和Q点的加速度大小之比为，故C正确；
因为光都不能逃逸，根据逃逸速度公式v'=，当v'=c时，可得c=，解得R=，所以中心天体黑洞的半径至多为，故D正确。
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第五章

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