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第25课时　卫星变轨问题　双星模型　天体的“追及”共线问题
目标要求　1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。3.会分析天体的“追及”共线问题。
考点一　卫星的变轨和对接问题
1.卫星发射模型
人造卫星的发射过程一般要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G=m。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G(3)在椭圆轨道B点(远地点)，G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G=m，进入圆轨道Ⅲ。
若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
答案　使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之后再减速做近心运动着陆。
2.变轨过程中几个物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，则v1>v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB，在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同。同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3。由开普勒第三定律=k，可知有T1(4)机械能：卫星在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能守恒。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ、从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1(5)引力势能：物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能为Ep=-(G为引力常量)。设卫星在A点、B点的引力势能分别为EpA、EpB，则EpA3.飞船对接问题
宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，需让宇宙飞船在稍低轨道上加速，通过“速度v增大→所需向心力增大→做离心运动→轨道半径r增大→升高轨道”的系列变速，从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。
例1　(2025·山东省二模)我国近地小行星防御系统能够监测、预警和应对近地天体的撞击，展现了从被动预警到主动防御的科技跨越。如图所示，近地圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ相切于P点，椭圆轨道Ⅱ和同步轨道Ⅲ相切于Q点。现有防御卫星在轨道Ⅰ处做匀速圆周运动，经变轨后运行到同步轨道Ⅲ的M点拦截小行星进行干预，已知地球自转的角速度为ω，防御卫星在轨道Ⅰ和Ⅲ上运行的角速度分别为ω1和ω3，卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ和轨道Ⅱ上的P点、Q点运行的线速度分别为v1、v3、vP、vQ。下列说法正确的是(　　)
A.ω=ω1>ω3
B.vP=v1>vQ=v3
C.卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点过程中，机械能增大
D.卫星在轨道Ⅲ上从Q点到M点的运动时间大于在轨道Ⅱ上从P点到Q点的运动时间
答案　D
解析　卫星绕地球做匀速圆周运动，由=mω2r，解得ω=，可知同步轨道的角速度ω3小于近地轨道的角速度ω1，而地球自转的角速度ω和同步轨道的角速度ω3相同，综合可知ω1>ω3=ω，故A错误；卫星绕地球做匀速圆周运动，由=m，解得v=，可知v1>v3，由于卫星在轨道Ⅰ的P点需要点火加速到轨道Ⅱ，则有vP>v1，同理在Q点有v3>vQ，综合可知vP>v1>v3>vQ，故B错误；卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点过程中，机械能不变，故C错误；由题图可知卫星在轨道Ⅲ的轨道半径大于在轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律易得卫星在轨道Ⅲ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期，故卫星在轨道Ⅲ上从Q点到M点的运动时间大于在轨道Ⅱ上从P点到Q点的运动时间，故D正确。
针对训练　(2025·云南昆明市三模)如图所示为嫦娥六号探月飞行器发射过程简化示意图，长征五号先将嫦娥六号送入轨道a。在A点变速后进入轨道b，最终进入地月转移轨道c，在B点变速后进入环月轨道d，多次调整速度最终着陆于月球背面。关于嫦娥六号的运动，下列说法正确的是(　　)
A.从轨道a转移到轨道b时需要在A点减速
B.从轨道d转移到轨道e时需要在B点加速
C.在轨道b上通过A点时的速度小于第二宇宙速度
D.在轨道a上运行的周期大于在轨道b上运行的周期
答案　C
解析　卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，则嫦娥六号从轨道a转移到轨道b时需要在A点加速，故A错误；卫星从高轨道变轨到低轨道需要在变轨处点火减速，则嫦娥六号从轨道d转移到轨道e时需要在B点减速，故B错误；在轨道b上卫星绕地球做椭圆运动，没有脱离地球引力的约束，所以嫦娥六号在轨道b上通过A点时的速度小于第二宇宙速度，故C正确；根据开普勒第三定律=k，由于轨道a的半长轴小于轨道b的半长轴，则嫦娥六号在轨道a上运行的周期小于在轨道b上运行的周期，故D错误。
例2　(2025·江西抚州市模拟改编)北京时间2024年4月26日神舟十八号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十八号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　)
A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
答案　D
解析　根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。
考点二　双星或多星模型
1.双星模型
(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即=m1r1，=m2r2。
②两星的周期、角速度相同，即T1=T2，ω1=ω2。
③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1+r2=L。
(1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？
(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m1+m2)的关系怎样？
答案　(1)由v=ωr，m1ω2r1=m2ω2r2，得==，由a=ω2r及m1ω2r1=m2ω2r2得==。
(2)由=m1r1=m2r2及r1+r2=L，得=或m1+m2=。
例3　(2025·湖北襄阳市三模)天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测，发现了一个恒星质量级别的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，在双星系统外与双星系统在同一平面上的点A观测双星的运动，得到a、b的球心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为G，求：
(1)a、b的线速度大小之比；
(2)a、b的质量。
答案　(1)4∶3　(2)　
解析　(1)由题图可知，a、b的球心到O、A连线的距离从零到最大所用时间为四分之一个周期，可知该双星系统的周期T为2t0， a与O点的距离为4x0， b与O点的距离为3x0，可得ra∶rb=4∶3，
由线速度v=ωr，可知a、b的线速度大小之比为va∶vb=4∶3
(2)由题意可知maω2ra=mbω2rb
联立解得ma∶mb=3∶4
对b由万有引力提供向心力可知
=mbrb
又L=ra+rb
解得ma=，
mb=。
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
常见的多星模型及其规律：
常见的三 星模型 +=ma向
×cos 30°×2=ma向
常见的四 星模型 ×cos 45°×2+=ma向
×cos 30°×2+=ma向
例4　(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可以忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则(　　)
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期T=4πR
C.三角形三星系统中星体间的距离L=R
D.三角形三星系统的线速度大小为
答案　BC
解析　直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A错误；直线三星系统中，对甲星(或丙星)有G+G=MR，解得T=4πR，B正确；对三角形三星系统，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2Gcos 30°=M·，两种系统运动周期相同，联立解得L=R，C正确；三角形三星系统的线速度大小为v==，联立解得v=··，D错误。
　多星问题的分析思路
考点三　天体的“追及”共线问题
例5　(2025·北京市西城区三模)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示。根据表中信息，可以判断(　　)
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年
B.某些地外行星一年中可能会出现两次冲日现象
C.天王星相邻两次冲日的时间间隔约为土星的一半
D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长
答案　A
解析　根据开普勒第三定律有=，解得行星的公转周期为T行=T地 ，根据表格中数据计算出火星、木星、土星、天王星、海王星的周期分别为T火=年≈1.84年，T木=年≈11.86年，T土=年≈29.28年，T天=年≈82.82年，T海=年≈164.32年，设相邻两次冲日的时间间隔为t，则有t-t=2π，解得t=，计算出火星、木星、土星、天王星、海王星相邻两次冲日的时间间隔分别为t火≈2.19年，t木≈1.09年，t土≈1.04年，t天≈1.01年，t海≈1.006年，可知火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年，故A正确；结合上述可知，所有行星相邻两次冲日的时间间隔均超过1年，一年内不可能出现两次冲日，故B错误；结合上述可知，天王星相邻两次冲日的时间间隔(1.01年)并非土星相邻两次冲日的时间间隔(1.04年)的一半，故C错误；结合上述可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短(约1.006年)，故D错误。
例6　(2026·河北衡水市检测)中国载人登月初步方案已公布，计划 2030年前实现载人登月科学探索。假如在登月之前需要先发射两颗探月卫星进行科学探测，a、b两卫星在同一平面内绕月球的运动可视为匀速圆周运动，且绕行方向相反，如图所示，测得两卫星之间的距离Δr最小为3r、最大为5r，Δr的变化周期为T，不考虑两卫星之间的作用力。下列说法正确的是(　　)
A.a、b两卫星的线速度大小之比va∶vb=∶
B.a、b两卫星的加速度大小之比aa∶ab=4∶1
C.a卫星的运行周期为T
D.b卫星的运行周期为7T
答案　C
解析　设a、b两卫星的轨道半径分别为ra、rb，根据题意可知ra+rb=5r，rb-ra=3r，联立解得ra=r，rb=4r，根据G=m可得v=，可得==，A错误；根据G=ma可得a=，可得=()2=，B错误；a、b两卫星两次相距最近的时间为T，可知+=1，因==，解得Ta=T，Tb=9T，C正确，D错误。
　天体“追及”共线问题的处理方法
1.相距最近：两同心转动的卫星(rA2.相距最远：两同心转动的卫星(rA3.若两个天体绕中心天体的运行方向相反，则应求和。
4.若两同心转动的卫星初始位置不在同一直径上时，找两卫星的运动关系时需注意初始时刻两卫星与地心连线之间的夹角。
课时精练
[分值：54分]
　[1~6题，每题4分]
1.(2025·天津市北辰区模拟)2024年1月18日，天舟七号与空间站天和核心舱成功对接。在交会对接的最后阶段，天舟七号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟七号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟七号喷射燃气的方向可能正确的是(　　)
答案　A
解析　要想使天舟七号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟七号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F向=m，则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，则图A是正确的。
2.(2024·湖北卷·4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
答案　A
解析　在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；
因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；
变轨后在P点获得竖直向下的反冲速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误；
由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。
3.(2026·湖南湘潭市模拟)2025年5月29日，我国“天问二号”探测器成功发射。“天问二号”探测器计划对小行星2016HO3进行探测取样并返回地球，之后对主带彗星311P开展科学探测。如图所示，某时刻发生“火星冲日”，即火星、地球、太阳三者处于同一直线。火星和地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，已知火星绕太阳的公转周期约为地球公转周期的1.9倍，则下一次“火星冲日”将发生在约(　　)
A.1.1年后 B.2.1年后
C.3.1年后 D.4.1年后
答案　B
解析　地球公转周期T1=1年，火星公转周期T2=1.9年。地球和火星的角速度分别为ω1=，ω2=。由于T1ω2。火星冲日时，地球和火星位于太阳同侧共线。下一次冲日发生时，地球需比火星多转一圈(即多转2π弧度)，以重新达到三者共线且同侧的位置。设两次“火星冲日”的时间间隔为T，则(ω1-ω2)T=2π，解得T=≈2.1年，故选B。
4.(多选)(2026·浙江省六校联盟检测)2025年7月15日5时34分，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，并在8时52分成功对接空间站天和核心舱，从发射到完成对接用时仅3小时18分，中国航天再展“太空闪送”实力。天舟九号货运飞船与空间站交会对接的示意图如图所示，飞船顺利进入预定圆轨道Ⅰ，之后飞船从轨道Ⅰ经椭圆转移轨道Ⅱ逐步接近在圆轨道Ⅲ运行的空间站，完成交会对接后空间站仍在原轨道运行。已知引力常量为G，轨道Ⅰ、Ⅲ的半径分别为r1、r2，关于飞船的运动，下列说法正确的是(　　)
A.天舟九号与空间站完成对接前后，空间站的运行速度大小不变
B.天舟九号沿轨道Ⅱ从A点运动到B点的过程中，速度和机械能均不断减小
C.天舟九号在轨道Ⅱ上运行时，在A、B两点的线速度大小之比为
D.天舟九号稳定运行时，在轨道Ⅲ经过B点的加速度等于在轨道Ⅱ经过B点的加速度
答案　AD
解析　设地球的质量为M，空间站的质量为m，在轨道Ⅲ，由万有引力提供向心力有=m，可得v=，可知在轨道Ⅲ上的运行速度与质量无关，即天舟九号与空间站完成对接前后，空间站的运行速度大小不变，故A正确；天舟九号从A点运动到B点，只有万有引力做功，机械能不变，故B错误；天舟九号在轨道Ⅱ上A、B两点时，在极短的相等时间间隔内，根据开普勒第二定律有r1vAΔt=r2vBΔt，解得=，故C错误；根据万有引力提供向心力有=ma，可知天舟九号在轨道Ⅲ经过B点的加速度等于在轨道Ⅱ经过B点的加速度，故D正确。
5.(2025·四川巴中市三模)两个天体A和B以相同的角速度绕某固定点O做匀速圆周运动，O点位于它们之间的连线上。A的轨道半径大于B，设两者总质量为M，A、B中心间的距离为L。下列判断正确的是(　　)
A.天体A的线速度一定小于B
B.天体A的质量一定大于B
C.两天体的运动周期与M、L有关
D.当M一定时，距离L越大，角速度越大
答案　C
解析　设两个天体质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度为ω，由于二者角速度相等，则线速度分别为vA=ωRA，vB=ωRB，由于RA>RB，则vA>vB，故选项A错误；由万有引力提供向心力可知=mAω2RA=mBω2RB，则=，由于RA>RB，可得mA6.(2025·四川卷·6)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，引力常量为G。则该卫星轨道半径为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设卫星转动的周期为T'，根据题意可得，每隔卫星转过的圈数比地球自转多1圈，即-=1，其中t=，可得T'=，根据万有引力提供向心力G=mr，可得r=，代入T'=，可得r=，故选A。
　[7~10题，每题6分]
7.2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，实现世界首次月球背面采样返回。嫦娥六号返回器从月球归来初入大气层时的速度可以接近第二宇宙速度，为避免高速带来的高温过载风险，采用了“半弹道跳跃式返回”减速技术。如图所示，返回器从a点第一次进入大气层，调整返回器姿态，使其经b点升高，再从c点“跳”出大气层，在太空中潇洒地打个“水漂”，升高到距地面高度为h的d点后，再次从e点进入大气层返回地球。假设返回器从c点到e点的过程为无动力飞行。已知地球表面重力加速度为g，地球的半径为R，引力常量为G。结合以上信息，下列说法正确的是(　　)
A.从a点到c点的过程中，返回器机械能守恒
B.在d点，返回器的速度大于第一宇宙速度
C.在d点，返回器的加速度大小为
D.在e点返回器处于超重状态
答案　C
解析　嫦娥六号返回器从a点到c点的过程中，空气阻力做功，机械能不守恒，A错误；嫦娥六号返回器经过d点后做近心运动，有G>m，即v<，又因为第一宇宙速度为v1=，故v8.(2025·天津市一模)近似计算地月系统时可以认为月球绕着地球做匀速圆周运动，如图甲所示，月球绕地球运动的周期为T1。为了更精准测量地月系统，认为地月系统是一个双星系统，如图乙所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为T2。若地球、月球质量分别为m地、m月，两球心相距为r，地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A.图甲中，地球的密度可表示为
B.图甲中月球绕地球运动的周期T1等于图乙中月球绕O点运动的周期T2
C.图乙中地月双星轨道中O点到地心距离为r
D.图乙中地月双星转动的角速度与地月质量之和成正比
答案　C
解析　题图甲中，根据万有引力提供向心力=m月r，设地球的半径为R，地球的体积为V=πR3，题图甲中，地球密度为ρ==，故A错误；根据万有引力提供向心力=m月r，解得题图甲中月球绕地球运动的周期为T1=2π，题图乙中地月系统是一个双星系统，设地月双星轨道中O点到地心距离为r1，O点到月球球心距离为r2，则=m月r2=m地r1，可得m月r2=m地r1且r2+r1=r，解得r1=r，r2=r，T2=2π，则ω2==，可知题图甲中月球绕地球运动的周期T1大于题图乙中月球绕O点运动的周期T2，故B、D错误，C正确。
9.(2024·重庆卷·7)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量是G，则(　　)
A.c的线速度大小为a的倍
B.c的向心加速度大小为b的一半
C.c在一个周期内的路程为2πr
D.c的角速度大小为
答案　A
解析　a、b、c三个天体角速度相同，由于m M，则对a天体有G=Mω2r，解得ω=，故D错误；设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α=mω2，解得α = 30°，则c的轨道半径为rc==r，由v=ωr可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a=ω2r可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s=2πrc=2πr，故C错误。
10.(多选)(2025·辽宁沈阳市二模)2024年8月22日，中星4A卫星顺利进入预定轨道，如图所示为质量为m0的中星4A卫星发射变轨过程的简化示意图，其中轨道Ⅰ为近地圆形轨道，轨道Ⅲ为距离地面高度为6R的圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅱ与轨道Ⅰ和轨道Ⅲ分别相切于P点和Q点。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响。若取无穷远处引力势能为零，质量为m的物体在距离地球球心为r时的引力势能Ep=-(M为地球的质量)，下列说法正确的是(　　)
A.中星4A卫星在轨道Ⅱ上经过P点的速度大于经过Q点的速度
B.中星4A卫星在轨道Ⅲ上的动能为
C.中星4A卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了
D.中星4A卫星在轨道Ⅱ上运行的周期是在轨道Ⅲ上运行的周期的()3
答案　ABC
解析　根据开普勒第二定律可知，卫星在近地点(P点)的速度大于在远地点(Q点)的速度，故A正确；在地球表面放一质量为m的物体，有=mg，卫星在轨道Ⅲ上，有=，故动能Ek3=m0v2=，故B正确；卫星在轨道Ⅲ上的机械能E3=Ek3+Ep3=-=-，同理，在轨道Ⅰ上，有=，动能Ek1=m0=，机械能E1=Ek1+Ep1=-=-，卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了ΔE=E3-E1=，故C正确；轨道Ⅱ的半长轴a==4R，由开普勒第三定律有=，解得=(，故D错误。
　[6分]
11.(多选)(2023·福建卷·8)人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中未标出)转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，引力常量为G，L2点到地心的距离记为r(r R)，在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是[可能用到的近似≈(1-2)](　　)
A.ω=[ B.ω=[
C.r=[R D.r=[R
答案　BD
解析　由题知，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中未标出)转动的双星系统，则有G=Mω2r1，G=mω2r2，r1+r2=R，联立解得ω=[，故A错误，B正确；由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有G+G=m'ω2(r+r2)，再联立Mr1=mr2，r1+r2=R，ω=[，解得r=[R，故C错误，D正确。(共66张PPT)
第五章
万有引力
与宇宙航行
卫星变轨问题　双星模型　
天体的“追及”共线问题
第25课时
1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。
2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。
3.会分析天体的“追及”共线问题。
目标要求
考点一　卫星的变轨和对接问题
考点二　双星或多星模型
内容索引
课时精练
考点三　天体的“追及”共线问题
卫星的变轨和对接问题
考点一
1.卫星发射模型
人造卫星的发射过程一般要经过多次　　 方可到达预定轨道，如图所示。
变轨
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星
到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G
=m。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，
G(3)在椭圆轨道B点(　　　点)，G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G= m，进入圆轨道Ⅲ。
离心运动
远地
若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
答案　使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之后再减速做近心运动着陆。
讨论交流
2.变轨过程中几个物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，则v1　v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB，在A点加速，则vA　　v1，在B点加速，则v3　　vB，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到　　　　　作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都　　　。同理，经过B点加速度也　　　。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道
半径分别为r1、r2(半长轴)、r3。由开普勒第三定律=k，可知有T1　 T2>
>
>
万有引力
相同
相同
<
(4)机械能：卫星在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能　　　。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ、从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1　　E2　　E3。
(5)引力势能：物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引
力源中心为r时，其引力势能为Ep=-(G为引力常量)。设卫星在A点、
B点的引力势能分别为EpA、EpB，则EpA　　EpB。
守恒
<
<
<
3.飞船对接问题
宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，需让宇宙飞船在稍低轨道上加速，通过“速度v增大→所需向心力增大→做离心运动→轨道半径r增大→升高轨道”的系列变速，从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。
　　　(2025·山东省二模)我国近地小行星防御系统能够监测、预警和应对近地天体的撞击，展现了从被动预警到主动防御的科技跨越。如图所示，近地圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ相切于P点，椭圆轨道Ⅱ和同步轨道Ⅲ相切于Q点。现有防御卫星在轨道Ⅰ处做匀速圆周运动，经变轨后运行到同步轨道Ⅲ的M点拦截小行星进行干预，已知地球自转的角速度为ω，防御卫星在轨道Ⅰ和Ⅲ上运行的角速度分别为ω1和ω3，卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ和轨道Ⅱ上的P点、Q点运行的线速度分别为v1、v3、vP、vQ。下列说法正确的是
A.ω=ω1>ω3
B.vP=v1>vQ=v3
C.卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点过程中，机械能增大
D.卫星在轨道Ⅲ上从Q点到M点的运动时间大于在轨道Ⅱ上从P点到Q点的运
　动时间
√
　　 卫星绕地球做匀速圆周运动，由=mω2r，解得ω=，可知同
步轨道的角速度ω3小于近地轨道的角速度ω1，而地球自转的角速度ω和同步轨道的角速度ω3相同，综合可知ω1>ω3=ω，故A错误；
卫星绕地球做匀速圆周运动，由=m，解得v=，可知v1>v3，由
于卫星在轨道Ⅰ的P点需要点火加速到轨道Ⅱ，则有vP>v1，同理在Q点有v3>vQ，综合可知vP>v1>v3>vQ，故B错误；
卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点过程中，机械能不变，故C错误；
　　 由题图可知卫星在轨道Ⅲ的轨道半径大于在轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律易得卫星在轨道Ⅲ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期，故卫星在轨道Ⅲ上从Q点到M点的运动时间大于在轨道Ⅱ上从P点到Q点的运动时间，故D正确。
针对训练　(2025·云南昆明市三模)如图所示为嫦娥六号探月飞行器发射过程简化示意图，长征五号先将嫦娥六号送入轨道a。在A点变速后进入轨道b，最终进入地月转移轨道c，在B点变速后进入环月轨道d，多次调整速度最终着陆于月球背面。关于嫦娥六号的运动，下列说法正确的是
A.从轨道a转移到轨道b时需要在A点减速
B.从轨道d转移到轨道e时需要在B点加速
C.在轨道b上通过A点时的速度小于第二宇宙速度
D.在轨道a上运行的周期大于在轨道b上运行的周期
√
　　卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，则嫦娥六号从轨道a转移到轨道b时需要在A点加速，故A错误；
卫星从高轨道变轨到低轨道需要在变轨处点火减速，则嫦娥六号从轨道d转移到轨道e时需要在B点减速，故B错误；
在轨道b上卫星绕地球做椭圆运动，没有脱离地球引力的约束，所以嫦娥六号在轨道b上通过A点时的速度小于第二宇宙速度，故C正确；
根据开普勒第三定律=k，由于轨道a的半长轴小于轨道b的半长轴，则
嫦娥六号在轨道a上运行的周期小于在轨道b上运行的周期，故D错误。
(2025·江西抚州市模拟改编)北京时间2024年4月26日神舟十八号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十八号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是
A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠
　近即可
C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
√
　　 根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。
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双星或多星模型
考点二
1.双星模型
(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，
即=m1r1，=m2r2。
②两星的周期、角速度相同，即T1=T2，ω1=ω2。
③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1+r2=L。
(1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？
答案　由v=ωr，m1ω2r1=m2ω2r2，得==，由a=ω2r及m1ω2r1=m2ω2r2得==。
讨论交流
(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m1+m2)的关系怎样？
答案　由=m1r1=m2r2及r1+r2=L，得=或m1+m2=。
　　　(2025·湖北襄阳市三模)天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测，发现了一个恒星质量级别的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，在双星系统外与双星系统在同一平面上的点A观测双星的运动，得到a、b的球心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为G，求：
(1)a、b的线速度大小之比；
答案　4∶3
　　由题图可知，a、b的球心到O、A连线的距离从零到最大所用时间为四分之一个周期，可知该双星系统的周期T为2t0， a与O点的距离为4x0， b与O点的距离为3x0，可得ra∶rb=4∶3，
由线速度v=ωr，可知a、b的线速度大小之比为va∶vb=4∶3
(2)a、b的质量。
答案　　
　　 由题意可知maω2ra=mbω2rb
联立解得ma∶mb=3∶4
对b由万有引力提供向心力可知
=mbrb
又L=ra+rb
解得ma=，
mb=。
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
常见的多星模型及其规律：
常见的三 星模型 +=ma向
×cos 30°×2=ma向
常见的四 星模型 ×cos 45°×2+=ma向
×cos 30°×2+=ma向
　　　(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可以忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期T=4πR
C.三角形三星系统中星体间的距离L=R
D.三角形三星系统的线速度大小为
√
√
　　 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A错误；
直线三星系统中，对甲星(或丙星)有G+G=MR，解得T=4πR，B正确；
对三角形三星系统，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2Gcos 30° =M·，两种系统运动周期相同，联立解得L=R，C正确；
三角形三星系统的线速度大小为v==，联立解得v=··，D错误。
多星问题的分析思路
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天体的“追及”共线问题
考点三
　　　(2025·北京市西城区三模)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示。根据表中信息，可以判断
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年
B.某些地外行星一年中可能会出现两次冲日现象
C.天王星相邻两次冲日的时间间隔约为土星的一半
D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长
√
　　 根据开普勒第三定律有=，解得行星的公转周期为T行=T地 ，根据表格中数据计算出火星、木星、土星、天王星、海王星的周
期分别为T火=年≈1.84年，T木=年≈11.86年，T土=年≈29.28年，T天=年≈82.82年，T海=年≈164.32年，设相邻两次冲
日的时间间隔为t，则有t-t=2π，解得t=，计算出火星、木星、
土星、天王星、海王星相邻两次冲日的时间间隔分别为t火≈2.19年，t木≈1.09年，t土≈1.04年，t天≈1.01年，t海≈1.006年，可知火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年，故A正确；
　　 结合上述可知，所有行星相邻两次冲日的时间间隔均超过1年，一年内不可能出现两次冲日，故B错误；
结合上述可知，天王星相邻两次冲日的时间间隔(1.01年)并非土星相邻两次冲日的时间间隔(1.04年)的一半，故C错误；
结合上述可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短(约1.006年)，故D错误。
(2026·河北衡水市检测)中国载人登月初步方案已公布，计划2030年前实现载人登月科学探索。假如在登月之前需要先发射两颗探月卫星进行科学探测，a、b两卫星在同一平面内绕月球的运动可视为匀速圆周运动，且绕行方向相反，如图所示，测得两卫星之间的距离Δr最小为3r、最大为5r，Δr的变化周期为T，不考虑两卫星之间的作用力。下列说法正确的是
A.a、b两卫星的线速度大小之比va∶vb=∶
B.a、b两卫星的加速度大小之比aa∶ab=4∶1
C.a卫星的运行周期为T
D.b卫星的运行周期为7T
√
　　设a、b两卫星的轨道半径分别为ra、rb，根据题意可知ra+rb=5r，rb-
ra=3r，联立解得ra=r，rb=4r，根据G=m可得v=，可得==，
A错误；
根据G=ma可得a=，可得=()2=，B错误；
a、b两卫星两次相距最近的时间为T，可知+=1，因==，解得Ta=T，Tb=9T，C正确，D错误。
天体“追及”共线问题的处理方法
1.相距最近：两同心转动的卫星(rA的运动关系满足：(ωA-ωB)t=2π或-=1。
2.相距最远：两同心转动的卫星(rA星的运动关系满足：(ωA-ωB)t'=π或-=。
3.若两个天体绕中心天体的运行方向相反，则应求和。
4.若两同心转动的卫星初始位置不在同一直径上时，找两卫星的运动关系时需注意初始时刻两卫星与地心连线之间的夹角。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B AD C A C C
题号 9 10 11
答案 A ABC BD
答案
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1.(2025·天津市北辰区模拟)2024年1月18日，天舟七号与空间站天和核心舱成功对接。在交会对接的最后阶段，天舟七号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟七号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟七号喷射燃气的方向可能正确的是
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答案
基础落实练
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答案
　　　要想使天舟七号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟七
号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F向=m，则必须要增加向心
力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，则图A是正确的。
2.(2024·湖北卷·4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
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答案
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答案
　　　在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；
因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；
变轨后在P点获得竖直向下的反冲速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误；
由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。
3.(2026·湖南湘潭市模拟)2025年5月29日，我国“天问二号”探测器成功发射。“天问二号”探测器计划对小行星2016HO3进行探测取样并返回地球，之后对主带彗星311P开展科学探测。如图所示，某时刻发生“火星冲日”，即火星、地球、太阳三者处于同一直线。火星和地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，已知火星绕太阳的公转周期约为地球公转周期的1.9倍，则下一次“火星冲日”将发生在约
A.1.1年后 B.2.1年后
C.3.1年后 D.4.1年后
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答案
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答案
　　　地球公转周期T1=1年，火星公转周期T2=1.9年。地球和火星的角
速度分别为ω1=，ω2=。由于T1ω2。火星冲日时，地球
和火星位于太阳同侧共线。下一次冲日发生时，地球需比火星多转一圈(即多转2π弧度)，以重新达到三者共线且同侧的位置。设两次“火星冲
日”的时间间隔为T，则(ω1-ω2)T=2π，解得T=≈2.1年，故选B。
4.(多选)(2026·浙江省六校联盟检测)2025年7月15日5时34分，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，并在8时52分成功对接空间站天和核心舱，从发射到完成对接用时仅3小时18分，中国航天再展“太空闪送”实力。天舟九号货运飞船与空间站交会对接的示意图如图所示，飞船顺利进入预定圆轨道Ⅰ，之后飞船从轨道Ⅰ经椭圆转移轨道Ⅱ逐步接近在圆轨道Ⅲ运行的空间站，完成交会对接后空间站仍在原轨道运行。已知引力常量为G，轨道Ⅰ、Ⅲ的半径分别为r1、r2，关于飞船的运动，下列说法正确的是
A.天舟九号与空间站完成对接前后，空间站的运行速度大小不变
B.天舟九号沿轨道Ⅱ从A点运动到B点的过程中，速度和机械能均不断减小
C.天舟九号在轨道Ⅱ上运行时，在A、B两点的线速度大小之比为
D.天舟九号稳定运行时，在轨道Ⅲ经过B点的加速度等于在轨道Ⅱ经过B点的加速度
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答案
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答案
　　　设地球的质量为M，空间站的质量为m，在轨道Ⅲ，由万有引力提
供向心力有=m，可得v=，可知在轨道Ⅲ上的运行速度与质量
无关，即天舟九号与空间站完成对接前后，空间站的运行速度大小不变，故A正确；
天舟九号从A点运动到B点，只有万有引力做功，机械能不变，故B错误；
天舟九号在轨道Ⅱ上A、B两点时，在极短的相等时间间隔内，根据开普
勒第二定律有r1vAΔt=r2vBΔt，解得=，故C错误；
根据万有引力提供向心力有=ma，可知天舟九号在轨道Ⅲ经过B点的
加速度等于在轨道Ⅱ经过B点的加速度，故D正确。
5.(2025·四川巴中市三模)两个天体A和B以相同的角速度绕某固定点O做匀速圆周运动，O点位于它们之间的连线上。A的轨道半径大于B，设两者总质量为M，A、B中心间的距离为L。下列判断正确的是
A.天体A的线速度一定小于B
B.天体A的质量一定大于B
C.两天体的运动周期与M、L有关
D.当M一定时，距离L越大，角速度越大
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答案
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　　　设两个天体质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度为ω，由于二者角速度相等，则线速度分别为vA=ωRA，vB=ωRB，由于RA>RB，则vA>vB，故选项A错误；
由万有引力提供向心力可知=mAω2RA=mBω2RB，则=，由于RA
>RB，可得mA对两个天体有=mAω2RA=mBω2RB，由几何关系得RA+RB=L，联立解得M=mA+mB=，而且T=，整理可以得到T=2π，可知两天体的
运动周期与M、L有关且当总质量M一定，L越大，则T越大，角速度越小，故选项C正确，D错误。
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答案
6.(2025·四川卷·6)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，引力常量为G。则该卫星轨道半径为
A. B.
C. D.
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答案
　　　设卫星转动的周期为T'，根据题意可得，每隔卫星转过的圈数比地球自转多1圈，即-=1，其中t=，可得T'=，根据万有引力提供向心力G=mr，可得r=，代入T'=，可得r=，故选A。
7.2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，实现世界首次月球背面采样返回。嫦娥六号返回器从月球归来初入大气层时的速度可以接近第二宇宙速度，为避免高速带来的高温过载风险，采用了“半弹道跳跃式返回”减速技术。如图所示，返回器从a点第一次进入大气层，调整返回器姿态，使其经b点升高，再从c点“跳”出大气层，在太空中潇洒地打个“水漂”，升高到距地面高度为h的d点后，再次从e点进入大气层返回地球。假设返回器从c点到e点的过程为无动力飞行。已知地球表
面重力加速度为g，地球的半径为R，引力常
量为G。
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答案
能力综合练
结合以上信息，下列说法正确的是
A.从a点到c点的过程中，返回器机械能守恒
B.在d点，返回器的速度大于第一宇宙速度
C.在d点，返回器的加速度大小为
D.在e点返回器处于超重状态
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　　　嫦娥六号返回器从a点到c点的过程中，空气阻力做功，机械能不守恒，A错误；
嫦娥六号返回器经过d点后做近心运动，有G>m，即v<，又因为第一宇宙速度为v1=，故v在d点，由牛顿第二定律有G=ma，又GM=gR2，联立可得a=，
C正确；
在e点返回器加速度有向下的分量，故返回器处于失重状态，D错误。
8.(2025·天津市一模)近似计算地月系统时可以认为月球绕着地球做匀速圆周运动，如图甲所示，月球绕地球运动的周期为T1。为了更精准测量地月系统，认为地月系统是一个双星系统，如图乙所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为T2。若地球、月球质量分别为m地、m月，两球心相距为r，地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是
A.图甲中，地球的密度可表示为
B.图甲中月球绕地球运动的周期T1等于图乙中月球
　绕O点运动的周期T2
C.图乙中地月双星轨道中O点到地心距离为r
D.图乙中地月双星转动的角速度与地月质量之和成正比
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答案
　　　题图甲中，根据万有引力提供向心力=m月r，设地球的半径为R，地球的体积为V=πR3，题图甲中，地球密度为ρ==，
故A错误；
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答案
　　 根据万有引力提供向心力=m月r，解得题图甲中月球绕地球运动的周期为T1=2π，题图乙中地月系统是一个双星系统，设地
月双星轨道中O点到地心距离为r1，O点到月球球心距离为r2，则
=m月r2=m地r1，可得m月r2=m地r1且r2+r1=r，解得r1=r，r2=r，T2=2π，则ω2==，可知题图甲中
月球绕地球运动的周期T1大于题图乙中月球绕O点运动的周期T2，故B、D错误，C正确。
9.(2024·重庆卷·7)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量是G，则
A.c的线速度大小为a的倍
B.c的向心加速度大小为b的一半
C.c在一个周期内的路程为2πr
D.c的角速度大小为
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答案
√
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答案
　　　a、b、c三个天体角速度相同，由于m M，则对a天体有G=
Mω2r，解得ω=，故D错误；
设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α =mω2，解得α = 30°，则c的轨道半径为rc==r，由v=ωr可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；
由a=ω2r可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；
c在一个周期内运动的路程为s=2πrc=2πr，故C错误。
10.(多选)(2025·辽宁沈阳市二模)2024年8月22日，中星4A卫星顺利进入预定轨道，如图所示为质量为m0的中星4A卫星发射变轨过程的简化示意图，其中轨道Ⅰ为近地圆形轨道，轨道Ⅲ为距离地面高度为6R的圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅱ与轨道Ⅰ和轨道Ⅲ分别相切于P点和Q点。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略
地球自转的影响。若取无穷远处引力势能为零，质量
为m的物体在距离地球球心为r时的引力势能Ep=-
(M为地球的质量)，
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答案
下列说法正确的是
A.中星4A卫星在轨道Ⅱ上经过P点的速度大于经过Q点
　的速度
B.中星4A卫星在轨道Ⅲ上的动能为
C.中星4A卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了
D.中星4A卫星在轨道Ⅱ上运行的周期是在轨道Ⅲ上运行的周期的()3
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答案
√
√
√
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答案
　　　根据开普勒第二定律可知，卫星在近地点(P点)的速度大于在远地点(Q点)的速度，故A正确；
在地球表面放一质量为m的物体，有=mg，卫星在轨道Ⅲ上，有=，故动能Ek3=m0v2=，故B正确；
卫星在轨道Ⅲ上的机械能E3=Ek3+Ep3=-=-，同理，在轨道Ⅰ上，有=，动能Ek1=m0=，机械能E1=Ek1+Ep1=-=-，卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了ΔE=E3-E1=，故C正确；
轨道Ⅱ的半长轴a==4R，由开普勒第三定律有=，解得=(，故D
错误。
11.(多选)(2023·福建卷·8)人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中未标出)转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，引力常量为G，L2点到地心的距离记为r(r R)，在L2点的航天器绕O点转动
的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是[可能用到的近似≈(1-2)]
A.ω=[ B.ω=[
C.r=[R D.r=[R
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答案
√
尖子生选练
√
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答案
　　　由题知，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中
的一点O(图中未标出)转动的双星系统，则有G=Mω2r1，G=mω2r2，r1+r2=R，联立解得ω=[，故A错误，B正确；
由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地
球保持相对静止，则有G+G=m'ω2(r+r2)，再联立Mr1=mr2，r1+r2=R，ω=[，解得r=[R，故C错误，D正确。
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第五章

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