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第39课时　机械振动
目标要求　1.知道简谐运动的概念，掌握简谐运动的特征，理解简谐运动的表达式和图像。2.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件。
考点一　简谐运动的基本规律
1.简谐运动：
(1)如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，这样的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力：使物体“总想回到平衡位置”的力，方向总是指向平衡位置。可能是某一个力，也可能是某些力的合力。
(4)简谐运动的特点
受力特点 回复力F=-kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特点 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大， v减小(填“增大”或“减小”)
能量特点 对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
2.弹簧振子
(1)模型：一个有质量的物块，连接在一根轻质弹簧上，在绝对光滑的桌面上来回振动。这个“弹簧+物块”的系统，就是弹簧振子。
(2)运动特征：简谐运动，x-t图像是正弦曲线。
(3)周期：T=2π，与振幅A无关。
(4)能量：动能和势能相互转化，总能量守恒。在最大位移处势能最大，在平衡位置动能最大。
例1　如图所示，一质点做简谐运动，O点为其平衡位置。
(1)质点由M点向右运动到O点的过程中加速度　　　　，速度　　　　，系统机械能　　　　(选填“增大”“减小”或“不变”)。
(2)质点先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为　　　　。
A.3 s、6 cm B.4 s、6 cm
C.4 s、9 cm D.2 s、8 cm
(3)质点动能变化的周期是　　　　 s。
答案　(1)减小　增大　不变　(2)B　(3)2
解析　(2)简谐运动的质点，先后以相同的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O的时间与由O到N的时间相等，那么从平衡位置O到N点的时间t1=0.5 s，因过N点后再经过t=1 s，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到右侧最大位移处的时间t2=0.5 s，因此，质点振动的周期是T=4(t1+t2)=4 s。这2 s内质点通过的总路程的一半，即为振幅，所以振幅A==6 cm，故选B。
(3)动能是标量，由振动的对称性，知变化周期为=2 s。
　简谐运动的周期性与对称性
周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性 (1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O点对称的两点P、P'(OP=OP')时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P'所用的时间，即tPO=tOP' (3)物体往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP=tPO (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反
例2　(多选)(2025·河北卷·9)如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为θ，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A.左侧小物块沿斜面做简谐运动
B.细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C.右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D.若θ增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
答案　AC
解析　对左侧小物块，设沿斜面向下的位移为x，则有FT+kx-mgsin θ=ma，此时，对右侧小物块，有mgsin θ+kx-FT=ma，联立可得kx=ma，则左侧小物块受到的合外力F=ma=kx，方向与位移方向相反，故其做简谐运动，故A正确；根据以上分析，可得2FT=2mgsin θ，绳拉力保持不变，故B错误；同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对称性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正确；弹簧振子振动周期T=2π，与斜面倾角无关，故D错误。
考点二　简谐运动的表达式和图像
1.简谐运动的表达式
x=Asin(ωt+φ)，ωt+φ为相位，φ为初相位，ω为圆频率，ω与周期T的关系为ω=。
2.简谐运动的振动图像
表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线。
(来自教材)如图为某物体做简谐运动的图像，在0~1.5 s范围内回答下列问题。
(1)哪些时刻物体的回复力与0.4 s时的回复力相同？
(2)哪些时刻物体的速度与0.4 s时的速度相同？
(3)哪些时刻的动能与0.4 s时的动能相同？
(4)哪段时间的加速度在减小？
(5)哪段时间的势能在增大？
答案　(1)0.6 s，1.2 s，1.4 s　(2)0.2 s，1.0 s，1.2 s
(3)0，0.2 s，0.6 s，0.8 s，1.0 s，1.2 s，1.4 s
(4)0.1~0.3 s，0.5~0.7 s，0.9~1.1 s，1.3~1.5 s
(5)0~0.1 s，0.3~0.5 s，0.7~0.9 s，1.1~1.3 s
例3　(2024·福建卷·2)如图(a)，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图(b)所示，则试管(　　)
A.振幅为2.0 cm
B.频率为2.5 Hz
C.在t=0.1 s时速度为零
D.在t=0.2 s时加速度方向竖直向下
答案　B
解析　根据题图(b)可知，振幅为1.0 cm，周期为T=0.4 s，则频率为f== Hz=2.5 Hz，故A错误，B正确；
根据题图(b)可知，0.1 s时试管处于平衡位置，此时速度最大，故C错误；
根据题图(b)可知，0.2 s时试管处于负向最大位移处，则此时加速度方向竖直向上，故D错误。
　从振动图像可获取的信息
1.振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。
2.某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
3.某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的绝对值和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
4.某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
5.某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
例4　(2025·安徽安庆市模拟)某质点做简谐振动的位移—时间关系图像如图所示。图中的t0未知，已知周期为T、振幅为A，下列说法正确的是(　　)
A.t0+0.25T时刻，质点的加速度最小
B.0时刻质点的速度为负，加速度为正
C.未知量t0为
D.质点的振动方程为x=Asin(t-)
答案　D
解析　由题图可知，t0+0.25T时刻，质点的位移最大，加速度最大，故A错误；0时刻图像的斜率为正，质点的速度为正，加速度为正，故B错误；设质点的振动方程为x=Asin(t-φ)，结合t=0时，x=-A，可得φ=，则质点的振动方程为x=Asin(t-)，故D正确；t0时刻质点的位移为0，则有0=Asin(t0-)，解得t0=，故C错误。
例5　(2025·江西九江市二模)如图甲所示，底座放在水平台面的压力传感器上，其上固定光滑竖直杆，轻弹簧套在竖直杆上，下端固定在底座上，上端连接质量m=0.2 kg的小球，底座与杆的总质量M=0.2 kg。将小球向上拉起一段距离，t=0时，释放小球，使小球在竖直方向振动起来，不计空气阻力。通过压力传感器描绘出压力随时间变化的图像如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内。已知弹簧振子的周期公式T=2π(m为弹簧振子的质量，k为弹簧的劲度系数)，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求t=0时弹簧的伸长量；
(2)以平衡位置为坐标原点，取向上为正方向，求小球的振动方程；
(3)若仅将小球质量改为m'=0.4 kg，取向上为正方向，求小球的振动方程。
答案　(1)0.1 m　(2)x=0.2cos 10t m　(3)x=0.3cos 5t m
解析　(1)由题图乙知T=0.2π s，
弹簧振子的周期T=2π，可得k=20 N/m，
由题图乙可知，t=0时刻台面对底座的支持力为零，对底座有kx1=Mg
解得t=0时弹簧的伸长量x1=0.1 m
(2)小球在平衡位置时有kx0=mg，可得x0=0.1 m
振幅A=x0+x1=0.2 m，
由题图可知振动周期T=0.2π s，
故ω==10 rad/s
设小球的初相位为φ，则振动方程为x=0.2sin(10t+φ) m
t=0时，小球处于最高点，即位移为A，代入解得φ=
则小球的振动方程为x=0.2cos 10t m
(3)当m'=0.4 kg时，有kx0'=m'g
可得x0振幅A'=x0'+x1=0.3 m
弹簧振子的周期T'=2π= s，
故ω'==5 rad/s
小球的初相位不变，则振动方程为x=0.3cos 5t m。
考点三　受迫振动和共振
1.受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动。
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
2.共振
(1)概念：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象。
(2)共振的条件：驱动力的频率等于物体的固有频率。
(3)共振的特征：共振时振幅最大。
(4)共振曲线(如图所示)。
f=f0时，A=Am，f与f0相差越大，物体做受迫振动的振幅越小。
3.阻尼振动
(1)阻尼振动：振动系统受到阻碍作用时，振幅随时间逐渐减小的振动，其振动图像如图所示。
(2)振动系统能量衰减的两种方式
①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。
②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向四周辐射出去，从而自身的机械能减少。
例6　(多选)(2025·辽宁省辽南协作体三模)飞力士棒通过利用特殊构造和弹性，产生一定的振动频率，这些振动会深入到身体内的核心肌肉，从而达到强化锻炼的作用。如图所示。飞力士棒的固有频率为3.5 Hz，则(　　)
A.若该棒做自由振动，则频率为3.5 Hz
B.使用时手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度也随之增大
C.手每分钟震动210次，飞力士棒产生共振
D.PVC软杆长度不变，负重头质量减小时，飞力士棒的固有频率保持不变
答案　AC
解析　若该棒做自由振动，则振动按照固有频率振动，故A正确；随着手振动的频率增大，飞力士棒振动的频率随之增大，但是幅度可能越来越小，故B错误；手振动频率为f= Hz=3.5 Hz，此时频率与固有频率相等，飞力士棒产生共振，故C正确；PVC软杆长度不变，负重头质量减小，则其结构改变，飞力士棒的固有频率会变化，故D错误。
　简谐运动、受迫振动和共振的比较
　　振动 项目
简谐运动 受迫振动 共振
受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期、频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0和固有频率f0 由驱动力的周期和频率决定，即T=T驱，f=f驱 T驱=T0，f驱=f0
振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ<5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
课时精练
[分值：58分]
　[1~7题，每题4分]
1.(2025·江苏苏锡常镇四市一模)某电视节目上一男子表演“狮吼功”——用声音震碎玻璃杯。关于这一现象，下列说法中正确的是(　　)
A.声音频率越低越容易震碎玻璃杯
B.声音频率越高越容易震碎玻璃杯
C.需要很大的音量才能震碎玻璃杯
D.在适当的频率下无需很大的音量就能震碎玻璃杯
答案　D
解析　发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，用声音震碎玻璃杯是声音的频率与玻璃杯的固有频率相等，使玻璃杯发生共振，从而使玻璃杯碎裂，与音量的大小无关。故选D。
2.(2025·广东深圳市二模)上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达一千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振动图像如图乙所示。关于阻尼器的说法正确的是(　　)
A.振动周期越来越小
B.t=4 s时的动能为零
C.t=8 s时沿x轴负方向运动
D.t=10 s时加速度沿x轴负方向
答案　D
解析　由题图乙可知，振动周期不变，故A错误；t=4 s时正好经过平衡位置，速度最大，动能最大，故B错误；t=8 s时题图乙中图线的切线斜率为正，则阻尼器沿x轴正方向运动，故C错误；由题图乙可知，t=10 s时位移达到正向最大，则加速度最大，方向沿x轴负方向，故D正确。
3.(多选)(2025·云南省二模)如图所示，一小木块漂浮在足够宽水面上且处于静止状态，对木块施加向下的力使其偏离平衡位置处于静止状态(木块未全部浸没在水中)，在t=0时由静止释放，释放后木块的运动可视为简谐运动，周期为1 s。规定竖直向上为正方向，则小球在t=5.5 s时刻(　　)
A.位移最大，方向为正
B.速度最大，方向为正
C.加速度最大，方向为负
D.受到的浮力最大
答案　AC
解析　由于木块的运动可视为简谐运动，周期是1 s，则t=5.5 s时刻即经过5T，此时处于最高点，位移最大，方向向上为正，速度为零；加速度最大，方向向下为负，故A、C正确，B错误；最高点浸入水中的体积最小，根据公式F浮=ρgV排可知，浮力最小，故D错误。
4.(多选)(2026·云南曲靖市检测)如图所示，一弹簧振子沿水平方向做简谐运动，M、N两点关于O点对称。t=0时刻，小球向右经过N点；t=2 s时，第一次经过M点。已知小球经过M、N两点时的速度大小相等，0~2 s时间内，小球经过的路程为0.4 m。关于该弹簧振子，下列说法正确的是(　　)
A.振幅为0.4 m
B.周期为4 s
C.小球经过O点时速度最大
D.小球经过O点时加速度最大
答案　BC
解析　根据M、N两点的位置和速度关系，小球从N点运动到M点经历了半个周期，运动两个振幅，因此该弹簧振子的周期为4 s，振幅为0.2 m，故A错误，B正确；小球经过O点时加速度为零，速度最大，故C正确，D错误。
5.(2026·安徽省部分学校联考)简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子是一种典型的简谐运动。如图甲所示是一个以O点为平衡位置的水平方向的弹簧振子，在M、N两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。下列说法中正确的是(　　)
A.弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
B.t=0.5 s时，弹簧振子的位移为2.5 cm
C.从t=0到t=1 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加
D.在t=1 s与t=3 s两个时刻，弹簧振子的回复力不相同
答案　D
解析　回复力是指振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力。回复力是效果力，受力分析时不考虑效果力，故A错误；弹簧振子在水平方向上做简谐运动，由题图乙可得周期T=4 s，位移x随时间t变化的关系为x=5sin(t)(cm)，当t=0.5 s时，弹簧振子的位移为x= cm≠2.5 cm，故B错误；从t=0到t=1 s的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，由Ek=mv2可知动能减小，故C错误；在t=1 s与t=3 s两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，故D正确。
6.(多选)(2025·甘肃卷·8)如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是(　　)
A.小球A运动到弹簧原长处的速度最大
B.剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为
C.小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为
D.小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为
答案　BC
解析　剪断细线后，弹力大于A的重力，则A先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的加速度减小，当加速度为零时速度最大，此时弹力等于重力，弹簧处于拉伸状态，选项A错误；剪断细线之前F弹=3mg，剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A由牛顿第二定律F弹-2mg=2ma，解得A的加速度a=，选项B正确；剪断细线之前弹簧伸长量x1=，剪断细线后A做简谐运动，在平衡位置时弹簧伸长量x2=，即振幅为A=x1-x2=，由对称性可知小球A运动到最高点时，弹簧伸长量为，选项C正确；由上述分析可知，小球A运动到最低点时，弹簧伸长量为，选项D错误。
7.(2024·北京卷·9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin (2.5πt) m/s2
答案　D
解析　由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F=mg，A错误；由题图乙知，t=0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t=0至t=0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T=0.8 s，则ω==2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a=4sin (2.5πt) m/s2，D正确。
　[8、9题，每题6分]
8.(2025·湖北襄阳市三模)某同学找来粗细均匀的圆柱形木棒，下端绕上铁丝，将其竖直浮在装有水的杯子中，如图所示。竖直向下按压5 cm后静止释放，木棒开始在水中上下振动(不计水的黏滞阻力)，其运动可视为简谐运动，测得其振动周期为4 s，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图所示。其中A为振幅。则木棒在振动过程中，下列说法正确的是(　　)
A.t=t1时，木棒的重力大于其所受的浮力
B.振动过程中木棒的机械能不守恒
C.开始计时12 s内木棒所经过的路程是30 cm
D.木棒的位移随时间变化的关系式是y=5sin(5πt-) cm
答案　B
解析　t=t1时，木棒在最低点，合力向上，木棒的重力小于其所受的浮力，故A错误；由于木棒振动过程中除重力外还有浮力做功，振动过程中木棒的机械能不守恒，故B正确；振幅A=5 cm，由t=12 s=3T，开始计时12 s内木棒所经过的路程是s=3×4A=60 cm，故C错误；圆频率ω== rad/s，振动方程为y=Asin (ωt+φ)=5sin (t+φ) cm，由t=0时y=-，解得φ=-，木棒的位移随时间变化的关系式是y=5sin(t-) cm，故D错误。
9.(多选)(2025·湖南长沙市三模)如图(a)所示，在光滑的水平面上有两弹簧振子甲、乙，甲、乙使用的弹簧劲度系数相同，两弹簧振子的速度随时间的变化图像如图(b)所示。已知弹簧振子的周期公式为T=2π，其中m为小球的质量，k为弹簧的劲度系数，弹簧的弹性势能Ep=kx2，x为弹簧形变量，下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙的周期之比为4∶3
B.甲、乙的小球质量之比为16∶9
C.甲、乙的机械能之比为32∶9
D.甲、乙的弹簧最大形变量之比为16∶3
答案　ABC
解析　由题图(b)可得t0=T甲，t0=T乙，解得T甲=t0，T乙=t0，所以=，故A正确；根据弹簧振子的周期公式为T=2π，整理得m=，则==，故B正确；由题图(b)可得，两小球的最大速度之比为=，当小球有最大速度时，弹簧振子的机械能等于动能，则根据Ek=mv2可得==×=，故C正确；当弹簧形变量最大时，小球的动能全部转化为弹性势能，根据Ek=Ep=kx2，整理可得x=，所以==，故D错误。
10.(12分)(2025·山东菏泽市二模)粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈细铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中，把木筷往上提起一段距离A后放手，木筷就在水中上下振动。已知木筷横截面积为S，木筷与铁丝总质量为m，水的密度为ρ，重力加速度为g。以木筷静止时其下端所在位置为原点，竖直向上为正方向。
(1)(6分)证明木筷做简谐运动；
(2)(6分)已知简谐运动的周期T=2π，其中m是做简谐运动物体的质量，k为回复力与位移比值的绝对值。写出放手后木筷位移x随时间t变化的关系式。
答案　(1)见解析　(2)x=Acos t
解析　(1)木筷静止在水中时，设木筷在水中部分的长度为l0，有mg=ρgl0S，
木筷在静止位置上方x处时，以竖直向上为正方向，合外力为F=ρg(l0-x)S-mg
联立两式得F=-ρgSx，故木筷做简谐运动。
(2)木筷放手后做简谐运动，有x=Acos t
又T=2π，其中k=ρgS
整理可知放手后木筷位移随时间变化的关系式为x=Acos t。
　[6分]
11.(多选)(2025·湖北卷·9)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后(　　)
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动，则其振幅为
C.当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
答案　AD
解析　若小球b做简谐运动，则由小球b在平衡位置所受合力为0，可知小球b初始时刻的位置即为其做简谐运动的平衡位置，可知其振幅为l，B错误；小球a发生运动的条件为弹簧对小球a向上的弹力大于小球a的重力，若恰好将要运动，则此时对小球a有kx0=mg，对小球b有kx0+mg=ma，若小球b做简谐运动，由简谐运动的对称性可知将小球b向下拉到最低点由静止释放时的加速度大小也为a，有kl=ma，解得l=，故当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动，否则小球a会发生运动，A、D正确，C错误。(共70张PPT)
第八章
机械振动与机械波
考情分析
试题情境
生活实践类 共振筛、摆钟、地震波、多普勒彩超等
学习探究类 简谐运动的特征、单摆的周期与摆长的定量关系、用单摆测量重力加速度、受迫振动的特点、共振的条件及其应用、波的干涉与衍射现象、多普勒效应
机械振动
第39课时
1.知道简谐运动的概念，掌握简谐运动的特征，理解简谐运动的表达式和图像。
2.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件。
目标要求
考点一　简谐运动的基本规律
考点二　简谐运动的表达式和图像
内容索引
课时精练
考点三　受迫振动和共振
简谐运动的基本规律
考点一
1.简谐运动：
(1)如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向_________，这样的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中_______为零的位置。
(3)回复力：使物体“总想回到平衡位置”的力，方向总是指向平衡位置。可能是某一个力，也可能是某些力的合力。
平衡位置
回复力
(4)简谐运动的特点
受力特点 回复力F=___，F(或a)的大小与x的大小成_____，方向_____
运动特点 衡位置时，a、F、x都_____，v_____；远离平衡位置时，a、F、x都_____，v_____(填“增大”或“减小”)
能量特点 对同一个振动系统，振幅越大，能量越___。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能_____
-kx
正比
相反
减小
增大
增大
减小
大
守恒
2.弹簧振子
(1)模型：一个有质量的物块，连接在一根轻质弹簧上，在绝对光滑的桌面上来回振动。这个“弹簧+物块”的系统，就是弹簧振子。
(2)运动特征：简谐运动，x-t图像是正弦曲线。
(3)周期：T=2π，与振幅A无关。
(4)能量：动能和势能相互转化，总能量守恒。在最大位移处势能最大，在平衡位置动能最大。
　　　如图所示，一质点做简谐运动，O点为其平衡位置。
(1)质点由M点向右运动到O点的过程中加速度　　　，速度　　　，系统机械能　　 (选填“增大”“减小”或“不变”)。
(2)质点先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为　　。
A.3 s、6 cm B.4 s、6 cm
C.4 s、9 cm D.2 s、8 cm
减小
增大
不变
B
　　　简谐运动的质点，先后以相同的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O的时间与由O到N的时间相等，那么从平衡位置O到N点的时间t1=0.5 s，因过N点后再经过t=1 s，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到右侧最大位移处的时间t2=0.5 s，因此，质点振动的周期是T=4(t1+t2)=4 s。这2 s内质点通过的总路程的一半，即为振幅，所以振幅A==6 cm，故选B。
(3)质点动能变化的周期是　　 s。
2
　　　动能是标量，由振动的对称性，知变化周期为=2 s。
简谐运动的周期性与对称性
周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性 (1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O点对称的两点P、P'(OP=OP')时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等

(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P'所用的时间，即tPO=tOP'
(3)物体往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP=tPO
(4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反
(多选)(2025·河北卷·9)如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为θ，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是
A.左侧小物块沿斜面做简谐运动
B.细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C.右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D.若θ增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
√
√
　　　对左侧小物块，设沿斜面向下的位移为x，则有FT+kx-mgsin θ=ma，此时，对右侧小物块，有mgsin θ+kx-FT=ma，联立可得kx=ma，则左侧小物块受到的合外力F=ma=kx，方向与位移方向相反，故其做简谐运动，故A正确；
根据以上分析，可得2FT=2mgsin θ，绳拉力保持不变，故B错误；
同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对称性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正确；
弹簧振子振动周期T=2π，与斜面倾角无关，故D错误。
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考点二
简谐运动的表达式和图像
1.简谐运动的表达式
x=___________，ωt+φ为_____，φ为_______，ω为圆频率，ω与周期T的
关系为ω=____。
2.简谐运动的振动图像
表示做简谐运动的物体的______随时间变化的规律，是一条正弦曲线。
Asin(ωt+φ)
相位
初相位
位移
(来自教材)如图为某物体做简谐运动的图像，在0~1.5 s范围内回答下列问题。
讨论交流
答案　0.6 s，1.2 s，1.4 s
(1)哪些时刻物体的回复力与0.4 s时的回复力相同？
答案　0.2 s，1.0 s，1.2 s
(2)哪些时刻物体的速度与0.4 s时的速度相同？
答案　0，0.2 s，0.6 s，0.8 s，1.0 s，1.2 s，1.4 s
(3)哪些时刻的动能与0.4 s时的动能相同？
答案　0.1~0.3 s，0.5~0.7 s，0.9~1.1 s，1.3~1.5 s
(4)哪段时间的加速度在减小？
答案　0~0.1 s，0.3~0.5 s，0.7~0.9 s，1.1~1.3 s
(5)哪段时间的势能在增大？
　(2024·福建卷·2)如图(a)，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图(b)所示，则试管
A.振幅为2.0 cm
B.频率为2.5 Hz
C.在t=0.1 s时速度为零
D.在t=0.2 s时加速度方向竖直向下
√
　　　根据题图(b)可知，振幅为1.0 cm，周期为T=0.4 s，则频率为f==
Hz=2.5 Hz，故A错误，B正确；
根据题图(b)可知，0.1 s时试管处于平衡位置，此时速度最大，故C错误；
根据题图(b)可知，0.2 s时试管处于负向最大位移处，则此时加速度方向竖直向上，故D错误。
从振动图像可获取的信息
1.振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。
2.某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
3.某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的绝对值和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
4.某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
5.某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
(2025·安徽安庆市模拟)某质点做简谐振动的位移—时间关系图像如图所示。图中的t0未知，已知周期为T、振幅为A，下列说法正确的是
A.t0+0.25T时刻，质点的加速度最小
B.0时刻质点的速度为负，加速度为正
C.未知量t0为
D.质点的振动方程为x=Asin(t-)
√
　　　由题图可知，t0+0.25T时刻，质点的位移最大，加速度最大，故A错误；
0时刻图像的斜率为正，质点的速度为正，加速度为正，故B错误；
设质点的振动方程为x=Asin(t-φ)，结合t=0时，x=-A，可得φ=，则质点的振动方程为x=Asin(t-)，故D正确；
t0时刻质点的位移为0，则有0=Asin(t0-)，解得t0=，故C错误。
(2025·江西九江市二模)如图甲所示，底座放在水平台面的压力传感器上，其上固定光滑竖直杆，轻弹簧套在竖直杆上，下端固定在底座上，上端连接质量m=0.2 kg的小球，底座与杆的总质量M=0.2 kg。将小球向上拉起一段距离，t=0时，释放小球，使小球在竖直方向振动起来，不计空气阻力。通过压力传感器描绘出压力随时间变化的图像如图乙所
示，弹簧始终在弹性限度内。已知弹簧振子的周期公式T=2π(m为弹
簧振子的质量，k为弹簧的劲度系数)，
重力加速度g取10 m/s2。
(1)求t=0时弹簧的伸长量；
答案　0.1 m
　　　由题图乙知T=0.2π s，
弹簧振子的周期T=2π，可得k=20 N/m，
由题图乙可知，t=0时刻台面对底座的支持力为零，对底座有kx1=Mg
解得t=0时弹簧的伸长量x1=0.1 m
(2)以平衡位置为坐标原点，取向上为正方向，求小球的振动方程；
答案　x=0.2cos 10t m
　　　小球在平衡位置时有kx0=mg，可得x0=0.1 m
振幅A=x0+x1=0.2 m，
由题图可知振动周期T=0.2π s，
故ω==10 rad/s
设小球的初相位为φ，则振动方程为x=0.2sin(10t+φ) m
t=0时，小球处于最高点，即位移为A，代入解得φ=
则小球的振动方程为x=0.2cos 10t m
(3)若仅将小球质量改为m'=0.4 kg，取向上为正方向，求小球的振动方程。
答案　x=0.3cos 5t m
　　　当m'=0.4 kg时，有kx0'=m'g
可得x0振幅A'=x0'+x1=0.3 m
弹簧振子的周期T'=2π= s，
故ω'==5 rad/s
小球的初相位不变，则振动方程为x=0.3cos 5t m。
返回
考点三
受迫振动和共振
1.受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动。
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于______的频率，与物体的固有频率_____。
2.共振
(1)概念：当驱动力的频率等于物体的_________时，物体做受迫振动的振幅达到_____的现象。
(2)共振的条件：驱动力的频率等于物体的_________。
(3)共振的特征：共振时_____最大。
驱动力
无关
固有频率
最大
固有频率
振幅
f=f0时，A=____，f与f0相差越大，物体做受迫振动的振幅_____。
(4)共振曲线(如图所示)。
Am
越小
3.阻尼振动
(1)阻尼振动：振动系统受到______作用时，______随时间逐渐减小的振动，其振动图像如图所示。
阻碍
振幅
(2)振动系统能量衰减的两种方式
①振动系统受到_____阻力作用，机械能逐渐转化为内能。
②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向四周辐射出去，从而自身的机械能_____。
摩擦
减少
　　　(多选)(2025·辽宁省辽南协作体三模)飞力士棒通过利用特殊构造和弹性，产生一定的振动频率，这些振动会深入到身体内的核心肌肉，从而达到强化锻炼的作用。如图所示。飞力士棒的固有频率为3.5 Hz，则
A.若该棒做自由振动，则频率为3.5 Hz
B.使用时手振动的频率增大，飞力士棒
振动的幅度也随之增大
C.手每分钟震动210次，飞力士棒产生共振
D.PVC软杆长度不变，负重头质量减小时，飞力士棒的固有频率保持不变
√
√
　　　若该棒做自由振动，则振动按照固有频率振动，故A正确；
随着手振动的频率增大，飞力士棒振动的频率随之增大，但是幅度可能越来越小，故B错误；
手振动频率为f= Hz=3.5 Hz，此时频率与固有频率相等，飞力士棒产生共振，故C正确；
PVC软杆长度不变，负重头质量减小，则其结构改变，飞力士棒的固有频率会变化，故D错误。
简谐运动、受迫振动和共振的比较
　　振动 项目 简谐运动 受迫振动 共振
受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期、频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0和固有频率f0 由驱动力的周期和频率决定，即T=T驱，f=f驱 T驱=T0，f驱=f0
返回
　　振动 项目 简谐运动 受迫振动 共振
振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ<5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D AC BC D BC D B
题号 9 10 11
答案 ABC (1)见解析　(2)x=Acos t AD
答案
1
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3
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6
7
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10
11
1.(2025·江苏苏锡常镇四市一模)某电视节目上一男子表演“狮吼功”——用声音震碎玻璃杯。关于这一现象，下列说法中正确的是
A.声音频率越低越容易震碎玻璃杯
B.声音频率越高越容易震碎玻璃杯
C.需要很大的音量才能震碎玻璃杯
D.在适当的频率下无需很大的音量就能震碎玻璃杯
√
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答案
基础落实练
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11
答案
　　　发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，用声音震碎玻璃杯是声音的频率与玻璃杯的固有频率相等，使玻璃杯发生共振，从而使玻璃杯碎裂，与音量的大小无关。故选D。
2.(2025·广东深圳市二模)上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达一千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振动图像如图乙所示。关于阻尼器的说法正确的是
A.振动周期越来越小
B.t=4 s时的动能为零
C.t=8 s时沿x轴负方向运动
D.t=10 s时加速度沿x轴负方向
√
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答案
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11
答案
　　　由题图乙可知，振动周期不变，故A错误；
t=4 s时正好经过平衡位置，速度最大，动能最大，故B错误；
t=8 s时题图乙中图线的切线斜率为正，则阻尼器沿x轴正方向运动，故C错误；
由题图乙可知，t=10 s时位移达到正向最大，则加速度最大，方向沿x轴负方向，故D正确。
3.(多选)(2025·云南省二模)如图所示，一小木块漂浮在足够宽水面上且处于静止状态，对木块施加向下的力使其偏离平衡位置处于静止状态(木块未全部浸没在水中)，在t=0时由静止释放，释放后木块的运动可视为简谐运动，周期为1 s。规定竖直向上为正方向，则小球在t=5.5 s时刻
A.位移最大，方向为正
B.速度最大，方向为正
C.加速度最大，方向为负
D.受到的浮力最大
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答案
√
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答案
　　　由于木块的运动可视为简谐运动，周期是1 s，则t=5.5 s时刻即经过5T，此时处于最高点，位移最大，方向向上为正，速度为零；加速度最大，方向向下为负，故A、C正确，B错误；
最高点浸入水中的体积最小，根据公式F浮=ρgV排可知，浮力最小，故D错误。
4.(多选)(2026·云南曲靖市检测)如图所示，一弹簧振子沿水平方向做简谐运动，M、N两点关于O点对称。t=0时刻，小球向右经过N点；t=2 s时，第一次经过M点。已知小球经过M、N两点时的速度大小相等，0~2 s时间内，小球经过的路程为0.4 m。关于该弹簧振子，下列说法正确的是
A.振幅为0.4 m
B.周期为4 s
C.小球经过O点时速度最大
D.小球经过O点时加速度最大
√
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答案
√
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答案
　　　根据M、N两点的位置和速度关系，小球从N点运动到M点经历了半个周期，运动两个振幅，因此该弹簧振子的周期为4 s，振幅为0.2 m，故A错误，B正确；
小球经过O点时加速度为零，速度最大，故C正确，D错误。
5.(2026·安徽省部分学校联考)简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子是一种典型的简谐运动。如图甲所示是一个以O点为平衡位置的水平方向的弹簧振子，在M、N两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。下列说法中正确的是
A.弹簧振子受重力、支持力、弹簧的
弹力、回复力
B.t=0.5 s时，弹簧振子的位移为2.5 cm
C.从t=0到t=1 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加
D.在t=1 s与t=3 s两个时刻，弹簧振子的回复力不相同
√
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答案
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答案
　　　回复力是指振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力。回复力是效果力，受力分析时不考虑效果力，故A错误；
弹簧振子在水平方向上做简谐运动，由题图乙可得周期T=4 s，位移x随
时间t变化的关系为x=5sin(t)(cm)，当t=0.5 s时，弹簧振子的位移为x= cm
≠2.5 cm，故B错误；
从t=0到t=1 s的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，由Ek=mv2
可知动能减小，故C错误；
在t=1 s与t=3 s两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，故D正确。
6.(多选)(2025·甘肃卷·8)如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是
A.小球A运动到弹簧原长处的速度最大
B.剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为
C.小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为
D.小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为
√
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答案
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11
答案
　　　剪断细线后，弹力大于A的重力，则A先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的加速度减小，当加速度为零时速度最大，此时弹力等于重力，弹簧处于拉伸状态，选项A错误；
剪断细线之前F弹=3mg，剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A由牛顿第二定律F弹-2mg=2ma，解得A的加速度a=，选项B正确；
剪断细线之前弹簧伸长量x1=，剪断细线后A做简谐运动，在平衡位置时弹簧伸长量x2=，即振幅为A=x1-x2=，由对称性可知小球A运动到最高点时，弹簧伸长量为，选项C正确；
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答案
　　　由上述分析可知，小球A运动到最低点时，弹簧伸长量为，选项D错误。
7.(2024·北京卷·9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin (2.5πt) m/s2
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答案
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答案
　　　由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F=mg，A错误；
由题图乙知，t=0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；
由题图乙知，从t=0至t=0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；
由题图乙知T=0.8 s，则ω==2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a=
4sin (2.5πt) m/s2，D正确。
8.(2025·湖北襄阳市三模)某同学找来粗细均匀的圆柱形木棒，下端绕上铁丝，将其竖直浮在装有水的杯子中，如图所示。竖直向下按压5 cm后静止释放，木棒开始在水中上下振动(不计水的黏滞阻力)，其运动可视为简谐运动，测得其振动周期为4 s，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图所示。其中A为振幅。则木棒在振动过程中，下列说法正确的是
A.t=t1时，木棒的重力大于其所受的浮力
B.振动过程中木棒的机械能不守恒
C.开始计时12 s内木棒所经过的路程是30 cm
D.木棒的位移随时间变化的关系式是y=5sin(5πt-) cm
√
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答案
能力综合练
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答案
　　　t=t1时，木棒在最低点，合力向上，木棒的重力小于其所受的浮力，故A错误；
由于木棒振动过程中除重力外还有浮力做功，振动过程中木棒的机械能不守恒，故B正确；
振幅A=5 cm，由t=12 s=3T，开始计时12 s内木棒所经过的路程是s=3×4A
=60 cm，故C错误；
圆频率ω== rad/s，振动方程为y=Asin (ωt+φ)=5sin (t+φ) cm，由t=0时y=-，解得φ=-，木棒的位移随时间变化的关系式是y=5sin(t-) cm，
故D错误。
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答案
9.(多选)(2025·湖南长沙市三模)如图(a)所示，在光滑的水平面上有两弹簧振子甲、乙，甲、乙使用的弹簧劲度系数相同，两弹簧振子的速度随
时间的变化图像如图(b)所示。已知弹簧振子的周期公式为T=2π，其中m为小球的质量，k为弹簧的劲度系数，弹簧的弹性势能Ep=kx2，x为
弹簧形变量，下列说法正确的是
A.甲、乙的周期之比为4∶3
B.甲、乙的小球质量之比为16∶9
C.甲、乙的机械能之比为32∶9
D.甲、乙的弹簧最大形变量之比为16∶3
√
√
√
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答案
　　　由题图(b)可得t0=T甲，t0=T乙，解得T甲=t0，T乙=t0，所以=，
故A正确；
根据弹簧振子的周期公式为T=2π，整理得m=，则==，故
B正确；
由题图(b)可得，两小球的最大速度之比为=，当小球有最大速度时，弹簧振子的机械能等于动能，则根据Ek=mv2可得==×=，
故C正确；
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答案
　　　当弹簧形变量最大时，小球的动能全部转化为弹性势能，根据Ek=
Ep=kx2，整理可得x=，所以==，故D错误。
10.(2025·山东菏泽市二模)粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈细铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中，把木筷往上提起一段距离A后放手，木筷就在水中上下振动。已知木筷横截面积为S，木筷与铁丝总质量为m，水的密度为ρ，重力加速度为g。以木筷静止时其下端所在位置为原点，竖直向上为正方向。
(1)证明木筷做简谐运动；
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答案
答案　见解析
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答案
　　　木筷静止在水中时，设木筷在水中部分的长度为l0，有mg=ρgl0S，
木筷在静止位置上方x处时，以竖直向上为正方向，合外力为F=ρg(l0-x)S-mg
联立两式得F=-ρgSx，故木筷做简谐运动。
(2)已知简谐运动的周期T=2π，其中m是做简谐运动物体的
质量，k为回复力与位移比值的绝对值。写出放手后木筷位移x随时间t变化的关系式。
1
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11
答案
答案　x=Acos t
　　　木筷放手后做简谐运动，有x=Acos t
又T=2π，其中k=ρgS
整理可知放手后木筷位移随时间变化的关系式为x=Acos t。
11.(多选)(2025·湖北卷·9)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动，则其振幅为
C.当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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答案
尖子生选练
√
1
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答案
　　　若小球b做简谐运动，则由小球b在平衡位置所受合力为0，可知小球b初始时刻的位置即为其做简谐运动的平衡位置，可知其振幅为l，B错误；
小球a发生运动的条件为弹簧对小球a向上的弹力大于小球a的重力，若恰好将要运动，则此时对小球a有kx0=mg，对小球b有kx0+mg=ma，若小球b做简谐运动，由简谐运动的对称性可知将小球b向下拉到最低点由静止释放时的加速度大小也为a，有kl=ma，解得l=，故当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动，否则小球a会发生运动，A、D正确，C错误。
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第八章
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