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第41课时　机械波
目标要求　1.知道机械波的形成条件及特点。2.掌握波速、波长和频率的关系，会分析波的图像。3.知道波的干涉、衍射现象和多普勒效应，掌握发生干涉和明显衍射的条件。
考点一　机械波的形成与传播
1.机械波
(1)机械波的形成条件
①有发生机械振动的波源。
②有传播介质，如空气、水等。
(2)传播特点
①机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移。
②波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
③介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。
④波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离。
(3)分类
横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直；
纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一条直线上。
2.波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移。
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移。
(3)图像(如图)
3.波长、波速、频率及其关系
(1)波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
(2)频率f：等于波源的振动频率，由波源决定。
(3)波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定，与波长和频率无关。
(4)波长、波速和频率(周期)的关系：v==λf。
例1　(2025·安徽卷·2)如图，某同学演示波动实验，将一根长而软的弹簧静置在光滑水平面上，弹簧上系有一个标记物，在左端沿弹簧轴线方向周期性地推、拉弹簧，形成疏密相间的机械波。下列表述正确的是(　　)
A.弹簧上形成的波是横波
B.推、拉弹簧的周期越小，波长越长
C.标记物振动的速度就是机械波传播的速度
D.标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量
答案　D
解析　弹簧上形成的波的振动方向与传播方向平行是纵波，故A错误；同一介质中，波的传播速度相同，推、拉弹簧的周期越小，波的周期越小，由λ=vT可知，波长越短，故B错误；标记物振动的速度反映的是机械波中质点在平衡位置附近往复运动的快慢，机械波的传播速度是波在介质中的传播速度，二者不是同一个速度，故C错误；标记物由静止开始振动，说明它获得了能量，这是因为机械波传播过程中也把能量传递给标记物，故D正确。
例2　(2024·江苏卷·7)如图所示，水面上有O、A、B三点共线，OA=2AB，t=0时刻在O点的水面给一个扰动，t1时刻A开始振动，则B开始振动的时刻为(　　)
A.t1 B. C.2t1 D.
答案　B
解析　机械波的波速v不变，设OA=2AB=2L，可得t1=，tAB==t1，故B开始振动的时刻为t=t1+tAB=t1，故选B。
例3　(多选)(2025·山东卷·9)均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波，振幅均为2 cm，波速均为1 m/s，M、N为介质中的质点。t=0时刻的波形图如图所示，M、N的位移均为1 cm。下列说法正确的是(　　)
A.甲波的周期为6 s
B.乙波的波长为6 m
C.t=6 s时，M向y轴正方向运动
D.t=6 s时，N向y轴负方向运动
答案　BD
解析　根据题图可知甲波的波长λ甲=4 m，根据λ甲=vT甲，可得T甲=4 s，A错误；根据题图可知(×2+)λ乙=4 m，可得λ乙=6 m，B正确；根据λ乙=vT乙，可得T乙=6 s，根据同侧法可知t=0时N向y轴负方向运动，t=6 s时即经过时间T乙，N仍向y轴负方向运动，D正确；t=6 s时即经过T甲+，结合“同侧法”可知M向y轴负方向运动，C错误。
　波的传播方向与质点振动方向的互判
“同侧”法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“上下 坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“微平 移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断质点振动方向
考点二　波传播的周期性和多解性问题
1.波的周期性
(1)质点振动nT(n=1，2，3，…)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n=1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n+1)(n=0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反。
2.造成波传播问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
例4　(2025·湖南省名校大联考)图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.1 s后，其波形曲线如图中虚线所示。
(1)若波向左传播，求它在0.1 s内传播的最小距离；
(2)若波向右传播，求它的周期；
(3)若波速是3.5 m/s，求波的传播方向。
答案　(1)0.05 m　(2) s(n=0，1，2，3，…)
(3)向右传播
解析　(1)由题图可知λ=20 cm。若波向左传播，传播距离最小为λ=5 cm=0.05 m
(2)若波向右传播，传播距离Δx=nλ+λ
所用时间Δt=nT+T=0.1 s
解得T= s= s(n=0，1，2，3，…)
(3)若波速是3.5 m/s，波在0.1 s内传播的距离Δx'=0.35 m。若波向右传播，传播距离满足Δx'=nλ+λ，此时n=1，所以波向右传播。
例5　(多选)(2025·天津市河西区三模)如图甲所示，一列简谐横波沿直线传播，P、Q为波传播路径上相距12 m的两个质点，P、Q两个质点的振动图像分别如图乙、丙所示，则下列说法正确的是(　　)
A.该波一定从Q点向P点传播
B.t=0时刻，P、Q连线中点处的质点有可能处于平衡位置
C.t= s时，P、Q两质点的位移不相同
D.该波的波速可能为4 m/s
答案　CD
解析　因波长未知，所以无法确定波的传播方向，故A错误；由题图乙可知，t=0时刻，质点P处于平衡位置，若P、Q连线中点处的质点处于平衡位置，则P、Q间的距离必等于波长的整数倍，而由题图丙可知，质点Q处于波峰，P、Q间的距离一定不等于波长的整数倍，所以P、Q连线中点处的质点不可能处于平衡位置，故B错误；由题图乙、丙可知，t= s时，质点P的位移为负，质点Q的位移为正，位移不相同，故C正确；该波的周期为T=4 s，若波由P点向Q点传播，则波长满足(n+)λ=12 m(n=0，1，2，…)，可得该波的波速为v== m/s(n=0，1，2，…)，波速的可能值为12 m/s， m/s， m/s，…，若波由Q点向P点传播，则波长满足(n+)λ=12 m(n=0，1，2，…)，可得该波的波速为v== m/s(n=0，1，2，…)，波速的可能值为4 m/s， m/s， m/s，…，故D正确。
考点三　波的干涉、衍射现象　多普勒效应
1.波的叠加原理：在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
2.波的干涉条件：频率相同、相位差恒定、振动方向相同。
3.发生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。
说明：(1)障碍物或孔的尺寸大小并不是决定衍射是否发生的条件，仅是衍射现象是否明显的条件，一般情况下，波长越长越容易发生明显衍射。
(2)当孔的尺寸远小于波长时，尽管衍射十分突出，但由于衍射波的能量很弱，也很难观察到波的衍射现象。
4.多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率增加，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小。
说明：在多普勒效应中，波源的频率是不改变的，只是由于波源和观察者之间的距离发生变化，观察者接收到的频率发生了变化。
例6　(多选)(2025·浙江1月选考·12)如图甲所示，两波源S1和S2分别位于x=0与x=12 m处，以x=6 m为边界，两侧为不同的均匀介质。t=0时两波源同时开始振动，其振动图像相同，如图乙所示。t=0.1 s时x=4 m与x=6 m两处的质点开始振动。不考虑反射波的影响，则(　　)
A.t=0.15 s时两列波开始相遇
B.在6 mC.两列波叠加稳定后，x=8.4 m处的质点振动减弱
D.两列波叠加稳定后，在0答案　BC
解析　波在x=6 m左侧的波速v1= m/s=40 m/s
右侧的波速v2= m/s=60 m/s
t=0.1 s至两列波相遇，有2v1t1=2 m
解得t=0.1 s+t1=0.125 s，选项A错误；
在6 m左侧波传到x=8.4 m时所用时间为t'= s+ s=0.19 s
此时右侧波在该质点已经振动Δt=0.19 s- s=0.13 s=6T
即此时刻左侧波在该点的振动在平衡位置向上振动，右侧波在该点的振动在平衡位置向下振动，可知该点的振动减弱，选项C正确；
当右侧波传到x=6 m位置时所用时间为0.1 s=5T，即此时x=6 m处质点从平衡位置向上振动；此时x=0处的波源S1也在平衡位置向上振动，即振动方向相同，可知在0可知x-(6-x)=nλ1=0.8n
即x=3+0.4n
其中n取0、±1、±2、±3、±4、±5、±6、±7
则共有15个振动加强点，选项D错误。
　波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
1.图像法
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
2.公式法
波的干涉现象中，某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
(1)当两波源振动步调一致时：
若Δr=nλ(n=0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr=(2n+1)(n=0，1，2，…)，则振动减弱。
(2)当两波源振动步调相反时：
若Δr=(2n+1)(n=0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr=nλ(n=0，1，2，…)，则振动减弱。
例7　(多选)(2025·河南郑州市三模)如图甲，固定有蜂鸣器的滑块在M、N间做简谐运动，O点为平衡位置。小明使用该装置时听到蜂鸣器的频率会变化，为解释该现象查阅资料后发现，当观察者静止时，其接收频率f与波源移动速度v的关系如图乙所示(取波源靠近观察者时速度为正)，其中f0为波源频率。现将滑块推至M点由静止释放，小明的耳朵在N点正右侧，已知A、B为关于O点对称的两点，蜂鸣器发声频率为1 000 Hz，则滑块(　　)
A.到达N点时，小明听到的频率等于1 000 Hz
B.同向经过A、B两点时，小明听到的频率相同
C.连续两次经过A点时，小明听到的频率相同
D.从M点到N点的过程中(不包含M点、N点)，小明听到的频率先大于1 000 Hz，后小于1 000 Hz
答案　AB
解析　到达N点时，滑块的速度为零，波源与小明相对静止，小明听到的频率等于1 000 Hz，A正确；同向经过A、B两点时，波源相对小明的速度大小和方向都相同，小明听到的频率相同，B正确；连续两次经过A点时，波源相对小明的速度方向不相同，小明听到的频率不相同，C错误；从M点到N点的过程中(不包含M点、N点)，波源一直靠近观察者，小明听到的频率一直大于1 000 Hz，D错误。
课时精练
[分值：56分]
　[1~6题，每题4分]
1.(2025·江苏省二模)振动和波存在于我们生活的方方面面，如图所示关于下列几幅图片描绘的情景分析错误的是(　　)
A.图甲救护车向右运动的过程中，A、B两人听到警笛声的频率不同
B.图乙要在大山后面的房舍内收听到广播，发射台发出的信号波长越短效果越好
C.图丙在发射载人宇宙飞船时，火箭要产生较强的超低频振动，由于该频率与人体内脏和身躯的固有频率接近，所以容易使人体器官发生共振，造成人体器官的损伤
D.图丁是干涉型消声器的结构示意图，波长为λ的声波通过上下两通道后相遇时的路程差应该为的奇数倍
答案　B
解析　根据多普勒效应，甲救护车向右运动的过程中，A听到警笛声的频率增大，B听到警笛声的频率减小，A、B两人听到警笛声的频率不同，故A正确；障碍物或孔的尺寸比波长小或跟波长相差不多，波将发生明显的衍射现象，题图乙要在大山后面的房舍内收听到广播，发射台发出的信号波长越长效果越好，故B错误；题图丙在发射载人宇宙飞船时，火箭要产生较强的超低频振动，由于该频率与人体内脏和身躯的固有频率接近，所以容易使人体器官发生共振，造成人体器官的损伤，故C正确；根据波的干涉原理知，波长为λ的声波通过上下两通道后相遇时的路程差应该为的奇数倍，故D正确。
2.(2025·北京卷·5)质点S沿竖直方向做简谐运动，在绳上形成的波传到质点P时的波形如图所示，则(　　)
A.该波为纵波
B.质点S开始振动时向上运动
C.S、P两质点振动步调完全一致
D.经过一个周期，质点S向右运动一个波长距离
答案　B
解析　由题图可知，该波上质点的振动方向与波动传播方向垂直，是横波，故A错误；根据同侧法可知，质点P开始振动的方向向上，则质点S开始振动时向上运动，故B正确；由题图可知，S、P两质点平衡位置的距离为λ，则两质点振动步调相反，故C错误；质点不能随波传播，只能在平衡位置附近上下振动，故D错误。
3.(2025·江苏南通市检测)固定在振动片上的金属丝周期性触动水面可以形成水波，某时刻拍得一幅如图所示的照片。由照片可知(　　)
A.金属丝正向右移动
B.金属丝在水面上左右振动
C.单位时间内通过a点的波数比b点多
D.水波向左传播的速度大
答案　C
解析　根据水波的波纹可知，左边形成的波纹比较密，所以金属丝是向左移动，故A错误；水波的振幅是上下的，故金属丝在水面上下振动，故B错误；波源向左运动，根据多普勒效应，可知单位时间内通过a点的波数比b点多，故C正确；波的传播速度大小取决于介质，所以金属丝两侧水波传播的速度一样大，故D错误。
4.(2024·广东卷·3)一列简谐横波沿x轴正方向传播。波速为1 m/s，t=0时的波形如图所示。t=1 s时，x=1.5 m处的质点相对平衡位置的位移为(　　)
A.0 B.0.1 m
C.-0.1 m D.0.2 m
答案　B
解析　由题图可知该简谐横波的波长为λ=2 m，所以周期为T===2 s
当t=1 s时，x=1.5 m处的质点运动半个周期到达波峰处，相对平衡位置的位移为0.1 m。
故选B。
5.(多选)(2025·重庆卷·8)一浮筒(视为质点)在池塘水面以频率f上下振动，水面泛起圆形的涟漪(视为简谐波)。用实线表示波峰位置，某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，如图所示，则(　　)
A.该波的波长为4r
B.该波的波速为2fr
C.此时浮筒在最低点
D.再经过，浮筒将在最低点
答案　AD
解析　根据题意某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，故可得2λ=9r-r，即λ=4r，故A正确；该波的波速为v=λf=4rf，故B错误；由λ=4r，根据某时刻第1圈实线的半径为r=λ可得此时浮筒处于平衡位置，由于波向外传播，根据同侧法可知此时浮筒处于平衡位置向下振动，故再经过=T，浮筒将在最低点，故C错误，D正确。
6.(2025·甘肃白银市三模)丝带舞是艺术性很强的一种舞蹈，某次舞者抖动丝带形成的丝带波可简化为一向x轴正向传播的简谐横波，如图所示，实线和虚线分别为t1=0和t2=3 s时的波形图，下列说法正确的是(　　)
A.x=1 m处的质点经过一个周期可能向右运动4 m
B.在t=0.2 s时x=1 m处的质点可能加速度最大，方向沿y轴正方向
C.该丝带波的周期可能为 s(n=0，1，2…)
D.该丝带波的传播速度可能为2 m/s
答案　B
解析　简谐横波传播过程中，质点不随波的传播而迁移，A错误；由题可知，该丝带波沿x轴正方向传播，则t2-t1=(n+)T(n=0，1，2…)，解得T= s(n=0，1，2…)，当n=3时，周期T=0.8 s，t=0.2 s=T，则x=1 m处的质点刚好运动到波谷，加速度最大且沿y轴正方向，B正确，C错误；由题图可知，波长λ=4 m，波速v== m/s(n=0，1，2…)，当波速v=2 m/s时，n=0.75，D错误。
7.(8分)(2025·山东枣庄市三模)某科考队在水面上O点安装了一振动装置，可产生水波(可视为简谐横波)并在xOy平面内由O点向外传播。如图甲所示，t=0时刻，相邻的波峰和波谷恰好分别传到实线圆和虚线圆处，且实线圆处第一次出现波峰。已知质点M的坐标为(0，0.25 cm)，质点N的坐标为(1.0 cm， cm)。如图乙所示为图甲中质点M的振动图像，z轴垂直于xOy平面，竖直向上为正方向。求：
(1)(3分)质点M的振动方程；
(2)(2分)波在水中的传播速度大小；
(3)(3分)质点N第10次到达波峰的时刻。
答案　(1)z=0.01sin (100πt-)(m)　(2)0.25 m/s　(3)0.24 s
解析　(1)由题图乙可知：A=0.01 m，ω==100π rad/s
质点M的振动方程为z=0.01sin (100πt-)(m)
(2)由题图甲可知λ=0.5 cm，由题图乙可知T=0.02 s
波在水中的传播速度大小v==0.25 m/s
(3)波峰第一次传播到N点的距离s=-0.5] cm=1.5 cm
传播时间t1==0.06 s
质点N第10次到达波峰的时刻t=t1+9T=0.24 s。
　[8~11题，每题6分]
8.(多选)(2025·湖南卷·7)如图，A(0，0)、B(4，0)、C(0，3)在xy平面内，两波源分别置于A、B两点。t=0时，两波源从平衡位置起振，起振方向相同且垂直于xy平面。频率均为2.5 Hz。两波源持续产生振幅相同的简谐横波，波分别沿AC、BC方向传播，波速均为10 m/s。下列说法正确的是(　　)
A.两横波的波长均为4 m
B.t=0.4 s时，C处质点加速度为0
C.t=0.4 s时，C处质点速度不为0
D.t=0.6 s时，C处质点速度为0
答案　AD
解析　两横波的波长均为λ==4 m，故A正确；两横波传到C处所需时间分别为t1= s=0.3 s，t2= s=0.5 s，T==0.4 s，故t=0.4 s时，只有A处波传到C处且振动了T，故C处质点处于正向或负向最大位移处，加速度最大，速度为零，故B、C错误；分析可知t=0.6 s时两横波都已传播到C处，C处质点到两波源的距离差为Δx=5 m-3 m=2 m=λ，故C处为振动减弱点，由于两列波振幅相同，故此时C处质点位移为零，速度为零，故D正确。
9.(多选)(2025·河北张家口市三模)一简谐横波在t=0时刻的波形图如图所示，质点P、Q的横坐标分别为xP=8 m、xQ=15 m，质点Q的位移随时间变化的关系式为yQ=0.5sin (πt) cm，则下列说法正确的是(　　)
A.该简谐波的波长为15 m
B.该简谐波沿x轴正方向传播
C.该简谐波的波速是10 m/s
D.质点P的振动方程为yP=0.5sin (πt-π) cm
答案　CD
解析　由该简谐横波在t=0时刻的波形图可知，该简谐波的波长为20 m，故A错误；由质点Q位移随时间变化的关系式yQ=0.5sin (πt) cm，可得ω==π rad/s，故得该简谐波的周期T=2 s，当t=T=0.5 s时，yQ=0.5 cm，即t=0时刻，Q点向上振动，根据“上下坡法”可得，该波沿x轴负方向传播，故B错误；该简谐波的波速v== m/s=10 m/s，故C正确；设波沿x轴负方向传播时，P点相位比Q点相位落后Δφ，P点比Q点滞后振动的时间Δt=== s=0.7 s，由ω==，联立可得Δφ=π，故质点P的振动方程为yP=0.5sin (πt-π) cm，故D正确。
10.(多选)(2025·广东湛江市一模)一简谐横波在均匀介质中传播，波速为2 m/s，一个波峰和波谷之间的横向距离为2 m，纵向距离为5 m，则下列关于该波的说法正确的有(　　)
A.周期可能为4 s
B.频率可能为0.5 Hz
C.可能与同一介质上振动方程为 y=5sin (5πt+) m的质点产生的波发生干涉
D.该波通过半径为4 m的孔隙时，一定不能发生衍射现象
答案　BC
解析　由题意知一个波峰和波谷之间的横向距离为2 m，则有2 m=+nλ(n=0，1，2，3…)，则周期T== s(n=0，1，2，3…)，可知周期为4 s时n<0，不符合题意，故A错误；频率f== Hz(n=0，1，2，3…)，可知n为0时频率为0.5 Hz，故B正确；根据A选项可知当n为2时周期为T=0.4 s；根据振动方程，可知质点振动周期T'== s=0.4 s=T，故该波可能与同一介质上振动方程为y=5sin (5πt+) m的质点产生的波发生干涉，故C正确；衍射现象是波的特有现象，一切波都能发生衍射现象，故该波通过半径为4 m的孔隙时，一定能发生衍射现象，故D错误。
11.(2025·云南卷·7)如图所示，均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。t=0时刻，波源开始振动产生简谐横波，并以相同波速分别向左、右两侧传播，P、Q分别为矩形区域左右两边界上振动质点的平衡位置。t=1.5 s和t=2.5 s时矩形区域外波形分别如图中实线和虚线所示，则(　　)
A.波速为2.5 m/s
B.波源的平衡位置距离P点1.5 m
C.t=1.0 s时，波源处于平衡位置且向下运动
D.t=5.5 s时，平衡位置在P、Q处的两质点位移相同
答案　D
解析　根据题图所示波形可知λ=4 m，T=2.5 s-1.5 s，可得T=2 s，波速为v==2 m/s，故A错误；设波源的平衡位置与P点的距离为x0，根据矩形区域左侧t=1.5 s时的波形可知=1.5 s，解得x0=1 m，故B错误；由题图结合同侧法可知，波源刚开始的振动方向向下，由于t=1.0 s=T，可知此时波源处于平衡位置且向上运动，故C错误；t=5.5 s时，即从t=2.5 s时再经过3 s=T，可知P处质点处于平衡位置向上振动，Q处质点处于平衡位置向下振动，知此时平衡位置在P、Q处的两质点位移相同，故D正确。(共67张PPT)
第八章
机械振动
与机械波
机械波
第41课时
1.知道机械波的形成条件及特点。
2.掌握波速、波长和频率的关系，会分析波的图像。
3.知道波的干涉、衍射现象和多普勒效应，掌握发生干涉和明显衍射的条件。
目标要求
考点一　机械波的形成与传播
考点二　波传播的周期性和多解性问题
内容索引
课时精练
考点三　波的干涉、衍射现象　多普勒效应
机械波的形成与传播
考点一
1.机械波
(1)机械波的形成条件
①有发生机械振动的_____。
②有传播_____，如空气、水等。
(2)传播特点
①机械波传播的只是振动的_____和_____，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波_____。
②波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向_____。
波源
介质
形式
能量
迁移
相同
③介质中每个质点都做_____振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期_____。
④波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离。
(3)分类
横波：质点的振动方向与波的传播方向_____；
纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一条直线上。
受迫
相同
垂直
2.波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的__________，纵轴表示该时刻各质点的______。
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开__________的位移。
(3)图像(如图)
平衡位置
位移
平衡位置
3.波长、波速、频率及其关系
(1)波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是_____的两个相邻质点间的距离。
(2)频率f：等于波源的__________，由波源决定。
(3)波速v：波在介质中的传播速度，由_____本身的性质决定，与波长和频率______。
(4)波长、波速和频率(周期)的关系：v==____。
相同
振动频率
介质
无关
λf
　　 (2025·安徽卷·2)如图，某同学演示波动实验，将一根长而软的弹簧静置在光滑水平面上，弹簧上系有一个标记物，在左端沿弹簧轴线方向周期性地推、拉弹簧，形成疏密相间的机械波。下列表述正确的是
A.弹簧上形成的波是横波
B.推、拉弹簧的周期越小，波长越长
C.标记物振动的速度就是机械波传播的速度
D.标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量
√
　　　弹簧上形成的波的振动方向与传播方向平行是纵波，故A错误；
同一介质中，波的传播速度相同，推、拉弹簧的周期越小，波的周期越小，由λ=vT可知，波长越短，故B错误；
标记物振动的速度反映的是机械波中质点在平衡位置附近往复运动的快慢，机械波的传播速度是波在介质中的传播速度，二者不是同一个速度，故C错误；
标记物由静止开始振动，说明它获得了能量，这是因为机械波传播过程中也把能量传递给标记物，故D正确。
　　 (2024·江苏卷·7)如图所示，水面上有O、A、B三点共线，OA=2AB，t=0时刻在O点的水面给一个扰动，t1时刻A开始振动，则B开始振动的时刻为
A.t1　 B.
C.2t1 D.
√
　　　机械波的波速v不变，设OA=2AB=2L，可得t1=，tAB==t1，故B开始振动的时刻为t=t1+tAB=t1，故选B。
　　　(多选)(2025·山东卷·9)均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波，振幅均为2 cm，波速均为1 m/s，M、N为介质中的质点。t=0时刻的波形图如图所示，M、N的位移均为1 cm。下列说法正确的是
A.甲波的周期为6 s
B.乙波的波长为6 m
C.t=6 s时，M向y轴正方向运动
D.t=6 s时，N向y轴负方向运动
√
√
　　　根据题图可知甲波的波长λ甲=4 m，根据λ甲=vT甲，可得T甲=4 s，A错误；
根据题图可知(×2+)λ乙=4 m，可得λ乙=6 m，B正确；
根据λ乙=vT乙，可得T乙=6 s，根据同侧法可知t=0时N向y轴负方向运动，t=
6 s时即经过时间T乙，N仍向y轴负方向运动，D正确；
t=6 s时即经过T甲+，结合“同侧法”可知M向y轴负方向运动，C错误。
波的传播方向与质点振动方向的互判
“同侧”法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“上下 坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
返回
“微平 移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断质点振动方向
考点二
波传播的周期性和多解性问题
1.波的周期性
(1)质点振动nT(n=1，2，3，…)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n=1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n+1)(n=0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反。
2.造成波传播问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
　　　(2025·湖南省名校大联考)图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.1 s后，其波形曲线如图中虚线所示。
(1)若波向左传播，求它在0.1 s内传播的最小距离；
答案　0.05 m
　　　由题图可知λ=20 cm。若波向左传播，传播距离最小为λ=5 cm=0.05 m
(2)若波向右传播，求它的周期；
答案　 s(n=0，1，2，3，…)
　　　若波向右传播，传播距离Δx=nλ+λ
所用时间Δt=nT+T=0.1 s
解得T= s= s(n=0，1，2，3，…)
(3)若波速是3.5 m/s，求波的传播方向。
答案　向右传播
　　　若波速是3.5 m/s，波在0.1 s内传播的距离Δx'=0.35 m。若波向右传播，传播距离满足Δx'=nλ+λ，此时n=1，所以波向右传播。
(多选)(2025·天津市河西区三模)如图甲所示，一列简谐横波沿直线传播，P、Q为波传播路径上相距12 m的两个质点，P、Q两个质点的振动图像分别如图乙、丙所示，则下列说法正确的是
A.该波一定从Q点向P点传播
B.t=0时刻，P、Q连线中点处的质点有
可能处于平衡位置
C.t= s时，P、Q两质点的位移不相同
D.该波的波速可能为4 m/s
√
√
　　　因波长未知，所以无法确定波的传播方向，故A错误；
由题图乙可知，t=0时刻，质点P处于平衡位置，若P、Q连线中点处的质点处于平衡位置，则P、Q间的距离必等于波长的整数倍，而由题图丙可知，质点Q处于波峰，P、Q间的距离一定不等于波长的整数倍，所以P、Q连线中点处的质点不可能处于平衡位置，故B错误；
由题图乙、丙可知，t= s时，质点P的位移为负，质点Q的位移为正，位移不相同，故C正确；
　　　该波的周期为T=4 s，若波由P点向Q点传播，则波长满足(n+)λ=
12 m(n=0，1，2，…)，可得该波的波速为v== m/s(n=0，1，2，…)，波速的可能值为12 m/s， m/s， m/s，…，若波由Q点向P点传播，则波长满足(n+)λ=12 m(n=0，1，2，…)，可得该波的波速为v== m/s
(n=0，1，2，…)，波速的可能值为4 m/s， m/s， m/s，…，故D正确。
返回
考点三
波的干涉、衍射现象　多普勒效应
1.波的叠加原理：在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
2.波的干涉条件：______相同、相位差恒定、振动方向相同。
3.发生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺寸比波长___，或者跟波长相差不多。
说明：(1)障碍物或孔的尺寸大小并不是决定衍射是否发生的条件，仅是衍射现象是否明显的条件，一般情况下，波长越长越容易发生明显衍射。
(2)当孔的尺寸远小于波长时，尽管衍射十分突出，但由于衍射波的能量很弱，也很难观察到波的衍射现象。
频率
小
4.多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率_____，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率_____。
说明：在多普勒效应中，波源的频率是不改变的，只是由于波源和观察者之间的距离发生变化，观察者接收到的频率发生了变化。
增加
变小
　　　(多选)(2025·浙江1月选考·12)如图甲所示，两波源S1和S2分别位于x=0与x=12 m处，以x=6 m为边界，两侧为不同的均匀介质。t=0时两波源同时开始振动，其振动图像相同，如图乙所示。t=0.1 s时x=4 m与x=6 m两处的质点开始振动。不考虑反射波的影响，则
A.t=0.15 s时两列波开始相遇
B.在6 mC.两列波叠加稳定后，x=8.4 m处的质
点振动减弱
D.两列波叠加稳定后，在0√
√
　　　波在x=6 m左侧的波速v1= m/s=40 m/s
右侧的波速v2= m/s=60 m/s
t=0.1 s至两列波相遇，有2v1t1=2 m
解得t=0.1 s+t1=0.125 s，选项A错误；
在6 m左侧波传到x=8.4 m时所用时间为t'= s+ s=0.19 s
此时右侧波在该质点已经振动Δt=0.19 s- s=0.13 s=6T
即此时刻左侧波在该点的振动在平衡位置向上振动，右侧波在该点的振动在平衡位置向下振动，可知该点的振动减弱，选项C正确；
　　　当右侧波传到x=6 m位置时所用时间为0.1 s=5T，即此时x=6 m处质点从平衡位置向上振动；此时x=0处的波源S1也在平衡位置向上振动，即振动方向相同，可知在0可知x-(6-x)=nλ1=0.8n
即x=3+0.4n
其中n取0、±1、±2、±3、±4、±5、±6、±7
则共有15个振动加强点，选项D错误。
波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
1.图像法
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱
点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
2.公式法
波的干涉现象中，某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
(1)当两波源振动步调一致时：
若Δr=nλ(n=0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr=(2n+1)(n=0，1，2，…)，则振动减弱。
(2)当两波源振动步调相反时：
若Δr=(2n+1)(n=0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr=nλ(n=0，1，2，…)，则振动减弱。
　　　(多选)(2025·河南郑州市三模)如图甲，固定有蜂鸣器的滑块在M、N间做简谐运动，O点为平衡位置。小明使用该装置时听到蜂鸣器的频率会变化，为解释该现象查阅资料后发现，当观察者静止时，其接收频率f与波源移动速度v的关系如图乙所示(取波源靠近观察者时速度为正)，其中f0为波源频率。现将滑块推至M点由静止释放，小明的耳朵在N点正右侧，已知A、B为关于O点对称的两点，蜂鸣器发声频率为1 000 Hz，则滑块
A.到达N点时，小明听到的频率等于1 000 Hz
B.同向经过A、B两点时，小明听到的频率相同
C.连续两次经过A点时，小明听到的频率相同
D.从M点到N点的过程中(不包含M点、N点)，小明
听到的频率先大于1 000 Hz，后小于1 000 Hz
√
√
　　　到达N点时，滑块的速度为零，波源与小明相对静止，小明听到的频率等于1 000 Hz，A正确；
同向经过A、B两点时，波源相对小明的速度大小和方向都相同，小明听到的频率相同，B正确；
连续两次经过A点时，波源相对小明的速度方向不相同，小明听到的频率不相同，C错误；
从M点到N点的过程中(不包含M点、N点)，波源一直靠近观察者，小明听到的频率一直大于1 000 Hz，D错误。
返回
课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B C B AD B 题号 　7 8 9 10 11
答案 (1)z=0.01sin (100πt-)(m)　(2)0.25 m/s　(3)0.24 s AD CD BC D
答案
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1.(2025·江苏省二模)振动和波存在于我们生活的方方面面，如图所示关于下列几幅图片描绘的情景分析错误的是
A.图甲救护车向右运动的过程中，A、B两人听
到警笛声的频率不同
B.图乙要在大山后面的房舍内收听到广播，发
射台发出的信号波长越短效果越好
C.图丙在发射载人宇宙飞船时，火箭要产生较
强的超低频振动，由于该频率与人体内脏和
身躯的固有频率接近，所以容易使人体器官发生共振，造成人体器官的损伤
D.图丁是干涉型消声器的结构示意图，波长为λ的声波通过上下两通道后相遇时的路程差应
该为的奇数倍
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答案
基础落实练
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答案
　　　根据多普勒效应，甲救护车向右运动的过程中，A听到警笛声的频率增大，B听到警笛声的频率减小，A、B两人听到警笛声的频率不同，故A正确；
障碍物或孔的尺寸比波长小或跟波长相差不多，波将发生明显的衍射现象，题图乙要在大山后面的房舍内收听到广播，发射台发出的信号波长越长效果越好，故B错误；
题图丙在发射载人宇宙飞船时，火箭要产生较强的超低频振动，由于该频率与人体内脏和身躯的固有频率接近，所以容易使人体器官发生共振，造成人体器官的损伤，故C正确；
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答案
　　　根据波的干涉原理知，波长为λ的声波通过上下两通道后相遇时的路程差应该为的奇数倍，故D正确。
2.(2025·北京卷·5)质点S沿竖直方向做简谐运动，在绳上形成的波传到质点P时的波形如图所示，则
A.该波为纵波
B.质点S开始振动时向上运动
C.S、P两质点振动步调完全一致
D.经过一个周期，质点S向右运动一个波长距离
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答案
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答案
　　　由题图可知，该波上质点的振动方向与波动传播方向垂直，是横波，故A错误；
根据同侧法可知，质点P开始振动的方向向上，则质点S开始振动时向上运动，故B正确；
由题图可知，S、P两质点平衡位置的距离为λ，则两质点振动步调相反，故C错误；
质点不能随波传播，只能在平衡位置附近上下振动，故D错误。
3.(2025·江苏南通市检测)固定在振动片上的金属丝周期性触动水面可以形成水波，某时刻拍得一幅如图所示的照片。由照片可知
A.金属丝正向右移动
B.金属丝在水面上左右振动
C.单位时间内通过a点的波数比b点多
D.水波向左传播的速度大
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答案
　　　根据水波的波纹可知，左边形成的波纹比较密，所以金属丝是向左移动，故A错误；
水波的振幅是上下的，故金属丝在水面上下振动，故B错误；
波源向左运动，根据多普勒效应，可知单位时间内通过a点的波数比b点多，故C正确；
波的传播速度大小取决于介质，所以金属丝两侧水波传播的速度一样大，故D错误。
4.(2024·广东卷·3)一列简谐横波沿x轴正方向传播。波速为1 m/s，t=0时的波形如图所示。t=1 s时，x=1.5 m处的质点相对平衡位置的位移为
A.0 B.0.1 m
C.-0.1 m D.0.2 m
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答案
　　　由题图可知该简谐横波的波长为λ=2 m，所以周期为T===2 s
当t=1 s时，x=1.5 m处的质点运动半个周期到达波峰处，相对平衡位置的位移为0.1 m。
故选B。
5.(多选)(2025·重庆卷·8)一浮筒(视为质点)在池塘水面以频率f上下振动，水面泛起圆形的涟漪(视为简谐波)。用实线表示波峰位置，某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，如图所示，则
A.该波的波长为4r
B.该波的波速为2fr
C.此时浮筒在最低点
D.再经过，浮筒将在最低点
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答案
　　　根据题意某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，故可得2λ=9r-r，即λ=4r，故A正确；
该波的波速为v=λf=4rf，故B错误；
由λ=4r，根据某时刻第1圈实线的半径为r=λ可得此时浮筒处于平衡位置，由于波向外传播，根据同侧法可知此时浮筒处于平衡位置向下振动，故再经过=T，浮筒将在最低点，故C错误，D正确。
6.(2025·甘肃白银市三模)丝带舞是艺术性很强的一种舞蹈，某次舞者抖动丝带形成的丝带波可简化为一向x轴正向传播的简谐横波，如图所示，实线和虚线分别为t1=0和t2=3 s时的波形图，下列说法正确的是
A.x=1 m处的质点经过一个周期可能向右
运动4 m
B.在t=0.2 s时x=1 m处的质点可能加速度
最大，方向沿y轴正方向
C.该丝带波的周期可能为 s(n=0，1，2…)
D.该丝带波的传播速度可能为2 m/s
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　　　简谐横波传播过程中，质点不随波的传播而迁移，A错误；
由题可知，该丝带波沿x轴正方向传播，则t2-t1=(n+)T(n=0，1，2…)，解得T= s(n=0，1，2…)，当n=3时，周期T=0.8 s，t=0.2 s=T，则x=1 m处的质点刚好运动到波谷，加速度最大且沿y轴正方向，B正确，C错误；
由题图可知，波长λ=4 m，波速v== m/s(n=0，1，2…)，当波速v=
2 m/s时，n=0.75，D错误。
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7.(2025·山东枣庄市三模)某科考队在水面上O点安装了一振动装置，可产生水波(可视为简谐横波)并在xOy平面内由O点向外传播。如图甲所示，t=0时刻，相邻的波峰和波谷恰好分别传到实线圆和虚线圆处，且实线圆处第一次出现波峰。已知质点M的坐标为(0，0.25 cm)，质点N的坐标为(1.0 cm， cm)。如图乙所示为图甲中质点M的振动图像，z轴垂直于xOy平面，竖直向上为正方向。求：
(1)质点M的振动方程；
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答案　z=0.01sin (100πt-)(m)
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答案
　　　由题图乙可知：A=0.01 m，ω==100π rad/s
质点M的振动方程为z=0.01sin (100πt-)(m)
(2)波在水中的传播速度大小；
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答案　0.25 m/s
　　　由题图甲可知λ=0.5 cm，由题图乙可知T=0.02 s
波在水中的传播速度大小v==0.25 m/s
(3)质点N第10次到达波峰的时刻。
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答案　0.24 s
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　　　波峰第一次传播到N点的距离s=-0.5] cm=1.5 cm
传播时间t1==0.06 s
质点N第10次到达波峰的时刻t=t1+9T=0.24 s。
8.(多选)(2025·湖南卷·7)如图，A(0，0)、B(4，0)、C(0，3)在xy平面内，两波源分别置于A、B两点。t=0时，两波源从平衡位置起振，起振方向相同且垂直于xy平面。频率均为2.5 Hz。两波源持续产生振幅相同的简谐横波，波分别沿AC、BC方向传播，波速均为10 m/s。下列说法正确的是
A.两横波的波长均为4 m
B.t=0.4 s时，C处质点加速度为0
C.t=0.4 s时，C处质点速度不为0
D.t=0.6 s时，C处质点速度为0
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能力综合练
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　　　两横波的波长均为λ==4 m，故A正确；
两横波传到C处所需时间分别为t1= s=0.3 s，t2= s=0.5 s，T==0.4 s，
故t=0.4 s时，只有A处波传到C处且振动了T，故C处质点处于正向或负向最大位移处，加速度最大，速度为零，故B、C错误；
分析可知t=0.6 s时两横波都已传播到C处，C处质点到两波源的距离差为Δx=5 m-3 m=2 m=λ，故C处为振动减弱点，由于两列波振幅相同，故此时C处质点位移为零，速度为零，故D正确。
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9.(多选)(2025·河北张家口市三模)一简谐横波在t=0时刻的波形图如图所示，质点P、Q的横坐标分别为xP=8 m、xQ=15 m，质点Q的位移随时间变化的关系式为yQ=0.5sin (πt) cm，则下列说法正确的是
A.该简谐波的波长为15 m
B.该简谐波沿x轴正方向传播
C.该简谐波的波速是10 m/s
D.质点P的振动方程为yP=0.5sin (πt-π) cm
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答案
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答案
　　　由该简谐横波在t=0时刻的波形图可知，该简谐波的波长为20 m，故A错误；
由质点Q位移随时间变化的关系式yQ=0.5sin (πt) cm，可得ω==π rad/s，故得该简谐波的周期T=2 s，当t=T=0.5 s时，yQ=0.5 cm，即t=0时刻，Q点向上振动，根据“上下坡法”可得，该波沿x轴负方向传播，故B错误；
该简谐波的波速v== m/s=10 m/s，故C正确；
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答案
　　　设波沿x轴负方向传播时，P点相位比Q点相位落后Δφ，P点比Q点滞后振动的时间Δt=== s=0.7 s，由ω==，联立可得Δφ=
π，故质点P的振动方程为yP=0.5sin (πt-π) cm，故D正确。
10.(多选)(2025·广东湛江市一模)一简谐横波在均匀介质中传播，波速为
2 m/s，一个波峰和波谷之间的横向距离为2 m，纵向距离为5 m，则下列关于该波的说法正确的有
A.周期可能为4 s
B.频率可能为0.5 Hz
C.可能与同一介质上振动方程为y=5sin(5πt+) m的质点产生的波发生干涉
D.该波通过半径为4 m的孔隙时，一定不能发生衍射现象
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答案
　　　由题意知一个波峰和波谷之间的横向距离为2 m，则有2 m=+nλ
(n=0，1，2，3…)，则周期T== s(n=0，1，2，3…)，可知周期为4 s
时n<0，不符合题意，故A错误；
频率f== Hz(n=0，1，2，3…)，可知n为0时频率为0.5 Hz，故B正确；
根据A选项可知当n为2时周期为T=0.4 s；根据振动方程，可知质点振动周期T'== s=0.4 s=T，故该波可能与同一介质上振动方程为y=5sin (5πt+) m的质点产生的波发生干涉，故C正确；
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答案
　　　衍射现象是波的特有现象，一切波都能发生衍射现象，故该波通过半径为4 m的孔隙时，一定能发生衍射现象，故D错误。
11.(2025·云南卷·7)如图所示，均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。t=0时刻，波源开始振动产生简谐横波，并以相同波速分别向左、右两侧传播，P、Q分别为矩形区域左右两边界上振动质点的平衡位置。t=1.5 s和t=2.5 s时矩形区域外波形分别如图中实线和虚线所示，则
A.波速为2.5 m/s
B.波源的平衡位置距离P点1.5 m
C.t=1.0 s时，波源处于平衡位置且向下运动
D.t=5.5 s时，平衡位置在P、Q处的两质点位移相同
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答案
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答案
　　　根据题图所示波形可知λ=4 m，T=2.5 s-1.5 s，可得T=2 s，波速为v==2 m/s，故A错误；
设波源的平衡位置与P点的距离为x0，根据矩形区域左侧t=1.5 s时的波形可知=1.5 s，解得x0=1 m，故B错误；
由题图结合同侧法可知，波源刚开始的振动方向向下，由于t=1.0 s=T，可知此时波源处于平衡位置且向上运动，故C错误；
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答案
　　　t=5.5 s时，即从t=2.5 s时再经过3 s=T，可知P处质点处于平衡位置向上振动，Q处质点处于平衡位置向下振动，知此时平衡位置在P、Q处的两质点位移相同，故D正确。
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第八章

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