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2026年广东佛山容桂街道九年级6月模拟训练数学
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中比小的数是( )
A. B. C. D.
2.下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. 等腰梯形 B. 等边三角形
C. 平行四边形 D. 圆
3.是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数在上线天后达到了万．将万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.计算的结果是 ．
A. B. C. D.
6.若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知直线与的交点为，则方程组的解是( )
A. B. C. D.
8.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，为格点三角形，，与格线分别交于点，，图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9.如图，，，都是的半径，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.如图甲所示，在直角梯形中，，动点从点出发，沿梯形的边由运动．设点运动的路程为，的面积为把看作的函数，函数的图象如图乙所示，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解： ．
12.如图，在中，，，点在上，将线段沿着的方向平移得到线段，点，分别落在边，上，则的周长为 ．
13.京剧是中国五大戏曲剧种之一．某校开展“京剧文化进校园”活动，设置了“唱、念、做、打”四种学习项目，每名学生只能选择参加一种项目，则甲、乙两名学生参加同种学习项目的概率是 ．
14.某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度单位：是液体的密度单位：的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为 ．
15.如图，在矩形中，，，是边上一点，以为边作正方形，使经过点，则的值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解不等式组并在数轴上表示解集．
17.本小题分
在化简时，小颖的解法如下：
第一步 第二步 第三步 第四步
小颖的解法中哪一步是通分？通分的依据是什么？
判断小颖的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
18.本小题分
为探究一个滴漏的水龙头造成的浪费情况，小明将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个已经有少量水的量杯．每隔，记录一下量杯中的水量，得到下表中的一组数据：
时间
总水量
观察表中数据，求关于的函数表达式；
估计这个水龙头一天的漏水量是多少？
19.本小题分
【课本再现】
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【定理证明】为了证明该定理，小明同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：如图，在中，对角线和相交于点，求证：是菱形．
【知识应用】如图，在中，对角线与相交于点，延长至点，使，连接交于点，若，，，求的值．
20.本小题分
阅读涵养心灵，书香润泽人生．某地区年月就“初中生每天阅读时间”对七年级学生进行了抽样调查设每天阅读时间为，调查问卷设置了四个时间选项：．；．；．；．，并根据调查结果制作了如图所示的条形统计图．年月该地区出台系列激励措施，力推学生阅读习惯养成．为了检测这些措施的效果，年月该地区又对七年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图所示的扇形统计图．
请根据提供的信息，解答下列问题．
年月份抽样调查的七年级学生人数为 人，“每天阅读时间不少于小时”的人数占比约为 ；
估算该地区年月份“每天阅读时间不少于小时”的七年级学生的占比相对于月份的增长率；精确到
根据两次调查结果，对该地区出台相关激励措施的做法进行评价．
21.本小题分
如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的、两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
如图，作出点关于的对称点，线与直线的交点的位置即为所求，即在点处建气站，所得路线是最短的，为了让明点的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接，，证明，请完成这个证明．
如果在、两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案不需说明理由，
生市保护区是正方形区域，位置如图所示
生态保护区是圆形区域，位置如图所示．
22.本小题分
在菱形中，点是对角线上一点，连接，是的外接圆．
如图，若点与点重合，求证：点，，三点共线；
如图，若，求证：是的切线；
在的条件下，若，，求的长．
23.本小题分
已知抛物线经过点．
求抛物线的对称轴方程；
若，点和分别在抛物线和上与原点都不重合．
当，且时，的最小值为，求的值；
当时，若是一个与无关的定值，求的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：

17.【答案】【小题】
小颖的第一步是通分．通分是把异分母分式化为同分母分式的过程，通分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘一个不等于的整式，分式的值不变．
【小题】
解：小颖的解答过程不正确．
正确解答过程如下：
．

18.【答案】【小题】
解：观察表格，可发现每分钟增加的水，
随着时间的增加，总水量的变化是均匀的，
是的一次函数，
设总水量关于时间的函数表达式为，
则
解得
；
【小题】
解：当时，，
当时，，
这个水龙头一天的漏水量是．

19.【答案】【小题】
证明：四边形是平行四边形，
，
又，
垂直平分，
，
四边形是菱形；
【小题】
解：如图，取的中点，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，，
为的中位线，
，且，
，
，
．

20.【答案】【小题】
【小题】
解：由扇形统计图可知，月份“每天阅读时间不少于小时”的人数占比为，
对于月份的增长率为；
【小题】
出台激励措施后，每天阅读时间不少于小时的学生占比明显提升，学生整体阅读时长增加，说明该激励措施对促进学生养成阅读习惯效果显著，值得继续推行．合理即可

21.【答案】【小题】
证明：如图，连接
点、关于对称，点在上
，
，
同理，
在中，有
；
【小题】
解：在点处建燃气站，铺设管道的最短路线是如图，其中是正方形的顶点．
在点处建燃气站，铺设管道的最短路线是如图，其中、都与圆相切．

22.【答案】【小题】
证明：如图，连接交于点，
四边形是菱形，
，，
直线是的垂直平分线，
是的外接圆，
又点与点重合，
点在的垂直平分线上，
点，，三点共线．
【小题】
证明：如图，连接、，设，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，即，
是的切线．
【小题】
解：如图，连接交于点，设，，
四边形是菱形，
，，
，
在中，，
，
由勾股定理可得，，
，
解得负值已舍去，
，，
，
，
在中，，
，
解得，
．

23.【答案】【小题】
解：把点代入得：，
整理得
抛物线对称轴公式为，代入得：
即抛物线的对称轴是直线；
【小题】
解：由题意得，设，且，则
该二次函数开口向上，
分三种情况讨论：
当时，函数在上随增大而增大，
最小值在处取得：，
解得，符合；
当时，函数最小值在处取得：，
解得，均不在范围内，舍去；
当时，函数在上随增大而减小，
最小值在处取得：，
解得，不符合，舍去；
综上，；
由题意得，，
因为与原点都不重合，
所以，，
已知，代入得：
两边同除以得：
整理得，
则：
因为是与无关的定值，
所以，
解得．

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