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2026年广东广州市增城区初中毕业生适应性测试（二）数学
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是．
A. B. C. D.
2.文化和旅游部数据显示，年“五一”假期，全国国内出游约人次将用科学记数法表示为 ．
A. B. C. D.
3.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加全区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数单位：分及方差若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是( )
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6.对于抛物线，下列说法正确的是 ．
A. 图象与轴无交点 B. 当时，随的增大而增大
C. 当时，有最小值 D. 图象的顶点坐标为
7.在某个时期内汽油价格受国际油价影响总体呈上升趋势．某地号汽油一月初价格是元升，三月初价格是元升，设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程( )
A. B.
C. D.
8.如图，在中，，将绕点按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则的度数为 ．
A. B. C. D.
9.如图，在中，，平分，垂直平分于点，若，则的值是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，，点为上一点，且，，且，则的周长是 ．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.要使代数式有意义，则的取值范围是 ．
12.如图，直线，相交于点，若，则的度数为 ．
13.分式方程的解为 ．
14.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
15.如图，已知扇形的半径是，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为 ．
16.如图，在足球比赛中，球员甲带球奔向对方球门，在不考虑其他因素的情况下，一般射门角度越大，射门进球的可能性就越大球员甲带球路线与球门垂直，为垂足，点在上，过的与相切于点球员甲带球到点 填“”或“”射门，进球的可能性更大；若，，则的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程组：．
四、解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
如图，在矩形中，点，分别在边和上，且求证：．
19.本小题分
已知．
化简；
已知，求的值．
20.本小题分
如图，已知反比例函数与直线交于点，．
求，的值及反比例函数解析式；
根据函数图象，直 接写出的解集．
21.本小题分
某学校举行数学文化知识竞赛活动，现随机抽取了名学生的“数学知识竞赛”成绩，经过整理得到以下尚不完整的频数分布表：
成绩单位：分 频数人数
在频数分布表中， ．
若该校九年级共有名学生，根据统计结果估计成绩在 分 及 以 上的约有多少名学生？
这名学生中，得分在分及以上的是两名男生和两名女生，现要在这人中随机抽出两人作为优秀参赛者在年级学生大会上发言，求抽出的两名学生都是女生的概率．
22.本小题分
如图，是等腰三角形，，是的外接圆，为圆心．
尺规作图：以为对角线，作、为边的平行四边形保留作图痕迹，不写作法；
求证：是的切线．
23.本小题分
桔槔俗称“吊杆”“称杆”如图，是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，当点位于最高点时，．
求的长度；
求点位于最高点时到地面的距离；
当点从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶上升的高度．参考数据：，，
24.本小题分
在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”
例如：点与点互为“等和点”．
点与点互为“等和点”，求的值；
直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象，点在图象上，点在图象上．
若，点与点互为“等和点”，且点的横坐标比点的横坐标大，求点的坐标；
若在图象上总存在点，使得、两点互为“等和点”，求的取值范围．
25.本小题分
如图，在中，，，延长至点，使得点为平面内一点，，点满足，连接．
填空：的形状是 ；
求证：；
的长度是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】

17.【答案】解：得：，
，
将代入得：，
．
原方程组的解为：．

18.【答案】解：矩形，
，，
在和中，
，，
≌，
．
19.【答案】【小题】
解：，
，
，
，
．
【小题】
解：，
将代入，得．

20.【答案】【小题】
解：点，在直线的图象上，
故将代入，得，
将代入，得，
解得；
故点的坐标为，点的坐标为；
点在反比例函数的图象上，
故将代入，得，
解得，
故反比例函数的解析式为．
【小题】
解：点的坐标为，点的坐标为，结合图象可得的解集为或．

21.【答案】【小题】
【小题】
解：人，
答：成绩在分及以上的约有名学生；
【小题】
解：画树状图，如图，
共种等可能的结果，其中抽出的两名学生都是女生的结果有种，
抽出的两名学生都是女生的概率为．

22.【答案】【小题】
解：作法：以点为圆心，的长为半径，画弧；
以点为圆心，的长为半径，画弧，两弧交于一点；
连接、，则四边形即为所求的平行四边形．
证明如下：根据作法可得，，
故四边形为平行四边形．
【小题】
证明：连接并延长交于点，连接、，如图：
，，
点、点都在的垂直平分线上，
，
即；
四边形为平行四边形，
，
，
，
是的半径，
是的切线．

23.【答案】【小题】
解：设，则，
，
故，
解得，
米．
【小题】
解：过点作的垂线，过作交于点，如图：
则，
当点位于最高点时，，
，
在中，米，
故点位于最高点时到地面的距离为米．
【小题】
解：过点作的垂线，过作交于点，过作交于点，如图：
则，
由可得，米，
故，米，
，，
在中，米，
在中，米，
米，
故此时水桶上升的高度为米．

24.【答案】【小题】
解：由题意得，
；
【小题】
解：
，
设，
在中，令
．
点在图象上，且点的横坐标比点的横坐标大，
，且，
．
点与点互为“等和点”，
，
整理得，解得舍去．
当时，
；
设，设，
当时，，
当时，，
随的增大而增大，
当时，，
设，设．
关于的二次函数图象的对称轴为直线，
，图象开口向上，当时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
当时，，当时，
．
在图象上总存在点，使得、两点互为“等和点”．
解得．
的范围为．

25.【答案】【小题】
等边三角形
【小题】
证明：，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，，
．
【小题】
解：以为边向上作等边三角形，在上取点，使得，连接、；

由知，
，
又，，，
，
，，
；
，
，
，
即．
和都是等边三角形，
，
，
即．
又，，，
；
，即点在以点为圆心，为半径的圆上运动．
设直线与交于点、，则是的直径，，
，．
在射线上取点、，使得，，
则．
又，
，，
，；
在和中，
，
，
；
是直径，
，
点在以为直径的圆上运动，设该圆的圆心为点，则其半径．
过点作交于点，过点作交于点；
，，
，，
；
在中，；
，，
，
，
故，
；
圆心在直线上，
故，
，，
，
在中，，
，
有最小值，最小值为．

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